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2.1: Enteros y Números Racionales

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Objetivos de Aprendizaje

  • Graficar y comparar Enteros.
  • Clasificar y ordenar números racionales.
  • Encontrar los opuestos de los números.
  • Encontrar valores absolutos.
  • Comparar fracciones para determinar cual es la más grande.

Graficar y Comparar Enteros

Los Enteros son los números de conteo (1, 2, 3...), los números de conteo negativos (-1, -2, -3...), y cero. Existe un número infinito de enteros. Ejemplo de enteros son {0, 3, 76, -2, -11, 995,...} y deberían conocerse con el nombre de Números Enteros. Cuando representamos enteros en la recta numérica, éstos caen exactamente en los números enteros.

Ejemplo 1

Comparar los números 2 y -5

Primero, haremos el gráfico de los dos números en la recta numérica.

Podemos comparar enteros notando cual es el mayor y cual es el menor. El mayor número esta ubicado en el extremo derecho, y el menor está en el extremo izquierdo.

En el diagrama de arriba, podemos ver que 2 está más alejado hacia la derecha en la recta numérica que -5, entonces decimos que 2 es mayor que -5. Usamos el símbolo “>” que significa “mayor que”.

Solución

2 > -5

Ejemplo 2

Una rana está sentada sobre el número 7 en la recta numérica. la rana salta aleatoriamente hacia la izquierda o derecha, pero siempre salta exactamente una distancia de 2. Describe los números en que la rana puede aterrizar, y elabora una lista de todas las posibles ubicaciones de la rana después de dar 5 saltos.

Solución

Graficaremos la posición de la rana, y también indicaremos como se observan 2 saltos. Vemos que una posibilidad es que la rana aterrice en 5. Otra posibilidad es que aterrice en 9. Está claro que la rana siempre aterrizará en un número impar.

Después de un salto la rana podría estar en el 9 o el 5 (pero no en el 7). Después de dos saltos la rana podría estar en el 11, 7 o 3. Contando el número de veces que la rana salta a la derecha o a la izquierda, podríamos determinar donde aterriza la rana. Después de cinco saltos, hay varias posibles ubicaciones para la rana. Existe una manera sistemática para calcular las posibles ubicaciones dependiendo de cuantas veces la rana saltó a la derecha, y cuantas veces la rana saltó a la izquierda.

\text{RRRRR} & = 5\ \text{saltos a la derecha} && \text{ubicaci\'{o}n} = 7 + (5 \cdot 2) = 17 \\\text{RRRRL} & = 4\ \text{saltos a la derecha, 1 salto a la izquierda} && \text{ubicaci\'{o}n} = 7 + (3 \cdot 2) = 13 \\\text{RRRLL} & = 3\ \text{saltos a la dercha, 2 saltos a la izquierda} && \text{ubicaci\'{o}n} = 7 + (1 \cdot 2) = 9 \\\text{RRLLL} & = 2\ \text{saltos a la derecha, 3 saltos a la izquierda} && \text{ubicaci\'{o}n} = 7 - (1 \cdot 2) = 5 \\\text{RLLLL} & = 1\ \text{salto a la derecha, 3 saltos a la izquierda} && \text{ubicaci\'{o}n} =7 - (3 \cdot 2) = 1 \\\text{LLLLL} & = 5\ \text{saltos a la izquierda} && \text{ubicaci\'{o}n} = 7 - (5 \cdot 2) = -3

Estas son las posibles ubicaciones de la rana exactamente después de cinco saltos. Puedes notar que el orden no importa: tres saltos a la derecha, uno a la izquierda y uno a la derecha es lo mismo que cuatro saltos a la derecha y uno a la izquierda.

Clasificación de los Números Racionales

Cuando dividimos un entero por otro entero (no cero) obtenemos lo que llamamos número racional. Es llamado así porque es la relación de un número a otro. Por ejemplo, si dividimos un entero a por un segundo entero b el número racional que obtenemos es \frac{a}{b}, provisto que b no es cero. Cuando escribimos un número racional como este, el número en la parte de arriba es llamado numerador. El número en la parte inferior es llamado denominador. Tú puedes pensar acerca de los números racionales como la fracción de un pastel. Si cortas el pastel en b rebanadas, tu parte es a de esas rebanadas.

