<meta http-equiv="refresh" content="1; url=/nojavascript/"> Ecuaciones con Radicales | CK-12 Foundation
Dismiss
Skip Navigation
You are reading an older version of this FlexBook® textbook: Álgebra I - Edición Española Go to the latest version.

Objetivos de Aprendizaje

En esta lección aprenderás a:

  • Resolver ecuaciones con radicales.
  • Resolver ecuaciones que tienen radicales en ambos miembros.
  • Identificar soluciones extrañas de la ecuaciones con radicales.
  • Resolver problemas del mundo real mediante el uso de funciones raíz cuadrada.

Introducción

Cuando en una ecuación alguna o todas sus variables aparecen dentro de signos de radicales, dicha ecuación es llamada ecuación con radicales. Los primeros pasos para resolver una ecuanción con radicales involucran la realización de operaciones que eliminan los radicales, de modo que la ecuación original se transforma en una ecuación polinomial. Un método común para resolver ecuaciones radicales es aislar el radical más complejo en un miembro de la ecuación y elevar ambos lados de la misma a la potencia que elimina el signo del radical. Si, después e esta simplificación, persisten más radicales en la ecuación, entonces debemos repetir este procedimiento tantas veces como sea necesario hasta obtener una ecuación puramente polinomial, libre de signos de radicales. Una vez que la ecuación se ha convertido en polinomial, podemos resolverla con los métodos que ya conocemos.

Debemos ser cuidadosos cuando usamos este método, porque cada vez que elevamos una ecuación a una potencia, podríamos introducir soluciones no válidas que, de hecho, no son soluciones de la ecuación original. Estas son llamadas soluciones extrañas. Con el fin de asegurarnos que obtenemos las soluciones correctas, debemos comprobar todas las soluciones obtenidas en la ecuacion original.

Resolución de Ecuaciones con Radicales

Consideremos algunos ejemplos de ecuaciones con radicales donde solamente un radical aparece en la ecuación.

Ejemplo 1

Encuentra las soluciones reales (válidas) de la ecuación  \sqrt{2x - 1} = 5.

Solución

Dado que la expresión radical se encuentra aislada de antemano, elevamos ambos miembros de la ecuación al cuadrado, con el fin de eliminar el signo del radical.

 \left (\sqrt{2x - 1}\right )^2 = 5^2

\text{Recuerda que}\ \left (\sqrt{a}\right )^2 = a;\ \text{de modo que}  && 2x - 1 & = 25 \\\text{la ecuaci\'{o}n se simplifica a:} \\\text{Sumamos uno en ambos miembros.} && 2x & = 26 \\\text{Dividimos ambos miembros entre}\ 2. && x & = 13

Finalmente, necesitamos evaluar la ecuación original con esta solución, para verificar si ésta última es una solución real (válida).

 \sqrt{2x - 1} = \sqrt{2(13) - 1} = \sqrt{26 - 1} = \sqrt{25} = 5

La respuesta ha sido comprobada (es válida).

Ejemplo 2

Encontrar las soluciones reales (válidas) de \sqrt[3]{3 - 7x} - 3 = 0.

Solución

\text{Aislamos el radical en el miembro izquierdo de la ecuaci\'{o}n.} && \sqrt[3]{3 - 7x} & = 3\\ \text{Elevamos cada miembro de la ecuaci\'{o}n al cubo} && \left (\sqrt[3]{3 - 7x}\right )^3 & = 3^3 \\\text{(es decir, a la tercera potencia).} \\\text{Simplificamos.} && 3 - 7x & = 27 \\\text{Sustraemos}\ 3\ \text{de cada miembro. } && -7x & = 24 \\\text{Dividimos ambos miembros entre}\ –7. && x & = - \frac{24} {7}

Comprobamos

 \sqrt[3]{3 - 7x} - 3 = \sqrt[3]{3 - 7 \left (-\frac{24} {7}\right )} - 3 = \sqrt[3]{3 + 24} - 3 = \sqrt[3]{27} - 3 = 3 - 3 = 0.

La respuesta ha sido comprobada (es válida).

Ejemplo 3

Encontrar las soluciones reales (válidas) de \sqrt{10 - x^2} - x = 2.

