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Numerical Expression Evaluation with Basic Operations

Evaluate expressions for any basic operation.

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수치식과 기본연산

여러분은 아마 조류 사육장에 수학이 담겨 있다는 생각을 못했을 것입니다. 그러나 이 사육장은 사칙연산을 이용한 수치 식으로 풀 수 있는 문제를 가지고 있습니다. 이런 생각을 해보신 적이 없지요?  

케이샤는 동물원 조류 사육장의 새들을 사랑합니다. 그녀가 조류 사육장에서 가장 좋아하는 것은 새들을 구조하는 것입니다. 이 동물원의 직원들은 다친 새들을 구조하고, 이를 치료한 다음 다시 놓아 주는데 지금까지 256마리의 새가 구조되었습니다. 케이샤는 오늘 새의 구조 업무를 담당한 톰슨씨를 특별 방문할 계획입니다.  

케이샤가 조류 사육장에 도착했을 때 톰슨씨는 이미 일을 하고 있었습니다.  그녀는 케이샤에게 구조해야할 새끼새가 있다고 말했습니다.  새들 중 3마리가 기르고 있는 5마리씩의 새끼들입니다. 케이샤는 사육장안을 돌아다니며 기뻐하지 않을 수 없었습니다. 그녀는 아기새들의 지저귀는 소리를 들을 수 있었는데, 마치 모든 곳에 새끼 새들이 있는 것처럼 들렸습니다. 

“새끼 새가 훨씬 더 많은 것 같은 소리가 들리는데요,” 케이샤가 말했습니다.

“그렇지요,” 톰슨씨는 동의하며 말했습니다. “우리는 어제 구조된 새 중에서 두마리를 풀어 주었어요.”

“아주 좋은 소식이네요,” 케이샤가 웃으며 말했습니다.

“그래요, 그러나 우리는 부상당한 새 3마리를 다시 발견했지요. 따라서 사육장 안의 전체 새의 수가 다시 변했어요.”

“아! 알겠다,” 케이샤가 말을 보탰습니다. “현재의 새의 수는  256 + 3 x 5 -2 + 3 이니까 1296마리인가? 제 계산이 맞는지 모르겠네요.”

케이샤의 계산이 맞나요? 지금 그 곳에는 몇 마리의 새가 있는지 알겠나요? 이는 다소 까다로운 문제로, 케이샤가 조류 사육장의 새의 수를 찾아 내는 것을 도와 주려면 우리는 몇 가지 새로운 수학 기술을 학습해야 합니다.

주의를 기울여 이제부터 배울 '연산의 순서' 학습하고 나면 우리가 케이샤의 새의 계산을 도와줄 있게 것입니다

 

학습안내

케이샤의 문제를 해결하기 위해서는 먼저 수치식(numerical expression)의 개념을 알아야 합니다.  수치식(expression)이란 무엇인가?” 이를 이해하기 위해 수치식을 방정식(equation)과 비교하여 설명합니다.

방정식(equation) 두개의 값이 같거나 동일하다는 것을 기술한 문장(number sentence)이디 값은 "등호(equal sign: =)" 구분되고, 때에 따라서는 양쪽의 값을 똑같이 하기위해 풀어야 문제 형태로 제시된다

 3 + 4 = 7 은 방정식으로 이는  "3+4"가 "7"과 같음을 표시한다.

그렇다면 수치식은 무엇인가? 수치식(expression) 등호(=) 없는 문장으로 이는 단순화하거나 값을 구할 있다.  

수치식은  4가지 연산(덧셈, 뺄셈 곱셈, 나눗셈) 사용하여 작성할 있다 다음은 2가지의 연산(덧셈과 곱셈)으로 구성된 수치식의 예이다

4 + 3 x 5
이런 종류의 수치식은 곱셈과 덧셈이 섞여 있어 다소 혼란스러울 수 있다. 이 식에서 더하기를 먼저해야할까 아니면 곱하기를 먼저해야 할까? 이 문제를 해결하기 위하여 소위 연산의 순서를 배우게 될 것입니다.  연산의 순서(Order of Operation) 수치식의 값을 구하는 방식으로 수치식의 값을 구하기 위한 연산의 순서를 알려줍니다

연산의 순서(Order of Operations)

P - 괄호(parentheses) 안의 계산

E - 지수(exponents) 계산

MD - 곱셈과 나눗셈 계산: 왼쪽에서 오른쪽으로(multiplication or division in order from left to right)

AS - 덧셈과 뺄셈의 게산: 왼쪽에서 오른쪽으로(addition or subtraction in order from left to right)

영어 사용국가의 학생들은 순서의 첫글자를 모은 "PEMDAS"라고 순서를 외운다.  

