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Numerical Expression Evaluation with Basic Operations

Evaluate expressions for any basic operation.

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수치식과 기본연산

여러분은 아마 조류 사육장에 수학이 담겨 있다는 생각을 못했을 것입니다. 그러나 이 사육장은 사칙연산을 이용한 수치 식으로 풀 수 있는 문제를 가지고 있습니다. 이런 생각을 해보신 적이 없지요?  

케이샤는 동물원 조류 사육장의 새들을 사랑합니다. 그녀가 조류 사육장에서 가장 좋아하는 것은 새들을 구조하는 것입니다. 이 동물원의 직원들은 다친 새들을 구조하고, 이를 치료한 다음 다시 놓아 주는데 지금까지 256마리의 새가 구조되었습니다. 케이샤는 오늘 새의 구조 업무를 담당한 톰슨씨를 특별 방문할 계획입니다.  

케이샤가 조류 사육장에 도착했을 때 톰슨씨는 이미 일을 하고 있었습니다.  그녀는 케이샤에게 구조해야할 새끼새가 있다고 말했습니다.  새들 중 3마리가 기르고 있는 5마리씩의 새끼들입니다. 케이샤는 사육장안을 돌아다니며 기뻐하지 않을 수 없었습니다. 그녀는 아기새들의 지저귀는 소리를 들을 수 있었는데, 마치 모든 곳에 새끼 새들이 있는 것처럼 들렸습니다. 

“새끼 새가 훨씬 더 많은 것 같은 소리가 들리는데요,” 케이샤가 말했습니다.

“그렇지요,” 톰슨씨는 동의하며 말했습니다. “우리는 어제 구조된 새 중에서 두마리를 풀어 주었어요.”

“아주 좋은 소식이네요,” 케이샤가 웃으며 말했습니다.

“그래요, 그러나 우리는 부상당한 새 3마리를 다시 발견했지요. 따라서 사육장 안의 전체 새의 수가 다시 변했어요.”

“아! 알겠다,” 케이샤가 말을 보탰습니다. “현재의 새의 수는  256 + 3 x 5 -2 + 3 이니까 1296마리인가? 제 계산이 맞는지 모르겠네요.”

케이샤의 계산이 맞나요? 지금 그 곳에는 몇 마리의 새가 있는지 알겠나요? 이는 다소 까다로운 문제로, 케이샤가 조류 사육장의 새의 수를 찾아 내는 것을 도와 주려면 우리는 몇 가지 새로운 수학 기술을 학습해야 합니다.

주의를 기울여 이제부터 배울 ' 연산의 순서 ' 학습하고 나면 우리가 케이샤의 새의 계산을 도와줄 있게 것입니다

 

학습안내

케이샤의 문제를 해결하기 위해서는 먼저 수치식(numerical expression)의 개념을 알아야 합니다.   수치식 ( expression ) 이란 무엇인가 ?” 이를 이해하기 위해 수치식을 방정식 ( equation) 과 비교하여 설명합니다.

방정식 (equation) 두개의 값이 같거나 동일하다는 것을 기술한 문장 (number sentence) 이디 값은 " 등호 (equal sign: =)" 구분되고 , 때에 따라서는 양쪽의 값을 똑같이 하기위해 풀어야 문제 형태로 제시된다

 3 + 4 = 7 은 방정식으로 이는  "3+4"가 "7"과 같음을 표시한다.

그렇다면 수치식은 무엇인가 ? 수치식 (expression) 등호 (=) 없는 문장으로 이는 단순화하거나 값을 구할 있다 .  

