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Objetivos del aprendizaje

En esta lección aprenderás a:

  • Identificar las coordenadas de puntos.
  • Graficar puntos en un plano coordenado.
  • Graficar una función a partir de una tabla dada.
  • Graficar una función a partir de una regla dada.

Introducción

Haremos ahora la transición de una recta numérica que se extiende en una única dimensión (de izquierda a derecha) a un espacio que existe en dos dimensiones. Dicho espacio es el plano coordenado, el cual puede pensarse como dos rectas numéricas que se cruzan en ángulos rectos. La recta horizontal es llamada el eje x, mientras que la vertical es el eje y. En conjunto, ambas líneas se denominan como ejes y el punto donde se cruzan se conoce como el origen. Los ejes dividen el plano coordenado en cuatro cuadrantes. El primer cuadrante (I) contiene todos los números positivos que existen en ambos ejes. Es el cuadrante superior derecho. Los otros cuadrantes son numerados secuencialmente (II, III, IV) cuando, partiendo del primer cuadrante, nos movemos en sentido contrario al de las manecillas de un reloj.

Identificar las coordenadas de puntos

Para un punto que se ha graficado sobre un plano coordenado, encontrar sus coordenadas es una tarea relativamente fácil. Las coordenadas de un punto son dos números —que se escriben juntos y constituyen un par ordenado—. Estos dos números describen, respectivamente, la distancia medida sobre el eje x- y la distancia medida sobre el eje y a la que se encuentra dicho punto respecto del origen. El par ordenado se escribe dentro de un paréntesis, en el que aparece primero la coordenada x (también conocida como la abscisa) y en segundo lugar aparece la coordenada y (conocida como la ordenada).

& (1, 7)  && \text{Par ordenado con valor en} \ x \ \text{igual a 1 y valor en} \ y \ \text{igual a 7}\\& (0, 5) && \text{Par ordenado con valor en} \ x \ \text{igual a 0 y valor en} \ y \ \text{igual a 5}\\& (-2.5, 4) && \text{Par ordenado con valor en} \ x \ \text{igual a -2.5 y valor en} \ y \ \text{igual a 4}\\& (-107.2, -.005) && \text{Par ordenado con valor en} \ x \ \text{igual a -107.2 y valor en} \ y \ \text{igual a -0.005}

Es esencial darnos cuenta de que identificar coordenadas es similar a leer puntos ubicados en una recta numérica, excepto que ahora los puntos ¡no están sobre dicha recta! Observa el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1

Encontrar las coordenadas del punto que se denota por la letra P en el Cuadrante I.

Imagina que te encuentras en el origen (el punto donde se intersectan los ejes x y y). Con el fin de moverte a una posición donde P se encuentre directamente sobre ti, entonces deberías desplazarte 3 unidades a la derecha del origen (también podemos decir que te moverías 3 unidades en la dirección positiva de x).

La coordenada x de P es +3.

Ahora que estás sobre la marca tres del eje x, el punto P se encuentra 7 unidades sobre ti (hacia arriba del eje x, lo que significa que debes avanzar ahora 7 unidades en la dirección positiva de y).

La coordenada y de P es +7.

Solución

Las coordenadas del punto P son (3, 7).

Ejemplo 2

Encontrar las coordenadas de los puntos etiquetados como Q y R ubicados en el Cuadrante IV.

Con el fin de llegar hasta Q nos movemos tres unidades a la derecha en la dirección positiva de x, luego nos movemos dos unidades hacia abajo, es decir en la dirección negativa de y. La coordenada x de Q es +3, la coordenada y de Q es -2.

Las coordenadas de R se determinan de manera similar. La coordenada x es +5, es decir 5 unidades en la dirección positiva de x, mientras que la coordenada y es, de nuevo, -2.

Solución

Q \ (3, -2)

R \ (5, -2)

Ejemplo 3

El triángulo ABC se muestra en el diagrama que sigue. Encontrar las coordenadas de los vértices A, B y C.

