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3.2: Ecuaciones en Dos Pasos

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Objetivos de Aprendizaje

  • Resolver ecuaciones en dos pasos usando adición, sustracción, multiplicación y división.
  • Resolver ecuaciones en dos pasos combinando términos semejantes..
  • Resolver problemas del mundo real usando ecuaciones en dos pasos.

Resolver una Ecuación en Dos Pasos

Hemos visto que con el fin de resolver una variable desconocida podemos aislarla a un extremo del signo igual, y evaluar los números en el otro extremo. En este capítulo expandiremos nuestra habilidad para hacerlo, con problemas que requieren que combinemos más de una técnica con el propósito de resolver nuestra incógnita.

Ejemplo 1

Rebecca tiene tres bolsas que contienen el mismo número de canicas, más dos canicas que sobran. Ella las coloca en un lado de la balanza. Chris, quién tiene más canicas que Rebecca, agrega canicas al otro extremo de la balanza. El se dio cuenta que con 29 canicas, la balanza queda en equilibrio. Cuantas canicas hay en cada bolsa? Debes asumir que las bolsas que contienen las canicas no pesan nada.

Solución

Sabemos que el sistema está en equilibrio, así que el peso en cada lado debe ser igual. Podemos escribir una expresión algebraica basándonos en esta igualdad. La cantidad desconocida, el número de canicas en cada bolsa, será nuestra x. Podemos ver que en la parte izquierda de la balanza tenemos tres bolsas (cada una contiene x canicas) y dos canicas extra. En el lado derecho de la balanza tenemos 29 canicas. El equilibrio de la balanza es similar al equilibrio de la siguiente ecuación.

3x + 2 = 29

“Tres bolsas más dos canicas igual a 29 canicas”

Para resolver x necesitamos primero obtener todas las variables ( términos que contienen a x) solo a un lado de la ecuación. Observa a la balanza. No hay bolsas al lado derecho. Similarmente, no hay términos x al lado derecho de la ecuación. Nuestro objetivo será obtener todas las constantes en la derecha, dejando sólo las x a la izquierda.

& 3x + \cancel{2} = 29\\& \underline{\quad \ \cancel{-2} = -2} && \text{Sustraer}\ 2 \ \text{de ambos lados}:\\& \ \ \quad 3x =27\\& \quad \ \frac{\cancel{3}x}{\cancel{3}}=\frac{27}{3} & & \text{Dividir ambos lados por} \ 3\\& \qquad x=9

Solución

Hay nueve canicas en cada bolsa.

Podemos hacer lo mismo con los objetos reales así como lo hemos hecho con la ecuación. Nuestra primera acción fue sustraer dos en ambos lados del signo igual. En la Balanza, podríamos remover este número de canicas de cada extremo de ella. Debido a que removemos el mismo número de canicas en ambos lados, sabemos que la balanza seguirá en equilibrio.

Luego observamos al extremo izquierdo de la balanza. Hay tres bolsas con canicas. Para facilitar el trabajo, dividimos las canicas en el lado derecho de la balanza en tres partes iguales. Puedes ver que hay nueve canicas en cada lado.

Tres bolsas de canicas hacen equilibrio con tres puñados de canicas

Entonces cada bolsa de canicas equilibra nueve canicas. De nuevo puedes ver que llegamos a nuestra solución:

Solución

Cada bolsa contiene nueve canicas.

En Internet el sitio (en inglés): http://www.mste.uiuc.edu/pavel/java/balance/ tiene actividades interactivas !

Ejemplo 2

Resolver 6(x + 4) = 12

Solución

Esta ecuación tiene la x encerrada en paréntesis. Para extraerla, podemos proceder en una de dos formas: podemos distribuir el seis en la izquierda, o dividir ambos lados por seis para removerlo de la izquierda. Ya que la parte derecha de la ecuación es múltiplo de seis, tiene sentido dividir.

& \ 6(x+4)=12 & & \text{Dividir ambos lados por}\ 6.\\& \frac{\cancel{6}(x+4)}{\cancel{6}}=\frac{12}{6}\\& \ \ \quad x+\bcancel{4}=2 & & \text{Sustraer}\ 4 \ \text{de ambos lados}.\\& \underline{\ \ \qquad -\bcancel{4}-4 \;\;\;}\\& \ \quad \qquad x=-2

Solución

x=-2

Ejemplo 3

Resolver  \frac{x - 3} {5} = 7

Esta ecuación tiene una fracción en ella. Es siempre una buena idea eliminar primero las fracciones.

