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11.4: El Teorema de Pitágoras y su Recíproco

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Objetivos de Aprendizaje

En esta lección, aprenderás a:

  • Utilizar el Teorema de Pitágoras.
  • Usar el recíproco del Teorema de Pitágoras.
  • Resolver problemas del mundo real mediante la aplicación del Teorema de Pitágoras y su recíproco.

Introducción

El Teorema de Pitágoras establece cómo se relacionan entre sí los lados de un triángulo rectángulo. Un triángulo rectángulo es aquél que contiene un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados. El lado opuesto a dicho ángulo es llamado la hipotenusa, mientras que los lados del triángulo que son adyacentes a dicho ángulo recto se llaman los catetos.

Si a y b denotan los catetos del triángulo rectángulo, mientras que c denota la hipotenusa, tal como se muestra en la figura de arriba, entonces el teorema de Pitágoras puede ser establecido como:

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de su hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de sus catetos.

Esto es,

(\text{cateto}_1)^2 + (\text{cateto}_2)^2 = (\text{hipotenusa})^2

O bien, utilizando las letras dadas en el trángulo de arriba:

a^2 + b^2 = c^2

Este teorema es muy útil porque si conocemos las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo, podemos encontrar la longitud de su hipotenusa. Recíprocamente, si conocemos la longitud de su hipotenusa y la longitud de uno de los catetos, podemos calcular la longitud del otro cateto de dicho triángulo. Cuando haces uso del Teorema de Pitágoras, no importa cuál cateto denotas por a y cuál denotas por b. Sin embargo, la hipotenusa siempre es denotada por c.

Aunque hoy en día usamos el Teorema de Pitágoras como un enunciado sobre la relación que existe entre distancias y longitudes, originalmente dicho teorema se refería a relaciones entre áreas. Si construyeramos cuadrados sobre cada lado del triángulo rectángulo, el Teorema de Pitágoras dice que el cuadrado, con lados formados a partir de la hipotenusa de dicho triángulo, tiene un área igual a la suma de las áreas de los cuadrados formados a partir los catetos del trángulo. Debe resultar obvio que el cuadrado formado a partir de la hipotenusa tiene lados de longitud igual a la hipotenusa. Similarmente, un cuadrado formado a partir de un cateto tiene lados de longitud igual a dicho cateto.

Uso del Teorema de Pitágoras y su Recíproco

El Teorema de Pitágoras puede usarse para verificar que un triángulo es rectángulo. Es decir, que si se demuestra que los tres lados de un triángulo dado hacen verdadera la ecuación (\text{cateto}_1)^2 + (\text{cateto}_2)^2 = (\text{hipotenusa})^2, entonces se concluye que dicho triángulo es un triángulo rectángulo. Esto se conoce como el Recíproco del Teorema de Pitágoras .

Nota: Cuando usamos el Recíproco del Teorema de Pitágoras, debemos asegurarnos que utilizamos los valores correctos para los catetos y la hipotenusa. Una forma de verificación es que la hipotenusa debe ser el lado mayor (es decir, el lado de mayor longitud). Los otros dos términos son los catetos y el orden en que son utilizados en la ecuación no es importante.

Ejemplo 1

Determinar si un triángulo con lados 5, 12 y 13 es un triángulo rectángulo.

Solución

El triángulo es rectángulo si sus lados satisfacen el Teorema de Pitágoras.

Ante todo, el lado más largo debería ser la hipotenusa. Por lo que hacemos c=13 .

Luego, para los lados más cortos hacemos a = 5 y b = 12.

A continuación, sustituimos dichos valores en la ecuación del Teorema de Pitágoras.

a^2 + b^2 & = c^2 \Rightarrow 5^2 + 12^2 = c^2 \\25 + 144 & = 169 = c^2 \Rightarrow 169 = 169

Los lados del triángulo satisfacen el Teorema de Pitágoras, Por tanto, el triángulo es, efectivamente, un triángulo rectángulo.

Ejemplo 2

Determinar si un triángulo de lados  \sqrt{10}, \sqrt{15} y 5 es un triángulo rectángulo.

Solución

Hacemos c=5, porque es el lado de mayor longitud.

También designamos los lados más cortos como sigue: a= \sqrt{10} y b=\sqrt{15}.

