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3.7: Problemas de Porcentaje

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Objetivos de Aprendizaje

  • Encontrar el porcentaje de un número.
  • Usar la ecuación de porcentaje.
  • Encontrar el cambio porcentual.

Introducción

Un porcentaje es simplemente una relación con una unidad base de 100. Cuando escribimos una relación como una fracción, la unidad base es el denominador. Cualquiera que sea el porcentaje que deseamos representar es el número en el numerador. Por ejemplo, las siguientes relaciones y porcentajes son equivalentes.

Fracción Porcentaje Fracción Porcentaje
 \left (\frac{50} {100}\right ) 50%  \left (\frac{50} {1000}\right ) =  \left (\frac{0.5} {100}\right ) 0.5%
 \left (\frac{10} {100}\right ) 10%  \left (\frac{1} {25}\right ) = \left (\frac{4} {100}\right ) 4%
 \left (\frac{99} {100}\right ) 99%  \left (\frac{3} {5}\right ) = \left (\frac{60} {100}\right ) 60%
 \left (\frac{125} {100}\right ) 12.5%  \left (\frac{1} {10,000}\right ) = \left (\frac{0.01} {100}\right ) 0.01%

Las Fracciones son convertidas fácilmente a decimales, así como fracciones con denominadores de 10, 100, 1000, 10000 son convertidas a decimales. Cuando deseamos convertir un porcentaje a decimal, dividimos por 100, o simplemente movemos el punto decimal dos unidades a la izquierda.

Porcentaje Decimal Porcentaje Decimal Porcentaje Decimal
10% 0.1 0.05% .0005 0% 0
99% 0.99 0.25% .0025 100% 1

Encontrar el Porcentaje de un Número

Una cosa que necesitamos hacer antes de trabajar con porcentajes es practicar convirtiendo entre fracciones,decimales, y porcentajes. Comenzaremos por convertir decimales a porcentajes.

Ejemplo 1

Expresar 0.2 como porcentaje.

La palabra porcentaje significa “por cada cien”. Por lo tanto, encuentra el porcentaje, deseamos cambiar el decimal a fracción con un denominador de 100. Para el decimal 0.2 sabemos que lo siguiente es verdadero:

0.2 & = 0.2 \times 100 \times \left (\frac{1} {100}\right ) & & \text{Ya que} \ 100 \times \left (\frac{1} {100}\right ) = 1\\0.2 & = 20 \times \left (\frac{1} {100}\right ) \\0.2 & = \left (\frac{20} {100}\right ) = 20\%

Solución

0.2 = 20\%

Podemos tomar cualquier número y multiplicarlo por 100 \times \frac{1}{100} sin cambiar ese número. Esta es la llave para convertir números a porcentajes.

Ejemplo 2

Expresar 0.07 como porcentaje.

0.07 & = 0.07 \times 100 \times \left (\frac{1} {100}\right )\\0.07 & = 7 \times \left (\frac{1} {100}\right )\\0.07 & = \left (\frac{7} {100}\right ) = 7\%

Solución

0.07 = 7\%

Es un proceso simple para convertir porcentajes a decimales. Sólo recuerda que un porcentaje es una relación con una base (o denominador) de 100.

Ejemplo 3

Expresar 35% como un decimal.

 35\% = \left (\frac{35} {100}\right ) = 0.35

Ejemplo 4

Expresar 0.5% como un decimal.

 0.5\% = \left (\frac{0.5} {100}\right ) = \left (\frac{5} {1000}\right ) = 0.005

En la práctica, es frecuentemente más fácil convertir un porcentaje a un decimal moviendo el punto decimal dos espacios a la izquierda.

El mismo truco funciona cuando se convierte un decimal a un porcentaje, solo cambia el punto decimal dos espacios a la derecha.

Cuando convertimos fracciones a porcentajes, podemos sustituir \frac{x}{100} por x\%, donde x es el porcentaje desconocido que podemos resolver.

Ejemplo 5

Expresar  \frac{3} {5} como porcentaje.

Comenzamos por representar la incógnita como x\% o \frac{x}{100}.