\left (x-\frac{3}{5} \right ) = 7

Solución:

& \cancel{5}\left (\frac{x-3}{\cancel{5}}\right )=5 \cdot 7 & & \text{Multiplicar ambos lados por} \ 5\\& \quad \quad \ x-3=35\\& \underline{\quad \quad \quad +3=+3\;\;} & & \text{Sumar} \ 3 \ \text{en ambos lados}\\& \quad \quad \quad \quad x=38

Solución

x=38

Ejemplo 4

Resolver  \frac{5} {9} (x + 1) = \frac{2} {7}

Primero, eliminaremos la fracción en la izquierda (haciendo el coeficiente igual a uno) multiplicando por el recíproco (el inverso multiplicativo).

\frac{\cancel{9}}{\cancel{5}}\cdot \frac{\cancel{5}}{\cancel{9}} (x+1) &= \frac{9}{5}\cdot \frac{2}{7}\\x + 1 & = \frac{18} {35}\ && \text{Sustraer} \ 1  \left (1 = \frac{35} {35}\right )\ \text{en ambos lados}. \\x & = \frac{18} {35} - \frac{35} {35} \\x & = \frac{18 - 35} {35}

Solución

 x = - \frac{17} {35}

Estos ejemplos son llamados ecuaciones de dos pasos, ya que necesitamos ejecutar dos operaciones separadas al tiempo que aislamos la variables.

Resolver una Ecuación en Dos Pasos Combinando Términos Semejantes

Cuando observamos las ecuaciones lineales vemos predominantemente dos términos, aquellos que contienen la variable desconocida como un factor, y aquellos que no. Cuando vemos a una ecuación que tiene una x en ambos lados, sabemos que con efecto de resolver, necesitamos obtener todos los términos x- en un lado de la ecuación. Este proceso es llamado combinación de términos semejantes. Son términos semejantes porque contienen la misma variable (o, como habrás visto en los últimos capítulos, la misma combinación de variables).

Términos Semejantes

  • 17x, 12x, -1.2x, y  \frac{17x} {9}
  • 3y, 19y, y  \frac{y} {99}
  • xy, 6xy, y 0.0001xy

Términos no semejantes

  • 3x y 2y
  • 12xy y 2x
  • 0.001x y 0.001

Para sumar o sustraer términos semejantes, podemos usar la Propiedad Distributiva de la Multiplicación en vez de sumar o restar.

3x + 4x & = (3 + 4)x = 7x \\0.03xy - 0.01xy & = (0.03 - 0.01)xy = 0.02xy \\-y + 16y -5y & = (-1 + 16 - 5)y = 10y \\5z + 2z - 7z & = (5 + 2 - 7)z = 0z = 0

Para resolver una ecuación con dos o más términos semejantes necesitamos combinarlos antes que resolver la variable.

Ejemplo 5

Resolver (x+5)-(2x-3)=6

Hay dos términos semejantes. La x y -2x (no olvides que el signo negativo multiplica todo en el paréntesis).

Agrupar términos semejantes significa que escribimos juntos todos los términos con variables coincidentes. Entonces los sumaremos, o restaremos individualmente. Sacaremos la x del primer paréntesis y -2x del segundo. Luego volvemos a escribir la ecuación agrupando los términos semejantes.

& (x-2x)+(5-(-3)) = 6 &&  \text{Combinando t\'{e}rminos semejantes y constantes}.\\& \qquad \qquad \quad \ \ \ -x+\cancel{8}=6\\& \qquad \qquad \quad \underline{\quad \ \ \quad \ \cancel{-8}=-8\;} &&  \text{Sustraer} \ 8 \ \text{de ambos lados}\\& \qquad \qquad \qquad \quad \ -x=-2 && \text{Multiplicar ambos lados por} \ -1 \ \text{para obtener la variable por s\'{i} misma}

Solución

x = 2

Ejemplo 6

Resolver \frac{x}{2}-\frac{x}{3}=6

Solución

Este problema involucra fracciones. Combinar los términos variables requerirá manejar fracciones. Necesitamos escribir todos los términos en la izquierda bajo el denominador común de seis.

 \frac{3x} {6} - \frac{2x} {6} & = 6\ && \text{Luego combinamos las fracciones}. \\\frac{x} {6} & = 6\ && \text{Multiplicar ambos lados por 6}. \\x & = 36

Resolver Problemas del mundo Real usando Ecuaciones en Dos Pasos

Cuando nos enfrentamos con problemas del mundo real, la situación que más dificultades le da a las personas es pasar de un problema en palabras a su interpretación en una ecuación. Primero, observa para saber que es lo que la ecuación está preguntando. Qué es lo desconocido que tú tienes que resolver? Eso determinará la cantidad que usaremos para nuestra variable. El texto explica lo que está pasando. Puedes cortarlo en pequeños trozos manejables. Luego, sigue detenidamente lo que pasa con nuestra variable a lo largo del problema.

