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11.6: Medidas de Tendencia Central y Dispersión

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Objetivos de Aprendizaje

En esta lección, aprenderás a:

  • Comparar medidas de tendencia central.
  • Medir la dispersión de una colección de datos.
  • Calcular e interpretar medidas de tendencia central y dispersión en situaciónes del mundo real.

Comparación de Medidas de Tendencia Central

La palabra “promedio” es utilizada a menudo para describir algo que se utiliza para representar las caracterísctica generales de un grupo grande de objetos diferentes. Matemáticamente, un promedio es un número que puede ser utilizado para representar de manera simple y resumida una colección de valores numéricos. Así, en matemáticas, hay varios tipos de “promedios”, siendo los más comunes la media aritmética, la mediana y la moda.

La Media Aritmética

La media aritmética (o, simplemente, media) de un grupo de datos numéricos se encuentra sumando los valores de dichos datos y dividiendo el resultado entre el número de datos que componen al grupo. En otras palabras, sumamos todos los valores numéricos de los datos y dividimos entre el número de datos existentes.

Ejemplo 1

Encontrar la media de los números 11, 16, 9, 15, 5, 18

Solución

Tenemos seis números en el grupo de datos. Así, encontramos la media de la siguiente manera:

\text{media} = \frac{11+ 16 + 9 + 15 + 5 + 18} {6} = \frac{74} {6} = 12 \frac{1} {3}.

La media aritmética es en lo que automáticamente pensamos la mayoría de nosotros cuando la palabra promedio se utiliza con números. La media aritmética es, en general, una manera adecuada de obtener un promedio, pero presenta inconvenientes cuando un número pequeño de valores se encuentra significativamente lejos del resto de datos. Un ejemplo clásico resulta cuando se calcula el ingreso monetario promedio de un grupo de individuos. Específicamente, si una persona (tal como el ex- presidente de Microsoft Corporation, Bill Gates) gana mucho más que cualquier otra persona encuestada, entonces el valor de sus altos ingresos puede apartar la media significativamente de lo que gana la mayoría de la gente. Por tanto, en este caso, la media no sería un valor representativo de los datos de ingresos encuestados.

Ejemplo 2

Los ingresos anuales de 8 profesiones son mostrados abajo. De dichos datos, calcular el ingreso medio anual de las 8 profesiones.

Área profesional Ingreso anual
Agricultura, Pesca, y actividades Forestales $19,630
Ventas y áreas relacionadas $28,920
Arquitectura e Ingeniería $56,330
Servicios de Salud. Médicos $49,930
Legal $69,030
Enseñanza & amp; Educación $39,130
Construcción $35,460
Jugador Profesional de Béisbol* $2,476,590

(Fuente: Bureau of Labor Statistics, except (*) -The Baseball Players' Association (playbpa.com)).

Solución

Hay 8 valores en la tabla, de modo que calculamos la media como sigue:

\text{media } & = \frac{\$(19630 + 28920 + 56330 + 49930 + 69030 + 39130 + 35460 + 2476590)} {8} \\& = \$346,877.50

Como puedes ver, el ingreso anual medio es substancialmente mayor que los correspondientes a 7 de las 8 profesiones listadas. El efecto sobre la media de un solo valor distante del resto de datos (el que corresponde al jugador de béisbol) puede ser dramático. Por lo tanto, la media no es un método adecuado para representar el salario ‘promedio’ en este caso.

Fórmula Algebraica para calcular la Media.

Si tenemos un número de valores tales como 11, 16, 9, 15, 5, 18 podemos denotarlos como sigue:

Posición en la Secuencia Símbolo Valor
1^\circ x_1 11
2^\circ x_2 16
3^\circ x_3 9
4^\circ x_4 15
5^\circ x_5 5
6^\circ x_6 18

Podemos ver de la tabla que x_1 = 11, x_2 = 16, x_3 = 9, etc… Si, además, decimos que el número de términos = n, entonces, así como x_1 es el primer término, x_n es el último término. Podemos ahora definir la media, (denotada por el símbolo  \bar{x} ) como

Media aritmética

 \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + \ldots + x_n} {n}

La Mediana

La mediana es otro tipo de promedio. Se define como el valor que se encuentra justo en el centro un grupo de números (datos) previamente ordenados. En otras palabras, antes de calcular la mediana, primero debemos escribir todos los números en orden ascendente, es decir, de menor a mayor..