\left (\frac{3} {5}\right ) & = \frac{x} {100}& & \text{Multiplicaci\'{o}n cruzada}.\\5x & = 100 \cdot 3 & & \text{Dividir ambos lados por} \ 5 \ \text{para resolver} \  x.\\5x & = 300\\x & = \frac{300}{5} = 60

Solución

 \left (\frac{3} {5}\right ) = 60\%

Ejemplo 6

Expresar  \frac{13} {40} como porcentaje.

De nuevo, representar el porcentaje desconocido como \frac{x}{100}, multiplicación cruzada, y resolver para x.

 \frac{13} {40} & = \frac{x} {100}\\40x & = 1300\\x & = \frac{1300} {40} = 32.5

Solución

 \left (\frac{13} {40}\right ) = 32.5\%

Convertir porcentajes para simplificar fracciones es un caso de escribir la relación del porcentaje con todos los números escritos como factores primos:

Ejemplo 7

Expresar 28% como una fracción simplificada.

Primero escribirla como una relación, y convertir números a factores primos.

 28\% \left (\frac{28} {100}\right ) = \left (\frac{2\cdot 2\cdot 7} {5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot}\right )

Ahora elimina los factores que aparecen tanto en el numerador y el denominador.

\left (\frac{\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot 7}{\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot 5 \cdot 5}\right ) = \frac{7}{25}

Solución

 28\% = \left (\frac{7} {25}\right )

Multimedia Link El siguiente video muestra muchos más ejemplos para encontrar porcentajes y pueden ser útiles para reforzar el procedimiento de encontrar porcentajes de un número. Khan Academy Taking Percentages (9:55).

Uso de la Ecuación de Porcentaje

La ecuación de porcentaje es usada con frecuencia para resolver problemas.

\text{Ecuaci\'{o}n de Porcentaje: Porcentaje} \times \text{Total}=\text{Parte} o “R\% \text{ del Total  es Parte}

Tanto por ciento es la relación que el porcentaje representa (R% en la segunda versión).

Total es llamado con frecuencia la unidad base.

Parte es la cantidad que estamos comparando con la unidad base.

Ejemplo 8

Encontrar 25% de $80

Usa la ecuación de porcentaje. Estamos buscando la parte. El total es $80. ‘de’ significa multiplicar. R\% es 25% así que el tanto por ciento es \frac{25}{100} o 0.25.

0.25  \cdot \$80 = \$20

Solución

25% de $80 es $20.

Recuerda, para convertir un porcentaje a un decimal, tú solamente necesitas desplazar el punto decimal dos espacios hacia la izquierda!

Ejemplo 9

Encontrar 17% de $93

Usa la ecuación del porcentaje. Estamos buscando la parte. El total es $93. R% es 17% así que el tanto por ciento es 0.17.

0.17 \cdot 93 = 15.81

Solución

17% de $93 es $15.81.

Ejemplo 10

Expresar $90 como un porcentaje de $160.

Usa la ecuación de porcentaje. Esta vez estamos buscando el tanto por ciento. Nos han dado la parte ($90) y el total ($160). Sustituiremos en los valores dados.

\text{Tanto por ciento}\times 160 & = 90 && \text{Divide ambos lados por} \ 160\\\text{Tanto por ciento} = \left (\frac{90} {160}\right ) = 0.5625 = 0.5625 \left (\frac{100} {100}\right ) & = \frac{56.25} {100}

Solución

$90 es 56.25% de 160.

Ejemplo 11

$50 es 15% de qué suma total?

Usar la ecuación de porcentaje. Esta vez estamos buscando el total. Nos han dado la parte ($50) y el tanto por ciento (15% o 0.15). El total es nuestra incógnita en dólares, o x. Sustituiremos en esos valores dados.

 0.15x & = 50 & & \text{Resolver para} \ x \ \text{dividiendo ambos lados por} \ 0.15.\\x = \frac{50} {0.15} & \approx 333.33

Solución

$50 es 15% de $333.33.

Encontrar el Cambio Porcentual

Una forma muy útil para expresar cambios en cantidades es a través de porcentajes. Tú probablemente has visto símbolos tales como “20% extra gratis”, o “ahorre 35% hoy.” Cuando usamos porcentajes para representar un cambio, generalmente usamos la fórmula.

