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1.2: Orden de las Operaciones Algebraicas

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Objetivos del Aprendizaje

En esta lección aprenderás a:

  • Evaluar expresiones algebraicas que contienen símbolos de agrupación.
  • Evaluar expresiones algebraicas que involucran barras de fracciones.
  • Evaluar expresiones algebraicas con una calculadora que posea modo gráfico.

Introducción

Observa y evalúa la siguiente expresión:

2+4 \times 7-1=?

¿De cuántas formas diferentes podemos interpretar este problema?, y ¿Cuántas respuestas diferentes podría alguien encontrar al resolverlo?

La forma más simple de evaluar dicha expresión es simplemente comenzar desde la izquierda y trabajar a tu manera las operaciones, obteniendo y utilizando cuidadosamente los resultados parciales que conformarán el total a medida que avanzas en el proceso de evaluación de la expresión:

 2+4 & =6 \\ 6 \times 7& =42\\ 42-1& =41

Si tu introdujeras la expresión original en una calculadora no científica que tampoco tiene modo de gráficos, probablemente obtendrás 41 como respuestra. Si, por otro lado introdujeras la expresión en una calculadora científica, o que puede graficar, probablemente obtendrás 29 como respuesta.

En matemática, el orden en que se realizan las diferentes operaciones (tales como sumar, multiplicar, etc.) es importante. En la expresión de arriba, la operación de multiplicación tiene precedencia (es decir, que debe realizarse antes) que la adición, así que la evaluamos primero. Tomando en cuenta esta regla de precedencia, re-escribamos la expresión original, pero colocando ahora la multiplicación entre paréntesis, ( ), para indicar que debe ser evaluada primero.

2+ ( 4 \times 7 ) -1=?

Así, evaluaremos primero la expresión dentro de los paréntesis: 4 \times 7 = 28. Entonces, nuestra expresión se convierte en:

2+(28)-1=?

Para el caso donde únicamente existan adiciones y sustracciones, sencillamente comenzamos desde la izquierda, obteniendo y utilizando los resultados parciales a medida que avanzamos en la evaluación de la expresión:

 2+28 &=30\\      30-1&=29

Los estudiantes de Álgebra a menudo usan el mnemónico (palabra que ayuda a recordar algo) “PEMDAS” para aplicar correctamente la precedencia de las operaciones al evaluar expresiones matemáticas: Paréntesis, Exponentes, Multiplicación, División, Adición y Sustracción.

Orden de las Operaciones

  1. Primero debemos evaluar las expresiones dentro de Paréntesis (por supuesto, también todos los corchetes [ ] y llaves { }).
  2. A continuación debemos evaluar todos los Exponentes (términos cuadráticos o cúbicos 3^2 or  x^3).
  3. Luego debemos evaluar, de izquierda a derecha, Multiplicaciones y Divisiones, completando ambas en el orden que ellas aparecen.
  4. Finalmente, debemos evaluar, de izquierda a derecha, Adiciones y Sustracciones completando ambas en el orden que ellas aparecen.

Evaluación de Expresiones Algebraicas que tienen símbolos de agrupación

Cuando una expresión algebraica tiene símbolos de agrupación, las expresiones contenidas en ellos deben evaluarse primero, antes que cualquier otra. En otras palabra, puede decirse que el primer paso en el orden de las operaciones es evaluar el contenido de los paréntesis, pero también debemos incluir el resto de símbolos de agrupación en este paso. Precisamente, aunque los paréntesis, ( ), serán utilizados mayoritariamente en este libro, probablemente puedes encontrar corchetes, [ ], y llaves, { }. Por supuesto, tambien debes evaluar las expresiones que contienen, como parte del primer paso.

Ejemplo 1

Evalúa las siguientes expresiones:

a) 4-7-11-2

b) 4-(7-11)+2

c) 4-[7-(11+2)]

Cada una de estas expresiones contiene los mismos números y las mismas operaciones matemáticas, y en el mismo orden. Sin embargo, la existencia de varios símbolos de agrupación significa que debemos evaluar las expresiones en un orden diferente para cada literal. Veamos cómo evaluaremos cada uno de estos ejemplos.

a) Esta expresión no contiene paréntesis. De acuerdo a PEMDAS, debemos evaluar adiciones y sustracciones,trabajando de izquierda a derecha, en el orden de aparecimiento de dichas operaciones, (PEMDAS NO debe interpretarse como hacer primero la suma y luego la sustracción, sino que sencillamente debemos evaluarlas en el orden en que aprecen dichas operaciones).