Punto A:

coordenada x = -2

coordenada y = +5

Punto B:

coordenada x = +3

coordenada y = -3

Punto C:

coordenada x = -4

coordenada y= -1

Solución

A (-2, 5)\! \\B (3, -3)\! \\C (-4, -1)

Graficar puntos en un plano coordenado

Graficar puntos es asunto sencillo una vez que entiendes cómo leer tanto las coordenadas como la escala de una gráfica. Como punto a tomar en cuenta acerca de las escalas, en los siguientes dos ejemplos pon mucha atención a los valores numéricos que se observan en los ejes.

Ejemplo 4

Graficar los siguientes puntos en el plano coordenado.

A (2, 7) && B (-5, 6)  && C(-6, 0) &&  D (-3, -3) && E (0, 2) && F (7, -5)

El punto A (2, 7) está 2 unidades a la derecha y 7 unidades arriba del origen. Por tanto, está en el Cuadrante I.

El punto B (-5, 6) está 5 unidades a la izquierda y 6 unidades arriba del origen. Por tanto, en el Cuadrante II.

El punto C (-6, 0) está 6 unidades a la izquierda y 0 unidades arriba del origen. Por tanto, está justo sobre el eje x.

El punto D (-3, -3) está 3 unidades a la izquierda y 3 unidades abajo del origen. Por tanto, está en el Cuadrante III.

El punto E (0, 2) está 2 unidades arriba del origen. Por tanto, está justo sobre el eje  y.

El punto  F (7, -5) está 7 unidades a la derecha del origen y 5 unidades abajo del origen. Por tanto, está en el Cuadrante IV.

Ejemplo 5

Graficar los siguientes puntos sobre el plano coordenado.

 A (2.5, 0.5) && B (\pi, 1.2) && C (2, 1.75) && D (0.1, 1.2) && E (0, 0)

La adecuada elección de los ejes es siempre importante. En el ejemplo 4, fue importante tener visibles los cuatro cuadrantes. En el presente caso, en cambio, todas las coordenadas son positivas. No es necesario mostrar los valores negativos de x o de y. Tampoco existen valores de x mayores que, aproximadamente, 3.14. Además, 1.75 es el máximo valor que toma y. Por tanto, mostraremos los puntos requeridos en la siguiente escala {0 \leq x \leq 3.5} y {0 \leq y \leq 2}. Debe observarse también que todos los puntos son graficados a la derecha del origen.

He aquí algunos puntos importantes a considerar acerca de esta gráfica.

  • Las marcas de división que aparecen sobre los ejes no corresponden a incrementos unitarios (es decir, que los números no se incrementan de uno en uno).
  • La escala del eje x es diferente de la escala usada en el eje y.
  • La escala se ha seleccionado para maximizar la claridad de los puntos graficados.

Graficar una función a partir de una tabla dada

Ahora que hemos aprendido a graficar puntos en un plano coordenado, podemos entonces concentrarnos sobre cómo graficar una relación entre valores de x y de y. Hasta el momento hemos estado graficando conjuntos de pares ordenados. Estos conjuntos constituyen lo que se conoce como relación, en la cual no existe necesariamente un vínculo o relación específica entre los valores de x y de y. En una relación, el conjunto de valores de x se conoce como el dominio, mientras que el conjunto de valores de y es llamado el rango. Cuando existe un vínculo o relación específica entre los valores x y y, y, además, a cada valor de x le corresponde exactamente a uno y solamente un valor de y, entonces a dicha relación se le conoce como función. Recuerda que una función es una forma particular de relacionar una cantidad con otra. Si lees un libro con una rapidez de veinte páginas por hora, existe entonces una relación o vínculo específico entre el número de horas que lees y el número de páginas que lees en dichas horas, de modo tal que, incluso, tú puedes escribir la fórmula que expresa dicho vínculo (o relación), en cualquiera de las formas siguientes:

m & = 20 \cdot h && n = \text{n\'{u}mero de p\'{a}ginas}; \ h = \text{tiempo medido en horas.\ O bien} \ldots\\h & = \frac{n} {20}