 \text{Cambio en Porcentaje} & = \left (\frac{\text{cantidad final} - \text{cantidad original}} {\text{cantidad original}}\right ) \times 100\%\\& \ \text{O}\\\frac{\text{cambio porcentual}} {100} & = \left (\frac{\text{cambio real}} {\text{cantidad original}}\right )

Un cambio porcentual positivo por lo tanto será un incremento, mientras un cambio negativo sería un decremento.

Ejemplo 12

Una escuela de 500 estudiantes esta esperando un incremento de 20% en los estudiantes para el próximo año. Cuantos estudiantes tendrá la escuela?

El cambio porcentual es +20. Es positivo porque es un incremento. La cantidad original es 500. Mostraremos el cálculo usando ambas versiones de la ecuación de arriba. Primero sustituiremos en la primera fórmula.

\text{Cambio Porcentual} &= \left (\frac{\text{cantidad final} - \text{cantidad original}} {\text{original\ cantidad}}\right ) \times 100\%\\20\% & = \left (\frac{\text{cantidad final} - 500} {500}\right ) \times 100\% & & \text{Dividir  ambos lados por} \ 100\%.\\& & & \text{Dejar} \ x = \ \text{cantidad final}.\\0.2 & = \frac{x - 500} {500} & & \text{Multiplicar ambos lados por} \ 500.\\100 & = x - 500 & & \text{sumar} \ 500 \ \text{en ambos lados}.\\600 & = x

Solución

La escuela tendrá 600 estudiantes el próximo años.

Ejemplo 13

Un reproductor de mp3 está en venta por $150 30% en rebaja. Cuál es el precio del reproductor?

El cambio porcentual esta dado, así como también la cantidad original. Sustituiremos en estos valores para encontrar la cantidad final en dólares (nuestra incógnita x). Debes Notar que una disminución significa que el cambio es negativo. Usaremos la primera ecuación.

\text{Cambio porcentual} &= \left (\frac{\text{cantidad final} - \text{cantidad original}} {\text{cantidad original}}\right ) \times 100\%\\\left (\frac{x - 150} {150}\right ) \cdot 100\% & = - 30\% & & \text{Dividir ambos lados por} \ 100\%.\\\left (\frac{x - 150} {150}\right ) = \frac{30\%} {100\%} & = - 0.3\% & &  \text{Multiplicar ambos lados por} \ 150.\\x - 150 = 150 (-0.3) & = -45 & &  \text{Sumar} \ 150 \ \text{en ambos lados}.\\x & = -45 + 150

Solución

El reproductor de mp3 está en venta por $105.

También podemos sustituir directamente en la segunda ecuación y resolver para el cambio y.

 \frac{\text{cambio porcentual}} {100} &= \left (\frac{\text{cambio real}} {\text{cantidad original}}\right )\\\frac{-30} {100} & = \frac{y} {150} & & \text{Multiplicar ambos lados por} \ 150.\\150(-0.3) & = y \\y & =-45

Solución

Ya que el cambio real es -45($), el precio final es \$150 - \$45 = \$105.

Un valor añadido es un incremento del precio que una tienda paga por un artículo de su proveedor al precio al por menor que es cargado al público. Por ejemplo, un 100% valor añadido (comúnmente conocido en negocios como piedra angular) significa que el precio es duplicado. La mitad del precio al por menor cubre los costos de un artículo del proveedor, la mitad es ganancia.

Ejemplo 14 – Valor añadido

Una tienda de muebles coloca un valor añadido de 30% en todo lo que vende. Ofrece a sus empleados un 20% de descuento del precio de venta. Los empleados están demandando un descuento de 25%, diciendo que la tienda aún tendrá ganancias. El gerente dice que un descuento de 25% en las ventas causaría pérdida de dinero a la tienda. Quién tiene la razón?

Consideraremos este problema en dos formas. Primero, vamos a considerar un artículo que la tienda compre de su proveedor por $1000.

\text{Precio del art\'{i}culo} \ &  \$1000\\\text{Valor a\~{n}adido} \ & \$300 & & (30\% \ \text{de} \ 1000  = 0.30 \cdot 1000 = 300 )\\\text{Precio al por menor final} \ & \$1300

Entonces un artículo de $1000 podría venderse al por menor por $1300. $300 es la ganancia disponible para la tienda. Ahora vamos a considerar los descuentos.