Ejemplo 7

Un plomero en una emergencia cobra $65 como un servicio a domicilio más un adicional de $75 por hora. Llega a la casa a las 9:30 y trabaja para reparar un tanque de agua. Si la cuenta total por la reparación es $196.25, en qué tiempo fue completada la reparación?

Con el fin de resolver este problema, recolectamos la información del texto y lo convertimos en ecuación.

El tiempo Desconocido tomado en horas – esta será nuestra x

La cuenta está dividida en dos partes: la llamada por servicio a domicilio y la tasa cobrada por hora. La llamada es una tasa fija, e independiente de x. Las partes por hora dependen de x. Vamos a observar como trabaja algebraicamente esto.

& \$65\ \text{como tasa por llamada}\ && 65 \\& \text{m\'{a}s un adicional}\ \$75\ \text{por hora} && +75x

Entonces la cuenta, hecha desde la cuota fija por la llamada más el cobro por hora por las horas tomadas crean la siguiente ecuación.

\text{Cuenta Total} = 65 + 75x

Finalmente, observamos a la parte final de la información. El total en cuentas fue $196.25. Así que nuestra ecuación final es:

196.25 = 65 + 75x

Resolvemos para x:

& 196.25=\cancel{65}+75x\\& \underline{\ \ -65=\cancel{-65}\qquad \;\;} && \text{Para aislar} \ x \ \text{primero sustraemos} \ 65 \ \text{de ambos lados}:\\& 131.25=75x && \text{Dividir ambos lados por} \ 75\\& \frac{131.25}{75} = x= 1.75\ && \text{El tiempo tomado fue una y tres cuartos de hora}.

Solución

el trabajo de reparación fue completado a las 11:15 AM.

Ejemplo 8

Cuando Asia estaba pequeña, su papá marcó su altura en la puerta cada mes. El papá de Asia notó que entre las edades de uno y tres años, el podría predecir su altura (en pulgadas) tomando su edad en meses, sumando 75 pulgadas y multiplicando el resultado por un tercio. Usa esta información para determinar lo siguiente

a) Escribir una ecuación enlazando la predicción de su altura, h, con su edad en meses, m.

b) Determinar la predicción de su altura en su segundo cumpleaños.

c) Determinar a que edad alcanzará tres pies de altura.

a) Para convertir el texto a una ecuación, primero determina el tipo de ecuación que tenemos. Vamos a tener una ecuación que enlace dos variables. Nuestra incógnita cambiará, dependiendo de la información que nos han dado. Por ejemplo, podríamos resolver la altura a determinada edad. de cualquier forma, el texto nos da una forma de determinar la altura. Nuestra ecuación comenzará con “h=”.

Luego observaremos al texto.

 (m + 75)\ && \text{Tomar su edad en meses, y agregar} \ 75. \\\frac{1} {3} (m + 75) \ && \text{Multiplicar el resultado por un tercio}.

Solución

Nuestra ecuación completa es  h = \frac{1}{3}(m + 75).

b) Para determinar la predicción de la altura de Asia en su segundo cumpleaños, sustituimos m = 24 (2 años = 24 meses) en nuestra ecuación y resolvemos para h.

 h & = \frac{1} {3}(24 + 75)\ && \text{Combinar t\'{e}rminos en par\'{e}ntesis}. \\h & = \frac{1} {3}(99)\ && \text{Multiplicar}. \\h & = 33

Solución

Se predijo que la altura de Asia en su segundo cumpleaños sería 33 pulgadas.

c) Para determinar la edad cuando llegue a medir tres pies de estatura, sustituir h = 36 en la ecuación y resolver para m.

 36 & = \frac{1} {3}(m + 75)\ && \text{Multiplicar ambos lados por}\ 3. \\108  & = m + 75\ && \text{Sustraer}\ 75\ \text{de ambos lados}. \\33 & = m

Solución

Se predijo que Asia tendría 33 meses de edad cuando alcanzara los tres pies de estatura.

Ejemplo 9

Para convertir temperaturas en grados Fahrenheit a temperaturas en grados Celsius, sigue los siguientes pasos: Toma la temperatura en Fahrenheit y sustrae 32. Luego divide el resultado por 1.8 y esto da como resultado temperatura en grados Celsius.

a) Escribe una ecuación que muestre el proceso de conversión.

b) Convierte 50 grados Fahrenheit a grados Celsius.

c) Convierte 25 grados Celsius a grados Fahrenheit.

d) Convierte -40 grados Celsius a grados Fahrenheit.

a) El texto nos da el proceso de conversión de grados Fahrenheit a Celsius. Podemos escribir una ecuación usando dos variables. Usaremos f para temperatura en grados Fahrenheit, y c para temperatura en grados Celsius.Sigue el texto para verlo trabajar.