De esta manera, tú podrías usar la función que relaciona n y h para determinar cuántas páginas podrías leer en 3 \frac{1}{2} horas o, inclusive, averiguar cuánto tiempo te tomó leer cuarenta y seis páginas. La gráfica de esta función muestra en el Cuadrante I (el cuadrante superior derecho del plano coordenado) y tú puedes ver que si graficamos el número de páginas contra el número de horas, entonces, de una manera sencilla, podemos leer en el mismo que son setenta páginas las que tú puedes leer en 3.5 horas. De forma similar, tú podrías estimar el tiempo que te tomaría leer cuarenta y seis páginas. Aunque conviene aclarar que dicho tiempo, obtenido gráficamente es, en general, un resultado aproximado.

En general, la gráfica de una función es una línea recta o curva que pasa por todos los puntos que satisfacen la relación concreta descrita por dicha función. Si el dominio de la función es el conjunto de los números reales, entonces ésta se conoce como función continua. Por otra parte, si el dominio de la función es un conjunto particular de valores (tales como un subconjunto de los números enteros), entonces ésta se conoce como función discreta. En este caso, la gráfica estará constituida por una serie de puntos definidos que siguen el trazo de una línea recta o curva.

Al graficar ecuaciones, asumiremos que el dominio es el conjunto de números reales, a menos que se indique otra cosa. Sin embargo, en frecuentes ocasiones, como cuando trabajemos con los datos de una tabla, el dominio será entonces un subconjunto de números enteros (número de regalos, número de días, etc.) y la función será discreta. Algunas veces, para este caso la gráfica será presentada como una línea continua (recta o curva), con el fin de facilitar su interpretación. Presta atención a la diferencia que existe entre funciones discretas y continuas, a medida que avanzas a través de los ejemplos.

Ejemplo 6

Sarah piensa en el número de regalos que recibirá como una función del número de amigos que asistan a su fiesta de cumpleaños. Ella sabe que recibirá un regalo de sus padres, uno de sus abuelos, uno de su tío y otro de su tía. Ella desea invitar hasta diez amigos, y cada uno traerá su respectivo regalo. Ella entonces elabora una tabla que presenta el número de regalos que recibirá si uno, dos, tres, cuatro o cinco amigos vienen a su fiesta. Grafica los 5 puntos en un plano coordenado y grafica la función que vincule el número TOTAL de regalos con el número de amigos que asistan. Utiliza dicha gráfica para determinar cuántos regalos recibirá si asisten ocho amigos en total.

Número de amigos Número de regalos
0 4
1 5
2 6
3 7
4 8
5 9

Con relación a los valores de los regalos que aparecen en dicha tabla, vale recordar que, aparte de los regalos correspondientes a cada uno de los amigos asistentes (cualquiera que sea el número de ellos), ella siempre recibe 4 regalos adicionales: uno de sus padres, uno de sus abuelos, uno de su tío y otro de su tía. Es por ello que al número de regalos correspondientes a los amigos que asistan a su fiesta se añaden, siempre, 4 regalos provenientes de sus parientes. Esto explica, en la tabla anterior, por qué recibe 4 regalos cuando asisten cero amigos, o por qué recibe 5 regalos si únicamente asiste un amigo.

Lo primero que debemos hacer es decidir cómo diseñar nuestra gráfica. Particularmente, necesitamos decidir cuál es la variable independiente y cuál es la variable dependiente. Claramente puede verse en este caso que el número de amigos asistentes a la fiesta puede variar independientemente (será entonces el dominio). El número de regalos necesariamente depende del número de amigos que asisten (el número de regalos es, entonces, el rango).

Por lo tanto, graficaremos el número de amigos en el eje x, mientras que los regalos serán graficados en el eje y. Añadamos otra columna a nuestra tabla, en la que aparezcan las coordenadas que cada par ordenado (amigos, regalos) nos presenta.

