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2.8: Estrategias Para Resolución De Problemas: Suposición y Revisión, Trabajo Inverso.

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Objetivos de Aprendizaje

  • Lectura y Comprensión de las situaciones en problemas dados.
  • Desarrollo y uso de Estrategia: Suposición y Revisión.
  • Desarrollo y uso de Estrategia: Trabajo inverso.
  • Planificar y comparar enfoques alternativos para resolver problemas.
  • Resolver problemas del mundo real usando estrategias seleccionadas como parte de una plan.

Introducción

En este capítulo, continuaremos usando nuestra planificación para la resolución de problemas para solventar problemas del mundo real. En esta sección, aprenderás acerca de los métodos Suposición y Revisiónr y Trabajo Inverso. Estas son estrategias muy poderosas en la resolución de problemas y probablemente las más comúnmente usadas en la vida diaria. Vamos a revisar nuestro plan para resolver problemas.

Paso 1

Entender el problema.

Leer el problema cuidadosamente. Una vez el problema es leído, hacer una lista de los componentes y datos que están involucrados. Aquí es donde tú estarás asignando tus variables.

Paso 2

Idear un plan – Interpretar

Llega a una forma para resolver el problema. Establece una ecuación, dibuja un diagrama, haz un cuadro o construye una tabla para comenzar a resolver tus problemas.

Paso 3

Llevar a cabo el plan- Resolver

Aquí es donde tú resuelves la ecuación que has establecido en el Paso 2.

Paso 4

Observar – Revisar e Interpretar

Revisa para ver si has usado toda tu información y que la respuesta tiene sentido.

Ahora vamos a aplicar este plan a unos cuantos problemas.

Leer y Entender las Situaciones de los Problemas Dados

Las partes más difíciles en la resolución de un problema, son con frecuencia los primeros dos pasos en nuestro plan de resolución. Primero, tú necesitas leer el problema y asegurarte que has entendido lo que te están preguntando. después tienes que pensar en una estrategia que use la información que te han dado para llegar a una solución.

Vamos a observar un problema sin resolverlo. Leeremos a través del problema y haremos una lista con la información que nos han dado y de lo que estamos tratando de encontrar. Luego trataremos de idear una estrategia para resolver el problema.

Ejemplo 1

Un libro cuesta $18 Si es comprado en línea (a través de internet) y $22.50 Si es comprado en la tienda. La libreria vendió 250 libros y ganó $4995. Cuántos libros fueron comprados en línea y cuántos fueron comprados en la tienda?

Plantear el Problema:

Paso 1

Entender

Un libro comprado en línea cuesta $18

Un libro comprado en la tienda cuesta $22.50

Las recaudaciones totales equivalen a $4995

el número toral de libros vendidos equivale a 250

Cuántos libros fueron comprados en línea y cuantos libros fueron comprados en la tienda?

Paso 2

Estrategia

Las recaudaciones totales = Total de ventas en línea + Total de ventas en tienda.

\$4995 = \$18 (número de libros vendidos en línea) + $22.50 (número de libros vendidos en tienda)

Número de libros vendidos en línea + Número de libros vendidos en la tienda = 250 libros.

Podemos suponer valores para cada categoría y ver cual de ellos darán respuestas correctas.

Desarrollar y Usar la Estrategia: Suposición y Revisión

La estrategia para el método “Suposición y Revisión” es conjeturar una solución y usar la cojetura en el problema, para ver si obtienes la respuesta correcta. Si la respuesta es demasiado grande o demasiado pequeña, entonces haz otra conjetura que te acerque al objetivo. Continúa haciendo suposiciones hasta que llegues a la solución correcta. El proceso puede parecer largo, de cualquier manera, el proceso de suposición con frecuencia te conduce a patrones que tú usas para hacer mejores conjeturas a lo largo del proceso.

Aquí hay un ejemplo de como esta estrategia es usada en la práctica.

Ejemplo 2

Nadia toma una cinta que tiene 48 pulgadas de longitud y la corta en dos partes. Una parte es tres veces tan larga como la otra. Qué tan larga es cada pieza?

Solución

Paso 1

Entender

Necesitamos encontrar dos números que sumen 48. Un número es tres veces el otro número.

Paso 2

Estrategia

Suponemos dos números aleatorios, uno tres veces más grande que otro y encontramos la suma.

Si la suma es demasiado pequeña, suponemos números más grandes y si la suma es demasiado grande suponemos números más pequeños.

