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Objetivos de Aprendizaje

En esta lección, aprenderás a:

  • Distinguir entre variación directa e inversa.
  • Graficar ecuaciones de variación inversa.
  • Escribir ecuaciones de variación inversa.
  • Resolver problemas del mundo real mediante ecuaciones de variación inversa.

Introducción

Muchas variables, en problemas del mundo real, están relacionadas entre sí por medio de variaciones. Una variación es una ecuación que relaciona una variable con otra u otras variables mediante las operaciones de multiplicación y división. Existen tres tipos de problemas de variación: variación directa, variación inversa y variación conjunta.

Distinción entre Variación Directa e Inversa

En relaciones de variación directa, las variables relacionadas o bien crecen juntas, o bien decrecen juntas, a razón constante. Por ejemplo, considera una persona que camina a 3 millas por hora. A medida que se incrementa el tiempo, la distancia recorrida por la persona se incrementa a razón de tres millas cada hora. Por tanto, decimos para este caso que la distancia y el tiempo están relacionados entre sí mediante una variación directa.

\text{distancia}= \text{rapidez} \times \text{tiempo}

Dado que la rapidez es una constante, 3 millas por hora, podemos escribir: d=3t.

Variación directa

La ecuación general para una variación directa es

y = kx.

k es llamada la constante de proporcionalidad

Tu puedes ver, de la ecuación anterior que una variación directa es una ecuación lineal con un intercepto en y igual a cero. La gráfica de una variación directa es una línea recta que pasa por el origen y cuya pendiente es k, que es la constante de proporcionalidad.

Un segundo tipo de variación es la variación inversa. Cuando dos cantidades se relacionan entre sí inversamente, resulta que a medidad que una cantidad se incrementa, la otra disminuye y viceversa.

Por ejemplo, si echamos de nuevo un vistazo a la fórmula \;\text{distancia} = \;\text{rapidez} \ \times \;\text{tiempo} y resolvemos para el tiempo, obtenemos:

\text{tiempo}= \frac{\text{distancia}}{\text{rapidez}}

Si conservamos constante la distancia, vemos que a medida que la rapidez de un objeto se incrementa, entonces el tiempo que le toma recorrer dicha distancia disminuye. Considera, por ejemplo un auto que debe recorrer una ditancia de 90 millas, entonces la fórmula que relaciona el tiempo con la rapidez es t = \frac{90}{velocidad}.

Variación Inversa

La ecuación general para la variación inversa es

y=\frac{k}{x}

donde k es llamada la constante de proporcionalidad.

En este capítulo, investigaremos cómo se comportan las gráficas de este tipo de relaciones.

Otro tipo de variación es la variación conjunta. En este tipo de relación, una variable puede variar con el producto de dos o más variables.

Por ejemplo, el volumen de un cilintro está dado por:

 V=\pi r^2 \cdot h

En esta fórmula, el volumen varía directamente con el producto del cuadrado del radio de la base y la altura del cilindro. Acá, la constante de proporcionalidad es el número \pi.

En muchos problemas de aplicación, la relación entre las variables es una combinación de variaciones. Por ejemplo, la Ley de Gravitacón de Newton establece que la fuerza de atracción entre dos cuerpos esféricos varía conjuntamente con las masas de ambos objetos e inversamente con el cuadrado de la distancia entre ellos.

 F=G\frac {m_1m_2}{d^2}

En este ejemplo, la constante de proporcionalidad, G, se conoce como la constante gravitatoria y su valor está dado por G = 6.673 \times 10^{-11}N \cdot m^2 / kg^2.

Gráficas de Ecuaciones de Variación Inversa

Hemos visto que la ecuación general para variaciones inversas está dada por la fórmula y=\left (\frac{k}{x} \right ), donde k es una constante de proporcionalidad. Ahora corresponde mostrar cómo se comportan las gráficas de tales tipos de relaciones. Comenzaremos por hacer una tabla de valores. En muchas aplicaciones, tanto x como y son variables que toman valores positivos. Así, en nuestra tabla, escogeremos únicamente valores positivos de x.

Ejemplo 1

Graficar una relación de variación inversa cuya constante de proporcionalidad es k = 1.

Solución

x y =\frac {1}{x}
0 y=\frac {1}{0} = \text{valor indefinido}
\frac {1}{4} y =\frac {1}{\frac{1}{4}}=4
\frac {1}{2} y =\frac {1}{\frac{1}{2}}=2
\frac {3}{4} y =\frac {1}{\frac{3}{4}}=1.33
1 y =\frac {1}{1}=1
\frac {3}{2} y =\frac {1}{\frac{3}{2}}=0.67
2 y =\frac {1}{2}=0.5
3 y =\frac {1}{3}=0.33
4 y =\frac {1}{4}=0.25
5 y =\frac {1}{5}=0.2
10 y =\frac {1}{10}=0.1

He aquí la gráfica que muestra estos puntos, los cuales se han conectado mediante una curva suave.