Solución

\text{Aislamos el radical en el miembro izquierdo de la ecuaci\'{o}n.} && \sqrt{10 - x^2} & = 2 + x \\\text{Elevamos al cuadrado cada miembro de la ecuaci\'{o}n.} && \left (\sqrt{10 - x^2} \right) & = (2 + x )^2 \\\text{Simplificamos.} && 10 - x^2 & = 4 + 4x + x^2 \\\text{Movemos todos los t\'{e}rminos al miembro derecho de la ecuaci\'{o}n.} && 0 & = 2x^2 + 4x - 6 \\\text{Resolvemos la ecuaci\'{o}n por medio de la f\'{o}rmula cuadr\'{a}tica.} && x & = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(2) (-6)}} {6}\\ \text{Simplificamos.} &&& \frac{-4 \pm \sqrt{64}} {4} \\\text{Reducimos}\ \sqrt{64}\ \text{a su forma m\'{a}s simple.} && x & = \frac{-4 \pm 8} {4} \\\text{Dividimos todos los t\'{e}rminos entre }\ 2. && x & = 1\text{ \'{o} }x = -3

Comprobamos

 \sqrt{10 - 1^2} - 1  = \sqrt{9} - 1 = 3 - 1 = 2

Esta solución ha sido comprobada (es válida).

 \sqrt{10 - (-3)^2} - (-3) = \sqrt{1} + 3 = 1 + 3 = 4 \neq 2

Esta solución no es válida.

Por tanto, la ecuación tiene solo una solución real o válida, x = 1. La solución x = -3 es, entonces, una solución extraña de dicha ecuación.

Resolver Ecuaciones con Radicales en Ambos Miembros

A menudo las ecuaciones con radicales tienen más de un radical. La estrategia en estos casos es aislar el radical más complicado y elevar la ecuación a la potencia apropiada. Luego repetimos este procedimiento hasta que todos los signos del radical sean eliminados.

Ejemplo 4

Encontrar las raíces reales (válidas) de la ecuación  \sqrt{2x + 1} - \sqrt{x - 3} = 2.

Solución

\text{Aislamos uno de los radicales.} && \sqrt{2x + 1} & = 2 + \sqrt{x - 3} \\\text{Elevamos al cuadrado ambos miembros. } && \left (\sqrt{2x + 1} \right)^2 & = \left (2 + \sqrt{x - 3} \right)^2 \\\text{Eliminamos los par\'{e}ntesis. } && 2x + 1 & = 4 + 4\sqrt{x - 3} + x - 3 \\\text{Simplificamos.} && x & = 4\sqrt{x - 3} \\\text{Elevamos al cuadrado los dos miembros de la ecuaci\'{o}n. } && x^2 & = \left (4\sqrt{x - 3} \right)^2\\\text{Eliminamos los par\'{e}ntesis. } && x^2 & = 16(x - 3)\\\text{Simplificamos. } && x^2 & = 16x - 48 \\ \text{Movemos todos los t\'{e}rminos al miembro} && x^2 - 16x + 48 & = 0 \\\text{izquierdo de la ecuaci\'{o}n. }\\\text{Factorizamos. } && (x - 12) (x - 4) & = 0 \\\text{Resolvemos.} && x & = 12\text{ \'{o} }x = 4

Comprobamos

 \sqrt{2(12) + 1} - \sqrt{12 - 3} = \sqrt{25} - \sqrt{9} = 5 - 3 = 2

Esta solución ha sido comprobada (es válida).

 \sqrt{2(4) + 1} - \sqrt{4 - 3} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2

Esta otra solución también es válida.

Por lo tanto, la ecuación tiene dos soluciones: x = 12 y x = 4.

Identificación de Soluciones Extrañas de Ecuaciones con Radicales

Vimos en el capítulo 3 que algunas de las soluciones que encontramos al resolver ecuaciones de radicales no eran reales (válidas) cuando sustituíamos las soluciones obtenidas en la ecuación original. Dichas soluciones no válidas son llamadas soluciones extrañas. Es muy importante comprobar las soluciones (respuestas) que obtenemos mediante la sustitución de las soluciones obtenidas en la ecuación original. De esta forma, podremos distinguir las soluciones reales (válidas) de las extrañas de dicha ecuación.

Ejemplo 5

Encontrar las raíces reales (válidas) de la ecuación  \sqrt{x - 3} - \sqrt{x} = 1.

Solución

\text{Aislar una de las expresiones radicales. } && \sqrt{x - 3} & = \sqrt{x} + 1 \\\text{Elevar al cuadrado ambos miembros de la ecuaci\'{o}n. } && \left (\sqrt{x - 3} \right)^2 & = \left (\sqrt{x} + 1 \right)^2 \\\text{Eliminamos los par\'{e}ntesis. } && x - 3 & = \left(\sqrt{x} \right)^2 + 2 \sqrt{x} + 1 \\\text{Simplificamos. } && x - 3 & = x + 2\sqrt{x} + 1 \\\text{Ahora aislamos el radical remanente. } && -4 & = 2\sqrt{x} \\\text{Dividimos todos los t\'{e}rminos entre }\ 2. && -2 & = \sqrt{x} \\\text{Elevamos al cuadrado ambos miembros.} && x & = 4

Verificamos la solución obtenida

 \sqrt{4 - 3} - \sqrt{4} = \sqrt{1} - 2 = 1 - 2 = -1

La solución no es válida.