Solución

 4-7-11+2 & = -3-11+2\\ & = -(3+11)+2\\& = -14+2\\ & = -12

b) Esta expresión tiene paréntesis. Así, debemos evaluar primero la expresión que se encuentra dentro de ellos, 7-11=-4. Recuerda que restar un número negativo equivale a sumar un número positivo:

Solución

 4-(7-11)+2 & = 4-(-4)+2\\ & = 8+2\\ & = 10

c) A menudo los corchetes, [ ] son utilizados para agrupar expresiones que están contenidas entre paréntesis. La expresión del literal “c” posee tanto corchetes como paréntesis. En este caso debes evaluar primero el grupo más interno,  (11+2)=13 . Luego completa la expresión contenida en los corchetes.

Solución

 4-[7-(11+2)] & = 4-[7-(13)]\\ & = 4-[-6]\\ & = 10

Ejemplo 2

Evalúa las siguientes expresiones:

a) 3\times 5 -7 \div 2

b)  3\times (5-7)\div 2

c)  (3\times 5)-(7\div 2)

a) No hay símbolos de agrupación. PEMDAS indica que debemos evaluar primero las multiplicaciones y divisiones, trabajando de izquierda a derecha:  3\times 5=15;  7\div 2=3.5. (NOTA: PEMDAS no debe interpretarse como realizar primero la multiplicación y “luego” la división, sino que sencillamente debemos evaluarlas en el orden en que aparecen dichas operaciones) A continuación realizamos la sustracción:

Solución

 3\times 5-7\div 2 & = 15-3.5\\ & = 11.5

b) Primero, evaluamos la expresión dentro del paréntesis: 5-7=-2. Luego trabajamos la expresión resultante de izquierda a derecha.

Solución

 3\times (5-7) \div 2 & = 3\times (-2) \div 2\\ & = (-6) \div 2\\&=-3

c) Primero, evaluamos las expresiones dentro de los paréntesis: 3\times 5=15, 7\div 2=3.5. Luego trabajamos la expresión resultante de izquierda a derecha.

Solución

 (3\times 5) -(7\div 2) & = 15-3.5\\ & = 11.5

Nota que en la parte (c) el resultado no cambió con el uso de paréntesis, Pero la expresión es más fácil de leer. En general, los paréntesis pueden ser usados en dos formas distintas:

  • Para alterar el orden de las operaciones en una expresión dada
  • Para clarificar la expresión y hacerla más fácil de comprender

Algunas expresiones carecen de paréntesis, otras contienen mucho conjuntos de ellos. Algunas veces las expresiones tendrán conjuntos de paréntesis dentro de otros conjuntos de paréntesis. Cuando te encuentres en casos como este último, conocidos como casos de paréntesis anidados, comienza por el paréntesis más interno y, luego, trabaja hacia afuera.

Ejemplo 3

Utiliza el orden (precedencia) de las operaciones para evaluar:

 8-[19-(2+5)-7)]

Siguiendo PEMDAS – primero los paréntesis, comenzamos con los paréntesis más internos primero:

Solución

 8-(19-(2+5)-7)&=8-(19-7-7)\\& = 8-5\\&=3

En Álgebra, utilizamos el orden de las operaciones cuando hemos sustituido valores dentro de expresiones de variables. En esas situaciones tendremos una expresión algebraica dada, la cual involucara una o más variables, y también tendremos los valores numéricos a sustituir en las diferentes variables contenidas en dicha expresión. Una vez sustituímos dichos valores numéricos en las variables correspondientes, procedemos como en los ejemplos anteriores, aplicando las reglas de precedencia de PEMDAS.

Ejemplo 4

Utiliza el orden de las operaciones para evaluar la siguiente expresión algebraica:

a) 2-(3x+2) cuando x=2

b) 3y^2+2y-1 cuando y=-3

c) 2-(t-7)^2 \times (u^3 -v) cuando  t = 19, u = 4 y v = 2

a) El primer paso es sustituir el valor numérico específico de x dentro de la expresión dada. Con el fin de hacer más clara la expresión resultante, debemos colocar dicho valor dentro de paréntesis.

Solución

2-(3(2)+2) \qquad \qquad 3(2) \ \text{es lo mismo que} \ 3\times 2

Sigue la regla expresada en PEMDAS – Primero los paréntesis. Luego, dentro de los paréntesis, sigue nuevamente las reglas de precedencia de PEMDAS.

