<meta http-equiv="refresh" content="1; url=/nojavascript/"> Fórmulas de Distancia y Punto Medio | CK-12 Foundation
Dismiss
Skip Navigation
You are reading an older version of this FlexBook® textbook: Álgebra I - Edición Española Go to the latest version.

Objetivos de Aprendizaje

En esta lección aprenderás a:

  • Encontrar la distancia entre dos puntos en el plano coordenado.
  • Encontrar la coordenada desconocida de un punto, cuando se conoce la distancia que lo separa de otro punto conocido.
  • Encontrar el punto medio de un segmento de recta.
  • Resolver problemas del mundo real mediante la aplicación de fórmulas de distancia y punto medio.

Introducción

En la última sección, vimos cómo utilizar el Teorema de Pitágoras para encontrar longitudes desconocidas. En esta sección, aprenderás a utilizar el Teorema de Pitágoras para encontrar la distancia entre dos puntos coordenados.

Ejemplo 1

Encontrar la distancia entre los puntos A = (1, 4) y B = (5, 2).

Solución

Empezamos por graficar los dos puntos en el plano coordenado. Se puede ver que, para llegar al punto B = (5, 2) desde el punto A = (1, 4), necesitamos movernos 4 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia abajo.

Para encontrar la distancia entre A y B debemos encontrar el valor de d. Lo haremos aplicando del Teorema de Pitágoras.

d^2 & = 2^2 + 4^2 = 20 \\d & = \sqrt {20}=2\sqrt {5}=4.47

Ejemplo 2: Encuentra la distancia entre los puntos C = (2, 1) y D = (-3, -4).

Solución:

Situamos ambos puntos en la gráfica de arriba.

Observamos que, para ir desde el punto C al punto D, necesitamos movernos 3 unidades hacia abajo y 5 unidades hacia la izquierda.

Podemos encontrar la distancia entre C y D si determinamos la longitud d. De nuevo, lo haremos aplicando el Teorema de Pitágoras.

d^2 & = 3^2 + 5^2 = 34 \\d & = \sqrt {34}=5.83

La fórmula de la distancia

El procedimiento descrito en los problemas anteriores puede generalizarse haciendo uso del Teorema de Pitágoras para encontrar una fórmula de la distancia entre dos puntos que se encuentren en el plano coordenado.

Encontremos la distancia que existe entre dos puntos generales A = (x_1,y_1) and B =(x_2,y_2).

Comenzamos por situar los puntos en el plano coordenado.

Con el fin de movernos del punto A hasta el punto B, en el plano coordenado, nos movemos x_2 - x_1 unidades hacia la derecha y y_2 - y_1 unidades hacia arriba. Podemos, luego, encontrar la longitud d mediante la aplicación del Teorema de Pitágoras.

 d^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2.

Esta ecuación representa la definición de la fórmula de la distancia, la cual enunciamos como sigue:

Dados los puntos (x_1,y_1) y (x_2,y_2), la distancia entre ellos es:

d=\sqrt {(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.

Podemos usar dicha fórmula para encontrar la distancia entre dos puntos del plano coordenado. Debes observar que el valor de la distancia es el mismo sin importar si vas del punto A hacia el punto B o si vas desde el punto B hacia el punto A. Esto nos lleva a concluir que, para evaluar la fórmula de la distancia, cualquiera de ambos puntos puede seleccionarse como punto de partida. Por supuesto, una vez seleccionado uno de los dos como punto de partida, por ejemplo B = (x_1,y_1), el punto restante será el punto de llegada A = (x_2,y_2) y, por consiguiente, la ecuación de la distancia podrá, entonces, ser evaluada adecuadamente.

Encontrar la Distancia entre Dos Puntos en el Plano Coordenado

Apliquemos ahora la fórmula de la distancia a los siguientes ejemplos.

