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1.1: Expresiones Variables

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Objetivos del Aprendizaje

En esta lección aprenderás a:

  • Evaluar expresiones algebraicas
  • Evaluar expresiones algebraicas que involucran exponentes.

Introducción – El lenguaje del Álgebra

¿Te gustaría resolver el mismo problema una y otra vez? ¿No? Bueno, no eres el único al que no le gustaría hacerlo. El Álgebra fue inventada por los matemáticos para encontrar la solución a un problema y utilizar dicha solución para resolver un grupo de problemas similares, evitando así la necesidad de partir “desde el principio” en cada uno de ellos. La gran idea del Álgebra es que, una vez que has resuelto un problema, puedes generalizar esa solución para resolver otros problemas similares.

En este curso, asumiremos que tú conoces y sabes aplicar correctamente las cuatro operaciones básicas de la aritmética. En aritmética, únicamente se utilizan números y sus operaciones básicas (tales como +, −, \times, \div). En Álgebra, los números (y algunas veces los procesos) son denotados por símbolos (tales como x, y, a, b, c, \ldots). Estos símbolos se conocen como variables.

La letra o variable  x , por ejemplo, a menudo será utilizada para representar algún número. Es importante que comprendas que el número representado por  x no tiene necesariamente un valor fijo o constante en los diferentes problemas donde pudiera utilizarse dicha variable. Por ejemplo, la variable  x puede usarse para representar un número cuyo valor se desconoce (para conocerlo debemos encontrar la solución de un problema determinado). Así también, la variable  x puede usarse para representar una cantidad que cambia, es decir que toma diferentes valores numéricos, dentro de un problema dado.

El uso de variables te ofrece las siguientes ventajas respecto al método (ineficiente por cierto) de resolver cada problema “desde el principio”:

  • Permite la formulación general de leyes aritméticas, tales como la conocida ley conmutativa  a+b=b+a para todo número real  a and  b .
  • Permite hacer referencia a números “desconocidos”, por ejemplo: Encuentre un número  x tal que  3x+1=10 .
  • Permite una escritura compacta para relaciones funcionales tales como, “Si tu vendes x boletos o pases, entonces tu ganancia serán  3x-10 dólares, o  f(x)=3x-10 ,” donde “ f ” es la función ganancia, y  x es la entrada (es decir, cuantos boletos vendes).

Ejemplo 1

Escribe una expresión algebraica para el perímetro y el área del rectángulo mostrado en la siguiente figura.

Para encontrar el perímetro, sumamos las longitudes de los 4 lados del rectángulo. Podemos comenzar dicha suma desde el vértice superior izquierdo y avanzar en sentido horario (sentido en que giran las manecillas del reloj). Por tanto, el perímetro,  P , es:

 P=l+w+l+w

Dado que estamos sumando  2 l's y  2 w's. Podemos decir, de manera equivalente:

 P=2\times l + 2\times w

Probablemente te resulte familiar el uso del símbolo  \cdot en lugar del símbolo  \times para indicar una multiplicación (conocida también como productO), así, tú puedes también escribir:

 P = 2 \cdot l + 2 \cdot w

Ahora bien, se acostumbra en álgebra omitir los simbolos de la multiplicación (o producto) siempre que sea posible. Por ejemplo,  11x significa exactamente lo mismo que  11 \cdot x o que  11 \times x . Por lo tanto, podemos escribir la expresión para P como:

 P = 2 l + 2w

Dado que el área de un rectángulo es longitud multiplicada por ancho, en términos algebraicos obtenemos la siguiente expresión:

A = l \times w \qquad \rightarrow \qquad A = l \cdot w \qquad \rightarrow \qquad A = lw

Nota: Un ejemplo de expresión variable es  2l+2w; un ejemplo de una ecuación es  P=2l+2w. La diferencia principal entre ecuaciones y expresiones es la presencia de un signo “igual que” (o signo de igualdad) (=).

En el ejemplo anterior, no hay formas más simples para las expresiones de perímetro y área. Ellas son, sin embargo, expresiones perfectamente generales para el perímetro y el área de un rectángulo. Ellas darán resultados correctos para cualesquiera valores numéricos de la longitud y el ancho de un rectángulo particular. Así, tu tienes, sencillamente, que sustituir los valores específicos de la longitud y ancho de un rectángulo real dentro de nuestras ecuaciones de perímetro y área. Este procedimiento es a menudo conocido como sustituyendo (or reemplazando) valores en una expresión. En este capítulo utilizaremos el proceso de sustitución para evaluar expressiones cuando se disponga de valores para las variables involucrdadas.

Evaluación de Expresiones Algebraicas

Cuando se tiene una expresión algebraica, uno de los procedimientos más comunes que tendremos que realizar con ella es evaluarla para algún valor númerico de la variable contenida en la expresión. El siguiente ejemplo ilustra este proceso.

Ejemplo 2

Sea x = 12. Encuentra el valor de 2x-7.