Luego reemplazamos estos valores en la ecuación del Teorema de Pitágoras.

 a^2+b^2 & = c^2 \Rightarrow  \left (\sqrt{10}\right )^2 + \left (\sqrt{15}\right )^2 = c^2 \\10 + 15 & = 25 = (5)^2

Resulta que los lados del triángulo satisfacen el Teorema de Pitágoras, por tanto el triángulo es un triángulo rectángulo.

El Teorema de Pitágoras puede utilizarse también para encontrar el valor de la hipotenusa de un triángulo rectángulo si se conocen los catetos del mismo.

Ejemplo 3

En un triángulo rectángulo, un cateto tiene longitud igual a 4, mientras que el otro tiene longitud igual a 3. Encontrar la longitud de la hipotenusa.

Solución

\text{Comenzamos con el Teorema de Pit\'{a}goras.} && a^2 + b^2 & = c^2\\\text{Sustituimos los valores de los catetos. } && 3^2 + 4^2 & = c^2\\\text{Simplificamos.} &&  9 + 16 & = c^2 \\&& 25 & = c^2 \\\text{Aplicamos la ra\'{i}z cuadrada en ambos} && c & = 5\\\text{miembros de la ecuaci\'{o}n. }

Uso del Teorema de Pitágoras con variables

Ejemplo 4

Determinar los valores de las longitudes los lados denotados por letras. Es razonable asumir que cada triángulo es rectángulo.

a)

b)

c)

Solución

Se aplica el Teorema de Pitágoras.

a)

a^2 + b^2 = c^2\! \\x^2 + 15^2 = 21^2\! \\x^2 + 225 = 441\! \\x^2 = 216 \Rightarrow\! \\x = \sqrt{216}=6\sqrt{6}

b)

 a^2+b^2 = c^2\! \\y^2+3^2 = 7^2\! \\y^2+ 9 = 49\! \\y^2 = 40 \Rightarrow\!  \\y =\sqrt{40}=2\sqrt{10}

c)

 a^2+b^2 =c^2\! \\18^2+15^2 =z^2\! \\324+225 =z^2\! \\z^2 = 216 \Rightarrow\! \\x =\sqrt{549}=3 \sqrt{61}

Ejemplo 5

Un cateto de un triángulo rectángulo es 5 unidades más largo que el otro cateto. La hipotenusa es una unidad mayor que el doble de la longitud del cateto menor. Encontrar las dimensiones del triángulo.

Solución

Sea Let x = la longitud del cateto menor.

Entonces, x + 5 = la longitud del cateto mayor

y, 2x + 1 = la longitud de la hipotenusa.

Los lados del triángulo deben satisfacer el Teorema de Pitágoras,

\text{Por tanto } && x^2 + (x + 5)^2 & = (2x+ 1)\\\text{Eliminamos los par\'{e}ntesis. } && x^2 + x^2 + 10x + 25 & = 4x^2 + 4x + 1\\\text{Movemos todos los t\'{e}rminos al miembro} && 0 & = 2x^2 - 6x - 24\\\text{derecho de la ecuaci\'{o}n.}\\\text{Dividimos todos los t\'{e}rminos entre}\ 2. && 0 & = x^2 - 3x - 12\\\text{Resolvemos la ecuaci\'{o}n anterior mediante} && x & =\frac{3\pm \sqrt{9+48}}{2}=\frac {3\pm \sqrt 57}{2}\\\text{la f\'{o}rmula cuadr\'{a}tica. }\\&& x & \approx 5.27\ \text{}\  x \approx -2.27

Respuesta

Podemos descartar la solución negativa dado que no tiene sentido en el contexto geométrico de este problema. Por tanto, usamos x = 5.27 y obtenemos \text{longitud del cateto menor} = 5.27, \text{longitud del cateto mayor} = 10.27 y \text{longitud de la hipotenusa} = 11.54.

Resolución de Problemas del Mundo Real Mediante la aplicación del Teorema de Pitágoras y su Recíproco

El Teorema de Pitágoras y su recíproco tienen muchas aplicaciones en problemas relacionados con determinación de longitudes y distancias.

Ejemplo 6

María tiene una bandeja rectangular para hornear galletas, la cual mide 10\ pulgadas \times 14\ pulgadas. Encontrar la longitud de la diagonal de dicha bandeja.