Por ejemplo cuando vemos el número racional \frac{1}{2}, nos imaginamos cortando el pastel en dos partes. Nuestra parte es uno de esos pedazos. El número racional \frac{1}{2} se ve como esto:

Con el número racional \frac{3}{4}, cortamos el pastel en cuatro partes y nuestra parte es tres de esos pedazos. El número racional \frac{3}{4} se ve como esto:

El número racional \frac{9}{10} representa nueve rebanadas de un pastel que ha sido cortado en diez partes. El número racional \frac{9}{10} se ve como esto:

Fracciones Propias son números racionales donde el numerador (el número de arriba) es menor que el denominador (el número de abajo). Una fracción propia representa un número menor que uno. Con una fracción propia siempre terminarás con menos de un pastel entero!

Fracciones Impropias son números racionales donde el numerador es mayor que el denominador. Las fracciones impropias pueden ser reescritas como un número mixto – un entero más una fracción propia. Una fracción impropia representa un número mayor que uno.

Fracciones Equivalentes son dos fracciones que dan el mismo valor numérico cuando son evaluadas. Por ejemplo, observa la representación visual del número racional \frac{2}{4}:

Tú puedes ver que la región sombreada es idéntica en tamaño a la del número racional un medio \frac{1}{2}. Podemos escribir los factores primos de ambos, el numerador y el denominador, cancelamos factores coincidentes que aparecen en ambos.

\left (\frac{2}{4}\right ) = \left (\frac{\cancel{2} \cdot 1} {\cancel{2} \cdot 2 \cdot 1}\right ) && \text{Luego multiplicamos de nuevo los factores restantes.} &&  \left ( \frac{2}{4} \right )=\left ( \frac{1}{2} \right )

Este proceso es llamado reducción de la fracción, o escribir la fracción en términos más bajos. Reducir la fracción no cambia el valor de la fracción. Solamente simplifica la forma en que la escribimos. Cuando hemos cancelado todos los factores comunes, tenemos una fracción en su forma más simple.

Ejemplo 3

Clasificar y simplificar los siguientes números racionales

a)  \left ( \frac{3}{7} \right )

b)  \left ( \frac{9}{3} \right )

c)  \left ( \frac{50}{60} \right )

a) 3 y 7 son ambos números primos – no hay una forma más simple para este número racional entonces...

Solución

\frac{3}{7} ya está en su forma más simple.

b) 9=3\cdot 3 y 3 es un número primo. Reescribimos la fracción como: \left (\frac{9} {3}\right ) = \left (\frac{\cancel{3} \cdot 3 \cdot 1} {\cancel{3} \cdot 1} \right ). 9 > 3 entonces…

Solución

\frac{9}{3} es una fracción impropia y se simplifica a \frac{3}{1} o simplemente 3.

c)  50 = 5 \cdot 5 \cdot 2 y 60 = 5 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2. Reescribimos la fracción así: \frac{50} {60} = \left (\frac{\cancel{5} \cdot 5 \cdot \cancel{2} \cdot 1} {\cancel{5} \cdot 5 \cdot \cancel{2} \cdot 2 \cdot 1} \right ).  50 < 60 entonces…

Solución

\frac{50}{60} es una fracción propia y se simplifica a \frac{5}{6}.

Orden de los Números Racionales

Ordenar números racionales es simplemente un caso de organizar los números en orden de incremento de valor. Escribimos los números con el menor (más negativo) primero y el mayor (más positivo) por último.

Ejemplo 4

Colocar las siguientes fracciones en orden de menor a mayor:  \frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{2}{3}

Vamos a dibujar una representación de cada fracción.

Podemos observar que el número más grande es \frac{3}{4} y el más pequeño es \frac{1}{2}:

Solución

 \frac{1}{2} < \frac{2}{3} < \frac{3}{4}

Con fracciones simples, es muy fácil ordenarlas. Piensa en el ejemplo anterior. Sabemos que un medio es mayor que un cuarto, y sabemos que dos tercios es mayor que un medio. Con fracciones más complejas, necesitamos una mejor manera para comparar.

Ejemplo 5

Cuál es mayor, \frac{3}{7} o \frac{4}{9}?