잠시 이 연산의 순서를 외운 다음 앞에서 다룬 문제로 되돌아 갑시다.                       

이 수치식에는 덧셈과 곱셈이 포함되어 있으며, PEMDAS 규칙으로부터 곱셈을 덧셈보다 먼저해야 함을 알 수 있다.  만일 이 순서대로 계산을하여 '19'라는 답을 얻어진다.

4 + 3 x 5

4 + 15

= 19   

만일 PEMDAS의 순서를 무시하고 왼쪽에서부터 순서대로 게산을 하면, 다음과 같이 '35'라는 틀린답이 얻어진다.    

몇가지 예제를 각자 풀어봅시다.

에제 A
8 - 1 x 4 + 3

: 7

예제 B

2 x 6 + 8 / 2
: 16

예제 C

5 + 9 x 3 - 6 + 2
: 28

 

자, 이제 케이샤와 톰슨씨의 조류 사육장 문제로 되돌아 갑니다. 

케이샤는 동물원 조류 사육장의 새들을 사랑합니다. 그녀가 조류 사육장에서 가장 좋아하는 것은 새들을 구조하는 것입니다. 이 동물원의 직원들은 다친 새들을 구조하고, 이를 치료한 다음 다시 놓아 주는데 지금까지 256마리의 새가 구조되었습니다. 케이샤는 오늘 새의 구조 업무를 담당한 톰슨씨를 특별 방문할 계획입니다.  

케이샤가 도착했을 때 톰슨씨는 이미 일을 하고 있었습니다.  그녀는 케이샤에게 구조해야할 새끼새가 있다고 말했습니다.  새들 중 3마리의 새가 기르고 있는 5마리씩의 새끼들입니다.  케이샤는 사육장안을 돌아다니며 기뻐하지 않을 수 없었습니다. 그녀는 아기새들의 지저귀는 소리를 들을 수 있었는데, 마치 모든 곳에 새가 있는 것처럼 들렸습니다. 

“새끼새가 훨씬 더 많은 것같은 소리가 들리는데요,” 케이샤가 말했습니다.

“그렇지요,” 톰슨씨는 동의하며 말했습니다. “우리는 어제 구조된 새 중에서 두마리를 풀어 주었어요.”

“아주 좋은 소식이네요,” 케이샤가 웃으며 말했습니다.

“그래요, 그러나 우리는 부상당한 새  3마리를 다시 발견했지요. 따라서 사육장 안의 전체 새의 수가 다시 변했어요.”

“아! 알겠다,” 케이샤가 말을 보탰습니다. “현재의 새의 수는 256 + 3 x 5 - 2 + 3이니까 1296마리인가?  제 계산이 맞는지 모르겠네요.” 

케이샤는 조류 사육장에 새로 들여온 새의 수와 풀어준 새의 수를 나타낸 수식을 만들었습니다.  위 문자에는 이 문제 해결에 중요한 정보들에 밑줄을 쳤습니다.  이들 정보를 간추리면 다음과 같습니다.

256 마리: 처음에 있던 새

- 3마리의 새가 기르는 5마리씩의 새끼 새

  1. 풀어준 새
  2. 새로 발견된 부상당한 새

 

이들을 모두 묶어 케이샤는 다음의 방정식을 만들었습니다.  

256 + 3 x 5 - 2 + 3

케이샤는 이 방정식의 답이 1296라 고 했는데, 이로부터 우리는 케이샤가 PEMDAS 순서를 잊어버렸음을  알 수 있습니다. 