Luego, observamos cualquier patrón que se desarrolle a partir de nuestras conjeturas.

Paso 3

Aplicar la Estrategia/Resolver

& \text{Suposici\'{o}n} & & 5\ \text{y}\ 15 & & \text{la suma es}\ 5 + 15 = 20 & & \text{la cual es}\ \text{muy peque\~{n}a}\\& \text{Suponer n\'{u}meros m\'{a}s grandes} & & 6\ \text{y}\ 18 & & \text{la suma es}\ 6 + 18 = 24 & & \text{la cual es muy peque\~{n}a}

De cualquier forma, puedes observar que la respuesta es exactamente la mitad de 48.

Multiplica 6 y 18 por dos.

\text{Nuestra siguiente conjetura es} && 12\ \text{y}\ 36 && \text{la suma es}\ 12 + 36 = 48 && \text{esto es correcto}.

Respuesta Las piezas tienen 12 y 36 pulgadas de largo.

Paso 4

Revisar

 12 + 36 & = 48 && \text{Las piezas de la cinta suman 48 pulgadas}.\\36 & = 3(12) && \text{Una pieza es tres veces la longitud de otra pieza}.

La respuesta es acertada.

Desarrollo y Uso de la Estrategia: Trabajo Inverso

El método de “Trabajo Inverso” funciona bien para problemas en los cuales una serie de operaciones son aplicadas a una cantidad desconocida y te han dado el número resultante. La estrategia en estos problemas es comenzar con el resultado y aplicar las operaciones en orden inverso hasta que encuentres la incógnita o dato desconocido. Vamos a ver cómo este método trabaja resolviendo los siguientes problemas.

Ejemplo 3

El Viernes por la mañana Anne tiene cierta cantidad de dinero en su cuenta de banco. Durante el día, ella hace un cheque por $24.50, hace un retiro de un cajero automático por $80 y deposita un cheque por 235. Al final del día, ella observa que su balance es $451.25. Cuánto dinero tenía ella al comienzo del día?

Solución:

Paso 1

Entender

Necesitamos encontrar el dinero de la cuenta bancaria de Anne al comienzo del día Viernes.

Ella sacó $24.50 y $80 y depositó $235.

Ella terminó con $451.25 al final del día.

Paso 2

Estrategia

De la cantidad desconocida sustraemos $24.50 y $80 y agregamos $235. Terminamos con $451.25.

Necesitamos comenzar con el resultado y aplicar las operaciones en reversa.

Paso 3

Aplicar Estrategia/Resolver

comienza con $451.25. Sustrae $235 y suma $80 y luego suma $24.50.

451.25 - 235 + 80 + 24.50 = 320.75

Respuesta Anne tenía $320.75 en su cuenta al comienzo del día Viernes.

Paso 4

Revisar

& \text{Anne comienza con} && \$320.75 \\& \text{Ella hace un cheque por} \ \$24.50 && \$320.75 - \$24.50 = \$296.25 \\& \text{Ella retira} \ \$80 && \$296.25 - \$80 = \$216.25 \\& \text{Ella deposita} \ \$235 &&  \$216.25 + \$235 = \$451.25

La respuesta es acertada.

Planificar y Comparar Enfoques Alternativos para la Resolución de Problemas

La mayoría de problemas pueden ser resueltos en más de una manera. Con frecuencia un método es más directo que otros. En esta sección, tú verás cómo se comparan diferentes enfoques para resolver diversos tipos de problemas.

Ejemplo 4

El papá de Nadia tiene 36. El es 16 años mayor que cuatro veces la edad de Nadia. Cuántos años tiene Nadia?

Solución

Este problema puede ser resuelto con cualquiera de las estrategias que has aprendido en esta sección. Vamos a resolver el problema usando ambas estrategias.

Método de Suposición y Revisión

Paso 1

Entender

Necesitamos encontrar la edad de Nadia.

Sabemos que su padre es 16 años mayor que cuatro veces la edad de Nadia. O 4 \times \text{(Edad de Nadia)} + 16

Sabemos que su padre tiene 36 años de edad.

Paso 2

Estrategia

Suponemos un número aleatoriamente para determinar la edad de Nadia.

Multiplicamos el número por 4 y sumamos 16 y revisamos para comprobar si el resultado es igual a 36.

Si la respuesta es demasiado pequeña, hacemos otra conjetura con un número más grande y si la respuesta es demasiado grande, entonces hacemos la conjetura con un número más pequeño.

seguimos haciendo conjeturas hasta que la respuesta sea 36.