Tanto la tabla como la gráfica demuetran la relación que existe entre la variables para el caso de una variación inversa. A medida que una variable aumenta, la otra variable disminuye y viceversa. Observa que cuando x= 0, el valor de y no está definido. La gráfica muestra que cuando el valor de x es muy pequeño, el valor de y es muy grande y se aproxima a infinito a medida que x se aproxima cada vez más a cero.

De manera similar, a medida que el valor de x se vuelve muy grande, el valor de y se vuelve muy pequeño, pero nunca alcanza el valor de cero. A lo largo de este capítulo, investigaremos este comportamiento en detalle.

Determinación de Ecuaciones de Variación Inversa

Como vimos antes, una variación inversa es aquella que está representada por la ecuación: y = \left (\frac{k}{x} \right ). En general, para encontrar la constante de proporcionalidad, necesitamos conocer el valor de y para un valor particular de x. Luego de encontrar dicha constante, podemos encontrar el valor de y para algún valor dado de x.

Ejemplo 2

Si y es inversamente proporcional a x y se sabe, además, que y = 10 cuando x = 5. Encontrar y cuando x = 2.

Solución

\text{Puesto que y es inversamente proporcional a}\ x,\\\text{entonces la relaci\'{o}n general nos dice que} & & y & =\frac {k}{x}\\\text{Reemplazando los valores dados para cada variable} \ y = 10 \ \text{y} \ x = 5. & & 10 & =\frac {k}{5}\\\text{Resolviendo para k multiplicando ambos miembros de la ecuaci\'{o}n por} \ 5. & & k& =50\\\text{Ahora, ponemos de nuevo k en la ecuaci\'{o}n general. De modo que}\\\text{la relaci\'{o}n inversa queda expresada por} & & y &  =\frac {50}{x}\\\text{Cuando x} = 2 & & y & =\frac {50}{2} \ \text{\'{o}} \ y =25

Respuesta y = 25

Ejemplo 3

Si p es inversamente proporcional al cuadrado de q, y p = 64 cuando q = 3. Encontrar p cuando q = 5.

Solución:

\text{Dado que p es inversamente proporcional a } \ q^2, && p & =\frac {k}{q^2}\\\text{entonces, la ecuaci\'{o}n general es }\\\text{Sustituyendo los valores} \ p = 64 \ \text{y} \ q = 3. & & 64& =\frac {k}{3^2} \ \text{\'{o}} \ 64=\frac {k}{9}\\\text{Se resuelve para k multiplicando ambos miembros} && k & =576\\\text{de la ecuaci\'{o}n por} \ 9.\\\text{Por tanto, la relaci\'{o}n inversa está dada por } && p& =\frac {576}{q^2}\\\text{Cuando} \ q = 5 & & p& =\frac {576}{25} \ \text{\'{o}} \ p=23.04

Respuesta p=23.04.

Resolución de Problemas del Mundo Real Mediante Ecuaciones de Variación Inversa

Muchas fórmulas de la Física están descritas por variaciones. En esta sección estudiaremos algunos problemas que son descritos por variaciones inversas.

Ejemplo 4

La frecuencia, f, del sonido varía inversamente proporcional a la longitud de onda, \lambda. Si una señal de sonido que tiene una longitud de onda de 34 metros tiene una frecuencia de 10 hertz. ¿Cuál es la frecuencia que posee una señal de sonido cuya longitud de onda es igual a 120 metros?

Solución

\text{La relaci\'{o}n de variaci\'{o}n inversa es } & & f& =\frac {k}{\lambda}\\\text{Sustituyendo los valores} \ \lambda = 34 \ \text{y} \ f = 10. & & 10& =\frac {k}{34}\\\text{Multiplicando ambos miembros de la ecuaci\'{o}n por} \ 34. & & k& =340 \\\text{Así, la relaci\'{o}n de variaci\'{o}n inversa est\'{a} dada por} & & f& =\frac {340}{\lambda} \\\text{Evaluando en} \ \lambda = 120 \ \text{metros}. & & f& =\frac {340}{120}\Rightarrow f=2.83

Respuesta  f=2.83\ Hertz

Ejemplo 5

La fuerza electrostática es la fuerza de atracción, o de repulsión, que existe entre dos cargas. La fuerza electrostática está dada por la fórmula: F=\left (\frac{Kq_1q_2}{d^2} \right ) donde q_1 y q_2 son los valores de las cargas de las partículas, d es la distancia que separa las cargas y k es la constante de proporcionalidad. Las cargas no cambian y son, por tanto, constantes que pueden combinarse con la otra constante k para formar una nueva constante K. Así, la ecuación puede reescribirse como F=\left (\frac{K}{d^2}\right ). Si la fuerza electrostática es F = 740 Newtons cuando la distancia entre las cargas es igual a 5.3 \times 10^{-11} metros, ¿Cuál es el valor de F cuando d = 2.0 \times 10^{-10} metros?