En orden de determinar esto, necesitamos encontrar una manera de reescribir nuevamente las fracciones así podemos compararlas mejor. Sabemos que podemos escribir fracciones equivalentes para ambas. Si hacemos los denominadores iguales en nuestras fracciones equivalentes, entonces podemos compararlas directamente. Estamos buscando el múltiplo común más bajo de cada denominador. A esto se le llama encontrar el mínimo común denominador (mcd).

El mínimo común múltiplo de 7 y 9 es 63. Nuestra fracción estará representada por una forma dividida en 63 secciones. Esta vez usaremos un rectángulo cortado en 9 por 7 = 63 pedazos:

7 divide a 63 nueve veces entonces:

 \left ( \frac{3}{7} \right ) = \frac {9}{9}\left ( \frac{3}{7} \right ) = \left ( \frac{27}{63} \right )

Nota que multiplicar por \frac{9}{9} es lo mismo que multiplicar por 1. Por tanto, \frac{27}{63} es una fracción equivalente a \frac{3}{7}. Aquí se muestra lo anterior:

9 divide a 63 siete veces entonces:

 \left ( \frac{4}{9} \right ) = \frac{7}{7}\left (\frac{4}{9} \right ) = \left (\frac{28}{63} \right )

\frac{28}{63} es una fracción equivalente a \frac{4}{9}. Aquí tienes como se observa.

Escribiendo la fracción sobre un común denominador de 63, puedes fácilmente compararlas. Aquí tomamos 28 de los cuadros sombreados de 63 (de nuestra imagen de \frac{4}{9} de arriba) y organizadas de manera que sea fácil compararla con nuestra representación de \frac{3}{7}. Nota que hay un pequeño cuadro “que sobra”.

Solución

Ya que \frac {28}{63} es mayor que \frac {27}{63}, \frac{4}{9} es mayor que \frac {3}{7}.

Recuerda

Para comparar números racionales debes reescribirlos con un común denominador.

Encontrar los Opuestos de los Números

Cada número tiene un opuesto. En la recta numérica, un número y su opuesto son opuestos entre sí. En otras palabras, están a la misma distancia a partir de cero, pero están en lados opuestos de la recta numérica.

Por definición, el opuesto a cero es cero.

Ejemplo 6

Encontrar el valor de los opuestos de cada una de las siguientes expresiones.

a) 3 + (-3)

b) 5 + (-5)

c) (-11.5) + (11.5)

d) \frac{3}{7} + \frac{-3}{7}

Cada una de las parejas de números en los ejemplos anteriores son opuestos. El opuesto de 3 es (-3), el opuesto de 5 es (-5), el opuesto de (-11.5) es 11.5 y el opuesto de \frac{3}{7} es \frac{-3}{7}.

Solución

el valor de cada suma en este problema es 0.

Ejemplo 7

Encontrar el opuesto de cada una de las siguientes expresiones:

a) 19.6

b) -\frac{4}{9}

c) x

d) xy^2

e) (x - 3)

Ya que sabemos que los números opuestos están en lados opuestos a partir del cero, podemos simplemente multiplicar cada expresión por -1. Esto cambia el signo del número a su opuesto.

a) Solución

El opuesto de 19.6 es -19.6.

b) Solución

El opuesto de -\frac{4}{9} es \frac{4}{9}.

c) Solución

El opuesto de x es -x.

d) Solución

El opuesto de xy^2 es -xy^2 .

e) Solución

El opuesto de (x - 3) es -(x-3)=3-x.

Nota: Con el último ejemplo tu debes multiplicar la expresión completa por -1. Un error común en este ejemplo es asumir que el opuesto de (x-3) es (x + 3). NO COMETAS ESTE ERROR!

Encontrar Valores Absolutos

Cuando hablamos acerca de valor absoluto, estamos hablando acerca de distancias en la recta numérica. Por ejemplo, el número 7 está 7 unidades alejadas de cero. El número -7 está también 7 unidades alejadas del cero. El valor absoluto de un número es la distancia a la que está a partir de cero, entonces el valor absoluto de 7 y el valor absoluto de -7 es para ambos 7.

