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Objetivos de aprendizaje

  • Encontrar el discriminante de una ecuación cuadrática.
  • Interpretar el discriminante de una ecuación cuadrática.
  • Resolver problemas del mundo real usando funciones cuadráticas e interpretando el discriminante.

Introducción

La ecuación cuadrática es ax^2 + bx + c = 0.

Puede ser resuelta usando la fórmula cuadrática  x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}} {2a}.

La expresión dentro de la raíz cuadrada es llamada el discriminante, D = b^2 - 4 \text{ac}. El discriminante puede ser usado para analizar los tipos de soluciones de una ecuación cuadrática sin necesidad de resolver la ecuación. A continuación se presentan algunas guías.

  • Si b^2 - 4ac > 0, obtenemos dos soluciones reales distintas.
  • Si b^2 - 4ac < 0, obtenemos soluciones no reales.
  • Si b^2 - 4ac = 0, obtenemos una solución real, una raíz doble.

Cálculo del discriminante de una ecuación cuadrática

Para encontrar el discriminante de una ecuación cuadrática calculamos D = b^2 - 4ac.

Ejemplo 1

Encontrar el discriminante de cada ecuación cuadrática. Luego establece cuantas soluciones tendrá la ecuación cuadrática sin resolverla.

a) x^2 - 5x + 3 = 0

b) 4x^2 - 4x + 1 = 0

c) -2x^2 + x = 4

Solución:

a) Sustituir a = 1, b = -5 y c = 3 en la fórmula del discriminante D = (-5)^2 - 4(1)(3) = 13.

Hay dos soluciones reales porque D > 0.

b) Sustituir a = 4, b = -4 y c = 1 en la fórmula del discriminante D = (-4)^2 - 4(4)(1) = 0.

Hay una solución real porque D = 0.

c) Reescribir la ecuación en forma estándar -2x^2 + x - 4 = 0.

Sustituir a = -2, b = 1 y c = -4 en la fórmula del discriminante D= (1)^2 - 4 (-2) (-4) = -31.

No existen soluciones reales porque D < 0.

Interpretación del discriminante de una ecuación cuadrática

El signo del discriminante nos dice la naturaleza de las soluciones (o raíces) de una ecuación cuadrática. Podemos obtener dos soluciones reales distintas si D> 0, soluciones no reales si D < 0 o una solución (llamada una “raíz doble”) si D = 0. Hacer memoria que el número de soluciones de una ecuación cuadrática nos dice cuantas veces una parábola intercepta el eje x-.

Ejemplo 2

Determina la naturaleza de las soluciones de cada ecuación cuadrática.

a) 4x^2 - 1 = 0

b) 10x^2 -3x = -4

c) x^2 - 10x + 25 = 0

Solución

Usar el discriminante para determinar la naturaleza de las soluciones para la ecuación cuadrática.

a) Sustituir a = 4, b = 0 y c = -1 en la fórmula del discriminante D = (0)^2 -4(4) (-1) = 16.

El discriminante es positivo, así que la ecuación tiene dos soluciones reales distintas.

Las soluciones para la ecuación son:  \frac{0 \pm \sqrt{16}} {8} = \pm \frac{4} {8} = \pm \frac{1} {2}.

b) Reescribir la ecuación en forma estándar 10x^2 - 3x + 4 = 0.

Sustiruir a = 10, b = -3 y c = 4 en la fórmula del discriminante D = (-3)^2 - 4(10) (4) = -151.

El discriminante es negativo, así que la ecuación tiene dos soluciones no reales.

c) Sustituir a = 1, b = -10 y c = 25 en la fórmula del discriminante D = (-10)^2 - 4(1) (25) = 0.

El discriminante es 0, así que la ecuación tiene una doble raíz.

La solución para la ecuación es \frac{10 \pm \sqrt{0}} {2} = \frac{10}{2} = 5.

Si el discriminante es un cuadrado perfecto, entonces las soluciones para la ecuación son números racionales.

