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Objetivos de Aprendizaje

En esta lección, aprenderás a:

  • Utilizar adecuadamente las propiedades de producto y cociente de los radicales.
  • Racionalizar el denominador de expresiones radicales
  • Sumar y restar expresiones radicales.
  • Multiplicar expresiones radicales
  • Resolver problemas del mundo real a través del uso de funciones raíz cuadrada

Introducción

Un radical efectúa la operación opuesta de elevar un número a una potencia. Por ejemplo, para encontrar el cuadrado de 4, escribimos 4^2 = 4 \cdot 4 = 16. El proceso opuesto es llamado obtención de la raíz cuadrada. El símbolo de la raíz cuadrada es  \sqrt{}. Este símbolo también es llamado el signo del radical . Así, la raíz cuadrada de un número es otro número que, a su vez elevado al cuadrado, da por resultado el número que se encontraba originalmente dentro del signo de la raíz cuadrada. Por ejemplo:

 \sqrt{9} = 3 && \text{dado que} && 3^2 = 3 \cdot 3 = 9

Los radicales diferentes a la raíz cuadrada a menudo tienen un número en la esquina superior izquierda del signo del radical. Dicho índice se conoce como índice del radical. Este índice expresa la raíz que debemos calcular. Así por ejemplo, las raíces cuadradas tienen un índice igual a 2. Es importante indicar, sin embargo, que precisamente en el caso de las raíces cuadradas, este índice no se escribe, ya que se sobreentiende que un radical sin índice es una raíz cuadrada.

 \sqrt[2]{36} = 6 && \text{puesto que} && 6^2 = 36

La raíz cúbica de un número es otro número que, a su vez, elevado al cubo (es decir, elevado a la tercera potencia), da por resultado el número que se encontraba originalmente dentro del signo del radical.

 \sqrt[3]{64} = 4 && \text{puesto que} && 4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64

La raíz cuarta de un número es otro número que, a su vez elevado a la cuarta potencia, da por resultado el número que se encontraba originalmente dentro del signo del radical.

 \sqrt[4]{81} = 3 && \text{puesto que} && 3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81

Raíces pares e impares

Los radicales que tienen índices pares se denominan raíces pares, mientras que los radicales que tienen índices impares se denominan raíces impares. Existe una diferencia muy importante entre raíces pares e impares, la cual consiste en que cada tipo de raíz proporciona resultados drásticamente diferentes cuando el número que se encuentra dentro del radical es negativo.

Cualquier número real, sea positivo o negativo, elevado a una potencia par resulta en una respuesta positiva (es decir, resulta en otro número que es positivo). Por lo tanto, cuando el índice de un radical es par, el número que se encuentra dentro del signo del radical debe ser no negativo para poder obtener un número real como respuesta.

Por otra parte, un número positivo elevado a una potencia impar resulta en otro número que también es positivo, mientras que un número negativo elevado a una potencia impar resulta en otro número que es negativo. Por consiguiente, un número negativo dentro de un radical de índice impar no presenta ningún problema, ya que sencillamente resulta en una respuesta con signo negativo.

Ejemplo 1

Evaluar cada uno de los siguientes expresiones radicales.

a) \sqrt {121}

b) \sqrt [3]{125}

c) \sqrt [4]{-625}

d) \sqrt [5]{-32}

Solución

a) \sqrt {121} = 11

b) \sqrt [3]{125} = 5

c) \sqrt [4]{-625} no es un número real

d) \sqrt [5]{-32} = -2

Usar las Propiedades de Producto y Cociente de los Radicales

Los radicales pueden escribirse como exponentes de potencias racionales. El radical  y = \sqrt[m]{a^n} también está definido como a^{\frac{n}{m}}.