Nosotros leemos la expresión |x| así “el valor absoluto de x.” o Nosotros escribimos el valor absoluto de -7 así |-7|

  • Tratar expresiones de valor absoluto como paréntesis. Si existe una operación adentro de los símbolos del valor absoluto primero debes evaluar la operación.
  • El valor absoluto de un número o de una expresión es siempre positiva o cero. No puede ser negativo. Con el valor absoluto, estamos interesados únicamente en qué tan lejos está un número a partir de cero, y no la dirección.

Ejemplo 8

Evaluar las siguientes expresiones de valor absoluto.

a) |5+4|

b) 3-|4-9|

c) |-5-11|

d) -|7-22|

Recuerda que debes tratar todas las expresiones dentro del símbolo del valor absoluto como si estuvieran dentro de un paréntesis, y evaluarlas primero.

Solución

a) |5+4| = |9|\! \\= 9

b) 3-|4-9| = 3-|-5|\! \\ = 3-5\\ = -2

c) |-5-11| = |-16|\! \\ = 16

d) -|7-22| = -|-15|\! \\ = -(15)\\ = -15

Resumen de la Lección

  • Enteros (o Números enteros) son los números de conteo (1, 2, 3...), los números de conteo negativo (-1, -2, -3...), y cero.
  • Un número racional es la relación de un entero respecto a otro, como \frac{a}{b} o \frac{3}{5}. El número en la parte de arriba es llamado numerador y el número en la parte inferior (el cual no puede ser cero) es llamado denominador.
  • Fracciones Propias son números racionales en las que el numerador es menor que el denominador.
  • Fracciones Impropias son números racionales en las que el numerador es mayor que el denominador.
  • Fracciones Equivalentes son dos fracciones que proporcionan el mismo valor numérico cuando son evaluadas.
  • Para reducir una fracción (escribirla en su forma más simple) Escribir todos los factores primos del numerador y denominador, cancelar factores comunes, luego escribir de nuevo la fracción en su forma simplificada.
  • Para comparar dos fracciones es conveniente escribirlas con un común denominador: el mismo entero en la parte inferior (denominador) de cada fracción.
  • El valor absoluto de un número es la distancia en la cual está en la recta numérica a partir de cero. El valor absoluto de un número será siempre positivo o cero.
  • Dos números son opuestos si están a la misma distancia a partir de cero en la recta numérica y en lados opuestos al cero. El opuesto de una expresión puede ser encontrado multiplicando la expresión total por -1.

Ejercicios de Repaso

  1. Las marcas en la recta numérica representan enteros espaciados uniformemente. encuentra los valores de a, b, c, d y e.
  2. Determinar que fracción del todo representa cada región sombreada.
  3. Colocar los siguientes conjuntos de números racionales en orden, de menor a mayor.
    1.  \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}
    2.  \frac{11}{12},\frac{12}{11},\frac{13}{10}
    3.  \frac{39}{60},\frac{49}{80},\frac{59}{100}
    4.  \frac{7}{11},\frac{8}{13},\frac{12}{19}
  4. Encontrar la forma más simple (simplificada) de los siguientes números racionales.
    1.  \frac{22}{44}
    2.  \frac{9}{27}
    3.  \frac{12}{18}
    4.  \frac{315}{420}
  5. Encontrar el opuesto de cada una de las siguientes expresiones.
    1. 1.001
    2. (5-11)
    3. (x+y)
    4. (x-y)
  6. Simplificar las siguientes expresiones de valor absoluto.
    1. 11-|-4|
    2.  |4-9|-|-5|
    3. |-5-11|
    4.  7-|22-15-19|
    5.  -|-7|
    6.  |-2-88|-|88+2|

Respuestas

  1. a = -3; b = 3; c = 9; d = 12; e = 15
  2.  a = \frac{1}{3}; b = \frac{7}{12}; c = \frac{22}{35}
    1.  \frac{1}{4} < \frac{1}{3} < \frac{1}{2}
    2.  \frac{11}{12} < \frac{12}{11} < \frac{13}{10}
    3.  \frac{59}{100} < \frac{49}{80} < \frac{39}{60}
    4.  \frac{8}{13} < \frac{12}{19} < \frac{7}{11}
    1.  \frac{1}{2}
    2.  \frac{1}{3}
    3.  \frac{2}{3}
    4.  \frac{3}{4}
    1. -1.001
    2. 6 -(x + y)
    3. (y-x)
    1. 7
    2. 0
    3. 16
    4. -5
    5. -7
    6. 0

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