Ejemplo 3

Determina la naturaleza de las soluciones de cada ecuación cuadrática.

a) 2x^2 + x - 3 = 0

b) -x^2 - 5x + 14 = 0

Solución

Usar el discriminante para determinar la naturaleza de las soluciones.

a) Sustituir a = 2, b = 1 y c = -3 en la fórmula del discriminante D = (1)^2 - 4(2)(-3) = 25.

El discriminante es un cuadrado perfecto positivo, por lo que las soluciones son dos números reales racionales.

Las soluciones para la ecuación son  \frac{-1 \pm \sqrt{25}} {4} = \frac{-1 \pm 5} {4}, así que x = 1 and  x = -\frac{3} {2}.

b) Sustituir a = -1, b = -5 y c = 14 en la fórmula del discriminante D = (-5)^2 - 4 (-1)(14) = 81.

El discriminante es un cuadrado perfecto positivo, así que las soluciones son dos números reales racionales.

Las soluciones para la ecuación son  \frac{5 \pm \sqrt{81}} {-2} = \frac{5 \pm 9} {-2}, por lo que x = -7 y x = 2.

Si el discriminante no es un cuadrado perfecto, entonces las soluciones para la ecuación son números irracionales.

Ejemplo 4

Determina la naturaleza de las soluciones para cada ecuación cuadrática.

a) -3x^2 + 4x + 1 = 0

b) 5x^2 - x - 1 = 0

Solución

Usar el discriminante para determinar la naturaleza de las soluciones.

a) Sustituir a = -3, b = 2 y c = 1 en la fórmula del discriminante D = (4)^2 - 4(-3)(1) = 28.

El discriminante no es un cuadrado perfecto positivo, así que las soluciones son dos números reales irracionales.

Las soluciones para la ecuación son  \frac{-2 \pm \sqrt{28}} {-6}, así que x \approx - 0.55 y x \approx 1.22.

b) Sustituir a = 5, b = -1 y c = -1 en la fórmula del discriminante D = (-1)^2 - 4(5) (-1) = 21.

El discriminante no es un cuadrado perfecto positivo, así que las soluciones son dos números reales irracionales.

Las soluciones para la ecuación son  \frac{1 \pm \sqrt{20}} {10}, así que x \approx 0.56 y x \approx -0.36.

Solución de problemas del mundo real usando funciones cuadráticas e interpretando el discriminante

Vimos que el cálculo del discriminante muestra qué tipos de soluciones posee una ecuación cuadrática. Conocer los tipos de soluciones es muy importante en problemas de aplicación.

Ejemplo 5

Marcus patea una pelota para conseguir un gol de campo. La altura de la pelota está dada por la ecuación  y  = - \frac{32}{6400} x^2 + x en donde y es la altura y x es la distancia horizontal que la pelota viaja. Queremos conocer si Marcus pateó la pelota lo suficientemente fuerte para que esta pasara sobre el poste de gol que se encuentra a 10 pies de altura.

Solución

Definir

Sea y = la altura de la pelota en pies

x = la distancia desde la pelota hasta el poste de gol.

Traducir Queremos conocer si es posible que la altura de la pelota sea igual a 10 pies a una distancia real desde el poste de gol.

 10 = - \frac{32} {6400} x^2 + x

Resolver

& \text{Escribir la ecuación en forma estándar}. & & -\frac{32} {6400} x^2 + x - 10 = 0\\ & \text{Simplificar}. & & -0.005x^2 + x - 10 = 0\\ & \text{Calcular el discriminante}. & & D = (1)^2 - 4 (-0.005) (-10)= 0.8

Ya que el discriminante es positivo, sabemos que es posible que la pelota pase sobre el poste de gol si Marcus la patea desde una distancia aceptable x desde el poste de gol. ¿Desde qué distancia puede él marcar un gol de campo? Ver el siguiente ejemplo.

Ejemplo 6 (continuación)

¿Cuál es la máxima distancia desde el poste de gol que él puede patear la pelota y hacer que esta pase sobre el poste de gol?