Ejemplo 2

Escribir cada expresión como una potencia cuyo exponente es racional.

a) \sqrt {5}

b) \sqrt [4]{a}

c) \sqrt [3]{4xy}

d) \sqrt [6]{x^5}

Solución

a) \sqrt {5} = 5^{\frac{1}{2}}

b) \sqrt [4]{a} = a^{\frac{1}{4}}

c) \sqrt [3]{4xy} = (4xy)^{\frac{1}{3}}

d) \sqrt [6]{x^5} = x^{\frac{5}{6}}

Como resultado de esta propiedad, cualquier número no negativo  \sqrt [n]{a^n} = a^{\frac{n}{n}} = a.

Dado que las raíces de los números pueden tratarse como potencias, podemos usar las reglas de los exponentes para simplificar y evaluar expresiones formadas por radicales. Revisemos las reglas del producto y cociente para los exponentes.

\text{Elevando un producto a una potencia} && (x \cdot y)^n & = x^n \cdot y^n \\\text{Elevando un cociente a una potencia} && \left( \frac{x}{y} \right )^n & = \frac{x^n}{y^n}

En notación de radicales, estas propiedades son escritas como sigue:

\text{Elevando un producto a una potencia} && \sqrt [m]{x \cdot y} & = \sqrt [m]{x} \cdot \sqrt[m]{y} \\\text{Elevando un cociente a una potencia } && \sqrt [m]{ \frac{x}{y}}  & = \frac{ \sqrt [m]{x}}{\sqrt [m]{y}}

Una aplicación muy importante de estas reglas concierne a la reducción de un radical a su forma más simple. Esto se traduce en aplicar la raíz en todos los factores del número que producen raíces perfectas, dejando sin modifcar, y dentro del radical, a todos los factores que no producen raíces perfectas.

Por ejemplo, en la expresión \sqrt{16}, el número que se encuentra dentro del signo del radical es un cuadrado perfecto porque 16 = 4^2. Esto significa que podemos reducir (es decir, simplificar) el radical como sigue.

\sqrt {16} = \sqrt {4^2} = 4

Como puede verse, la raíz cuadrada desapareció completamente.

Por el contrario, en la expresión \sqrt{32}, el número 32 no es un cuadrado perfecto, por lo que no es posible eliminar la raíz cuadrada. Sin embargo, podemos observar que 32 = 16 \cdot 2. Por tanto, podemos escribir 32 como el producto de un cuadrado perfecto y otro número, como se ve a continuación:

\sqrt {32} = \sqrt {16 \cdot 2} = \sqrt {16 \cdot 2}

Si aplicamos la regla para “elevar un producto a una potencia”, obtenemos

\sqrt {32} = \sqrt {16 \cdot 2} = \sqrt {16} \cdot \sqrt{2}

Dado que  \sqrt{16} = 4, resulta entonces que  \sqrt {32} = 4 \cdot \sqrt{2} = 4 \sqrt{2}.

Ejemplo 3

Escribir la siguiente expresión en su forma radical más simple.

a)  \sqrt {8}

b)  \sqrt{50}

c)  \sqrt {\frac{125}{72}}

Solución

La estrategia consiste en escribir el número que se encuentra dentro de la raíz cuadrada como el producto de un cuadrado perfecto y otro número. La meta, entonces, sería encontrar el mayor cuadrado perfecto posible; sin embargo, si no es posible encontrarlo, podemos entonces repetir el procedimiento hasta que ya no sea posible continuar simplificando (reduciendo) la expresión.

a) Podemos escribir 8 = 4 \cdot 2 de modo que  \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2}

Al utilizar la regla para elevar un producto a una potencia, resulta que \sqrt{4 \cdot 2}= \sqrt{4} \cdot \sqrt{2}

Finalmente, otenemos \sqrt{8}=2 \sqrt{2}.

b) Podemos escribir 50 = 25 \cdot 2 de modo que  \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2}

Al utilizar la regla para elevar un producto a una potencia, resulta que  = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = \underline{\underline{5 \sqrt{2}}}

c) Utilizamos la regla para elevar un producto a una potencia para separar la fracción.