Paso 3

Aplicar Estrategia/Resolver

& \text{Suponer la edad de Nadia} && 10 && 4(10) + 16 = 56 && \text{la cual es demasiado grande}\\&&&&&&&\text{para la edad de su padre}\\& \text{Suponer un n\'{u}mero m\'{a}s peque\~{n}o} && 9 && 4(9) + 16 = 52 && \text{el cual es demasiado grande}

Notamos que cuando disminuimos la edad de Nadia en uno, la edad de su padre disminuye por cuatro.

Queremos que la edad del padre sea 36, la cual es 16 años más pequeña que 52.

Esto significa que deberíamos conjeturar la edad de Nadia para que sea 4 años más joven que 9.

\text{Suposici\'{o}n} && 5 && 4(5) + 16 = 36 && \text{Esta es la edad correcta}.

Respuesta Nadia tiene 5 años de edad.

Paso 4

Revisar

Nadia tiene 5 años de edad. La edad de su padre es 4(5) + 16 = 36. Esto es correcto.

La respuesta es acertada.

Método de Trabajo a la Inversa

Paso 1

Entender

Necesitamos encontrar la edad de Nadia.

Sabemos que la edad de su padre es 16 años mayor que cuatro veces su edad. O 4 \times \text{(la edad de Nadia)} + 16

Sabemos que su padre tiene 36 años de edad.

Paso 2

Estrategia

El padre de Nadia tiene 36 años de edad.

Para obtener a partir de la edad de Nadia la edad de su padre, Multiplicamos la edad de Nadia por cuatro y sumamos 16.

Trabajar a la inversa significa que empezamos con la edad del padre, sustraemos 16 y dividimos por 4.

Paso 3

Aplicar Estrategia/Resolver

& \text{empezar con la edad del padre} && 36\\& \text{Sustraer} \ 16 &&  36 - 16 = 20 \\& \text{Dividir por} \ 4 && 20 \div 4 = 5

Respuesta Nadia tiene 5 años de edad.

Paso 4

Revisar

Nadia tiene 5 años de edad. La edad de su padre es: 4(5) + 16 = 36. Esto es correcto.

La respuesta es acertada.

Puedes verlo en este problema, la estrategia del “Trabajo a la Inversa” es más directa que el método de Suposición y revisión. El método de Trabajo a la Inversa siempre funciona mejor cuando ejecutamos una serie de operaciones para obtener desde un número desconocido un resultado conocido. En el siguiente capítulo, aprenderás métodos de álgebra para resolver ecuaciones que están basadas en el método del trabajo a la inversa.

Resolución de Problemas del Mundo Real Usando las Estrategias Seleccionadas como Parte de un Plan

Ejemplo 6

Nadia renta un auto por un día. La compañía encargada de la renta de su auto carga $50 por día y $0.40 por milla. Peter renta un auto de una compañía diferente que carga $70 por día y $0.30 por milla. Cuantas millas tienen que manejar antes que Nadia y Peter paguen el mismo precio por rentar el mismo número de millas?

Solución Vamos a usar el método de Suposición y Revisión.

Paso 1

Entender

El costo de la renta del auto de Nadia es $50 más $0.40 por milla.

El costo de la renta del auto de Peter es $70 más $0.30 por milla.

Deseamos conocer cuántas millas tienen que manejar para pagar el mismo precio de renta por el mismo número de millas.

Paso 2

Estrategia

El costo total de Nadia es $50 más $0.40 veces el número de millas.

El costo total de Peter es $70 más $0.30 veces el número de millas.

Puedes suponer el número de millas y usar esta conjetura para calcular el costo total de Nadia y Peter.

Sigue haciendo conjeturas hasta que cada uno de sus costos totales sea el mismo.

Paso 3

Aplicar Estrategia/Resolver

& \text{Suposici\'{o}n} && 50\ \text{millas} \\& \text{Revisi\'{o}n} && \$50 + \$0.40(50) = \$70 && \$70 + \$0.30(50) = \$85 && \text{demasiado peque\~{n}o} \\& \text{Suposici\'{o}n} && 60\ \text{millas} \\& \text{Revisi\'{o}n} && \$50 + \$0.40(60) = \$74 && \$70 + \$0.30(60) = \$88 && \text{demasiado peque\~{n}o}

Nota que para un incremento de 10 millas, la diferencia entre el total de costos cayeron desde $15 a $14.

Para obtener la diferencia a cero, deberíamos tratar incrementando las millas por 140 millas.