La solución no tiene soluciones reales. Por tanto, x = 4 es una solución extraña.

Resolver Problemas del Mundo Real mediante Ecuaciones con Radicales

Las ecuaciones con radicales a menudo aprecen en problemas que involucran áreas y volúmenes de objetos.

Ejemplo 6

El huerto (jardín de vegetales) de Anita es cuadrado y tiene un área que es 21 pies cuadrados mayor que el el huerto cuadrado de Fred. Anita y Fred deciden hacer un fondo común con su dinero y compran el mismo tipo de materiales para cercar sus huertos. Si ellos necesitan 84 pies de cerca, ¿Cuál es el área de sus respectivos huertos ?

Solución

1. Hacer un bosquejo

2. Definir las variables

Sea x el área del huerto de Fred

Sea, por tanto, x + 21 el área del huerto de Anita

Por tanto,

La longitud de cada lado del huerto de Fred es  \sqrt {x}

Mientras que la longitud de cada lado del huerto de Anita es  \sqrt {x+21}

3. Encontrar una ecuación

La longitud total de cerca es igual a los perímetros combinados de los dos huertos.

 4\sqrt {x}+4\sqrt {x+21}=84

4. Resolver la ecuación

\text{Se dividen todos los t\'{e}rminos entre}\ 4. && \sqrt {x}+\sqrt {x+21} & = 21 \\\text{Se aislan las expresiones radicales.} && \sqrt {x+21} & = 21-\sqrt {x} \\\text{Se elevan al cuadrado ambos miembros.} &&\left (\sqrt {x+21}\right )^2 & = (21-\sqrt {x})^2 \\\text{Se eliminan los par\'{e}ntesis.} && x+21 & = 441-42\sqrt {x}+x \\\text{Se aisla la expesi\'{o}n radical.} && 42\sqrt {x} & = 420 \\\text{Se dividen ambos lados entre }\ 42.  && \sqrt {x} &= 10\\\text{Se elevan al cuadrado ambos miembros.} && x & = 100\ pies^2

5. Comprobar la respuesta

 4\sqrt{100}+4\sqrt{100+21}=40+44=84

La respuesta ha sido comprobada (es válida).

El huerto de Fred es 10\ pies \times 10\ pies = 100\ pies^2, mientras que el huerto de Anita es 11 \ pies \times 11\ pies = 121\ pies^2.

Ejemplo 7

Una esfera tiene un volumen de 456\ cm^3. Si el radio de la esfera se incrmenta en 2 cm, ¿Cuál es el nuevo volumen de la esfera?

Solución

1. Hacer un bosquejo. Dibujemos una esfera.

2. Definir variables. Sea R = el radio de la esfera.

3. Encontrar una ecuación.

El volumen de una esfera está dado por la fórmula:

 V=\frac {4}{3}\pi r^3

4. Resolver la ecuación.

\text{Se sustituye el valor del volumen en la ecuaci\'{o}n.} && 456 & = \frac {4}{3}\pi r^3\\\text{Se multiplican ambos miembros por}\ 3. && 1368 & = 4\pi r^3\\\text{Se dividen ambos miembros entre}\ 4 \pi. && 108.92 & = r^3 \\\text{Se obtiene la ra\'{i}z c\'{u}bica de cada miembro.} && r & = \sqrt [3]{108.92}\Rightarrow r=4.776\ \text{cm} \\\text{El nuevo radio es 2 cent\'{i}metros mayor.}&& r & = 6.776\ \text{cm} \\\text{El nuevo volumen es } && V & = \frac {4}{3}\pi (6.776)^3 =1302.5\ \text{cm}^3

5. Comprobar el resultado

Sustituyamos los valores del radio en la fórmula del volumen

 V=\frac {4}{3}\pi r^3=\frac {4}{3}\pi (4.776)^3=456\ cm^3.

La solución se ha comprobado (es válida).

Ejemplo 8

La energía cinética de un objeto de masa m y velocidad v está dada por la fórmula  KE=\frac {1}{2}mv^2. Una pelota de béisbol tiene una masa de 145 kg y su energía cinética, medida cuando impacta en el guante del catcher, es de 654 Joules (1\ Joule = 1\ kg \cdot m^2/s^2). ¿Cuál es la velocidad de la bola cuando impacta en el guante del catcher?