& \text{Precio al por menor} & & \$1300\\& 20\% \ \text{descuento} & & 0.20 \times \$1300 = \$260\\& 25\% \ \text{descuento} & &  0.25 \times \$1300 = \$325

Así que con un descuento del 20% los empleados pagan \$1300 - \$260 = \$1040

Con un descuento de 25% los empleados pagan \$1300 - \$325 = \$975

Con un descuento de 20% los empleados pagan $40 más que el costo del artículo.

Con un descuento de 25% ellos pagan $975, lo que es $25 menos que el costo.

Finalmente, trabajaremos algebraicamente. Considera un artículo cuyo precio en venta al por mayor es x.

\text{Valor a\~{n}adido} & = 0.3x\\\text{Precio al por menor final} & = 1.3x\\\text{Precio al} \ 20\% \ \text{de descuento} & = 0.80 \times 1.3x = 1.04x\\\text{Precio al} \ 25\% \ \text{de descuento} & = 0.75 \times 1.3x = 0.975x

Solución

El gerente tiene la razón. Un descuento de 20% del precio al por menor implica que la tienda obtiene alrededor de un 4% de ganancia. Con un descuento del 25% la tienda tiene una perdida de 2.5%.

Resolver Problemas del Mundo Real Usando Porcentajes

Ejemplo 15

En el 2004 El Departamento de Agricultura de Estados Unidos ó USDA tenía 112071 empleados, de los cuales 87846 eran Caucásicos. De las restantes minorías, empleados Afro-Americanos e Hispanos tuvieron los dos grandes grupos demográficos, con 11754 y 6899 empleados respectivamente.^*

a) Calcular el porcentaje total de empleados de minorías (no-Caucásicos) en el USDA.

b) Calcular el porcentaje de empleados Afro-Americanos en el USDA.

c) Calcular el porcentaje de empleados de minorías que no pertenecen a los Afro-Americanos ni a los Hispanos.

a) Usar la ecuación de porcentaje \text{Tanto por ciento} \times \text{Total} = \text{Parte}.

El número total de empleados es 112071. Sabemos que el número de empleados caucásicos es 87846, lo que significa que deben haber (112071 - 87846) = 24225 empleados no-Caucásicos. Esta es la parte.

\text{Porcentaje} \times 112071 & = 24225 & &  \text{Dividir ambos lados por} \ 112071.\\\text{Porcentaje} & = 0.216 & &  \text{Multiplicar por} \ 100 \ \text{para obtener el porcentaje}:\\\text{Porcentaje}& =21.6\%

Solución

21.6% de los empleados del USDA en el 2004 pertenecían a grupos de minorías.

b) \text{Total} = 112071\text{   Parte} = 11754

\text{Porcentaje} \times 112071 & = 11754 & & \text{Dividir ambos lados por} \ 112071.\\\text{Porcentaje} & = 0.105 & & \text{Multiplicar por} \ 100 \ \text{para obtener el porcentaje}:\\\text{Porcentaje} & =10.5\%

Solución

10.5% de los empleados del USDA en el 2004 eran Afro-Americanos.

c) Ahora sabemos que hay 24225 empleados no-Caucásicos. Este es ahora nuestro total. Eso significa que deben haber (24225 - 11754 - 6899) = 5572 empleados de minorías que no son Afro-Americanos ni Hispanos. La parte es 5572.

\text{Porcentaje} \times 24225 & = 5572 & &  \text{Dividir ambos lados por} \ 24225 \\\text{Porcentaje} & = 0.230 & & \text{Multiplicar por} \ 100 \ \text{para obtener el porcentaje}.\\\text{Porcentaje}& =23\%

Solución

23% de los empleados del USDA en el 2004 no eran Afro-Americanos o Hispanos.

Ejemplo 16

En 1995 New York tenía 18136000 residentes. Habían 827025 crímenes reportados, de los cuales 152683 fueron violentos. Para el 2005 la población era 19254630 y hubieron 85839 crímenes violentos de un total de 491829 crímenes reportados. Calcular el cambio porcentual desde 1995 a 2005 en:  ^\dagger

a) Población de New York

b) Total de crímenes reportados

c) crímenes violentos

Este es un problema de cambio porcentual. Recuerda la fórmula para el cambio porcentual.

