<meta http-equiv="refresh" content="1; url=/nojavascript/"> Gráficas de Funciones Raiz Cuadrada | CK-12 Foundation
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Objetivos de Aprendizaje

En esta sección aprenderás a:

  • Graficar y comparar funciones raíz cuadrada.
  • Desplazar gráficas de funciones raíz cuadrada.
  • Graficar funciones raíz cuadrada mediante el uso de una calculadora graficadora.
  • Resolver problemas del mundo real mediante funciones raíz cuadrada.

Introducción

En este capítulo, aprenderás sobre un tipo diferente de función llamada la función raíz cuadrada . Hemos visto que la obtención de la raíz cuadrada es muy útil para resolver ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo, para resolver la ecuación x^2 = 25 obtenemos la raíz cuadrada de ambos miembros de dicha ecuación,  \sqrt{x^2} = \pm \sqrt {25} , y obtenemos x =  \pm  5. Una función raíz cuadrada tiene la forma  y = \sqrt {f(x)}. En este tipo de función, la expresión f(x) que se encuentra, a su vez, expresada en términos de x, se encuentra dentro del signo de la raíz cuadrada(también llamdo el signo del “radical”).

Gráficas y Comparación de Funciones Raíz Cuadrada

La función raíz cuadrada es aquella donde, por primera vez, tendrás que tomar en cuenta el dominio de la función antes de proceder a graficarla. El dominio es muy importante porque la función raíz cuadrada no está definida si la expresión dentro del signo del radical (o, sencillamente, dentro de la raíz cuadrada) es negativa. La región (o conjunto) de valores de x que hacen que dicha expresión dentro de la raíz cuadrada sea negativa, no pertence, definitivamente, al dominio de la función. Como resultado, no habrá gráfica alguna para esa región (o conjunto) de valores de x.

Con el objetivo de comprender cómo se comportan las gráficas de la función raíz cuadra, es conveniente elaborar una tabla de valores y, luego, graficar los puntos de la misma.

Ejemplo 1

Graficar la función  y = \sqrt {x}.

Solución

Antes de hacer una tabla de valores, necesitamos determinar el dominio de esta función raíz cuadrada. Podemos encontrar el dominio fácilmente si nos damos cuenta que la función está definida únicamente para todos aquellos valores de x que hacen que la expresión dentro de la raíz cuadrada sea mayor o igual que cero. Así, encontramos que el dominio está constituido por todos aquellos valores de x tales que x \ge 0.

Esto significa que cuando elaboremos nuestra tabla de valores, únicamente debemos seleccionar aquellos valores de x que sean mayores o iguales que cero. Es muy útil incluir el valor de cero como el primer valor de la tabla, y luego incluir muchos valores mayores que cero. Esto nos ayudará a determinar cómo será la forma de la curva a graficar.

x y = \sqrt {x}
0 y = \sqrt {0} = 0
1 y = \sqrt {1} = 1
2 y = \sqrt {2} = 1.4
3 y = \sqrt {3} = 1.7
4 y = \sqrt {4} = 2
5 y = \sqrt {5} = 2.2
6 y = \sqrt {6} = 22.4
7 y = \sqrt {7} = 2.6
8 y = \sqrt {8} = 2.8
9 y = \sqrt {9} = 3

He aquí cómo luce la gráfica de esta tabla.

Las gráficas de funciones raíz cuadrada son siempre líneas curvas. La curva de arriba luce como la mitad de una parábola acostada de lado. En efecto, la función raíz cuadrada que hemos graficado arriba viene de la expresión y^2 = x.

Esta expresión está en la forma de la ecuación de una parábola, pero con las variables x y y intercambiadas. También debemos tener presente que cuando resolvemos esta expresión para y obtenemos dos soluciones:  y = \sqrt {x} y y = -  \sqrt {x}. La gráfica de arriba muestra únicamene la raíz cuadrada positiva de ésta respuesta.

Ejemplo 2

Graficar la función  y = - \sqrt {x}.

Solución

Una vez más debemos considerar primero el dominio de la función antes de graficarla. Podemos observar que la función está definida solamente para x \ge 0. Hagamos, pues, una tabla de valores y calculemos algunos valores de dicha función.

x y = - \sqrt {x}
0 y = - \sqrt {0} = -0
1 y = -  \sqrt {1} = -1
2 y = - \sqrt {2} = -1.4
3 y = - \sqrt {3}= -1.7
4 y = -  \sqrt {4}= -2
5 y = - \sqrt {5}= -2.2
6 y = - \sqrt {6}= -22.4
7 y = - \sqrt {7}= -2.6
8 y = - \sqrt {8}= 2.8
9 y = - \sqrt {9}= -3

He aquí la gráfica elaborada a partir de esta tabla.