2-(3\times 2+2)& =2-(6+2)& & \text{Dentro de los par}\acute{\text{e}}\text{ntesis, evaluamos primero la multiplicaci}\acute{\text{o}}\text{n}.\\2-8& =-6 & & \text{ahora completamos la evaluaci}\acute{\text{o}}\text{n del par}\acute{\text{e}}\text{ntesis}.

b) El primer paso es que sustituyamos el valor numérico de y dentro de la expresión.

Solución

 3\times (-3)^2+2\times (-3)-1

De acuerdo con PEMDAS: No podemos debemos evaluar los exponentes (y no podemos simplificarlos)

& =3\times (-3)^2 +2 \times (-3)-1 & & \text{Evaluamos los exponentes}: (-3)^2=9\\& =3\times 9 +2 \times (-3)-1 & & \text{Evaluamos la multiplicaci}\acute{\text{o}}\text{n}: 3\times 9=27; 2\times -3=-6\\& =27+(-6)-1 & & \text{Evaluamos la adici}\acute{\text{o}}\text{n y sustracci}\acute{\text{o}}\text{n, en el orden}\\&&& \text{que aparecen, de izquierda a derecha}.\\& =27-6-1\\& =20

c) El primer paso es sustituir los valores específicos de  t ,  u , and  v dentro de la expresión.

Solución:

 2-(19-7)^2 \times (4^3 -2)

Siguiendo las reglas de PEMDAS:

& =2-(19-7)^2 \times (4^3-2) & & \text{Evaluando par}\acute{\text{e}}\text{ntesis}: (19-7)=12; (4^3 -2)=(64-2)=62\\& =2-12^2\times 62 & & \text{Evaluando exponentes}: 12^2=144\\& =2-144\times 62 & & \text{Evaluando la multiplicaci}\acute{\text{o}}\text{n}: 144 \times 62=8928\\& =2-8928 & & \text{Evaluando la sustracci}\acute{\text{o}}\text{n}.\\& =-8926

En la parte (b) mantuvimos paréntesis alrededor de números negativos para clarificar el problema. Dichos paréntesis no afectan el orden de las operaciones, pero ayudan a evitar confusiones cuando multiplicamos números negativos.

La parte (c) en el último ejemplo muestra otro punto interesante. Cuando tenemos una expresión dentro de paréntesis, utilizamos PEMDAS para determinar el orden en que se evaluarán los contenidos de dichos paréntesis.

Evaluando Expresiones Algebraicas que contienen Barras de Fracciones

Las barras de fracciones cuentan como símbolos de agrupación para PEMDAS, y por tanto deberían ser evaluadas primero cuando se está resolviendo una expresión. Un detalle muy importante es que que todos los numeradores y denominadores pueden tratarse como si estuvieran dentro de paréntesis invisibles. Cuando los paréntesis reales también están presentes, debes recordar que los símbolos de agrupación más internos deberían ser evaluados primero. Si, por ejemplo, los paréntesis aparecen en un numerador, ellos tienen mayor precedencia que la barra de fracción. Si los paréntesis aparecen fuera de la fracción, entonces la barra de la fracción tendrá la precedencia mayor.

Ejemplo 5

Usa el orden (precedencia) de las operaciones para evaluar las siguientes expresiones:

a)  \frac{z + 3} {4} - 1 Cuando z = 2

b)  \left(\frac{a + 2} {b + 4} - 1 \right) + b Cuando a =3 and b = 1

c)  2 \times \left(\frac{w + (x -2z)} {{(y + 2)}^2} - 1 \right) Cuando w =11, x=3, y=1 y z=-2

a) Sustituimos el valor numérico específico de z dentro de la expresión.

Solución:

 \frac{2 + 3} {4} - 1

Aunque esta expresión no posee paréntesis, la reescribiremos para mostrar el efecto de la barra de fracción.

 \frac{(2 + 3)} {4} - 1

Utilizando PEMDAS, evaluamos primero la expresión del numerador.