Solución

1. Hacer un bosquejo.

2. Definir las variables.

Sea c = longitud de la diagonal.

3. Escribir una fórmula. Utiliza el Teorema de Pitágoras

a^2 + b^2 = c^2

4. Resolver la Ecuación.

10^2 + 14^2 & = c^2 \\100 + 196 & = c^2 \\c^2 & = 296\Rightarrow c=\sqrt {296}\Rightarrow c=4\sqrt {74}\ \text{\'{o}}\ c \approx 17.2\ pulgadas

5. Comprobar la respuesta

10^2 + 14^2 = 100 + 196 \ \text{y} \ c^2 = 17.2^2 \approx 296.

La solución ha sido comprobada (es válida).

Ejemplo 7

Encontrar el área de la región sombreada en el siguiente diagrama.

Solución:

1. Hacer un diagrama

Dibuja la diagonal del cuadrado de la figura.

Nota que la diagonal del cuadrado es también el diámetro del círculo.

2. Definir las variables

Sea c = diámetro del círculo.

3. Escribir la fórmula

Utiliza el Teorema de Pitágoras: a^2 +b^2 = c^2

4. Resolver la ecuación:

2^2 + 2^2 & = c^2 \\4 + 4 & = c^2 \\c^2 & = 8\Rightarrow c=\sqrt {8}\Rightarrow c=2\sqrt {2}

El diámetro del círculo es  2\sqrt {2}. Por lo tanto, el radio es  r=\sqrt {2}.

El área del círculo es  A=\pi r^2 =\pi \left (\sqrt {2}\right )^2=2\pi.

Por tanto, el Área de la región sombreada es 2 \pi - 4 \approx 2.28

Ejemplo 8

En un triángulo rectángulo, un cateto tiene el doble de longitud que el otro cateto. El perímetro de dicho triángulo es igual a 28 unidades de longitud. ¿Cuál es la longitud de cada lado del triángulo?

Solución

1. Hacer un bosquejo. Dibujemos un triángulo rectángulo.

2. Definir las variables.

Sea: a = longitud del cateto menor

2a = longitud del cateto mayor

c = longitud de la hipotenusa

3. Escribir las fórmulas.

Los lados del triángulo están relacionados de dos formas diferentes.

  1. El perímetro del triángulo es 28, a+2a+c=28\Rightarrow 3a+c=28
  2. Este es un triángulo rectángulo, por lo que las longitudes de sus lados deben satisfacer el Teorema de Pitágoras.

 a^2+(2a)^2 & = c^2\Rightarrow a^2+4a^2=c^2\Rightarrow 5a^2=c^2\\c & = a\sqrt {5} \approx 2.236a

4. Resolver las ecuaciones pertinentes

Utilizamos el valor de c que acabamos de obtener y se sustituye en la ecuación del perímetro 3a + c= 28.

 3a+2.236a=28\Rightarrow 5.236a=28\Rightarrow a=5.35

El cateto menor es a \approx 5.35.

El cateto mayor es: 2a \approx 10.70.

La hipotenusa es: c \approx 11.95.

5. Comprobar las respuestas Los lados del tiángulo deben satisfacer el Teorema de Pitágoras

a^2 + b^2 = 5.35^2 + 10.70^2 = 143.1, c^2 = 11.95^2 = 142.80

Observamos que los dos miembros de la ecuación del Teorema de Pitágoras tienen valores aproximadamente iguales.

El perímetro del triángulo debería ser 28. Verificaremos esto con los valores obtendos de los lados del triángulo:

a + b + c = 5.35 + 10.70 + 11.95 = 28

Por tanto, la respuesta se ha comprobado (es válida).

Ejemplo 9

Mike está cargando una camioneta (van) de mudanzas. Para ello hace uso de una rampa (que apoya en la parte trasera de la van). Mike camina sobre la rampa, llevando consigo la carga que debe depositar dentro de la la van. Se sabe además que la rampa tiene una longitud de 10 pies. También se conoce que la cama de la van (es decir, el piso horizontal metálico de la misma) está a 2.5 pies sobre el suelo. ¿Cuán lejos se extiende horizontalmente la rampa, a partir de la parte trasera de la van?

Solución

1. Hacer un bosquejo.

2. Definir Variables.

Sea x = la longitud horizontal que se extiende la rampa desde la parte trasera de la van.