Ejemplo 2

Encontrar la distancia que separa los siguientes puntos.

a) (-3, 5) and (4, -2)

b) (12, 16) and (19, 21)

c) (11.5, 2.3) and (-4.2, -3.9)

Solución

Sustituye los valores de los dos puntos en la fórmula de la distancia. Asegúrate de simplificar la expresión radical, si es posible.

a)  d=\sqrt {(-3-4)^2+(5-(-2))^2}=\sqrt {(-7)^2+(7)^2}=\sqrt {49+49}=\sqrt {98}=7\sqrt {2}

b)  d=\sqrt {(12-19)^2+(16-21)^2}=\sqrt{(-7)^2+(-5)^2}=\sqrt {49+25}=\sqrt {74}

c)  d=\sqrt {(11.5+4.2)^2+(2.3+3.9)^2}=\sqrt{(15.7)^2+(6.2)^2}=\sqrt {284.93}=16.88

Ejemplo 3

Demostrar que el punto P = (2, 6) es equidistante, tanto del punto A = (-4, 3) como del punto B = (5, 0).

Solución

Para demostrar que el punto P es equidistante de ambos puntos, A y B, debemos demostrar que la distancia de P a A es igual a la distancia de P a B.

Antes de aplicar la fórmula de la distancia, grafiquemos los tres puntos en el plano coordenado para tener una representación visual del problema.

De la gráfica, vemos que, para ir desde el punto P hasta el punto A, nos movemos 6 unidades hacia la izquierda y 3 unidades hacia abajo. También, para ir desde el punto P hasta el punto B, nos movemos 6 unidades hacia abajo y 3 unidades hacia la izquierda. A partir de esta información, deberíamos esperar que P sea equidistante de A y B.

Ahora, apliquemos la fórmula de distancia para encontrar las longitudes PA y PB.

 PA & = \sqrt {(2+4)^2+(6-3)^2}=\sqrt {(6)^2+(3)^2}=\sqrt {39+9}=\sqrt {45} \\PA & = \sqrt {(2-5)^2+(6-0)^2}=\sqrt {(-3)^2+(6)^2}=\sqrt {9+36}=\sqrt {45}

PA = PB,. Por tanto, concluimos que P es equidistante de ambos puntos, A y B.

Encontrar la coordenada desconocida de un punto, cuando se conoce la distancia que lo separa de otro punto conocido

Ejemplo 4

Sean el punto A = (6, -4) y el punto B = (2, k). ¿Cuál es el valor de k, de modo que la distancia entre ambos puntos sea 5?

Solución

Utilicemos la fórmula de la distancia.

&& d& =\sqrt {(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\Rightarrow 5 =\sqrt {(6-2)^2+(-4-k)^2}\\\text{Elevar al cuadrado ambos} &&5^2 & =\left [{\sqrt{(6-2)^2+(-4-k)^2}}\right ]^2 \\\text{miembros de la ecuaci\'{o}n.}\\\text{Simplificar.}&&25 & =16+(-4-k)^2 \\\text{Eliminar los par\'{e}ntesis.}&&0 & =-9+k^2+8k+16 \\\text{Simplificar.}&&0 &=k^2+8k+7 \\\text{Encontrar}\ k\ \text{mediante la f\'{o}rmula cuadr\'{a}tica.}&&k &= \frac{-8\pm \sqrt{64-28}}{2}=\frac{-8\pm \sqrt{36}}{2}=\frac{-8\pm 6}{2}

Respuesta k = -7 or k = -1.

Por lo tanto, existen dos posibles valores para k. Grafiquemos los puntos para obtener una representación visual del nuestros resultados.

De la figura, podemos ver que ambas respuestas son válidas porque ambas hacen que la distancia entre los puntos A y B sea igual a 5

Ejemplo 5

Encuentra todos los puntos que pertenecen a la línea horizontal y = 2, tales que se encuentran a una distancia de 8 unidades del punto (-3, 7).

Solución

Hagamos un bosquejo de la situación planteada. Dibujemos segmentos de recta desde el punto (-3, 7) hasta la línea y = 2. De acuerdo con la gráfica, sea k el valor desconocido de la coordenada x que buscamos. Utilicemos la fórmula de la distancia.