 \frac{5} {4} - 1

Podemos convertir \frac{5}{4} en un número mixto:

 \frac{5}{4}=1\frac{1}{4}

Luego evaluamos la expresión:

\frac{5}{4}-1=1\frac{1}{4} -1= \frac{1}{4}

b) Sustituimos los valores de a y b en la expresión:

Solución:

 \left( \frac{3 + 2} {1 + 4} - 1 \right) - 1

Esta expresión posee paréntesis anidados (debes recordar el efecto de la barra de fracción en el numerador y denominador). El símbolo de agrupación más interno es precisamente la barra de fracción. Por lo tanto, evaluaremos primero el numerador (3+2) y el denominador (1+4).

& \left (\frac{5} {5} - 1 \right ) - 1 & & \text{Ahora evaluamos el interior de los par}\acute{\text{e}}\text{ntesis, comenzando con la divisi}\acute{\text{o}}\text{n}.\\& (1 - 1) - 1 & & \text{A continuaci}\acute{\text{o}}\text{n evaluamos la sustracci}\acute{\text{o}}\text{n}.\\& 0 - 1 = -1

c) Sustituimos los valores de  w ,  x ,  y y  z dentro de la expresión:

Solución:

Esta complicada expesión tiene varias capas de paréntesis anidados. Un método para asegurarnos de que comenzamos con el paréntesis más interno es haciendo uso de más signos de agrupación. Así, podemos reescribir esta expresión, colocando diferentes signos de agrupación dentro del espacio definido por la barra de fracción. En particular, los signos de agrupación más externos serán paréntesis ( ). A continuación se colocarán los corchetes invisibles en la barra de fracción. Ellos serán escritos como [ ].Finalmente, el tercer nivel (más interno) de los paréntesis anidados serán las llaves { }. Así mismo, dejaremos los números negativos dentro de paréntesis.

& 2 \left(\frac{[11 + \left \{ \right . 3 - 2(-2)\left . \right \}]} {[\left \{ \right .1 + 2\left . \right \}^2]} - 1 \right) && \text{Comenzaremos con el signo de agrupaci}\acute{\text{o}}\text{n m}\acute{\text{a}}\text{s interno} \left \{ \right \}.\\& & &\left \{ \right . 1 + 2\left . \right \} = 3; \left \{ \right . 3 - 2(-2)\left . \right \} = 3 + 4 = 7 \\& 2 \left (\frac{[11 + 7]} {[3^2]} - 1 \right) & & \text{El siguiente nivel tiene dos corchetes a evaluar}.\\& 2 \left(\frac{18} {9} - 1 \right) & & \text{Ahora evaluaremos los par}\acute{\text{e}}\text{ntesis, comenzando por la divisi}\acute{\text{o}}\text{n}.\\& 2(2 - 1) & & \text{Finalmente, completamos la adici}\acute{\text{o}}\text{n y la sustracci}\acute{\text{o}}\text{n}.\\& 2 (1) = 2

Evaluación de Expresiones Algebraicas con la familia TI-83/84 de Calculadoras Graficadoras

Una calculadora graficadora es una herramienta muy útil para evaluar expresione algebraicas. En general una calculadora graficadora sigue las reglas de precedencia dadas por PEMDAS. En esta sección explicaremos dos formas para evaluar expresiones con una calculadora graficadora.

Método 1: Sustituye primero en la variable. Luego, evalúa la expresión numérica con la calculadora

Ejemplo 6

Evalúa [3(x^2 -1)^2 - x^4 +12]+5x^3 -1 cuando x=-3

Solución:

Sustituimos el valor x=-3 en la expresión.

[3((-3)^2 -1)^2 - (-3)^4 +12]+5(-3)^3 -1

Intoducimos esta expresión en la calculadora, tal como es, y presionamos [ENTER]. (Nota, utiliza ^ para los exponentes)

La respuesta es -13.

Método 2: Primero introduce la expresión algebraica original en la calculadora, y luego evalúala. Veamos el mismo ejemplo.

Evaluar [3(x^2 -1)^2 - x^4 +12]+5x^3 -1 cuando x=-3

Primero, se guarda el valor x=-3 en la calculadora digitamos -3 [STO]  x (La letra  x puedemos introducirla usando el botón  x -[VAR] o [ALPHA] + [STO]). Entonces digitamos la expresión en la calculadora y presionamos [ENTER].

La respuesta es -13.

El segundo método es mejor porque puedes evaluar fácilmente la misma expresión para cualquier valor que desees. Por ejemplo, evaluemos la misma expresión con los valores  x =2 y x= \frac{2}{3}.