 \text{Cambio Porcentual} = \left (\frac{\text{cantidad final} - \text{cantidad original}} {\text{cantidad original}}\right ) \times 100\%

En estos casos, la cantidad final es la estadística de 2005. La cantidad inicial es la estadística de 1995.

a) Población:

\text{Cambio porcentual} & = \left(\frac{19,254,630 - 18,136,000} {18,136,000}\right ) \times 100\%\\\text{Cambio porcentual} & = \left (\frac{1,118,630} {18,136,000}\right ) \times 100\%\\\text{Cambio porcentual} & = 0.0617 \times 100 \\\text{Cambio Porcentual} & = 6.17\%

Solución

La población creció un 6.17%.

b) Total de crímenes reportados

\text{Cambio porcentual} & = \left (\frac{491,829 - 827,025} {827,025}\right ) \times 100\%\\\text{Cambio porcentual} & = \left (\frac{-335,196} {827,025}\right ) \times 100\%\\\text{Cambio porcentual} & = - 0.4053 \times 100\\\text{Cambio Porcentual} & = -40.53\%

Solución

El número total de crímenes reportados cayó un 40.53%.

c) Crímenes Violentos

\text{Cambio Porcentual} & = \left (\frac{85,839 - 152,683} {152,683}\right ) \times 100\%\\\text{Cambio porcentual} & = \left (\frac{-66,844} {152,683}\right ) \times 100\%\\\text{Cambio porcentual} & = -0.4377 \times 100\\\text{Cambio Porcentual} & = - 43.77\%

Solución

El total de números de crímenes reportados cayeron 43.77%. ^\dagger Fuente: Reporte de Crímenes de la Agencia de Aplicación de la Ley de New York

Resumen

  • Un porcentaje es simplemente una relación con una unidad base de 100, i.e. 13\% = \frac{13}{100}.
  • La ecuación de porcentaje es: \text{Porcentaje} \times \text{Total}=\text{Parte} o “R% del total es parte”.
  • \text{Cambio porcentual}=\frac{\text{cantidad final}-\text{cantidad original}}{\text{cantidad original}} \times 100. Un cambio porcentual positivo significa que el valor se ha incrementado, mientras un cambio porcentual negativo significa que el valor ha disminuído.

Ejercicios de Repaso

  1. Expresar los siguientes decimales como un porcentaje.
    1. 0.011
    2. 0.001
    3. 0.91
    4. 1.75
    5. 20
  2. Expresar las siguientes fracciones como un porcentaje (aproximar a dos espacios decimales cuando sea necesario).
    1.  \frac{1} {6}
    2.  \frac{5} {24}
    3.  \frac{6} {7}
    4.  \frac{11} {7}
    5.  \frac{13} {97}
  3. Expresar los siguientes porcentajes como una fracción reducida.
    1. 11%
    2. 65%
    3. 16%
    4. 12.5%
    5. 87.5%
  4. Encontrar lo siguiente.
    1. 30% de 90
    2. 16.7% de 199
    3. 11.5% de 10.01
    4. y\% de 3x
  5. Un TV es anunciado como una oferta. Tiene 35% de rebaja y un nuevo precio de $195. Cuál era el precio antes de la oferta?
  6. A una empleada en una tienda se le paga $9.50 por hora. Si ella trabaja un año completo obtiene un aumento del 12% Cuál será su nuevo salario después del aumento?
  7. La tienda A y la tienda B venden bicicletas, y ambas compran bicicletas del mismo proveedor a los mismos precios. La tienda A tiene un valor añadido de 40% en sus precios, mientras que la tienda B tiene un valor añadido de 250%. La tienda B tiene una oferta permanente y siempre venderá al 60% de rebaja de esos precios. Cuál tienda ofrece el mejor trato?

Respuestas

    1. 1.1%
    2. 0.1%
    3. 91%
    4. 175%
    5. 2000%
    1. 16.67%
    2. 20.83%
    3. 85.71%
    4. 157.14%
    5. -13.40%
    1. \frac{11}{100}
    2. \frac{13}{20}
    3. \frac{4}{25}
    4. \frac{1}{8}
    5. \frac{7}{8}
    1. 27
    2. 33.233
    3. -1.15115
    4. \frac{3xy}{100}
  1. $300
  2. $10.64
  3. Los precios finales de venta en ambas tiendas son idénticos.

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