 \sqrt {\frac{125}{72}} = \frac {\sqrt {125}}{\sqrt{72}}

Reescribimos cada radical como el producto de un cuadrado perfecto y otro número.

= \frac{\sqrt {25 \cdot 5}}{9 \cdot 6} = \frac {5 \sqrt{5}}{3 \sqrt{6}}

El mismo método puede ser aplicado para reducir radicales de diferentes índices a su forma más simple.

Ejemplo 4

Escribir la siguiente expresión en su forma radical más simple.

a)  \sqrt {40}

b)  \sqrt [4]{\frac {162}{80}}

c)  \sqrt [3]{135}

Solución

En estos casos debemos buscar por el mayor cubo perfecto posible, la mayor cuarta potencia posible, etc., según lo sugiera el índice del radical.

a) Para este literal debemos encontrar el producto del mayor cubo perfecto posible y otro número. Así, escribimos

 \sqrt [3]{40} = \sqrt [3]{8 \cdot 5} = 2 \sqrt [3]{5}

b) Para este literal buscamos el producto de la mayor cuarta potencia posible y otro número.

\text{Reescribimos la expresi\'{o}n como el cociente de dos radicales} && \sqrt [4]{ \frac{162}{80}} & = \frac {\sqrt [4]{162}}{\sqrt [4]{80}} \\\text{Simplificamos cada radical separadamente} &&&   = \frac {\sqrt [4]{81 \cdot 2}}{\sqrt [4]{16 \cdot 5}} = \frac{ \sqrt [4]{81} \cdot \sqrt [4]{2}}{\sqrt [4]{16} \cdot \sqrt [4]{5}} & = \frac {3 \sqrt [4]{2}}{2 \sqrt [4]{5}} \\\text{Recombinamos la fracci\'{o}n que queda dentro del signo del radical} &&& = \frac {3}{2} \sqrt [4]{\frac {2}{5}}

c) Para este literal debemos buscar el producto del mayor cubo perfecto posible y otro número.

Con frecuencia no es muy fácil identificar la raíz perfecta en la expresión que se encuentra bajo el signo del radical.

Para este tipo de situaciones, podemos factorizar completamente el número que se encuentra bajo el signo del radical haciendo uso del árbol de factorización

Podemos observar que 135 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 3^3 \cdot 5

Por lo tanto  \sqrt [3]{135} = \sqrt [3]{3^3 \cdot 5}= \sqrt [3]{3^3} \cdot \sqrt [3]{5} = 3 \sqrt [3]{5}

A continuación presentamos algunos ejemplos que involucran variables algebraicas.

Ejemplo 5

Escribir la siguiente expresión en su forma radical más simple.

a)  \sqrt {12x^3y^5}

b)  \sqrt [4]{\frac {1250x^7}{405y^9}}

Solución

Trataremos las constantes y cada variable por separado, además escribiremos cada expresión como productos de potencias perfectas y otro número, de manera acorde al índice del radical.

a) \text{Reescribimos la expresi\'{o}n original como} && \sqrt {12x^3y^5} & = \sqrt {12} \cdot \sqrt {x^3} \cdot \sqrt{y^5} \\\text{un producto de radicales.}\\ \text{Simplificamos cada radical por separado.} && \left (\sqrt {4 \cdot 3}\right ) \cdot \left (\sqrt {x^2 \cdot x}\right ) \cdot (y^4 \cdot y) & = \left (2 \sqrt {3}\right ) \cdot (x \sqrt {x}) \cdot (y^2 \sqrt {y}) \\\text{Combinamos todos los t\'{e}rminos que se encuentran}&& & = 2xy^2 \sqrt{3xy}\\\text{fuera y dentro del signo del radical.}