Para  x =2, Guardamos el valor de  x en la calculadora: 2 [STO]  x . Presionamos dos veces [2nd] [ENTER] para poder obtener la expresión previa que digitamos en la pantalla sin tener que introducirla nuevamente. Luego, presionamos [ENTER] para evaluar.

La respuesta es 62.

Para  x=\frac{2}{3}, guardamos el valor de  x en la calculadora:  \frac{2} {3} [STO]  x . Presionamos [2nd] [ENTER] dos veces para obtener la expresión en la pantalla sin tener que introducirla de nuevo. Luego, presionamos [ENTER] para evaluar.

La respuesta es 13.21 o \frac{1070}{81} en forma de fracción.

Nota: En calculadoras gráficadoras, hay una diferencia enre el signo menos y el signo negativo. Cuando guardamos el valor tres negativo, necesitamos utilizar el signo negativo, el cual se encuentra a la izquierda de la tecla [ENTER] en la calculadora. Por otra parte, para realizar la operación de la sustracción en la expresión algebraica, utilizamos el signo menos. El signo menos se encuentra justo arriba y a la derecha del signo más.

Tu puedes también utilizar una calculadora graficadora para evaluar expresiones que poseen más de una variable.

Ejemplo 7

Evalúa la expresión:  \frac{3x^2 - 4y^2 + x^4} {\left(x + y\right)^{\frac{1}{2}}} para  x=-2,  y=1 .

Solución

Guarda los valores de  x y  y . -2 [STO]  x , 1 [STO]  y. Las letras  x y  y podemos introducirlas en la calculadora por medio de las teclas [ALPHA] + [KEY]. Ahora introduce la expresión en la calculadora. Cuando una expresión muestra la división de dos expresiones asegúrate de utilizar paréntesis: (numerator) \div (denominator)

Presiona [ENTER] para obtener la respuesta  -.8\bar{8} o  - \frac{8} {9}.

Ejercicios de Repaso

  1. Usa el orden de las operaciones para evaluar las siguientes expresiones.
    1. 8-(19-(2+5)-7)
    2. 2+7 \times 11-12 \div 3
    3. (3+7) \div (7-12)
    4.  \frac{2 \cdot (3 + (2 - 1))} {4 - (6 + 2)} - (3 - 5)
  2. Evalúa las siguientes expresiones que involucran variables.
    1.  \frac{jk} {j + k} cuando j=6 y k=12.
    2. 2y^2 cuando  x=1 y y=5
    3. 3x^2 +2x+1 cuando  x=5
    4.  (y^2-x)^2 cuando  x=2 y  y=1
  3. Evalúa las siguientes expresiones que involucran variables.
    1.  \frac{4x} {9x^2 - 3x +1} cuando  x=2
    2.  \frac{z^2} {x + y} + \frac{x^2} {x - y} cuando  x=1 ,  y=-2, y  z=4 .
    3.  \frac{4xyz} {y^2 - x^2} cuando  x=3 ,  y=2 , y  z=5
    4.  \frac{x^2 - z^2} {xz - 2x(z - x)} cuando  x=-1 and  z=3
  4. Inserta los paréntesis necesarios en cada expresión para obtener una ecuación válida.
    1. 5-2 \cdot 6-4+2=5
    2. 12 \div 4+10-3 \cdot 3 +7=11
    3. 22-32-5 \cdot 3-6=30
    4. 12-8-4 \cdot 5=-8
  5. Evalúa cada expresión por medio de una calculadora graficadora.
    1. x^2+2x-xy cuando  x=250 y  y=-120
    2. (xy-y^4)^2 cuando  x=0.02 y  y=-0.025
    3.  \frac{x + y - z} {xy + yz + xz} cuando  x=\frac{1}{2} ,  y=\frac{3}{2} , y  z=-1
    4.  \frac{(x + y)^2} {4x^2 - y^2} cuando  x=3 y y=-5d

Respuestas a los Ejercicios de Repaso

  1. 3
  2. 75
  3. -2
  4. -2
  1. 4
  2. 300
  3. 86
  4. 3
  1.  \frac{8}{31}
  2. -\frac{47}{3}
  3. -24
  4. -\frac{8}{5}
  1. (5-2)\cdot (6-5)+2=5
  2. (12\div 4)+10-(3 \cdot 3) +7=11
  3. (22-32-5) \cdot (3-6)=30
  4. 12-(8-4) \cdot 5 =-8
  1. 93000
  2. 0.00000025
  3. -\frac{12}{5}
  4. \frac{4}{11}

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