Ejemplo 3

Encuentra la median de los siguientes números 11, 21, 6, 17, 9.

Solución:

Primero ordenamos los números en orden ascendente.

6, 9, 11, 17, 21

La mediana es el valor que queda en el cenro del conjunto de datos (en negrita).

La mediana es 11. Hay dos valores mayores que 11 y dos valores menores que 11.

Cuando se tiene un número par de datos, la mediana es igual a la media aritmética de los dos números centrales.

Ejemplo 4

Encontrar la mediana de los números 2, 17, 1, -3, 12, 8, 12, 16

Solución:

Primero ordenamos los números en orden ascendente.

-3, 1, 2, 8, 12, 12, 16, 17

La mediana es el valor que se encuentra en el centro del conjunto de datos. Por tanto, se ubica entre 8 y 12:

\text{mediana} = \frac{8 + 12} {2} = \frac{20} {2}= 10.

La mediana es 10. Observa que hay cuatro valores menores que 10 y cuatro valores mayores que 10.

Si observas de nuevo los dos ejemplos anteriores, observarás que cuando teníamos 5 valores, la mediana fue el 3^{er} término. Para el caso de 8 valores, la mediana estaba a mitad de camino entre el 4^\circ y el 5^\circ valor. En general, cuando tenemos un total de n valores, la mediana es el  \left (\frac{n + 1} {2} \right)^{\text{\'{e}-simo}} valor. Cuando la cantidad  \left (\frac{n + 1} {2} \right) es fraccionaria, indica que la mediana es la media de dos datos puntuales. Por ejemplo, con 15 datos puntuales ordenados, la media sería el  \left (\frac{15 + 1} {2} \right) = 8^\circ valor. Para 50 datos puntuales, la cantidad  \left (\frac{n + 1} {2} \right)= 25.5, lo cual nos indica que la mediana se ha obtenido calculando la media aritmética de los valores 25^\circ y 26^\circ.

La mediana es una medida útil de un promedio cuando el conjunto de datos presente un alto grado de asimetría causada por un número pequeño de datos que tienen valores extremadamente grandes o extremadamene pequeños (este tipo de datos se conoce, en Inglés, como outliers). Dichos datos alejados de la zona donde se concentran la mayor parte de datos tienen, en general, un efecto bastante considerable en la media aritmética, pero no cambiarán significativamente el valor de la mediana, la cual permanecerá en la zona de mayor concentración de datos.

La Moda

La moda puede resultar una medida útil de datos cuando ellos se ubican dentro de un número pequeño de categorías. La moda es, simplemente, una medida del número más común, o de la respuesta (o selección) más popular en una encuesta. La moda es un concepto especialmente útil para conjuntos de datos que contienen información no numérica, tales como en el caso de encuestas sobre el color de los ojos, o el sabor favorito de los helados.

Ejemplo 5

Durante la venta de pasteles de su iglesia, Jim ayuda a recolectar dinero pintando el rostro de los niños asistentes. El reúne los datos de las edades de sus clientes, y despliega los datos en el histograma que se muestra. Encontrar la media, la mediana y la moda para las edades representadas en dicho histograma. .

Solución

Leyendo la gráfica, podemos ver que hubo un cliente de 2 años de edad, tres clientes de 3 años, cuatro clientes de 4 años, etc.... En total hubo:

1 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 3 + 1 = 30\ \text{clientes}.

La edad promedio se calcula sumando todos los productos de edad con frecuencia y, luego, dividendo el resultado de dicha suma entre 30:

\text{Media} & = \frac{(2 \cdot 1) + (3 \cdot 3) + (4\cdot 4) + (5 \cdot 5) + (6 \cdot 6) + (7 \cdot 7) + (8 \cdot 3) + (9 \cdot 1)} {30} \\& = \frac{2 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 24 + 9} {30} = \frac{170} {30} = 5 \frac{2} {3}

Dado que hay 30 niños, la mediana está a mitad de camino entre el 15^\circ y el 16^\circ cliente de mayor edad (de modo que la mediana dividirá el conjunto de datos en dos partes iguales. Es decir que, por debajo de la mediana, habrán 15 clientes con edades menores que la mediana, en tanto que, sobre la mediana, habrán 15 clientes con edades mayores a la misma. Puesto que tanto el 15^\circ como el 16^\circ clientes de mayor edad tienen, de hecho, 6 años de edad, resulta que:

La mediana = 6

La moda está dada por el grupo de edad con la mayor frecuencia. Al leer directamente de la gráfica, podemos observar que:

La moda = 7

Vínculo Multimedia El siguiente video es una introducción a las tres medidas de tendencia central, media, mediana y moda Khan Academy Statistics: The Average (12:34)

. El narrador hace una demostración del cálculo de la media, la mediana y la moda de un conjunto de números. Aunque este video presenta conceptos similares a los desarrollados arriba, algunos estudiantes podrían encontrar gran utilidad éste video, ya que éste presenta una comparación de lo que representan las tres medidas de tendencia central mencionadas.