Observa que si graficamos las dos funciones anteriores en el mismo sistema de ejes coordenados, el gráfico resultante luce como una parábola completa acostada de lado (parábola horizontal).

Ahora, comparemos las funciones raíz cuadrada que son múltiplos una de otra.

Ejemplo 3

Graficar las funciones  y = \sqrt {x}, y = 2 \sqrt {x}, y = 3 \sqrt {x}, y = 4 \sqrt {x} en la misma gráfica.

Solución

A continuación presentamos la gráfica. Se ha omitido la tabla de valores.

Si multiplicamos la función por una constante mayor que uno, la función se incrementa más rápidamente mientras mayor sea dicha constante.

Ejemplo 4

Graficar las funciones  y = \sqrt {x}, y = \sqrt {2x}, y = \sqrt {3x}, y = \sqrt {4x} en la misma gráfica.

Solución

Observa que al multiplicar por una constante la expresión que se encuentra dentro de la raíz cuadrada, se obtiene el mismo efecto que en el ejemplo anterior, pero la función se incrementea con una rapidez menor. Esto se debe al hecho de que la función se multiplica efectivamente por la raíz cuadrada de la constante. También observa que la gráfica de \sqrt {4x} es la misma que la de 2 \sqrt {2x}. Este resultado tiene sentido, algebraicamente hablando, dado que \sqrt {4} = 2.

Ejemplo 5

Graficar las funciones  y = \sqrt {x}, y = \frac {1}{2} \sqrt {x}, y = \frac {1}{3} \sqrt {x}, y = \frac {1}{4} \sqrt {x} en la misma gráfica.

Solución

Si multiplicamos la función por una constante cuyo valor se encuentre entre 0 y 1, entonces la función se incrementa con una rapidez menor para constantes más pequeñas.

Ejemplo 6

Graficar las funciones  y =2 \sqrt {x}, y = -2 \sqrt {x} en la misma gráfica.

Solución

Si multiplicamos la función por una constante negativa, la función raíz cuadrada se refleja con respecto al eje x.

Ejemplo 7

Graficar las funciones  y = \sqrt {x}, y = \sqrt {-x} en la misma gráfica.

Solución

Observa que, para la función  y = \sqrt {x}, el dominio está constituido por valores de x \ge 0. Mientras que, para la función  y = \sqrt {-x}, el dominio está constituido por valores de x \le 0.

Cuando multiplicamos el argumento de la función por una constante negativa, la función se ve reflejada con respecto al eje y.

Desplazamiento de Gráficas de Funciones Raíz cuadrada

Ahora, veamos lo que le ocurre a la función raíz cuadrada cuando sumamos constantes positivas y negativas a la función.

Examplo 8

Graficar las funciones  y = \sqrt {x}, y = \sqrt {x} + 2, y = \sqrt {x} - 2.

Solución

Vemos que la gráfica mantiene su forma original, pero se desplaza hacia arriba para constantes positivas, mientras que se desplaza hacia abajo para constantes negativas.

Ejemplo 9

Graficar las funciones  y = \sqrt {x}, y = \sqrt {x - 2}, y = \sqrt {x + 2}.

Solución

Cuando sumamos constantes al argumento de la función, la función se desplaza hacia la izquierda para constes positivas, mientras que se desplaza hacia la derecha para constantes negativas. Esto se debe a que el dominio también se desplaza y no puede existir un número negativo dentro de la raíz cuadrada.

Ahora grafiquemos algunos ejemplos adicionales de funciones raíz cuadrada.

Ejemplo 10

Graficar la función  y = 2 \sqrt {3x - 1} + 2.

Solución

En primer lugar, deteminemos el dominio de la función. La función está definida, únicamente si la expresión que se encuentra dentro de la raíz cuadrada es positiva. Es decir, debe cumplirse que 3x - 1 \ge 0, de donde se tiene que x \ge \frac{1}{3}.