& (F - 32)\ && \text{Tomar la temperatura en Fahrenheit y sustraer}\ 32. \\& \frac{F - 32} {1.8}\ && \text{Luego dividir el resultado por}\ 1.8. \\& C = \frac{F - 32} {1.8}\ && \text{Esto nos da la temperatura en grados Celsius}.

Con el fin de convertir de una escala de temperatura a otra, simplemente debes sustituir por la temperatura conocida y resolver para la incógnita.

b) Para convertir 50 grados Fahrenheit a grados Celsius sustituir F=50 en la ecuación.

 C & = \frac{50 - 32} {1.8}\ && \text{Evaluar el numerador}. \\C & = \frac{18} {1.8}\ && \text{Ejecutar la operaci\'{o}n de divisi\'{o}n}.

Solución

C = 10, entonces 50 grados Fahrenheit es igual a 10 grados Celsius.

c) Para convertir 25 grados Celsius a grados Fahrenheit, sustituye C = 25 en la ecuación:

 25 & = \frac{F - 32} {1.8}\ && \text{Multiplicar ambos lados por}\ 1.8 \\45 & = F - 32 \\ + 32 & = + 32\ && \text{Sumar}\ 32\ \text{en ambos lados}. \\77 & =F

Solución

25 grados Celsius es igual a 77 grados Fahrenheit.

d) Para convertir -40 grados Celsius a grados Fahrenheit sustituye C = -40 en la ecuación.

 -40 & = \frac{F - 32} {1.8}\ && \text{Multiplicar ambos lados por}\ 1.8. \\-72 & = F - 32 \\ +32 & = + 32\ && \text{Sumar}\ 32\ \text{en ambos lados}. \\-40 & = F

Solución

-40 grados Celsius es igual a -40 grados Fahrenheit.

Resumen de la Lección

  • Algunas ecuaciones requieren más de una operación para resolverse. Generalmente, es bueno ir desde el exterior. Si hay paréntesis alrededor de una expresión con una variable dentro de ellos, elimina lo primero lo que está fuera del paréntesis.
  • Términos con la misma variable en ellos (o sin variables en ellos) son términos semejantes. Combina términos semejantes (sumando o sustrayéndolos unos de otros) para simplificar la expresión y resolver la incógnita.

Ejercicios de Repaso

  1. Resolver la siguiente ecuación para la variable desconocida.
    1. 1.3x - 0.7x = 12
    2. 6x- 1.3 = 3.2
    3. 5x-(3x + 2) = 1
    4. 4(x + 3)= 1
    5.  5q - 7 = \frac{2} {3}
    6.  \frac{3} {5} x + \frac{5} {2} = \frac{2} {3}
    7.  s - \frac{3s} {8} = \frac{5} {6}
    8. 0.1y +11 = 0
    9.  \frac{5q - 7} {12} = \frac{2} {3}
    10.  \frac{5(q - 7)} {12} = \frac{2} {3}
    11. 33t - 99 = 0
    12. 5p - 2 = 32
  2. Jade está abandonada en la ciudad con sólo $10 para ir a casa. Los Taxis cuestan $0.75 por milla, pero hay $2.35 adicionales de cargo por alquiler. Escribe una fórmula y úsala para calcular cuántas millas puede ella viajar con su dinero. Determina cuantas millas puede conducir.
  3. El papá de Jasmín está planeando una fiesta de cumpleaños para ella. El contratará un castillo animoso, y le dará comida a todos los invitados. El castillo animoso cuesta $150 dollares por la tarde, y la comida costará $3.00 por persona. Andrew, el papá de Jasmín, tiene un presupuesto de $300. Escribe una ecuación para ayudarlo a determinar el máximo número de invitados que puede invitar.

Respuestas

    1. x = 20
    2. x = 0.75
    3. x =1.5
    4. x = -2.75
    5. q = \frac{23}{15}
    6. x = -\frac{55}{18}
    7.  s = \frac{4}{3}
    8. y = -110
    9. q = 3
    10. q = \frac{43}{5}
    11. t = 3
    12. p = \frac{34}{5}
  1. 0.75x + 2.35 = 10; x = 10.2 \ millas
  2. 3x + 150 = 300; x = 50 \ invitados

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