b) \text{Reescribimos la expresi\'{o}n original como} && \sqrt [4]{\frac {1250x^7}{405y^9}} & = \frac{\sqrt[4]{1250x^7}}{\sqrt[4]{405y^9}} \\\text{un cociente de radicales}\\\text{Simplificamos cada radical por separado } &&&  =\frac{\sqrt[4]{625 \cdot 2}\cdot \sqrt[4]{x^4 \cdot x^3}}{\sqrt[4]{81 \cdot 5} \cdot \sqrt[4]{y^4 \cdot y^4 \cdot y}} = \frac{5 \sqrt[4]{2} \cdot x \cdot \sqrt[4]{x^3}}{3 \sqrt[4]{5} \cdot y \cdot \sqrt[4]{y}} & = \frac {5x\sqrt[4]{2x^3}}{3y^2 \sqrt[4]{5y}} \\\text{Recombinamos la fracci\'{o}n dentro de} && & =\frac{5x}{3y^2} \sqrt [4]{\frac {2x^3}{5y}}\\\text{un mismo signo radical}

Suma y Resta de Expresiones Radicales

Cuando sumamos y sustraemos expresiones radicales, podemos combinar términos radicales únicamente cuando tienen la misma expresión dentro de su respectivo signo del radical. Este es un procedimiento similar a combinar (es decir, reducir) términos semejantes en expresiones variables. Por ejemplo,

 4\sqrt{2} +  5 \sqrt{2} = 9 \sqrt{2} or  2 \sqrt{3} -   \sqrt{2}+ 5 \sqrt{3} + 10 \sqrt{2} = 7 \sqrt{3} + 9 \sqrt{2}

Es importante reducir todos los radicales a su expresión más simple con la finalidad de asegurarnos que estamos combinando todos los términos posibles de la expresión original. Por ejemplo, la expresión  \sqrt{8} - 2 \sqrt{50} luce como si no fuera posible ser simplificada debido a que no posee términos semejantes. Sin embargo, cuando escribimos cada radical en su forma más simple, tenemos que:

 2\sqrt{2} - 10 \sqrt{2}

Estos términos pueden ser combinados para obtener

 -8 \sqrt{2}

Ejemplo 6

Simplificar las siguientes expresiones lo más que se pueda.

a)  4 \sqrt{3} + 2\sqrt{12}

b)  10\sqrt{24} - \sqrt{28}

Solución

a)

\text{Simplificamos}\  \sqrt{12}\ \text{a su forma m\'{a}s simple.} &&&= 4\sqrt{3}+2\sqrt{4 \cdot 3} = 4\sqrt{3} + 2 \cdot 2\sqrt{3}=4 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} \\\text{Combinamos (reducimos) t\'{e}rminos semejantes.} &&&= 8 \sqrt{3}

b)

\text{Reducimos} \ \sqrt{24} \ \text{y} \ \sqrt{28} \ \text{a su forma m\'{a}s simple.} &&  = 10 \sqrt{6 \cdot 4} - \sqrt{7 \cdot 4}= 20 \sqrt{6} - 2 \sqrt{7}

Observamos que no existen términos semejantes.

Ejemplo 7

Simplificar las siguientes expresiones lo más que se pueda.

a)  4 \sqrt[3]{128} - 3 \sqrt [3]{250}

b)  3\sqrt{x^3} - 4x\sqrt{9x}

Solución

a) & \text{Reescribimos los radicales en t\'{e}rminos m\'{a}s sencillos.} && = 4 \sqrt[3]{2.64} - \sqrt[3]{2.125} = 16 \sqrt[3]{2} - 5 \sqrt[3]{2} \\& \text{Combinamos (reducimos) t\'{e}rminos semejantes.} && = 11 \sqrt[3]{2}

b) & \text{Reescribimos los radicales en t\'{e}rminos m\'{a}s sencillos.} && = 3 \sqrt{x^2 \cdot x}-4x \sqrt{9x} = 3x\sqrt{x} - 12x\sqrt{x} \\& \text{Combinamos (reducimos) t\'{e}rminos semejantes,} && = -9x \sqrt{x}

Multiplicación de Expresiones Radicales.