 8=\sqrt {(-3-k)^2+(7-2)^2}

Ahora resolvamos dicha ecuación:

\text{Elevamos al cuadrado ambos}  && 64 & = (-3-k)^2+25 \\\text{miembros de la Ecuaci\'{o}n }\\\text{Por tanto.} && 0 & = 9+6k+k^2-39 \\\text{\'{o}} && 0 & = k^2+6k-30 \\\text{Aplicando la f\'{o}rmula cuadr\'{a}tica.} && k & = \frac {-6\pm \sqrt {36+120}}{2}=\frac {-6\pm \sqrt {156}}{2}\\\text{Por tanto. } && k &\approx 3.24\ \text{\'{o}}\ k \approx -9.24

Respuesta Los puntos son (-9.24, 2) y (3.24, 2)

Encontrar el Punto Medio de un Segmento de Recta

Ejemplo 6

Encontrar las coordenadas del punto medio del segmento rectilíneo que conecta los puntos A = (-7, -2) y B = (3, -8).

Solución

Comencemos por graficar ambos puntos.

Observamos que, para ir desde el punto A hasta el punto B, nos movemos 6 unidades hacia abajo y 10 unidades hacia la derecha.

Con el fin de llegar al punto que se encuentra a mitad de camino entre los dos puntos, A y B, resulta lógico que movernos la mitad de la distancia vertical y la mitad de la distancia horizontal. Esto es, 3 unidades hacia abajo y 5 unidades hacia la derecha, partiendo del punto A.

El punto medio es M = (-7 + 5, -2 - 3) = (-2, -5)

La fórmula del Punto Medio:

Ahora vamos a generalizar este método con la finalidad de encontrar una fórmula para encontrar el punto medio de un segmento rectilíneo.

Tomemos dos puntos generales A = (x_1, y_1) y B = (x_2, y_2) y dibujémoslos en el plano coordenado.

Podemos ver que para ir desde el punto A hasta el punto B, debemos movernos x_2 - x_1 unidades hacia la derecha y y_2 - y_1 hacia arriba.

Con el objetivo de llegar al punto medio del segmento mostrado en la figura, necesitamos movernos

 \frac {x_2-x_1}{2} unidades hacia la derecha y  \frac {y_2-y_1}{2} unidades hacia arriba, a partir del punto A.

Así, las coordenadas del punto medio vienen dadas por M=\left ( x_1+\frac{x_2-x_1}{2},y_1+\frac {y_2-y_1}{2}\right ).

La expresión anterior se reduce a: M=\left ( \frac{x_2+x_1}{2},\frac {y_2+y_1}{2}\right ). Esta es la Fórmula del Punto Medio.

Esperamos que te resulte evidente que el punto medio de un segmento de recta se encuentra obteniendo el promedio de los valores en x y en y de los puntos correspondientes a los extremos del segmento.

Fórmula del Punto Medio

El punto medio del segmento que conecta los puntos (x_1, y_1) y (x_2,y_2) tiene las coordenadas

M=\left ( \frac{x_2+x_1}{2},\frac {y_2+y_1}{2}\right ).

Ejemplo 7

Encontrar el punto medio que se encuentra entre los puntos siguientes.

a) (-10, 2) y (3, 5)

b) (3, 6) y (7, 6)

c) (4, -5) y (-4, 5)

Solución

Apliquemos la Fórmula del Punto Medio.

M=\left ( \frac{x_2+x_1}{2},\frac {y_2+y_1}{2}\right )

a) El punto medio entre (-10, 2) y (3, 5) es  \left ( \frac{-10+3}{2},\frac {2+5}{2}\right )=\left ( \frac{-7}{2},\frac {7}{2}\right )=\left (-3.5,3.5 \right ).

b) El punto medio entre (3, 6) y (7, 6) es  \left ( \frac{3+7}{2},\frac {6+6}{2}\right )=\left ( \frac{10}{2},\frac {12}{2}\right )=\left (5,6 \right ).

c) El punto medio entre (4, -5) y (-4, 5) is  \left ( \frac{4-4}{2},\frac {-5+5}{2}\right )=\left ( \frac{0}{2},\frac {0}{2}\right )=\left (0,0\right ).