수치식은  4 가지 연산 ( 덧셈 , 뺄셈 곱셈 , 나눗셈 ) 사용하여 작성할 있다 다음은 2 가지의 연산 ( 덧셈과 곱셈 ) 으로 구성된 수치식의 예이다

4 + 3 x 5
이런 종류의 수치식은 곱셈과 덧셈이 섞여 있어 다소 혼란스러울 수 있다. 이 식에서 더하기를 먼저해야할까 아니면 곱하기를 먼저해야 할까? 이 문제를 해결하기 위하여 소위 연산의 순서를 배우게 될 것입니다.  연산의 순서( Order of Operation) 수치식의 값을 구하는 방식으로   수치식의 값을 구하기 위한 연산의 순서를 알려줍니다

연산의 순서(Order of Operations)

P - 괄호 (parentheses) 안의 계산

E - 지수 (exponents) 계산

MD - 곱셈과 나눗셈 계산 : 왼쪽에서 오른쪽으로 (multiplication or division in order from left to right)

AS - 덧셈과 뺄셈의 게산 : 왼쪽에서 오른쪽으로 (addition or subtraction in order from left to right)

영어 사용국가의 학생들은 순서의 첫글자를 모은 "PEMDAS" 라고 순서를 외운다 .  

잠시 이 연산의 순서를 외운 다음 앞에서 다룬 문제로 되돌아 갑시다.                       

이 수치식에는 덧셈과 곱셈이 포함되어 있으며, PEMDAS 규칙으로부터 곱셈을 덧셈보다 먼저해야 함을 알 수 있다.  만일 이 순서대로 계산을하여 '19'라는 답을 얻어진다.

4 + 3 x 5

4 + 15

= 19   

만일 PEMDAS의 순서를 무시하고 왼쪽에서부터 순서대로 게산을 하면, 다음과 같이 '35'라는 틀린답이 얻어진다.      

몇가지 예제를 각자 풀어봅시다.

에제 A
8 - 1 x 4 + 3

: 7

예제 B

2 x 6 + 8 / 2
: 16

예제 C

5 + 9 x 3 - 6 + 2
: 28

 

자, 이제 케이샤와 톰슨씨의 조류 사육장 문제로 되돌아 갑니다. 

케이샤는 동물원 조류 사육장의 새들을 사랑합니다. 그녀가 조류 사육장에서 가장 좋아하는 것은 새들을 구조하는 것입니다. 이 동물원의 직원들은 다친 새들을 구조하고, 이를 치료한 다음 다시 놓아 주는데 지금까지  256마리의 새가 구조되었습니다. 케이샤는 오늘 새의 구조 업무를 담당한 톰슨씨를 특별 방문할 계획입니다.  

케이샤가 도착했을 때 톰슨씨는 이미 일을 하고 있었습니다.  그녀는 케이샤에게 구조해야할 새끼새가 있다고 말했습니다.  새들 중 3마리의 새가 기르고 있는 5마리씩의 새끼들입니다.  케이샤는 사육장안을 돌아다니며 기뻐하지 않을 수 없었습니다. 그녀는 아기새들의 지저귀는 소리를 들을 수 있었는데, 마치 모든 곳에 새가 있는 것처럼 들렸습니다. 

“새끼새가 훨씬 더 많은 것같은 소리가 들리는데요,” 케이샤가 말했습니다.

“그렇지요,” 톰슨씨는 동의하며 말했습니다. “우리는 어제 구조된 새 중에서 두마리 를 풀어 주었어요.”

“아주 좋은 소식이네요,” 케이샤가 웃으며 말했습니다.

“그래요, 그러나 우리는 부상당한 새  3마리를 다시 발견했지요. 따라서 사육장 안의 전체 새의 수가 다시 변했어요.”

“아! 알겠다,” 케이샤가 말을 보탰습니다. “현재의 새의 수는 256 + 3 x 5 - 2 + 3이니까 1296마리인가?  제 계산이 맞는지 모르겠네요.” 

케이샤는 조류 사육장에 새로 들여온 새의 수와 풀어준 새의 수를 나타낸 수식을 만들었습니다.  위 문자에는 이 문제 해결에 중요한 정보들에 밑줄을 쳤습니다.  이들 정보를 간추리면 다음과 같습니다.

256 마리: 처음에 있던 새

- 3마리의 새가 기르는 5마리씩의 새끼 새

  1. 풀어준 새
  2. 새로 발견된 부상당한 새

 

이들을 모두 묶어 케이샤는 다음의 방정식을 만들었습니다.  