N. de amigos (x) N. de regalos (y) Coordenadas (x, y)
0 4 (0, 4)
1 5 (1, 5)
2 6 (2, 6)
3 7 (3, 7)
4 8 (4, 8)
5 9 (5, 9)

A continuación, necesitamos disponer adecuadamente nuestros ejes. Debe resultarte claro que tanto el número de amigos como el número de regalos deben ser, ambos, cantidades positivas. Por tanto, no necesitamos preocuparnos más que del Cuadrante I. A continuación, debemos escoger una escala adecuada para los ejes x y y. No necesitamos considerar más de 8 amigos (lee de nuevo el enunciado del problema para confirmar este hecho); pero siempre es conveniente permitir un pequeño espacio adicional en la gráfica. Necesitamos también que la escala del eje y pueda alojar los regalos provenientes de ocho personas. Podemos observar que esta cantidad de regalos se ubicará abajo de 20.

La escala de la gráfica en el Cuadrante I tiene espacio para 12 amigos y 15 regalos. Esta selección de escalas es apropiada, pero muchas otras escalas serían igualmente adecuadas.

Ahora procederemos a graficar los puntos. Los primeros cinco pueden obtenerse de las coordenadas que aparecen en nuestra tabla. Puedes ver que todos ellos se ubican sobre una línea recta, de modo que la función que describe la relación entre x y y es lineal. Para graficar la función, simplemente trazamos una línea continua que pasa por los 5 puntos. Esta línea representa la función buscada.

Es importante señalar que este problema corresponde a un caso discreto, puesto que Sarah únicamente puede invitar cantidades enteras de amigos. Por ejemplo, sería imposible que asistieran 2.4 amigos. Ten presente que los únicos puntos permisibles para esta función son aquellos puntos de la línea recta que tienen valores enteros en x y y.

La gráfica que hemos elaborado nos permite encontrar fácilmente otros valores para la función. Por ejemplo, el problema pregunta por el número de regalos que Sarah obtendría si ocho amigos asistieran a su fiesta. Recuerda que x representa el número de amigos y y representa el número de regalos. Por lo tanto, podemos observar, a partir de la gráfica, que el valor de y que corresponde a x=8 es igual a 12.

Solución

Si asisten 8 amigos a su fiesta de cumpleaños, Sarah recibirá un total de 12 regalos. Como se aclaró antes, vale recordar que, aparte de los regalos correspondientes a cada uno de los amigos asistentes (cualquiera que sea el número de ellos), ella siempre recibe 4 regalos adicionales: uno de sus padres, uno de sus abuelos, uno de su tío y otro de su tía. Esto explica por qué para 8 amigos que asisten a su fiesta, ella recibe doce regalos y no ocho.

Graficar una función a partir de una regla dada

Si disponemos de una regla funcional en lugar de una tabla, podemos graficar la función de dos formas posibles. El siguiente ejemplo mostrará cada una ellas.

Ejemplo 7

Ali está tratando de entender y dominar un truco que un amigo le enseñó. Su amigo comenzó pidiéndole que pensara en un número; luego le pidió que lo duplicara; a continuación, que le añadiera cinco al resultado obtenido. Ali ha escrito una regla que describe la primera parte del truco. Él utiliza la letra x para representar el número en que él pensó, también utiliza la letra y para representar el resultado de la aplicación de la regla. Él escribió la regla a través de la siguiente ecuación.

y=2x+5

Ayúdale a comprender esta parte del truco a través de la gráfica de la función descrita por dicha regla.

Método uno: Elaborar una tabla de valores

Si deseamos graficar algunos puntos para visualizar lo que describe esta función, entonces la mejor manera de hacerlo es por medio de una tabla que contenga algunos pares x, y. Utilizaremos 0, 1, 2 y 3 como valores de x.

x y
0 2\cdot 0 + 5  = 0 + 5 = 5
1 2\cdot 1+ 5  = 2 + 5 = 7
2 2\cdot 2 + 5 = 4 + 5 = 9
3 2\cdot 3 + 5  = 6 + 5 = 11

A continuación, graficamos los puntos y los unimos con una línea.

Este método es práctico y simple. Además, para el caso de relaciones lineales, no es necesario graficar más de dos o tres puntos. En este caso, la función es continua porque el dominio (al que pertenece el número que Ali debe pensar) es el conjunto de todos los números reales. Esto sigue siendo válido aun si él pudiera pensar únicamente en números enteros positivos.