Solución

  1. Se comienza con la fórmula.  KE=\frac {1}{2}\ mv^2
  2. Se evalúa dicha ecuación con los valores conocidos de masa y energía cinética.  654\frac {kg  \cdot m^2}{s^2}=\frac {1}{2}(145\ kg)v^2
  3. Se multiplican ambos miembros de la ecuación por 2. 1308\frac {kg \cdot m^2}{s^2}=(145\ kg)v^2
  4. Se dividen ambos miembros entre 145 kg.  9.02\frac {m^2}{s^2}=v^2
  5. Se obtiene la raíaz cuadrada de ambos miembros. v=\sqrt{9.02}\sqrt {\frac {m^2}{s^2}}=3.003 \ m/s
  6. Comprobar la respuesta Se sustituyen los valores de masa y velocidad en la fórmula de la energía cinética.

 KE=\frac {1}{2}\ mv^2=\frac {1}{2}(145\ kg)(3.003\ m/s)^2 =654 \ kg \cdot m^2/s^2

Ejercicios de Repaso

Encuentra las soluciones de cada una de las ecuaciones con radicales siguientes. Identifica las soluciones extrañas.

  1.  \sqrt {x+2}-2=0
  2.  \sqrt {3x-1}=5
  3.  2\sqrt {4-3x}+3=0
  4.  \sqrt [3]{x-3}=1
  5.  \sqrt [4]{x^2-9}=2
  6.  \sqrt [3]{-2-5x}+3=0
  7.  \sqrt {x}=x-6
  8.  \sqrt {x^2-5x}-6=0
  9.  \sqrt {(x+1)(x-3)}=x
  10.  \sqrt {x+6}=x+4
  11.  \sqrt {x}=\sqrt {x-9}+1
  12.  \sqrt {3x+4}=-6
  13.  \sqrt {10-5x}+\sqrt {1-x}=7
  14.  \sqrt {2x-2}-2\sqrt{x}+2=0
  15.  \sqrt {2x+5}-3\sqrt {2x-3}=\sqrt{2-x}
  16.  3\sqrt {x}-9=\sqrt {2x-14}
  17. El área de un triángulo es 24\ plg^2 y la altura del triángulo es el doble de la longitud de su base. ¿Cuál es el valor de la longitud de la base y la altura del triángulo?
  18. El área de un disco circular es de 124\ plg^2. ¿Cuál es el valor de la circunferencia (perímetro) del disco? (\text{\'{A}rea} =\pi r^2, \text{Circunferencia} = 2 \pi r).
  19. El volumen de un cilindro es 245\ cm^3 y la altura del mismo es un tercio del diámetro de su base. Si el diámetro del cilindro permanece igual, pero la altura del mismo se incrementa en dos centímetros. ¿Cuál es el volumen del nuevo cilindro? (\text{Volumen} = \pi r^2 \cdot h )
  20. La altura, medida con respecto al suelo, de una pelota de golf, a medida que viaja a través del aire, está dada por la ecuación h = –16 t^2 + 256; donde t es el tiempo transcurrido desde el instante en que fué golpeada por el palo de golf. Encuentra el tiempo que ha transcurrido para que dicha pelota alcance una altura de 120 pies.

Respuestas a los Ejercicios de Repaso

  1. x = 2
  2. x = \frac{26}{3}
  3. No hay solución real, la solución extraña es x = \frac{7}{12}
  4. x = 4
  5. x = 5 or x = -5
  6. x = 5
  7. x = 9, la solución extraña es x = 4
  8. x = 9 or x = -4
  9. No hay solución real, la solución extraña es x = -\frac{3}{2}
  10. x = -2, la solución extraña es x = -5
  11. x = 25
  12. No hay solución real, la solución extraña es x = \frac{32}{3}
  13. x = - 3, la solución extraña es x = -\frac{117}{4}
  14. x = 9, x = 1
  15. x= 2, x = \frac{62}{33}
  16. x = 25, la solución extraña es x = \frac{361}{49}
  17. \text{Base} = 4.9\ plg, \text{Height} = 9.8\ plg
  18. \text{Circunferencia} = 39.46\ plg
  19. \text{Volumen} = 394.94\ cm^3
  20. \text{Tiempo} = 2.9\ segundos

Image Attributions

You can only attach files to None which belong to you
If you would like to associate files with this None, please make a copy first.

Reviews

Please wait...
Please wait...
Image Detail
Sizes: Medium | Original
 
CK.MAT.SPA.SE.1.Algebra-I.11.3

Original text