Para enconrar la solución, sustituimos 12 en  x dentro de la expresión dada. Cada vez que tu encuentres una x, entonces debes reemplazarla por 12. Nota: En esta etapa colocamos dicho valor entre paréntesis:

2x-7 & = 2(12)-7\\ & = 24-7\\ & = 17

La razón por la que colocamos el valor sustituto entre paréntesis es doble:

  1. Te hará más fácil comprender los problemas resueltos.
  2. Te evitará confusiones que podrían surgir cuando se omite el signo de la multiplicación:  2 \cdot 12 = 2(12) \neq 212 .

Ejemplo 3

Sea x = -1. Encuentra el valor de  -9x + 2.

Solución

-9(-1)+2 & = 9 + 2 \\& = 11

Ejemplo 4

Sea y = -2. Encuentra el valor de  \frac{7} {y} - 11y + 2.

Solución

  \frac{7} {(-2)} - 11(-2) + 2 &= -3\frac{1} {2} + 22 + 2 \\ &= 24 - 3 \frac{1} {2} \\ &= 20 \frac{1} {2}

Muchas expresiones tienen más de una variable en ellas. Por ejemplo, la fórmula para el perímetro de un rectángulo tiene dos varialbes: longitud (l) y ancho  (w) . En estos casos debes ser cuidadoso al sustituir el valor apropiado en la variable apropiada.

Ejemplo 5

El área de un trapezoide está dada por la ecuación A = \frac{h}{2} (a + b). Encuentra el área de un trapezoide con bases  a=10 \ cm, b=15 \ cm y altura  h=8 \ cm.

Para encontrar la solución a este problema, simplemente tomamos los valores proporcionados para cada variable,  a, b y  h , y los colocamos en la expresión de  A :

A & = \frac{h} {2}(a + b) & & \text{Se sustituye} \ 10 \ \text{en} \ a, \ 15 \ \text{en} \ b \ \text{y} \ 8 \ \text{en} \ h.\\A & = \frac{8} {2}(10 + 15) & & \text{Se eval}\acute{\text{u}}\text{a}\text{ cada parte}. \ (10 + 15) = 25; \frac{8} {2} = 4\\A & = 4(25) = 100

Solución: El área del trapezoide es 100 centímetros cuadrados

Ejemplo 6

Encuentra el valor de  \frac{1} {9} (5x + 3y + z) cuando x = 7, y = -2 y z = 11.

Sustituimos en dicha expresión los valores de x, y y z; a continuación, evaluamos la expresión resultante.

& \frac{1} {9} \left(5(7) + 3(-2) + (11) \right) & & \text{Se eval}\acute{\text{u}}\text{an los t}\acute{\text{e}}\text{rminos individuales que se encuentran dentro de los par}\acute{\text{e}}\text{ntesis}.\\& \frac{1} {9} \left(35 + (-6) + 11 \right) & & \text{Se realiza la suma de los t}\acute{\text{e}}\text{rminos que se encuentran dentro de los par}\acute{\text{e}}\text{ntesis}.\\& \frac{1} {9}(40) = \frac{40} {9} \approx 4.44

Solución  \approx 4.44 (redondeado a la centésima inmediata)

Ejemplo 7

La resistencia total de dos componentes electrónicos conectados en paralelo está dada por

\frac{R_1R_2} {R_1 + R_2}

donde R_{1} y R_{2} son las resistencias individuales (in ohmios) de los dos componentes. Encuentra la resistencia equivalente (resultante) de la conexión de los dos componentes si sus resistencias individuales son 30 ohmios y 15 ohmios.

Solución

& \frac{R_1R_2} {R_1 + R_2} & & \text{Se sustituyen los valores} \  R_1 =30 \ \text{and} \  R_2 = 15.\\& \frac{(30)(15)} {30 + 15} = \frac{450} {45} = 10 \ ohmios

La resistencia resultante de la conexión en paralelo de ambos componentes es 10 ohmios.

Evaluación de Expresiones Algebraicas que involucran Exponentes

Muchas fórmulas y ecuaciones en matemática contienen exponentes. Los exponentes son utilizados como una notación compacta de una multiplicación repetida. Por ejemplo:

2 \cdot 2 & = 2^{2}\\2 \cdot 2 \cdot 2 & = 2^{3}

El exponente indica las veces que el número es utilizado como factor (es decir, las veces que se ha multiplicado por sí mismo). Cuando trabajamos únicamente con números enteros, es usualmente más fácil el simplificar la expresión. Así, podemos simplificar:

2^{2}& =4\\& \ \text{y}\\2^{3}& =8

Sin embargo, necesitamos los exponentes cuando trabajamos con variables. Esto es así porque es mucho más fácil escribir x^{8} que x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x.

Para evaluar expresiones con exponentes, debes sustituir los valores numéricos dados en cada variable, y luego simplificar. Es especialmente importante en este caso usar paréntesis para efectuar la sustitución. Esto se hace con el fin de garantizar que la simplificación se realizará correctamente.

Ejemplo 8

El área de un círculo está dado por la fórmula A=\pi r^{2}. Encuentra el área de un círculo de radio r = 17 \ inches.

Sustituye los valores numéricos en la ecuación.

A & =\pi r^{2} & &  \text{Se sustituye 17}\ \text{en} \ r.\\A & =\pi (17)^{2} & &   \pi \cdot 17 \cdot 17 = 907.9202 \ldots \ \text{Se redondea a} \ 2  \ \text{posiciones decimales}.