Cuando multiplicamos expresiones radicales, podemos utilizar con ventaja la regla para “elevar un producto a una potencia”  \sqrt[m]{x \cdot y}=  \sqrt[m]{x} \cdot \sqrt[n]{y}.

En este caso, aplicamos dicha regla de forma recíproca. Por ejemplo

 \sqrt{6} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{6 \cdot 8} = \sqrt{48}

Nos aseguramos que la respuesta se ecuentre expresada en su forma radical más simple

 \sqrt{48}=\sqrt{16 \cdot 3} = 4 \sqrt {3}

También podemos hacer uso del hecho que

 \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = \sqrt{a^2} = a.

Cuando multiplicamos expresiones que tienen números tanto fuera como dentro del signo del radical, tratamos por seprado los números que se encuentran dentro del signo del radical respecto de los que están fuera del signo del radical.

Por ejemplo

 a \sqrt{b} \cdot c \sqrt{d} = ac \sqrt{bd}.

Ejemplo 8

Multiplicar las siguientes expresiones.

a)  \sqrt{2}\left (\sqrt{3} + \sqrt{5}\right )

b)  \sqrt{5}\left (5 \sqrt{3} + 2 \sqrt{5}\right )

c)  2 \sqrt{x}\left (3 \sqrt{y} + \sqrt{x}\right )

Solución

En cada caso usamos la propiedad distributiva del producto para eliminar los paréntesis.

a)

\text{Distribuimos}\  \sqrt{2} \ \text{dentro de los par\'{e}ntesis.} && \sqrt{2}\left (\sqrt{3} + \sqrt{5}\right ) & = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} \\\text{Usamos la regla para “elevar un producto a una potencia”. } && & = \sqrt{2}\cdot \sqrt{3} + \sqrt{2}\cdot \sqrt{5} \\\text{Simplificamos. } && & = \sqrt{6}+\sqrt{10}

b)

\text{Distribuimos} \ \sqrt{5}\ \text{dentro de los par\'{e}ntesis.} && & = 5\sqrt{5} \cdot \sqrt{3} - 2 \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \\\text{Usamos la regla para “elevar un producto a una potencia”. } && 5 \sqrt{5 \cdot 3}- 2 \sqrt{5 \cdot 5}& = 5\sqrt{15}- 2 \sqrt{25} \\\text{Simplificamos.} && 5\sqrt{15} - 2 \cdot 5 &= 5 \sqrt{15} - 10

c)

\text{Distribuimos} \ 2 \sqrt{x} \ \text{dentro de los par\'{e}ntesis.} &&&= (2 \cdot 3)\left (\sqrt{x} \cdot \sqrt{y}\right ) - 2 \cdot \left (\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right ) \\\text{Multiplicamos} && & = 6\sqrt{xy}-2\sqrt{x^2} \\\text{Simplificamos} && & = 6\sqrt{xy}-2x

Ejemplo 9

Multiplicar las siguientes expresiones.

a)  \left (2+\sqrt{5}\right )\left (2- \sqrt{6}\right )

b) \left (2\sqrt{x}-1\right )\left (5-\sqrt{x}\right )

Solución

En cada caso utilizaremos la propiedad distributiva del producto para eliminar los paréntesis.

a)

& \text{Distribuimos dentro de los par\'{e}ntesis} && \left(2+\sqrt{5}\right )\left (2-\sqrt{6}\right ) = (2.2) - \left (2\cdot\sqrt{6}\right )+\left (2 \cdot \sqrt{5}\right )-\left (\sqrt{5}\cdot \sqrt{6}-\sqrt{30}\right ) \\& \text{Simplificamos.} && 4-2\sqrt{6}+2\sqrt{5} - 30

b)

& \text{Distribuimos.} && \left (2\sqrt{x}-1\right )\left (5-\sqrt{x}\right ) = 10 \sqrt{x}-2x-5+\sqrt{x} \\& \text{Simplificamos} && 11\sqrt{x}-2x-5

Racionalización del Denominador

A menudo, cuando trabajamos con radicales, obtenemos al final una expesión radical en el denominador de una fracción. Podemos simplificar tales expresiones aun más mediante la eliminación de la expresión radical del denominador de la expresión. Este proceso es conocido como racionalización del denominador.