3. Escribir una fórmula. Utilizaremos el Teorema de Pitágoras:

x^2 + 2.5^2 = 10^2

4. Resolver la ecuación.

x^2 + 6.25 & = 100\\x^2 & = 93.5\\x & = \sqrt {93.5}\approx 9.7 \ pies

5. Comproabar la respuesta. Reemplazamos el resultado en la ecuación del Teorema de Pitágoras.

 9.7^2+2.5^2=94.09+6.25=100.36 \approx 100.

Se verifica que la rampa tiene 10 pies de longitud.

La respuesta se ha comprobado (es válida).

Ejercicios de Repaso

Verificar que cada triángulo es un triángulo rectángulo.

  1. a = 12, b = 9, c = 15
  2. a = 6, b = 6,  c=6 \sqrt {2}
  3. a = 8,  b=8 \sqrt {3}, c = 16

Encuentra las longitud faltante de cada triángulo rectángulo.

  1. a = 12, b = 16, c =?
  2. a =?, b = 20, c = 30
  3. a = 4, b =?, c = 11
  4. Un cateto de un triángulo rectángulo es 4 pies más corto que la longitud de la hipotenusa. El otro cateto mide 12 pies. Encontrar las longitudes de los tres lados del triángulo.
  5. Un cateto de un triángulo rectángulo es 3 unidades más largo que el doble de la longitud del otro cateto. La hipotenusa es 3 veces más larga que el menor de los catetos. Encuentra las longitudes de los tres lados del triángulo.
  6. Un diamante reglamentario de béisbol es un cuadrado cuyas bases contiguas están separadas 90 pies. Es decir que la longitud de cada lado del cuadrado es, precisamente, igual a 90 pies. ¿Cuál es la distancia entre la segunda base y la almohadilla de home (home plate)?
  7. Emanuel tiene una caja de cartón cuyas dimensiones son 20 \ cm \times 10 \ cm \times 8\ cm (largo \times ancho \times alto). ¿Cuál es la longitud de la diagonal que va de una esquina inferior a la esquina superior opuesta de dicha caja?
  8. Samuel apoya una escalera en una pared de su casa. La base de la escalera se encuentra horizontalmente a 6 pies de dicha pared. Se sabe también que la escalera tiene una longitud de 10 pies. ¿A que altura, medida con relación al suelo, se encuentra el punto de contacto entre la escalera y la pared de la casa?
  9. Encontrar el área del triángulo mostrado en la figura, sabiendo que el área de un triángulo se define como  A=\frac {1}{2} \ base \times altura. NOTA: Como lo ilustra la figura, la altura es la longitud del segmento rectilíneo que une un vértice con el lado opuesto a dicho vértice. Dicho segmento es perpendicular al lado opuesto mencionado.
  10. En lugar de caminar a lo largo de los dos lados de un campo rectangular, Mario decidió acortar camino a través de la diagonal de dicho terreno. La distancia que se ahorra, al utilizar este atajo, es igual a la mitad de la longitud lado mayor del campo. Encontrar la longitud del lado mayor del campo si se sabe que el lado menor tiene una longitud de 123 pies.
  11. Marcus navega hacia el norte, mientras que Sandra navega hacia el este. Ambos inician desde el mismo punto de partida. Luego de 2 horas, el bote de Marcus se encuentra a 35 millas del punto de partida, mientras que el bote de Sandra se encuentra a 28 millas de dicho punto. ¿Cuán lejos están los botes entre sí. Es decir, ¿Cuál es la distancia que los separa?
  12. Determinar el área del círculo mostrado en la figura.

Respuestas a los Ejercicios de Repaso

  1. 12^2 + 9^2 = 225\! \\15^2 = 225
  2. 6^2 + 6^2 = 72\! \\\left (6\sqrt {2}\right)^2 = 72
  3.  8^2+\left(8\sqrt {3}\right )^2 = 256\! \\16^2 = 256
  4. c = 20
  5.  a=10\sqrt {5}
  6.  b=\sqrt {105}
  7.  c=\sqrt {130}
  8. a = 28
  9.  b=12\sqrt {3}
  10. 12, 16, 20
  11. 3.62, 10.24, 10.86
  12. 127.3 pies
  13. 23.75 cm
  14. 8 pies
  15. 32.24
  16. 164 pies
  17. 44.82 millas
  18. 83.25

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