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3.8: Estrategias Para Resolver Problemas: Usar una Fórmula

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Objetivos de Aprendizaje

  • Leer y entender las situaciones de los problemas dados.
  • Desarrollar y aplicar la estrategia: usar una fórmula.
  • Planificar y comparar alternativas para resolver problemas.

Introducción

En este capítulo, hemos dado resolución a problemas en los cuales las cantidades varían directamente una con otra. En esta sección, observaremos a unos cuantos ejemplos de relaciones y porcentajes que ocurren en los problemas del mundo real. Seguiremos el Plan para resolver problemas.

Paso 1 Entender el problema

Leer el problema cuidadosamente. Una vez que has leído el problema, debes hacer una lista de todos los componentes y datos que están involucrados. Aquí es donde asignarás tus variables.

Paso 2 Idear un plan – Traducir

Encontrar una forma para resolver el problema. Establecer una ecuación o fórmula.

Paso 3 LLevar a cabo el plan – Resolver

Aquí es donde tú tienes que resolver la fórmula que has planteado en el paso 2.

Paso 4 Observar – Revisa e Interpreta

Revisa para ver si tú has usado toda tu información y que la respuesta tiene sentido.

Es importante que primero tengas conocimiento de lo que estas buscando al momento de resolver problemas en matemáticas. Los problemas de matemáticas requieren con frecuencia que se extraiga información y usarla en un procedimiento definitivo. Tú debes recolectar la información apropiada y usarla (usando una estrategia o estrategias) para resolver el problema. Muchas veces, escribirás una ecuación la cual te permitirá encontrar la respuesta.

Ejemplo 1

Un arquitecto está diseñando una habitación que va a ser el doble de largo que el ancho. Los pies cuadrados en total de la habitación serán 722 pies cuadrados. Cuáles son las dimensiones de la habitación en pies?

Paso 1 Recolectar la Información Relevante.

\text{Ancho de la habitación} & = \text{desconocido} =x\\\text{Longitud de la habitación} & = 2 \times \text{ancho}\\\text{Area de la habitación} & = 722 \ \text{pies cuadrados}

Step 3 Elaborar una Ecuación

\text{Longitud de la habitaci\'{o}n} & = 2x\\\text{Area de la habitaci\'{o}n} & = x \times 2x=2x^2\\2x^2 & = 722

Paso 3 Resolver

2x^2 & = 722 & & \text{Dividir ambos lados por} \ 2\\x^2 & = 361 & & \text{Tomar la  ‘ra\'{i}z cuadrada’ de ambos lados}.\\x & = \sqrt{361} = 19 \\2x & = 2 \times 19 = 38

Solución

Las dimensiones de la habitación son 19 pies por 38 pies.

Paso 4 Revisar tu respuesta

Es 38 el doble de 19?

2 \times 19 =38 & & \text{VERDADERO} \ - \ \text{La respuesta es correcta}.

Es 38 veces 19 igual a 722?

38 \times 19= 722 & & \text{VERDADERO} - \text{La respuesta es correcta}

Las respuestas son correctas.

Ejemplo 2

Un jet de pasajeros inicialmente sube a 2000 pies por minuto después de despegar del aeropuerto al nivel del mar. Al cuarto minuto esta velocidad baja a 500 pies por minuto. Cuántos minutos pasan antes que el jet esté a 20000 pies?

Paso 1

\text{Velocidad de subida inicial} & = \frac{2000 \ pies}{1\ minuto}\\\text{Tiempo de subida inicial} & = 4 \ minutos\\\text{Velocidad final de subida} & = \frac{500\ pies}{1\ minuto}\\\text{Tiempo  de subida final} & = \text{desconocida} = x\\\text{Altitud final} & = 20000 \ pies

Las primeras dos partes de información pueden ser combinadas. Aquí está el resultado.

Altura a los cuatro minutos = 4 \ minutos \cdot \frac{2000\ pies}{1\ minuto} = 8000\ pies.

Paso 2 Escribir una ecuación.

Conocemos que la altura a los cuatro minutos es de 8000 pies, entonces necesitamos encontrar el tiempo que le tomó al jet subir los (20000 -8000) = 12000 \ pies finales.

Usaremos \text{distancia} = \text{velocidad} \times \text{tiempo} y tener una ecuación para el tiempo.