Hay dos casos que examinaremos.

Caso 1 Existe una expesión radical simple en el denominador  \frac {2}{\sqrt{3}}.

En este caso, multiplicamos el numerador y denominador por una expresión radical que convierta la expresión que se encuentra dentro del signo radical en una potencia perfecta. Así, en presente caso, multiplicamos por la expresión  \sqrt{3}.

 \frac {2}{\sqrt{3}} \cdot \frac {\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac {2 \sqrt{3}}{3}

A continuación, examinamos la expresión  \frac {7}{\sqrt[3]{5}} .

en este caso, necesitamos hacer que el número que se encuentra dentro de la raíz cúbica sea un cubo perfecto. Para ello, necesitamos multiplicar tanto el numerador como el denominador por  \sqrt[3]{5^2}.

 \frac {7}{\sqrt[3]{5}} \cdot \frac{\sqrt[3]{5^2}}{\sqrt[3]{5^2}} = \frac{7^3 \sqrt{25}}{\sqrt[3]{5^3}} = \frac{7^3 \sqrt{25}}{5}

Caso 2 La expresión en el denominador es una expesión radical que contiene más de un término.

Considerar la expresión  \frac {2}{2+\sqrt{3}}

Con la finalidad de eliminar el radical del denominador, multiplicamos por  \left (2 - \sqrt{3}\right ). Esta es una buena elección porque la expresión  \left(2 + \sqrt{3}\right )\left (2 - \sqrt{3}\right ) es el producto de la suma por la diferencia de binomios, el cual se desarrolla como sigue:

\left (2 + \sqrt{3}\right )\left (2 - \sqrt{3}\right ) = 2^2 - \left (\sqrt{3}\right )^2 = 4-3=1

Así, cuando multiplicamos el numerador y denominador por  \left (2 - \sqrt{3}\right ) obtenemos:

 \frac {2}{2+ \sqrt{3}} \cdot \frac {2 - \sqrt{3}}{2- \sqrt{3}}= \frac{2\left(2 - \sqrt{3}\right )}{4-3}= \frac{4 - 2 \sqrt{3}}{1}

Ahora consideremos la expresión  \frac{\sqrt{x}-1}{ \sqrt{x}- 2 \sqrt{y}}.

Con el objetivo de eliminar las expesiones radicales en el denominador, debemos multiplicar por  \sqrt{x}+ 2 \sqrt{y}.

y obtenemos

\frac{\sqrt{x}-1}{ \sqrt{x}- 2 \sqrt{y}} \cdot  \frac{\sqrt{x}+ 2 \sqrt{y}}{\sqrt{x}+ 2 \sqrt{y}} & = \frac{\left (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+ 2 \sqrt{y}\right )}{\left (\sqrt{x} - 2 \sqrt{y}\right )\left (\sqrt{x}+ 2 \sqrt{y}\right )} \\& = \frac{x+ \sqrt{x}- 2\sqrt{xy}- 2\sqrt{y}} {x-4y}

Debemos observar que, en los dos casos anteriores, la expresión utilizada para multiplicar el denomindor y numerador de la expresión original se conoce como la expresión conjugada del denominador. Dicha expresión algebraica se caracteriza porque su segundo término es igual pero de signo opuesto al segundo término de la expresión original del denominador. Este es un procedimiento muy utilizado para racionalizar un denominador que consta de dos términos.

Resolver Problemas del Mundo Real por medio de Expresiones Radicales

Los radicales a menudo aparecen en problemas que involucran áreas y volúmenes de figuras geométricas.