A continuación haremos una tabla de valores de x que son mayores o iguales que \frac{1}{3}.

x y = 2 \sqrt {3x - 1} + 2
\frac{1}{3} y = 2 \sqrt {3 \cdot \frac {1}{3} - 1} + 2 = 2
1 y = 2 \sqrt {3(1) - 1} + 2 = 4.8
2 y = 2 \sqrt {3(2) - 1} + 2 = 6.5
3 y= 2 \sqrt {3(3) - 1} + 2 = 7.7
4 y = 2 \sqrt {3(4) - 1} + 2 = 8.6
5 y = 2 \sqrt {3(5) - 1} + 2= 9.5

He aquí la gráfica obtenida a partir de la tabla.

También puede resultar útil pensar que la gráfica de esta función es una combinación de desplazamientos y otras modificaciónes de la función raíz cuadrada básica  y = \sqrt {x}, tal como se explica a continuación.

Sabemos que la gráfica de la función raíz cuadrada básica luce como la mostrada abajo.

Si ahora multiplicamos su argumento por 3 para obtener  y = \sqrt {3x}, esta operación estira o dilata verticalmente la curva básica porque el valor de y se incrementa más rápidamente por un factor de  y = \sqrt {3}.

A continuación, cuando sustraemos el valor de 1 del argumento de la función obtenida en el paso anterior para obtener  y =  \sqrt {3x - 1}, resulta que esta operación desplaza toda la gráfica hacia la izquiera en una unidad.

Luego, al multiplicar la función recién conformada, por un factor igual a 2 para obtener  y = 2 \sqrt {3x - 1}, el resultado es, de nuevo, que la curva se estira o dilata verticalmente debido a que y se incrementa más rápido por un factor de 2.

Finalmente, si sumamos el valor de 2 a la función que acabamos de formar, para obtener  y =  \sqrt {3x - 1} + 2, resulta que ésta operación desplaza verticalmente toda la función en 2 unidades.

Este último método ha mostrado una forma de graficar funciones que no requiere elaborar una tabla de valores. Si conocemos cómo luce la función original, entonces podemos usar desplazamientos y estiramientos para transformarla función original y obtener el resultado deseado.

Graficar Funciones Raíz Cuadrada por medio de una Calculadora Graficadora

A continuación, mostraremos cómo utilizar una calculadora graficadora para trazar funciones raíz cuadrada.

Ejemplo 11

Graficar las siguienes funciones mediante una calculadora graficadora.

a)  y = \sqrt {x + 5}

b)  y = \sqrt {9 - x^2}

Solución:

En todos los casos, comenzaremos presionando la [tecla Y =] y luego introduciremos la función en la pantalla de función de la calculadora:

Entonce presionamos [GRAPH] para desplegar los resultados. Asegúrate que tu ventana está configurada apropiadamente para tener una vista adecuada de la función. Esto se logra presionando la tecla [WINDOW]y, luego, escogiendo valores apropiados para Xmin, Xmax, Ymin and Ymax.

a)

Los rangos de configuración de la ventana correspondiente a ésta gráfica son -6 \le x \le 5;\ -5 \le y \le 5.

El dominio de la función es x \ge -5

b)

Los rangos de configuración de la ventana correspondiente a ésta gráfica son -5 \le x \le 5; -5 \le y \le 5.

El dominio de la función es -3 \le x \le 3

Solución de Problemas del Mundo Real por medio de Funciones Raíz Cuadrada

El Péndulo

Los Matemáticos y Físicos han estudiado con gran detalle el movimiento de un péndulo, porque este movimiento explica el comportamiento de muchos fenómenos que encontramos en la naturaleza. Este tipo de movimiento es llamado movimiento armónico simple, el cual es muy importante porque describe todo aquello que que se repite periódicamente. Galileo fue la primera persona que estudió el movimiento de un péndulo alrededor del año 1600. Él descubrio que el tiempo que le toma a un péndulo completar una oscilación (es decir, un viaje de ida y vuelta al punto de inicio de la oscilación), no depende de su masa o de su ángulo de oscilación, siempre y cuando dicho ángulo sea pequeño. Más bien depende de la longitud del péndulo.

El tiempo que le toma a un péndulo realizar una oscilación completa (es decir, un viaje de ida y vuelta al punto de inicio de la oscilación) se denomina el período del péndulo.

Galileo determinó que el período de un péndulo es proporcional a la raíz cuadrada de su longitud  T = a \sqrt {L}. La constante de proporcionalidad depende de la aceleración de la gravedad  a = \frac{2\pi}{\sqrt{g}}. Así, al nivel del mar, en nuestro planeta Tierra, la aceleración de la gravedad es g = 9.81\ m/s^2 (metros por segundo al cuadrado). Si utilizamos este valor de aceleración de la gravedad, encontraremos que a = 2.0, y sus unidades son \frac{s}{\sqrt{m}} (segundos divididos por la raíz cuadrada de metros). Un dato interesante es que hasta mediados del siglo 20, todos los relojes utilizaban el péndulo como componente central del mecanismo que los mantenía funcionando.