Medidas de Dispersión

Observa las gráficas de abajo. Cada una representa una colección de muchos datos puntuales. Además muestra cómo los valores individuales (línea sólida) se relacionan con la media del conjunto de datos (línea discontinua). Tú puedes observar que, aun cuando las tres gráficas tienen una media común, el grado con el que los datos se esparcen difiere de gráfica a gráfica. En estadística, utilizamos la palabra dispersión' como una mediada de cuán esparcidos se encuentran los datos.

El Rango

El Rango es la medida más simple de dispersión. Expresa sencillamente cuál es el intervalo numérico (o extensión) de los datos y se calcula restando el número menor del número mayor de un conjunto de datos determinado.

Ejemplo 6

Encontrar el rango y la mediana de los datos siguientes

223, 121, 227, 433, 122, 193, 397, 276, 303, 199, 197, 265, 366, 401, 222

Solución

La primera cosa por hacer es ordenar los datos de menor a mayor.

121, 122, 193, 197, 199, 222, 223, 227, 265, 276, 303, 366, 397, 401, 433

Nota: Es extremadamente importante que, sin excepción, todos los datos sean transferidos a la segunda lista (la que tiene sus datos en orden creciente). Dos maneras de asegurar esto son (i) tachar los números en la lista original a medida que se ordenan en la segunda lista; (ii) Contar el número de datos en ambas listas, verificando que ambas posean igual número de datos. En este ejemplo, ambas listas contienen 15 valores.

El rango se calcula restando el dato de menor valor del que tiene mayor valor.

\text{Rango} = \underline{433 - 122 = 311}

Una vez ordenada la lista de datos, y dado que se tienen 15 valores, resulta obvio que la mediana es el 8^\circ valor.

Median = 227

La Varianza

El rango, en particular, no es una buena medida de dispersión porque no elimina los puntos que tienen valores inusualmente bajos o elevados comparados con el resto de datos (conocidos, en Inglés como outliers). Un método mejor consiste en medir la distancia que separa cada dato de promedio central.

Observa los siguientes datos.

11, 13, 14, 15, 19, 22, 24, 26

Podemos ver que la media de estos valores es

 \frac{11 + 13 + 14 + 15 + 19 + 22 + 24 + 26} {8} = \frac{144} {8} = 18

Todos los valores difieren del valor de la media, pero la diferencia específica varía de dato a dato. La siguiente lista presenta la diferencia entre cada uno de los números anteriores y el valor de la media (18) que los representa.

-7, -5, -4, -3, 1, 4, 6, 8

Esta lista muestra las desviaciones con respecto a la media. Si encontramos la media de dichas desviaciones, resulta que es igual a cero.

 \frac{-7 + (-5) + (-4) + (-3) + 1 + 4 + 6 + 8} {8} = \frac{0} {8} = 0

Este resultado no debería sorprendernos. Tú puedes observar que algunos de los valores son positivos y otros son negativos, lo cual resulta comprensible porque la media se ubica cerca del centro del rango. Además, puedes usar el Álgebra para probar (¡inténtalo!) que la suma de las desviaciones siempre será cero, sin importar qué números se encuentran en la lista. Resulta, pues, que la suma de las desviaciones no es una herramienta útil para medir la varianza.

Podemos, sin embargo, elevar al cuadrado dichas diferencias – cambiando, por tanto, las diferencias negativas en valores positivos. En dicho caso, obtenemos la siguiente lista.

49, 25, 16, 9, 1, 16, 36, 64

Ahora podemos proceder a encontrar la media de los cuadrados de las desviaciones.

 \frac{49 + 25 + 16 + 9 + 1 + 16 + 36 + 64} {8} = \frac{216} {8} = 27

Al promedio de los cuadrados de las diferencias de los datos con respecto a la media (desviación media cuadrática) se conoce como la varianza de dichos datos. La varianza es una mediada de dispersion y su valor, para datos agrupados muy cercanamente entre sí, es más pequeño que para datos que se esparcen ampliamente. En el ejemplo de arriba, la varianza es 27.