\text{tiempo} = \frac{\text{distancia}} {\text{velocidad}} = \text{distancia} \ \cdot \ \left ( \frac{1} {\text{velocidad}}\right )

Paso 3 Resolver.

x & = 12,0\cancel{0}\cancel{0} \ pies \cdot \left (\frac{1 \ minuto}{5\cancel{0}\cancel{0} \ pies} \right) & & \text{Debes notar que las unidades de pies serán eliminadas}\\x & = 24 \ minutos\\\text{tiempo total} & = x+4

Solución

El tiempo tomado para alcanzar 20000 pies es 28 minutos.

Paso 4 Revisar tu respuesta

Que es 4 veces 2000?

4 \times 2000 = 8000 & & \text{La subida inicial es a trav\'{e}s de} \ 8000 \ pies.

Que es 24 veces 500?

24 \times 500 = 12000 & & \text{La segunda parte del ascenso es a trav\'{e}s de} \ 8000 \ pies.

El ascenso total = subida inicial + subida secundaria = (8000 + 12000) = 20000 \ pies.

La respuesta es correcta.

Ejemplo 3

El tiempo que le toma a un cuerpo en movimiento viajar una distancia esta dado por time=\frac{distancia}{velocidad}. La velocidad del sonido en el aire es aproximadamente 340 metros por segundo. En el agua, el sonido viaja mucho más rápido, alrededor de 1500 metros por segundo. Un pequeño meteoro golpea la superficie del océano a una distancia de 10 km. Cuál sería el retraso en segundos entre el momento en que se escucha el sonido después de viajar a través del aire y el mismo sonido viajando a través del óceano?

Paso 1 Escribiremos la información más importante.

\text{Distancia} & = 10,000 \ metros\\\text{Velocidad en el aire } & = \frac{340\ metros} {1\ segundo}\\\text{Velocidad en el agua } & = \frac{1500\ metros} {1\ segundo}\\\text{Tiempo a trav\'{e}s del aire} & = \text{desconocido} \ x\\\text{Tiempo a trav\'{e}s del agua} & = \text{desconocido} \ y\\\text{Retraso} & = x-y

Paso 2 Convertiremos esta información en ecuaciones.

\text{Tiempo en el aire} \ x & = 10,000 \ metros \cdot \frac{1\ segundo} {340\ metros}\\\text{Tiempo en el agua} \ y & = 10,000\ metros \cdot \frac{1\ segundo} {15000\ metros}

Paso 3 Resolver para x, y y el retraso.

x & = 29.41 \ segundos\\y & = 6.67 \ segundos\\ \text{Retraso} & = x - y = (29.41 -6.67) \ segundos

Solución

El retraso entre las dos olas de sonidos llegando es 22.7 segundos.

Paso 4 Revisar que la respuesta sea correcta.

Necesitamos pensar en una manera diferente de explicar el concepto.

El tiempo real que al sonido le toma en llegar cuando se desplaza por el aire 29.41 segundos. En ese tiempo, cruza la siguiente distancia.

\text{Distancia} = \text{velocidad} \times \text{tiempo} = 340 \times 29.41 = 9999 \ metros

El tiempo real que al sonido le toma llegar cuando se desplaza en el agua es 6.67 segundos. en ese tiempo, atraviesa la siguiente distancia.

\text{Distancia} = \text{velocidad} \times \text{tiempo} = 1500 \times 6.67 = 10005  \ metros

Ambos resultados son cercanos a los 10000 metros que sabemos viaja el sonido. El pequeño error viene de la aproximación hecha a nuestra respuesta.

La respuesta es correcta.

Ejemplo 4:

Deandra esta observando el cheque de su pago. Su jefe resto el impuesto a la prestación de un servicio de sus ganancias a un porcentaje de a 15%. Una deducción para cubrir el seguro médico le tomó un doceavo de lo que restaba. Deandra siempre ahorra un tercio de lo que gana después de todas las deducciones. Si Deandra trabajó 16 horas a $7.50 por hora, cuánto ahorrará esta semana?

Paso 1 Recolectar información relevante.

Deducciones:

\text{Impuesto} & = 15\% = 0.15\\\text{Salud} & = \frac{1} {12}\\\text{Ahorro} & = \frac{1} {3}\\\text{Horas} & = 16\\\text{Porcentaje} & = \$7.50\ \text{por hora}\\\text{Cantidad de Ahorros} & = \text{inc\'{o}gnita} x

Paso 2 Escribir una ecuación.