Ejemplo 12

Graficar el período de un péndulo de un reloj que oscila en una casa ubicada en nuestro planeta, al nivel del mar, a medida que se cambia el valor de la longitud de dicho péndulo. ¿Cuál debería ser la longitud de este péndulo para que su período de oscilación fuese de un segundo?

Solución

La función que corresponde al período de un péndulo que se encuentra al nivel del mar es:  T = 2 \sqrt {L}.

Haremos, pues, una gráfica donde el eje horizontal represente la longitud del péndulo, mientras que el eje vertical represene el período del mismo. Debes observar que el dominio está constituido por valores de L tales que L \ge 0.

Comenzaremos elaborando una tabla de valores.

L T = 2 \sqrt {L}
0 T = 2 \sqrt {0} = 0
1 T = 2 \sqrt {1} = 2
2 T = 2 \sqrt {2} = 2.8
3 T = 2 \sqrt {3} = 3.5
4 T = 2 \sqrt {4} = 4
5 T = 2 \sqrt {5} = 4.5

Ahora grafiquemos la función.

Podemos ver del gráfico que, una longitud de aproximadamente \frac{1}{4} metros resulta en un período de un segundo. Podemos confirmar este resultado mediante nuestra función para el período, la cual evaluamos en T = 1 segundo.

 T = 2 \sqrt {L} \Rightarrow 1 = 2 \sqrt {L}

\text{Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación:} && 1 & = 4L\\\text{Resolviendo para L: } &&  L & = \frac{1}{4} \ metros

Ejemplo 13

Las pantallas “Cuadradas” de TV tienen una razón de aspecto de 4:3. Esto significa que por cada 4 pulgadas de longitud en el eje horizontal, existen 3 pulgadas de longitud en el eje vertical. Los tamaños de las pantallas de TV representan la longitud de la diagonal de la pantalla del televisor. Grafica la longitud de la diagonal de una pantalla como función del área de la misma. ¿Cuál es la longitud de la diagonal de una pantalla que tiene un área de 180\ plg^2?

Solución

Sean d = la longitud de la diagonal y x = la longitud horizontal.

4 \cdot \text{longitud vertical} & = 3 \cdot \text{longitud horizontal}\\& \text{O}\\\text{longitud vertical} & = \frac{3}{4}x.

El área de la pantalla es: A = \text{longitud} \cdot \text{ancho} ó A = \frac{3}{4}x^{2}

Encontraremos ahora cómo se relacionan la longitud de la diagonal y la longitud horizontal por medio del teorema de Pitágoras, a^{2} + b^{2} = c^{2}.

x^2 + \left( \frac {3}{4}x \right )^2 & = d^2 \\x^2 + \frac {9}{16}x^2 & = d^2 \\\frac {25}{16}x^2 & = d^2 \Rightarrow x^2  = \frac {16}{25}d^2 \Rightarrow x^2 = \frac {4}{5}d\\A & = \frac{3}{4} \left( \frac{4}{5}d \right)^2 = \frac {3}{4} \cdot \frac {16}{25}d^2 = \frac{12}{25} d^2

Podemos también encontrar la longitud de la diagonal como función del área  d^2 = \frac{25}{12}A ó  d = \frac{5}{2 \sqrt{3}} \sqrt{A}.

Ahora elaboraremos una gráfica donde el eje horizontal representa el área de la pantalla del televisor, mientras que el eje vertical representa la longitud de la diagonal de dicha pantalla. Comenzaremos primero con una tabla de valores.

A d = \frac{5}{2 \sqrt{3}} \sqrt{A}
0 0
25 7.2
50 10.2
75 12.5
100 14.4
125 16.1
150 17.6
175 19
200 20.4

De la gráfica podemos ver que cuando el área de una pantalla de TV es 180\ plg^2, entonces la longitud de la diagonal es, aproximadamene, igual a 19.5 pulgadas. Podemos confirmar este resultado al hacer a = 180 en la fórmula que relaciona la diagonal con el área.

 d = \frac{5}{2 \sqrt{3}} \sqrt{A} = \frac{5}{2 \sqrt{3}} \sqrt{180} = 19.4\ pulgadas

Ejercicios de Repaso

Graficar las siguientes funciones en el mismo sistema de ejes coordenados.