Ejemplo 10

Una piscina (alberca) tiene una longitud que es el doble de su ancho. Además, está rodeada de una acera de ancho uniforme con valor igual a 1 pie. El área combinada de la piscina y la acera es igual a 400 pies cuadrados. Encontrar las dimensiones de la piscina, así como el área de la misma.

Solution

1. Realiza un bosquejo gráfico.

2. Sea x = el ancho de la piscina.

3. Escribe una ecuación.

\text{Área} = \text{longitud} \cdot \text{ancho}

Así, la longitud combinada de la piscina y la acera es = 2x + 2

de manera similar, el ancho combinado de la piscina y la acera es = x + 2

\text{Area} = (2x + 2)(x + 2)

Dado que el área combinda de la piscina y la acera tiene un valor de 400 \ ft^2, podemos escribir la ecuación.

(2x + 2)(x + 2) = 400

4. Resolvemos la ecuación: (2x + 2)(x + 2) = 400

\text{Multiplicamos ambos factores para} && 2x^2 + 4x +2x+ 4 & = 400\\\text{eliminar los par\'{e}ntesis.}\\\text{Reducimos (combinamos) los t\'{e}rminos semejantes.} && 2x^2 + 6x + 4 & = 400\\\text{Movemos todos los t\'{e}rminos al miembro} && 2x^2 + 6x - 396 & = 0\\\text{izquierdo de la ecuaci\'{o}n.}\\\text{Dividimos todos los t\'{e}rminos entre}\ 2. && x^2 + 3x - 198 & = 0\\\text{Usamos la f\'{o}rmula cuadr\'{a}tica.} && x &  = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\&& x  & = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-198)}}{2(1)} \\&& x  & = \frac{-3 \pm \sqrt{801}}{2} \approx \frac{-3 \pm 28.3}{2} \\&& x  & \approx 12.65 \text{ \'{o} } -15.65\ \text{pies}

5. Podemos ignorar la solución negativa, puesto que no tiene sentido en el presente contexto. Así, verificaremos nuestra respuesta de 12.65 sustituyéndola en la fórmula del área.

\text{\'{A}rea} = (2(12 \cdot 65)+2)+(12.65+2) = 27.3 \cdot 14.65 \approx 400\ \text{pies}^2.

La respuesta se ha comprobado (es válida).

Ejemplo 11

El volumen de una lata de soda, es de 355 \ cm^3. Dicha lata puede considerarse como un cilindro, y la altura del mismo es cuatro veces la longitud del radio de su base. Encontrar el radio de este cilindro.

Solución

1. Haz un bosquejo.

2. Sea x = el radio de la base del cilindro.

3. Escribe una ecuación.

El volumen del cilindro está dado por

 V = \pi r^2 \cdot h

4. Resuelve la ecuación. Recordando que x = es el radio de la base del cilindro

 355 &= \pi x^2 (4x) \\355 &= 4 \pi x^3 \\ x^3 &= \frac{355}{4\pi} \\ x &= \sqrt [3]{\frac{355}{4 \pi}} = 3.046 \ cm

5. Verifica el resultado, sustituyéndolo en la fórmula del volumen.

 V = \pi r^2 \cdot h = \pi (3.046)^2 \cdot (4 \cdot 3 \cdot 046)=355\ cm^3

De nuevo, el volumen es igual a 355 \ cm^3.

La respuesta ha sido comprobada (es válida).

Ejercicios de Repaso

Evaluar cada expresión radical.