La varianza de una población de datos (simbolizada por \sigma^{2}) puede ser calculada mediante la fórmula siguiente:

Varianza

 \sigma^{2} = \frac{(x_1 - \bar {x})^2 + (x_2 - \bar {x})^2 + \ldots + (x_n - \bar {x})^2} {n}

¿Cuál es el significado de afirmar que datos agrupados cercanamente entre sí tendrán una varianza pequeña? Probablemente ya habrás pensado que el valor de la varianza también depende del número de los datos. Abajo verás formas en que los matemáticos han tratado de estandarizar la varianza.

Desviación Estándar

Una de las medidas más comunes de dispersion de datos estadísticos es la desviación estándar. Puedes ver, del ejemplo previo, que necesitamos, en efecto, obtener una medida de la dispersion de los datos (probablemente tu visualices que datos agrupados muy cercanamente tendrán una ‘‘desviación cuadrática media’’ más pequeña, y, por lo tanto, también una ‘‘varianza’’ más pequeña) pero, como ilustración particular, no resulta evidente a qué se refiere el número 27 en el ejemplo de arriba. Sin embargo, dado que la varianza es la ‘‘media de los cuadrados de las desviaciones’’, un paso lógico adicional sería obtener la raíz cuadrada. Así, la raíz cuadrática media (es decir, la raíz cuadrada de la varianza) es conocida como ‘‘‘desviación estándar’’’, y se denota por el símbolo s.

Desviación Estándar

La desviación estándar de un conjunto de n números, x_{1}, x_{2} \ldots x_{n} los cuales tienen una media \bar{x}, viene dada por la siguiente expresión.

 \sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\frac{(x_1 - \bar {x})^2 + (x_2 - \bar {x})^2 + \ldots + (x_n - \bar {x})^2} {n}}

Nota: Esta fórmula se utiliza para encontrar la desviación estándar de una población, la cual es el grupo total de datos de interés. Si se necesita encontrar la desviación estándar de una muestra o subconjunto más pequeño de dicha población, entonces se debe recurrir a una fórmula alternativa que, de hecho, existe.

Ejemplo 7

Encontrar la media, la varianza y la desviación estándar de los siguientes valores.

121, 122, 193, 197, 199, 222, 223, 227, 265, 276, 303, 366, 397, 401, 433

Solución

La media se necesita para calcular la varianza. A partir de la varianza podemos determinar la desviación estándar. La media viene dada por la siguiente expresión:

\text{media} & = \frac{121 + 122 + 193 + 197 + 199 + 222 + 223 + 227 + 265 + 276 + 303 + 366 + 397 + 401 + 433} {15} \\\text{media} & = \frac{3945} {15} = 263.

La varianza y la desviación estándar a menudo se calculan de mejor manera construyendo una tabla. Con este método, debemos calcular la desviación (respecto de la media), así como el cuadrado de la desviación de cada dato puntual que aparece en dicha tabla.

Datum Value  (x_i - \bar{x})  (x_i - \bar{x})^2
x_1 121 –142 20,164
x_2 122 -141 19,881
x_3 193 -70 4,900
x_4 197 -66 4,356
x_5 199 -64 4,096
x_6 222 -41 1,681
x_7 223 -40 1,600
x_8 227 -36 1,296
x_9 265 2 4
x_{10} 276 13 169
x_{11} 303 40 1,600
x_{12} 366 103 10,609
x_{13} 397 134 17,956
x_{14} 401 138 19,044
x_{15} 433 170 28,900
Sum 0 136,256

La varianza, pues, está dada por

 \sigma^2 = \frac{136,256} {15} = \underline{9083.733}.

Mientras que la desviación estándar está dada por

s = \sqrt{\sigma^2} = 95.31.

Si observas la tabla, verás que la desviación estándar es una buena medida de la dispersión de los datos. Se puede considerar como una estimación razonable de la distancia promedio que guarda el punto (donde se encuentra un dato) con relación a la media.