Método dos: Intersecto y pendiente

Otra forma de graficar esta función (la que aprenderemos más detalladamente en la siguiente lección) es el método pendiente-intersecto. Para llevarlo a cabo, sigue los siguientes pasos:

1. Encuentra el valor de y que corresponde a x=0.

y(0) = 2\cdot 0 + 5 = 5 Así, nuestro intersecto en y- es (0, 5).

2. Observa el coeficiente que acompaña a x.

Cada vez que incrementamos x en uno, y se incrementa en dos. De aquí resulta que nuestra pendiente es +2.

3. Grafica la línea que pasa por el intersecto encontrado y que posee la pendiente encontrada. Comenzamos en el punto (0, 5) y nos movemos una unidad en la dirección positiva de x, luego nos movemos dos unidades hacia arriba (es decir, en la dirección positiva) de y. Esto nos hace llegar al punto (1, 5). La línea recta que une ambos puntos tiene la pendiente que encontramos arriba. Esta línea la extenderemos en ambas direcciones.

Examinaremos este último método apropiadamente en la siguiente lección.

Resumen de la lección

  • El plano coordenado es un espacio bidimensional definido por una recta numérica horizontal (el eje x) y una recta numérica vertical (el eje y). El origen es el punto donde ambas rectas se cruzan. Se forman entonces cuatro áreas o cuadrantes, tal como se muestra en el diagrama.
  • Cada punto en el plano coordenado está determinado por sus coordenadas. Las coordenadas son dos números que forman un par ordenado. El primer número del par ordenado, o coordenada x, indica la distancia con respecto al origen, medida sobre el eje x, del punto de interés. Por su parte, el segundo número del par ordenado, o coordenada y, describe la distancia con respecto al origen, medida sobre el eje y, a la que se encuentra el punto de interés. Debe observarse que la coordenada x siempre debe escribirse primero en el par ordenado; a continuación se escribe la coordenda y. He aquí un ejemplo: (x,y).
  • Las funciones son una forma de relacionar una cantidad con otra. Pueden graficarse en el plano coordenado.

Ejercicios de repaso

  1. Identifica las coordenadas de cada punto, A - F, que se encuentra en la gráfica mostrada.
  2. Señala los siguientes puntos en una gráfica e identifica el cuadrante donde cada uno está ubicado:
    1. (4, 2)
    2. (-3, 5.5)
    3. (4, -4)
    4. (-2, -3)
  3. Los siguientes puntos son tres vértices del cuadrado ABCD. Haz una gráfica de los mismos y determina cuáles deberían ser las coordenadas del cuarto punto (o vértice) D. Grafica dicho punto e identifícalo apropiadamente. A\ (-4, -4) B\ (3, -4) C\ (3, 3)
  4. Becky tiene una bolsa grande de chocolates M&Ms, los cuales debe compartir con Jaeyun. Jaeyun, a su vez, tiene un paquete de golosinas Starburst. Becky le dice a Jaeyun que por cada Starburst que reciba de él, ella le dará a cambio tres M&Ms. Si x es el número de Starburst que Jaeyun le da a Becky, y si y es el número de M&Ms que él recibe a cambio, entonces haz lo siguiente:
    1. Escribe una regla algebraica para y en términos de x.
    2. Elabora una tabla de valores para y. Para ello, utiliza los valores 0, 1, 2, 3, 4, 5 para x.
    3. Grafica la función que relaciona x y y utilizando las siguientes escalas {0 \leq x \leq 10}, {0 \leq y \leq 10}.

Respuestas a los ejercicios de repaso

  1. A (5, 6) B (-5, 5) C (-2, 3) D (-2, -2) E(3, -4) F(2, -6)
    1. Cuadrante I.
    2. Cuadrante II.
    3. Cuadrante IV.
    4. Cuadrante III.
  2. (a) y = 3x

(b)

x y
0 0
1 3
2 6
3 9
4 12
5 15

(c)

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