& \text{Suposici\'{o}n} && 200\ \text{millas}\\& \text{Revisar} && \$50 + \$0.40(200) = \$130 && \$70 + \$0.30(200) = \$130 && \text{correcto}

Respuesta: Nadia y Peter tienen que manejar cada uno 200 millas para pagar el mismo costo total de renta.

Paso 4

Revisar

\text{Nadia} && \$50 + \$0.40(200) = \$130 && \text{Pedro} && \$70 + \$0.30(200) = \$130

La respuesta es acertada.

Resumen de la Lección

Los cuatro pasos del plan de resolución de problemas son:

  • Entender el problema
  • Idear un plan – Interpretar
  • Llevar a cabo el plan – Resolver
  • Observar – Revisar e Interpretar

Dos problemas comunes en las estrategias de resolución:

  • Suposición y Revisión

Suponer una solución y usar en el problema esta conjetura para ver si tú obtienes la respuesta correcta. Si la respuesta es demasiado grande o demasiado pequeña, entonces hacer otra suposición que te acercará a la respuesta correcta.

  • Trabajo Inverso

Este método funciona bien en problemas en los cuales una serie de operaciones son aplicadas a una cantidad desconocida y te han dado el número resultante. Debes comenzar con el resultado y aplicar las operaciones en orden inverso hasta que encuentres la incógnita o dato desconocido.

Ejercicios de Repaso

  1. termina el problema que comenzamos en el Ejemplo 1
  2. Nadia está en casa y Peter está en la escuela, la cual está 6 millas lejos de casa. Ellos empezaron a viajar hacia donde estaba cada uno al mismo tiempo. Nadia camina a 3.5 millas por hora y Peter va en su patineta a 6 millas por hora. Cuándo se encontrarán y qué tan lejos de la casa será su lugar de encuentro?
  3. Peter compró varios libros en Staples a $2.25 cada uno y compró unos cuantos más en Rite-Aid a $2 cada uno. El gastó la misma cantidad de dinero en ambos lugares y compró 17 libros en total. Cuántos libros compró Peter en cada libreria?
  4. Andrew tomó un puñado de monedas de su bolsillo y notó que en su mano sólo tenía monedas de diez y veinticinco centavos. El contó que tenía 22 monedas que hacían la cantidad de $4. Cuántas monedas de veinticinco y cuántas monedas de diez centavos tiene Andrew?
  5. Anne desea colocar una valla alrededor de sus rosas, la cuál es una y media veces tan larga como su ancho. Ella usa 50 pies de valla. Cuáles son las dimensiones del jardín?
  6. Peter está fuera buscando a los cerdos y pollos en el patio. Nadia está dentro y no puede ver los animales. Peter le da una pista. Le dice que él cuenta 13 cabezas y 36 pies y le pregunta cuántos cerdos y cuántos pollos hay en el patio. Ayuda a Nadia a encontrar la respuesta.
  7. Andrew invierte $8000 en dos tipos de cuentas. Una cuenta de ahorro que paga 5.25% de interés por año y la otra una cuenta riesgosa que paga 9% de interés por año. Al final del año él tiene $450 en intereses que provienen de las dos cuentas. Encuentra la cantidad de dinero invertido en cada cuenta.
  8. Hay un tazón de dulces sobre nuestra mesa en la cocina. Esta mañana, Nadia tomó un sexto de los dulces. Más tarde, esa mañana Peter tomó un cuarto de lo que resta de los dulces. Esta tarde, Andrew tomó un quinto de lo que ha quedado en el tazón, y finalmente, Anne toma un tercio de lo que había sobrado en el tazón. Si en el tazón todavía hay 16 dulces que sobraron al final del día, Cuántos dulces habían al comienzo del día?
  9. Nadia puede cortar completamente el césped en 30 minutes. Peter puede cortarlo por completo en 45 minutos. Qué tanto le toma a ambos cortar el césped cuando lo hacen juntos?

Respuestas

  1. 140 ventas en línea y 110 ventas en la tienda.
  2. 37.9 minutos 2.2 millas millas de la casa
  3. 8 libros en Staples y 9 libros en Rite-Aid
  4. 12 monedas de veinticinco centavos y 10 monedas de diez centavos
  5. 10 pies de ancho y 15 pies de largo
  6. 5 cerdos y 8 pollos
  7. $7200 en la cuenta de ahorro y $800 en la cuenta de alto riesgo
  8. 48 dulces
  9. 18 minutos

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