Solución

Necesitamos resolver para el valor de x usando la fórmula cuadrática.

 x = \frac{-1 \pm \sqrt{0.8}} {-0.01} \approx 10.6 \ \text{ó} \ 189.4

Esto significa que Marcus tiene que estar cerca de 189.4 pies o más lejos de 10.6 pies para anotar un gol. (¿Por qué hay dos soluciones para esta ecuación? Piensa acerca de la trayectoria de la pelota después que él la patea).

Ejemplo 7

Emma y Bradon tienen una fábrica que produce cascos para bicicletas. Su contador dice que sus ganancias por año están dadas por la función

P = 0.003x^2 + 12x + 27760

En esta ecuación x es el número de cascos producidos. Su meta es obtener ganancias de $40,000 este año. ¿Es esto posible?

Solución

Queremos saber si es posible que las ganancias sean iguales a $40,000.

40000 = -0.003x^2 + 12x + 27760

Resolver

& \text{Escribir la ecuación en forma estándar} & & -0.003x^2 + 12x - 12240 = 0\\ & \text{Calcular el discriminante}. & & D = (12)^2 - 4(-0.003) (-12240) = -2.88

Ya que el discriminante es negativo, sabemos que no hay soluciones reales para esta ecuación. Por consiguiente, no es posible para Emma y Bradon obtener ganancias de $40,000 este año sin importar cuántos cascos produzcan.

Ejercicios de repaso

Calcular el discriminante para cada ecuación cuadrática.

  1. 2x^2 - 4x + 5 = 0
  2. x^2 - 5x = 8
  3. 4x^2 - 12x + 9 = 0
  4. x^2 + 3x + 2 = 0
  5. x^2 - 16x = 32
  6. -5x^2 + 5x - 6 = 0

Determinar la naturaleza de las soluciones para cada ecuación cuadrática.

  1. -x^2 + 3x - 6 = 0
  2. 5x^2 = 6x
  3. 41x^2 - 31x - 52 = 0
  4. x^2 - 8x + 16 = 0
  5. -x^2 + 3x - 10 = 0
  6. x^2 - 64 = 0

Sin resolver la ecuación, determina si las soluciones serán racionales o irracionales.

  1. x^2 = - 4x + 20
  2. x^2 + 2x - 3 = 0
  3. 3x^2 - 11x = 10
  4.  \frac{1} {2} x^2 + 2x + \frac{2}{3} = 0
  5. x^2 - 10x + 25 = 0
  6. x^2 = 5x
  7. Marty se encuentra fuera del edificio donde se localiza su apartamento. Necesita darle a Yolanda su teléfono celular pero no tiene tiempo para subir por las escaleras al tercer piso para dárselo. Él lo lanza verticalmente con una velocidad de 55 pies/segundo. ¿Llegará el teléfono donde ella si se encuentra 36 pies arriba? (Ayuda: la ecuación para la altura está dada por y = -32t^2 + 55t + 4.)
  8. Bryson tiene un negocio donde fabrica y vende llantas. Las ganancias por la venta de llantas en el mes de julio están dadas por la función R = x(200 - 0.4x), en donde x es el número de llantas vendidas. ¿Puede el negocio de Bryson generar ganancias de $20,000 en el mes de julio?

Respuestas a los ejercicios de repaso

  1. D = -24
  2. D = 57
  3. D = 0
  4. D = 1
  5. D = 384
  6. D = -95
  7. D = -15 soluciones no reales
  8. D = 36 dos soluciones reales
  9. D = 9489 dos soluciones reales
  10. D = 0 una solución real
  11. D = -31 soluciones no reales
  12. D = 256 dos soluciones reales
  13. D = 96 dos soluciones reales irracionales
  14. D = 16 dos soluciones reales racionales
  15. D = 241 dos soluciones reales irracionales
  16. D = \frac{8}{3} dos soluciones reales irracionales
  17. D = 0 una solución real racional
  18. D = 25 dos soluciones reales racionales
  19. no

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