Calcular e Interpretar Medidas de Tendencia Central y dispersión para Situaciones del Mundo Real

Ejemplo 8

Un conjunto de precios de venta de casas en una ciudad de Arizona se listan a continuación. Calcular la media y la mediana de los precios de venta de las casas. También calcular la desviación estándar del precio de venta

Mesa, Arizona

Dirección Precio de Venta Fecha de Venta
518 CLEVELAND AVE $117,424 12/28/2006
1808 MARKESE AVE $128,000 1/10/2007
1770 WHITE AVE $132,485 12/28/2006
1459 LINCOLN AVE $77,900 1/4/2007
1462 ANNE AVE $60,000 1/24/2007
2414 DIX HWY $250,000 1/12/2007
1523 ANNE AVE $110,205 1/8/2007
1763 MARKESE AVE $70,000 12/19/2006
1460 CLEVELAND AVE $111,710 12/11/2006
1478 MILL ST $102,646 12/6/2006

(Source: www.google.com)

Solución

Haremos primero una tabla, reescribiendo los precios de venta en orden creciente. Al pie de la tabla, dejaremos espacios para mostrar no solamente la suma de las diferencias, sino también la suma de los valores de las ventas. Esto último nos ayudará a determinar la media.

Dato Valor ($)  (x_i - \bar{x})  (x_i - \bar{x})^2
x_1 60,000
x_2 70,000
 x_3 77,900
 x_4 102,646
x_5 110,205
x_6 111,710
x_7 117,424
x_8 128,000
x_9 132,485
x_{10} 250,000
SUMA: 10 1,160,370

Ahora la media puede calcularse rápidamente mediante el cálculo del cociente entre la suma de todos los valores de las ventas ($1,160,370) y el número de valores (10).

\text{media} = \frac{\$ 1,160,370} {10} = \$ 116,037

Recuerda que la mediana es el  \left (\frac{n + 1} {2} \right) -ésimo valor. Dado que  \left (\frac{n + 1} {2} \right)= 5.5, la mediana es la media de x_5 y x_6.

\text{mediana}= \frac{\$ 110,205 + \$ 111,710} {2} = \$ 110,957.50

Dado que hemos logrado encontrar la media, procederemos ahora a completar el resto de la tabla.

Dato Valor ($)  (x_i - \bar{x})  (x_i - \bar{x})^2
x_1 60,000 56037 3140145369
x_2 70,000 -46037 2119405369
x_3 77,900 -38137 1454430769
x_4 102,646 -13391 179318881
x_5 110,205 -5832 34012224
x_6 111,710 -4327 18722929
x_7 117,424 1387 1923769
x_8 128,000 11963 14311369
x_9 132,485 16448 270536704
x_{10} 250,000 133963 17946085369
SUMA 10 1,160,370 0 25178892752

Así, la desviación estándar está dada por

\sigma = \sqrt{\frac{25178892752} {10}} \approx \$ 50,179

En este caso, la mediana y la media tienen valores bastante cercanos entre sí, lo cual indica que los precios para las casas en esta área de Mesa se distribuyen de manera considerablemente simétrica alrededor de la media. Aunque hay una casa que es significativamente más cara que las otras, existe también casas más baratas, cuyos precios balancean la dispersión.

Ejemplo 9

James y John poseen, sendos campos en los cuales cultivan repollos (una especie de col). James planta repollos manualmente, mientras que John utiliza maquinaria para poder controlar cuidadosamente la distancia entre los mismos. El diámetro de los repollos de cada cultivador son medidos y los resultados se muestran en la tabla siguiente.

James John
Diámetro Medio(pulgadas) 7.10 6.85
Desviación estándar (pulgadas) 2.75 0.60

John alega que su método, consistente en plantar repollos con maquinaria, es el mejor. James insiste en que es mejor plantarlos manualmente. Utiliza los datos para encontrar razones que justifquen ambos lados de la argumentación.

Solución

  • Los repollos de James tienen un mayor diámetro medio, y por lo tanto, en promedio, son más grandes que los de John. Además, la mayor desviación estándar de los diámetros de sus repollos indica que habrá un número de éstos que son significativamente más grandes que la mayoría de los de John.
  • Los repollos de John son, en promedio, más pequeños que los de James, pero difieren de éstos en una cantidad relativamente pequeña (un cuarto de pulgada). La desviación estándar más pequeña que encontramos en el caso de John indica que el tamaño de cada uno de sus repollos es bastante predecible. La dispersión de tamaños es mucho menor, de modo que ellos se encuentran más cercanos a la media que los de James. Por lo tanto, aunque John no produzca muchos repollos extra grandes, tampoco procuce alguno que sea excedsivamente pequeño. Lo cual puede resultar atractivo para las tiendas a las que él les venda sus repollos.