Ejemplo 8

Un segmento de de recta cuyo punto medio es (2, -6) tiene uno de sus extremos en el punto (9, -2). ¿Cuáles son las coordenadas del punto correspondiente a su otro extremo?

Solución

En este problema conocemos el punto medio y buscamos las coordenadas del punto correspondiente al extremo faltante.

El punto medio es (2, -6).

Uno de los extremos tiene por coordenadas (x_1, y_1) = (9, -2)

Sea el punto que buscamos (x, y).

Sabemos que la coordenada en x del punto medio es 2, luego

 2=\frac {9+x_2}{2}\Rightarrow 4 = 9+x_2 \Rightarrow x_2=-5

Sabemos que la coordenada en y del punto medio es -6, así

 -6=\frac {-2+y_2}{2}\Rightarrow -12=-2+y_2 \Rightarrow y_2=-10

Respuesta El extremo faltante del segmento rectilíneo está dado por el punto (-5, -10).

Resolución de Problemas del Mundo Real mediante la Aplicación de Fórmulas de Distancia y Punto Medio

Las fórmulas de distancia y punto medio son aplicables en situaciones de geometría, en las que deseamos encontrar la distancia entre dos puntos, o bien el punto que se encuentra a mitad de camino entre otros dos puntos determinados.

Ejemplo 9

Graficar los puntos A = ( 4, -2), B = (5, 5), y C = (-1, 3). Luego conéctalos para formar un triángulo. Demostrar que el \triangle ABC es isósceles.

Solución

Comencemos por graficar los tres puntos en el plano coordenado y, luego, unirlos con segmentos de recta para formar un triángulo.

A continuación, utilizaremos tres veces la fórmula de la distancia para encontrar las longitudes de los tres lados del triángulo.

 AB & = \sqrt {(4-5)^2+(-2-5)^2}=\sqrt {(-1)^2+(-7)^2}=\sqrt {1+49}=\sqrt {50}=5\sqrt {2} \\BC &  =\sqrt {(5+1)^2+(5-3)^2}=\sqrt {(6)^2+(2)^2}=\sqrt {36+4}=\sqrt {40}=2\sqrt {10} \\AC & = \sqrt {(4+1)^2+(-2-3)^2}=\sqrt {(5)^2+(-5)^2}=\sqrt {25+25}=\sqrt {50}=5\sqrt {2}

De los resultados anteriores, se puede ver que AB = AC. Por tanto, el \triangle ABC es isósceles.

Ejemplo 10

Cierto día, a las 8 AM, Amir decide caminar en línea recta sobre la playa. Después de dos horas de caminar sin hacer cambio de dirección alguno y con rapidez constante, Amir se encuentra dos millas al este y cuatro millas al norte del punto de partida. ¿Cuál es la distancia recorrida por Amir y cuál es la velocidad con la que camina?

Soluciónn

Comencemos por graficar la ruta seguida por Amir en un plano coordenado. Podemos situar el punto de partida en el origen de dicho sistema A = (0, 0). También, podemos suponer que el punto final, luego de 2 horas de camino, es B = (2, 4). Por tanto, debe resultar obvio que la distancia que ha recorrido puede encontrarse con la fórmula de la distancia.

 d & =\sqrt {(2-0)^2+(4-0)^2}=\sqrt {(2)^2+(4)^2}=\sqrt {4+16}=\sqrt {20} \\d & =4.47\ millas.

Dado que Amir ha caminado 4.47 millas en 2 horas, su velocidad es:

 \text{Speed} = \frac {4.47 \ millas}{2 \ horas}=2.24 \ mi/h

Ejercicios de Repaso

Encuentra la distancia entre los dos puntos dados.