256 + 3 x 5 - 2 + 3

케이샤는 이 방정식의 답이 1296라 고 했는데, 이로부터 우리는 케이샤가 PEMDAS 순서를 잊어버렸음을  알 수 있습니다. 

만일 케이샤가 연산의 순서 규칙을 따랐다면 다른 계산(덧셈과 뺄셈)에 앞서  곱셈을 먼저 했어여 합니다. 

256 + 3 x 5 - 2 + 3

256 + 15 - 2 + 3

이제 모든 덧셈과 밸셈을 왼쪽에서 오른쪽의 순서로 하면,

256 + 15 - 2 + 3 = 272

조류 사육장의 새의 수가 272 마리임을 있습니다

 

용어

이절의 학습에 사용된 용어들입니다.  .

수치식 (Expression)

           등호가 포함되지 아니한 연산의 수 문장(a number sentence with operations and no equals sign.)

방정식 (Equation)

          똑같은 두 양을 비교하는 수 문장. 이 식에는 등호가 포함되어 있으며, 해결해야 할 질문으로 작성될 수도 있다(a number sentence that compares two quantities that are the same. It has an equals sign in it and may be written as a question requiring a solution.)

연산의 순서 (Order of Operations)

          수치식이나 방정식에서 둘 이상의연산이 섞여 있을 때 그 연산을 수행하는 순서( the order that you perform operations when there is more than one in an expression or equation.)

P - 괄호(parentheses)

E - 지수(exponents)

MD - 곱셈과 나눗셈: 왼쪽에서 오른쪽으로(multiplication/division in order from left to right)

AS - 덧셈과 뺄셈: 왼쪽에서오른쪽으로(addition and subtraction in order from left to right)

 

연습

다음 연산을 각자 해보세요.

  6 + 8 x 4 - 11 + 6                     

33

 

비디오 복습

다음 2개의 비디오는 " 연산의 순서 " 학습에 도움을 줍니다 .  

킨(Khan) 아카데미의 연산의 순서 서론

제임스 소우사(James Sousa)의 연산의 순서 예제 1

제임스 소우사(James Sousa)의 연산의 순서 예제 2

 

추가연습

연산의 순서에 따라 다음 수치식의 답을 구하시오.

  1.    2 + 3 \times 4 + 7 = \underline{\;\;\;\;\;\;\;}

  2.   4 + 5 \times 2 + 9 - 1 = \underline{\;\;\;\;\;\;\;}

  3.   6 \times 7 + 2 \times 3 = \underline{\;\;\;\;\;\;\;}

  4.   4 \times 5 + 3 \times 1 - 9 = \underline{\;\;\;\;\;\;\;}  

  5.   5 \times 3 \times 2 + 5 - 1 = \underline{\;\;\;\;\;\;\;}

  6.   4 + 7 \times3 + 8 \times2 = \underline{\;\;\;\;\;\;\;}

  7.   9 - 3 \times 1 + 4 - 7 = \underline{\;\;\;\;\;\;\;}

  8.  10 + 3 \times 4 + 2 -8 = \underline{\;\;\;\;\;\;\;}

 9.   11 \times 3 + 2 \times 4 - 3 = \underline{\;\;\;\;\;\;\;}

10.   6 + 7 \times 8 - 9 \times 2 = \underline{\;\;\;\;\;\;\;}

11.   3 + 4^2 - 5 \times 2 + 9 = \underline{\;\;\;\;\;\;\;}

12.   2^2 + 5 \times 2 + 6^2 - 11 = \underline{\;\;\;\;\;\;\;}

13.   3^2 \times 2 + 4 - 9 = \underline{\;\;\;\;\;\;\;}

14.   6 + 3 \times 2^2 + 7 - 1 = \underline{\;\;\;\;\;\;\;}

15.   7 + 2 \times 4 + 3^2 - 5 = \underline{\;\;\;\;\;\;\;}

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