Ejercicios de Repaso

  1. Encontrar la mediana de los salarios dados en el ejemplo 2.
  2. Encontrar la media, mediana y la desviación estándar de los números siguientes. ¿Cuál de ambas medidas, media o mediana, proporcionará el mejor promedio? 15, 19, 15, 16, 11, 11, 18, 21, 165, 9, 11, 20, 16, 8, 17, 10, 12, 11, 16, 14
  3. Diez precios de venta de casas, realizadas en la ciudad de Encinitas, California, se muestran en la tabla de abajo. Encontrar la media, mediana y la desviación estándar de dichos precios de venta. Explicar, haciendo uso de los datos, ¿Por qué la mediana de los precios de las casas es utilizada más frecuentemente como medida de los precios de casas en dicha área.
Dirección Precio de Venta Fecha de la Venta
643 3RD ST $1,137,000 6/5/2007
911 CORNISH DR $879,000 6/5/2007
911 ARDEN DR $950,000 6/13/2007
715 S VULCAN AVE $875,000 4/30/2007
510 4TH ST $1,499,000 4/26/2007
415 ARDEN DR $875,000 5/11/2007
226 5TH ST $4,000,000 5/3/2007
710 3RD ST $975,000 3/13/2007
68 LA VETA AVE $796,793 2/8/2007
207 WEST D ST $2,100,000 3/15/2007
  1. Determinar cuál promedio (media, mediana o moda) resultaría más apropiado para representar lo siguiente:
    1. La esperanza de vida de un pez goldfish comprado en una tienda de mascotas.
    2. La edad, expresada en años, de la audiencia de un programa de TV para niños.
    3. El peso de los sacos de papas (patatas) que una tienda marca como “saco de 5 libras”
  2. Dos compañías de autobuses (buses) dan servicio entre Los Angeles y San Francisco. Los tiempos medios de recorrido, así como su desviación estándar, estan dados abajo. Si Samantha necesita viajar entre ambas ciudades, cuál compañía debería escoger si:
    1. Ella necesita abordar un avión en San Francisco.
    2. Ella viaja semanalmente para visitar amigos que viven en San Francisco y desea minimizar el tiempo que invierte en viajar en bus durante el años entero.
Inter-Cal Express Fast-dog Travel
Tiempo Medio(horas) 9.5 8.75
Desviación Estándar (horas) 0.25 2.5

Respuestas a los Ejercicios de Repaso

  1. $44,530
  2. \text{Media} = 21.75, \text{Mediana} = 15, y \text{\text{Desviaci\'{o}n Est\'{a}ndar}} \approx 33.9. Debido al dato de gran desviación (outlier) (165) la mediana constituye el mejor promedio.
  3. \text{Media} = \$1,408,679.30, \text{Mediana} = \$962,500, y \text{\text{Desviaci\'{o}n Est\'{a}ndar}} \approx \$994,311.10. Debido a que a menudo existirán algunas casas muy caras (por ejemplo, puedes ver que existe una de ellas con precio de venta de $4 millones), la mediana es una mejor medida de tendencia central.
  4. Las respuestas correctas pueden ser variadas. Las que siguen, son muestras de respuestas razonables.
    1. Mediana – Algunos goldfish pueden vivir por muchos años, mientras que otros pocos pueden morir en cuestión de días.
    2. Moda – La audiencia objetivo puede tener, por ejemplo, 4 años de edad, pero los padres e hijos mayores puden desviar los otros promedios.
    3. Media – Este promedio tiene la ventaja adicional de predecir el valor al que tiende el peso luego de revisar un gran número de sacos. La mediana (o incluso la moda) podrían ser útiles si el estudiante puede justificar la respuesta.
    1. Dado que ella quiere abordar a tiempo un avión, la compañía más predecible será la mejor. La menor desviación estándar que presenta InterCal nos indica que la posibilidad de que ocurran retrasos inesperados es menor si se utilizan los buses de dicha compañía.
    2. Para un gran número de viajes, el tiempo total en bus es, aproximadamente, igual al tiempo promedio de los viajes multiplicado por el número de viajes. Por lo tanto, la compañía Fast-dog minimizaría el tiempo total de viaje (a lo largo de un año).

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CK.MAT.SPA.SE.1.Algebra-I.11.6

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