El área es aproximadamente 907.92 pulgadas cuadradas.

Ejemplo 9

Encuentra el valor de  5x^2-4y para  x=-4 y  y=5 .

Sustituye los valores en la expresión dada:

5x^2 -4y & = 5(-4)^2-4(5) & & \text{Se sustituye} \ x=-4  \ \text{y} \  y=5.\\& =5(16)-4(5) & & \text{Se eval}\acute{\text{u}}\text{a el exponente}  \ (-4)^2 = 16.\\& = 80-20\\& = 60

Ejemplo 10

Encuentra el valor de  2x^2 -3x^2 +5, para  x=-5.

Sustituye el valor numérico de  x en dicha expresión:

2x^2 -3x^2 +5 & = 2(-5)^3 -3(-5)^2+5 & & \text{Se sustituye} \ -5  \ \text{en} \ x.\\& =2(-125)-3(25)+5 & & \text{Se eval}\acute{\text{u}}\text{an los exponentes}\\&&& (-5)^3 =(-5)(-5)(-5)=-125  \ \text{y} \ (-5)^2=(-5)(-5)=25 \\& = -250-75+5 \\& = -320

Ejemplo 11

Encuentra el valor de  \frac{x^2y^3} {x^3 + y^2}, para  x=2 y  y=-4.

Sustituye los valores numéricos de  x y  y en dicha expresión.

\frac{x^2y^3} {x^3 + y^2} & = \frac{(2)^2(-4)^3} {(2)^3 + (-4)^2}& & \text{Se sustituye} \  2 \ \text{en} \ x \ \text{y} -4 \ \text{en} \ y.\\\frac{4(-64)} {8 + 16} & = \frac{-256} {24} = \frac{-32} {3}& & \text{Se eval}\acute{\text{u}}\text{an las expresiones}: (2)^2 =(2)(2)=4 \ \text{y} \ (2)^3=(2)(2)(2)=8.\\& & & (-4)^2 =(-4)(-4)=16 \ \text{y} \ (-4)^3 = (-4)(-4)(-4) =-64.

Ejemplo 12

La altura (h) que alcanza una pelota (o balón) en vuelo conforme avanza, para un instante específico (t), está dada por la fórmula:  h= -32t^2 + 60t+20, donde la altura está expresada en pies y el tiempo (t) está expresado en segundos. Encuentra la altura alcanzada por la pelota para  t=2 segundos.

Solución

h & = -32t^2 +60t+20 & & \text{Se sustituye} \ 2 \ \text{en} \ t.\\& = -32(2)^2 + 60(2) + 20  \\& = -32(4) + 60(2) + 20 \\& = 12  \ pies

Ejercicios de Repaso

Escribe las siguientes expresiones en una forma más condensada, eliminando para ello el signo de la multiplicación.

  1.  2 \times 11x
  2.  1.35 \cdot y
  3.  3 \times \frac{1} {4}
  4.  \frac{1} {4} \cdot z

Evalúa las siguientes expresiones para a=-3, b=2, c=5 y d=-4.

  1.  2a + 3b
  2.  4c + d
  3.  5ac - 2b
  4.  \frac{2a} {c - d}
  5.  \frac{3b} {d}
  6.  \frac{a - 4b} {3c + 2d}
  7.  \frac{1} {a + b}
  8.  \frac{ab} {cd}

Evalúa las siguientes expresiones para x=-1, y=2, z=-3, y w=4.

  1.  8x^3
  2.  \frac{5x^2} {6z^3}
  3.  3z^2 - 5w^2
  4.  x^2 - y^2
  5.  \frac{z^3 + w^3} {z^3 - w^3}
  6.  2x^2 - 3x^2 + 5x -4
  7.  4w^3 + 3w^2 - w + 2
  8.  3 + \frac{1} {z^2}
  9. El costo semanal C de la fabricación x de controles remotos está dada por la fórmula C=2000+3x, donde el costo está dado en dólares.
    1. ¿Cuál es el costo de producir 1000 controles remotos?
    2. ¿Cuál es el costo de producir 2000 controles remotos?
  10. El volumen de una caja sin tapa está dado por la fórmula: V=4x(10-x)^2 donde x es una longitud en pulgadas y V es el volumen en pulgadas cúbicas.
    1. ¿Cuál es el volumen cuando x=2?
    2. ¿Cuál es el volumen cuando x=3?

Respuestas a los Ejercicios de Repaso

  1.  22x
  2.  1.35y
  3.  \frac{3} {4}
  4.  \frac{z} {4}
  5. 0
  6. 16
  7. -79
  8.  \frac{-2} {3}
  9.  \frac{-3} {2}
  10.  \frac{-11} {7}
  11. -1
  12.  \frac{3} {10}
  13. -8
  14.  \frac{-5} {162}
  15. -53
  16. -3
  17.  \frac{37} {-91}
  18. -14
  19. 302
  20.  3\frac{1} {9}
    1. $5000;
    2. $8000
    1. 512\ plg^3;
    2. 588\ plg^3

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