  1.  \sqrt{169}
  2.  \sqrt[4]{81}
  3.  \sqrt[3]{-125}
  4.  \sqrt[5]{1024}

Escribir cada expresión como un exponente racional

  1.  \sqrt[3]{14}
  2.  \sqrt[4]{zw}
  3.  \sqrt{a}
  4.  \sqrt[9]{y^3}

Escribir las siguientes expresiones en su forma radical más simple

  1.  \sqrt{24}
  2.  \sqrt{300}
  3.  \sqrt[5]{96}
  4.  \sqrt{\frac{240}{567}}
  5.  \sqrt[3]{500}
  6.  \sqrt[6]{64x^8}
  7.  \sqrt[3]{48a^3b^7}
  8.  \sqrt[3]{\frac{16x^5}{135y^4}}

Simplificar las siguientes expresiones lo más que se pueda

  1.  3 \sqrt{8} - 6 \sqrt{32}
  2.  \sqrt{180} + 6 \sqrt{405}
  3.  \sqrt{6} - \sqrt{27} + 2 \sqrt{54} + 3 \sqrt{48}
  4.  \sqrt{8x^3} - 4x\sqrt{98x}
  5.  \sqrt{48a}+ \sqrt{27a}
  6.  \sqrt[3]{4x^3}+x\sqrt[3]{256}

Multiplicar las siguientes expresiones

  1.  \sqrt{6}\left (\sqrt{10}+\sqrt{8}\right )
  2.  \left (\sqrt{a}-\sqrt{b}\right )\left (\sqrt{a}+\sqrt{b}\right )
  3.  \left (2 \sqrt{x}+5\right )\left (2 \sqrt{x}+5\right )

Rationalizar el denominador.

  1.  \frac{7}{\sqrt 15}
  2.  \frac{9}{\sqrt 10}
  3.  \frac{2x}{\sqrt 5x}
  4.  \frac{\sqrt 5}{\sqrt 3y}
  5.  \frac{12}{2 - \sqrt 5}
  6.  \frac{6 - \sqrt 3}{4 - \sqrt 3}
  7.  \frac{x}{\sqrt 2+\sqrt x}
  8.  \frac{5y}{2\sqrt y-5}
  9. El volumen de un balón esférico es de 950 \ cm^3. Encuentra el radio de dicho balón. Recordar que (\text{Volumen de una esfera} = \frac{4}{3} \pi R^3).
  10. Una pintura rectangular tiene 9 pulgadas de ancho por 12 pulgadas de largo. La pintura tiene un marco de ancho uniforme. Si el área combinada de la pintura y el márco es de 180 \ pulgadas^2, ¿Cuál es el ancho del marco?

Respuestas a los Ejercicios de Repaso

  1. 13
  2. no tiene solución real (válida)
  3. -5
  4. 4
  5. 14^{\frac{1}{3}}
  6. z^{\frac{1}{4}}w^{\frac{1}{4}}
  7. a^{\frac{1}{2}}
  8. y^{\frac{1}{3}}
  9.  2 \sqrt{6}
  10.  10 \sqrt{3}
  11.  2 \sqrt[5]{3}
  12.  \frac{4}{9} \sqrt{\frac{15}{7}}
  13.  5 \sqrt[3]{4}
  14.  2x \cdot \sqrt[6]{x^2}
  15.  2ab^2 \sqrt[3]{\sqrt 6b}
  16.  \frac {2x}{3y} \sqrt {\frac{x^2}{5y}}
  17.  -18 \sqrt{2}
  18.  15 \sqrt{5}
  19.  7 \sqrt{6}+9 \sqrt {3}
  20.  -26x \sqrt {2x}
  21.  7 \sqrt{3a}
  22.  5x \sqrt[3]{4}
  23.  2\sqrt{15}+4\sqrt{3}
  24. a - b
  25.  4x+20 \sqrt{x} + 25
  26.  \frac{7 \sqrt{5}}{5}
  27.  \frac{9 \sqrt{10}}{10}
  28.  \frac{2 \sqrt{5x}}{5}
  29.  \frac{\sqrt{15y}}{3y}
  30.  -24 - 12 \sqrt {5}
  31.  \frac{27+10 \sqrt{3}}{13}
  32.  \frac{\sqrt{2x - x}}{2 - x}
  33.  \frac{10y \sqrt{y}+25y}{4y-25}
  34. R = 6.1 \ cm
  35. 1.5 pulgadas

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CK.MAT.SPA.SE.1.Algebra-I.11.2
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