만일 케이샤가 연산의 순서 규칙을 따랐다면 다른 계산(덧셈과 뺄셈)에 앞서  곱셈을 먼저 했어여 합니다. 

256 + 3 x 5 - 2 + 3

256 + 15 - 2 + 3

이제 모든 덧셈과 밸셈을 왼쪽에서 오른쪽의 순서로 하면,

256 + 15 - 2 + 3 = 272

조류 사육장의 새의 수가 272마리임을 있습니다

 

용어

이절의 학습에 사용된 용어들입니다.  .

수치식(Expression)

           등호가 포함되지 아니한 연산의 수 문장(a number sentence with operations and no equals sign.)

방정식(Equation)

          똑같은 두 양을 비교하는 수 문장. 이 식에는 등호가 포함되어 있으며, 해결해야 할 질문으로 작성될 수도 있다(a number sentence that compares two quantities that are the same. It has an equals sign in it and may be written as a question requiring a solution.)

연산의 순서(Order of Operations)

          수치식이나 방정식에서 둘 이상의연산이 섞여 있을 때 그 연산을 수행하는 순서( the order that you perform operations when there is more than one in an expression or equation.)

P - 괄호(parentheses)

E - 지수(exponents)

MD - 곱셈과 나눗셈: 왼쪽에서 오른쪽으로(multiplication/division in order from left to right)

AS - 덧셈과 뺄셈: 왼쪽에서오른쪽으로(addition and subtraction in order from left to right)

 

연습

다음 연산을 각자 해보세요.

  6 + 8 x 4 - 11 + 6                     

33

 

비디오 복습

다음 2개의 비디오는 "연산의 순서" 학습에 도움을 줍니다. 

킨(Khan) 아카데미의 연산의 순서 서론

제임스 소우사(James Sousa)의 연산의 순서 예제 1

제임스 소우사(James Sousa)의 연산의 순서 예제 2

 

추가연습

연산의 순서에 따라 다음 수치식의 답을 구하시오.

  1.   \begin{align*}2 + 3 \times 4 + 7 = \underline{\;\;\;\;\;\;\;}\end{align*}2+3×4+7=

  2.   \begin{align*}4 + 5 \times 2 + 9 - 1 = \underline{\;\;\;\;\;\;\;}\end{align*}4+5×2+91=

  3.   \begin{align*}6 \times 7 + 2 \times 3 = \underline{\;\;\;\;\;\;\;}\end{align*}6×7+2×3=

  4.   \begin{align*}4 \times 5 + 3 \times 1 - 9 = \underline{\;\;\;\;\;\;\;}\end{align*}4×5+3×19= 

  5.   \begin{align*}5 \times 3 \times 2 + 5 - 1 = \underline{\;\;\;\;\;\;\;}\end{align*}

  6.   \begin{align*}4 + 7 \times3 + 8 \times2 = \underline{\;\;\;\;\;\;\;}\end{align*}

  7.   \begin{align*}9 - 3 \times 1 + 4 - 7 = \underline{\;\;\;\;\;\;\;}\end{align*}

  8.  \begin{align*}10 + 3 \times 4 + 2 -8 = \underline{\;\;\;\;\;\;\;}\end{align*}

 9.   \begin{align*}11 \times 3 + 2 \times 4 - 3 = \underline{\;\;\;\;\;\;\;}\end{align*}

10.   \begin{align*}6 + 7 \times 8 - 9 \times 2 = \underline{\;\;\;\;\;\;\;}\end{align*}

11.   \begin{align*}3 + 4^2 - 5 \times 2 + 9 = \underline{\;\;\;\;\;\;\;}\end{align*}

12.   \begin{align*}2^2 + 5 \times 2 + 6^2 - 11 = \underline{\;\;\;\;\;\;\;}\end{align*}

13.   \begin{align*}3^2 \times 2 + 4 - 9 = \underline{\;\;\;\;\;\;\;}\end{align*}

14.   \begin{align*}6 + 3 \times 2^2 + 7 - 1 = \underline{\;\;\;\;\;\;\;}\end{align*}

15.   \begin{align*}7 + 2 \times 4 + 3^2 - 5 = \underline{\;\;\;\;\;\;\;}\end{align*}

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