Solución

\text{La relaci\'{o}n de variaci\'{o}n inversa es} & & f& =\frac {k}{d^2}\\\text{Sustituyendo los valores} \ F = 740 \ \text{y} \ d = 5.3\times10^{-11}. & & 740& =\frac {k}{\left ( {5.3\times 10^{-11}} \right )^2}\\\text{Multiplicando ambos miembros de la ecuaci\'{o}n por} \ (5.3\times10^{-11})^2. & & K& =740 \left ( {5.3\times 10^{-11}} \right )^2\\\text{La fuerza electrost\'{a}tica viene dada por } & & F& =\frac {2.08\times 10^{-18}}{d^2}\\\text{Cuando d} \ = 2.0 \times 10^{-10} & & F& =\frac {2.08\times 10^{-18}}{\left ( 2.0\times 10^{-10} \right )^2}\\\text{Introduciendo} \ \frac{2.08*10^{(-18)}}{(2.0*10^{(-10)})^2} \ \text{en una calculadora, resulta que}. & & F& =52

Respuesta F=52 Newtons

Nota: En el último ejemplo, también puedes calcular F=\frac {2.08\times 10^{-18}}{\left ( 2.0\times 10^{-10} \right )^2} manualmente.

F & = \frac {2.08 \times 10^{-18}}{\left ( 2.0 \times 10^{-10} \right )^2} \\& = \frac {2.08 \times 10^{-18}}{4.0 \times 10^{-20}}\\& = \frac {2.08 \times 10^{20}}{4.0 \times 10^{18}}\\& = \frac {2.08}{4.0} \left( 10^{2} \right) \\& = 0.52(100) \\& =52

El procedimiento anterior ilustra la utilidad de la notación científica.

Ejercicios de Repaso

Graficar las siguientes relaciones de variación inversa.

  1.  y=\frac {3}{x}
  2.  y=\frac {10}{x}
  3.  y=\frac {1}{4x}
  4.  y=\frac {5}{6x}
  5. Si z es inversamente proporcional a w y z = 81 cuando w = 9, encontrar w cuando z = 24.
  6. Si y es inversamente proporcional a x y y = 2 cuando x = 8, encontrar y cuando x = 12.
  7. Si a es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de b, y a = 32 cuando b = 9, encontrar b cuando a = 6.
  8. Si w es inversamente proporcional al cuadrado de u and w = 4 cuando u = 2, encontrar w cuando u = 8.
  9. Si x es proporcional a y e inversamente proporcional a z. Si se conoce, además que x = 2 cuando y = 10 y z = 25. Encontrar x cuando y = 8 y z = 35.
  10. Si a varía directamente con respecto a b e inversamente con el cuadrado de c. Se sabe, además, que a = 10 cuando b = 5 y c = 2. Encontrar el valor de a cuando b = 3 y c = 6.
  11. La intensidad de la luz es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa la fuente de luz del objeto que se ilumina. Un medidor de luz, que se encuentra a 10 metros de una fuente de luz, registra 35 luxes. ¿Cuál será la intensidad que registraría dicho medidor si se localiza a una distancia de 25 metros de la fuente de luz?
  12. La ley de Ohm establece que la corriente que fluye en un alambre conductor es inversamente proporcional a la resistencia del alambre. Si la corriente es de 2.5 Amperes cuando la resistencia es 20 ohms, Encontrar la resistencia cuando la corriente es de 5 Amperes.
  13. El volumen de un gas varía directamente con relación a su temperatura e inversamente con relación a su presión. A 273 grados Kelvin y a una presión de 2\;\text{atm\text{\'{o}sferas}}, el volumen del gas es de 24 Litros. Encontrar el volumen del gas cuando la temperatura sea de 220 Kelvin y la presión sea de 1.2\;\text{atm\text{\'{o}sferas}}.
  14. El volumen de una pirámide de base cudrada varía conjuntamente con su altura y el cuadrado de la longitud de la base. Una pirámide cuya altura es de 4 pulgadas y cuya base mide 3 pulgadas por lado, tiene un volumen de 12 plg^3. Encontrar el volumen de una pirámide cuadrada qe tiene una altura de 9 pulgadas y cuya base tiene una longitud de 5 pulgadas por lado.

Respuestas a los Ejercicios de Repaso

  1.  W=\frac {243}{8}
  2.  y=\frac {4}{3}
  3. b = 256
  4.  w=\frac {1}{4}
  5.  x=\frac {8}{7}
  6.  a=\frac {2}{3}
  7. I = 5.6 \ luxes
  8. R = 10 \ ohmios
  9. V = 32.2 \ L
  10. V = 75 plg.^3

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Feb 22, 2012

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Apr 29, 2014
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