Las ganancias de Deandra antes de las deducciones  = 16 \times \$7.50 = \$120

Fracción restante después del descuento del impuesto a la prestación de un servicio =  1 - 0.15 = 0.85

Fracción restante después del descuento de seguro médico = 0.85 \left (1- \frac{1} {12}\right ) = 0.85 \left (\frac{11} {12}\right ) \approx 0.85 \cdot 0.91667 \approx 0.779167

Fracción que será ahorrada = \frac{1} {3} \cdot 0.779167 \approx 0.25972

Paso 3 Resolver

Cantidad para ser ahorrada = 0.25972 \cdot \$120 = \$31.1664 Aproximar con dos espacios decimales.

Solución

Deandra ahorra $31.17.

Paso 4 Revisar tus respuestas trabajando a la inversa.

Si Deandra ahorra $31.17, luego su pago para llevar a casa era 3 \times \$31.17 = \$93.51

Si a Deandra le pagaron $93.51, entonces antes de las deducciones del seguro médico, ella tenía \$93.51 \cdot \frac{12}{11} = \$102.01

Si Deandra tenía $102.01 después del impuesto por servicios prestados, entonces antes de este impuesto ella tenía \$102.01 \cdot \frac{100}{85} = \$120.01

Si Deandra ganó $120.01 a $7.50 por hora, entonces ella trabajó por \frac{\$102.01}{\$7.50} = 16.002 \ \text{horas}

Esto es extremadamente cercano a las horas que sabemos ella trabajó (la diferencia viene del hecho que aproximamos al centavo más cercano).

La respuesta es correcta.

Resumen de la Lección

Los cuatro pasos del Plan de resolución de Problemas are:

  1. Entender el Problema
  2. Idear un plan – Interpretar
  3. Llevar a cabo el plan – Resolver
  4. Observar – Revisar e Interpretar

Ejercicios de Repaso

Usar la información en los problemas para crear y resolver una ecuación.

  1. Patricia esta construyendo una caja de arena para su hija. Es de cinco pies de ancho y ocho pies de largo. Ella desea que la altura de la caja de arena tenga cuatro pulgadas por encima del nivel de arena. Ella tiene 30 pies cúbicos de arena. Qué tan alta debería ser la caja de arena?
  2. Una pila de 500 hojas de papel para copias tiene 1.75 pulgadas de altura. La bandeja para el papel de una maquina copiadora en un comercial puede sostener una pila de papel de dos pies de altura. Aproximadamente cuantas hojas es esto?
  3. Fue un dia de ofertas en Macy’s y todo estaba con un 20% menos que el precio regular. Peter compró un par de zapatos, y usando un cupón, obtuvo un descuento adicional del 10% del precio descontado. El precio que pagó por los zapatos fue $36. Qué tanto costaban los zapatos originalmente?
  4. Peter está planeando mostrar un archivo de video a la escuela en la graduación, pero está preocupado que la distancia desde los parlantes hasta los asientos de la audiencia causarán que el sonido y la imagen estén fuera de sincronización. Si la audiencia toma asiento a 20 metros desde los parlantes, cuanto es el retraso entre la imagen y el sonido? (La velocidad del sonido en el aire es 340 metros por segundo).
  5. Rosa ha ahorrado todo el año y quiere gastar el dinero que tiene en ropa nueva y una vacación. Ella gastará 30% más en la vacación que en la ropa. Si ella ahorró $1000 en total, cuanto dinero (al dólar entero más cercano) puede gastar en la vacación?
  6. En un DVD, los datos son guardados entre un radio de 2.3 cm y 5.7 cm. calcular el total de área disponible para almacenamiento de datos en cm cuadrados.
  7. Si un DVD con tecnología Blu-ray ^{TM} almacena 25 gigabytes (GB), cual es la densidad de almacenamiento, en GB por cm cuadrado?

Respuestas

  1. 13 pulgadas
  2. Aproximadamente 6860 hojas
  3. $50
  4. 0.06 segundos
  5. Aproximadamente $565
  6. 85.45 \ cm^2
  7. 0.293 \ GB/cm^2

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