  1.  y = \sqrt {x},  y = 2.5 \sqrt {x} and  y = -2.5 \sqrt {x}
  2.  y = \sqrt {x}  y = 0.3 \sqrt {x}, and  y = 0.6 \sqrt {x}
  3.  y = \sqrt {x},  y = \sqrt {x - 5} and  y = \sqrt {x + 5}
  4.  y = \sqrt {x},  y = \sqrt {x} + 8 and  y = \sqrt {x} - 8

Graficar las siguientes funciones.

  1.  y = \sqrt {2x - 1}
  2.  y = \sqrt {4x + 4}
  3.  y = \sqrt {5 - x}
  4.  y = 2 \sqrt {x} + 5
  5.  y = 3 - \sqrt {x}
  6.  y = 4 + 2 \sqrt {x}
  7.  y = 2 \sqrt {2x + 3} + 1
  8.  y = 4 + 2 \sqrt {2 - x}
  9.  y = \sqrt {x + 1} - \sqrt {4x - 5}
  10. La aceleración de la gravedad también puede medirse en pies por segundo al cuadrado. Con dichas unidades, su valor es de g = 32\ pies/s^2 al nivel del mar. Se pide graficar el período de un péndulo con respecto a su longitud, la cual se mide en pies. ¿Para qué valor de la longitud, medida en pies, será el período de un péndulo igual a dos segundos?
  11. La aceleración de la gravedad en la Luna tiene un valor igual a 1.6 \ m/s^2. Se pide graficar el período de un péndulo localizado en la luna con respecto a su longitud, medida en metros. ¿Para qué valor de longitud, medida en metros, tendrá el péndulo un período igual a 10 segundos?
  12. La aceleración de la gravedad en Marte es de 3.69\ m/s^2. Se pide graficar el período de un péndulo ubicado en Marte con respecto a su longitud, la cual se mide en metros. ¿Para cuál valor de longitud, medida en metros, tendrá el péndulo un período igual a tres segundos?
  13. La aceleración de la gravedad sobre la Tierra depende de la longitud y latitud del lugar donde se mide. El valor de g es ligeramente menor en lugares cercanos al ecuador que en lugares cercanos a los polos. Así también, el valor de g es ligeramente menor en lugares ubicados en latitudes altas que en lugares situados en latitudes bajas. En Helsinki, el valor de g = 9.819\ m/s^2; en Los Angeles, el valor de g = 9.796\ m/s^2; mientras que en la Ciudad de México el valor de g = 9.779\ m/s^2. Se pide graficar, en la misma gráfica, el período de un péndulo con respecto a su longitud, para cada una de las tres ciudades mencionadas. Utilizar la fórmula del período para encontrar la longitud (medida en metros) de un péndulo que tiene un período de 8 segundos para cada una de las tres ciudades.
  14. La razón de aspecto de un TV de pantalla ancha es de 2.39:1. Graficar la longitud de la diagonal de una pantalla como función del área de la pantalla. ¿Cuál es el valor de la diagonal de una pantalla que tiene un área igual a 150\ plg^2?

Graficar las siguientes funciones mediante el uso de una calculadora graficadora.

  1.  y = \sqrt {3x - 2}
  2.  y = 4 + \sqrt {2 - x}
  3.  y = \sqrt {x^2 - 9}
  4.  y = \sqrt {x} - \sqrt {x + 2}

Respuestas a los ejercicios de repaso

L = 3.25 pies

L = 4.05 metros

L = 0.84 metros

Nota: Las diferencias son tan pequeñas que todas las líneas aparentan coincidir en la gráfica. Sin embargo, si lograses realizar un acercamiento podrías notar pequeñas diferencias entre ellas. Así, el período de un péndulo de 8 metros en Helsinki es de 1.8099 segundos; en Los Angeles es de 1.8142 segundos, y en la Ciudad de México es de 1.8173 segundos.

D = 20.5 pulgadas

15.92\ m Helsinki

15.88\ m Los Angeles

15.85\ m Ciudad de México

Ventana: -1 \le x \le 5; -5 \le y \le 5

Ventana: -5 \le x \le 5; 0 \le y \le 10

Ventana: -6 \le x \le 6; -1 \le y \le 10

Ventana: 0 \le x \le 5; -3 \le y \le 1

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