  1. (3, -4) and (6, 0)
  2. (-1, 0) and (4, 2)
  3. (-3, 2) and (6, 2)
  4. (0.5, -2.5) and (4, -4)
  5. (12, -10) and (0, -6)
  6. (2.3, 4.5) and (-3.4, -5.2)
  7. Encontrar todos los puntos que tienen una coordenada en x igual a -4 y cuya distancia al punto (4, 2) sea igual a 10.
  8. Encontrar todos los puntos que tienen una coordenada en y igual a 3 y cuya distancia al punto (-2, 5) sea igual a 8.

Encontrar el punto medio del segmento rectilíneo que une los puntos.

  1. (3, -4) and (6, 1)
  2. (2, -3) and (2, 4)
  3. (4, -5) and (8, 2)
  4. (1.8, -3.4) and (-0.4, 1.4)
  5. (5, -1) and (-4, 0)
  6. (10, 2) and (2, -4)
  7. Uno de los extremos de un segmento rectilíneo está dado por el punto (4, 5), mientras que el punto medio de dicho segmento es (3, -2). Encontrar el punto que representa al otro extremo del segmento.
  8. Uno de los extremos de un segmento rectilíneo está dado por el punto (-10, -2), mientras que el punto medio de dicho segmento es (0, 4). Encontrar las coordenadas del punto que representa al otro extremo del segmento.
  9. Graficar los puntos A = (1, 0), B = (6, 4), C = (9, -2) y D = (-6, -4), E = (-1, 0), F = (2, -6). Probar que los triángulos ABC and DEF son congruentes.
  10. Graficar los puntos A = (4, -3), B = (3, 4), C = (-2, -1), D = (-1, -8). Probar que ABCD es un rombo (que tiene todos sus lados iguales).
  11. Graficar los puntos A = (-5, 3), B = (6, 0), C = (5, 5). Probar que el triángulo formado por dichos puntos es un triángulo rectángulo. Encontrar la longitud de cada lado y el área de dicho triángulo.
  12. Encontrar el área del círculo con centro (-5, 4). Se sabe también que el círculo posee el punto (3, 2) situado sobre su contorno.
  13. Michelle decide un día montar su bicicleta. Primero, ella conduce su bicicleta hacia el sur y recorre 12 millas en dicha dirección. Luego, el sendero de ciclistas, por donde ella avanza, cambia de dirección. Ella conduce su bicicleta en la nueva dirección un tiempo adicional. Cuando finalmente se detiene, Michelle está 2 millas al sur y 10 millas al oeste de su punto de partida. Encontrar la distancia total que Michelle recorrió desde su punto de partida.

Respuestas a los Ejercicios de Repaso

  1. 5
  2. \sqrt {29}
  3. 9
  4. 3.81
  5.  4\sqrt {10}
  6. 11.25
  7. (-4, -4) y (-4, 8)
  8. (-9.75, 3) y (5.75, 3)
  9. (4.5, -1.5)
  10. (2, 0.5)
  11. (6, -1.5)
  12. (.7, -1)
  13. (0.5, -0.5)
  14. (6, -1)
  15. (2, -9)
  16. (10, 10)
  17. AB = DE = 6.4, AC = DF = 8.25, BC = EF = 6.71
  18. AB = BC = CD = DA = 7.07
  19. AB =  \sqrt {130}, AC =  \sqrt {104}, BC =  \sqrt {26} and  \left ({\sqrt {26}} \right )^2+\left ( {\sqrt {104}} \right )^2=\left ( {\sqrt {130}} \right )^2. Triángulo Rectángulo.
  20. \text{Radio} = 2\sqrt {17}, \text{\text{\'{A}rea}} = 68 \pi
  21. 26.14 millas

Image Attributions

You can only attach files to None which belong to you
If you would like to associate files with this None, please make a copy first.

Reviews

Please wait...
Please wait...
Image Detail
Sizes: Medium | Original
 
CK.MAT.SPA.SE.1.Algebra-I.11.5
ShareThis Copy and Paste

Original text