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4.2: Gráficas de ecuaciones lineales

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Objetivos de aprendizaje

En esta lección aprenderás a:

  • Graficar una función lineal haciendo uso de su ecuación.
  • Reconocer y escribir las ecuaciones de líneas horizontales y verticales y hacer las gráficas correspondientes.
  • Analizar gráficas de funciones lineales y leer gráficas de conversión.

Graficar una ecuación lineal

Al final de la lección 4.1, graficamos una función a partir de su regla. Una regla es una forma de escribir la relación que existe entre dos cantidades que graficamos. En matemática, comúnmente se utilizan las palabras fórmula y ecuación para describir las expresiones algebraicas que representan a las relaciones. Saber interpretar y graficar estas ecuaciones es una competencia importante que utilizarás frecuentemente en matemática.

Ejemplo 1

El costo de un viaje en taxi aumenta con la distancia recorrida. Los taxis usualmente cobran un cargo básico aparte del cargo por milla recorrida. Para nuestro caso, los taxis cobran $3 como cargo base y $0.80 adicionales por cada milla recorrida. He aquí la ecuación que relaciona el costo total (y), en dólares, de un viaje en taxi y la distancia recorrida (x), en millas.

y = 0.8x + 3

Grafica la ecuación y utiliza la gráfica obtenida para estimar el costo de un viaje de 7 millas en taxi.

Comenzaremos haciendo una tabla de valores. Utilizaremos algunos valores enteros para x {0, 1, 2, 3, 4}, luego encontraremos los valores correspondientes de y; a continuación graficaremos los puntos resultantes. Dado que se nos pide encontrar el costo de un viaje de 7 millas, debemos escoger una escala que pueda acomodar este valor de distancia.

x y
0 3
1 3.8
2 4.6
3 5.4
4 6.2

La gráfica se muestra a continuación.

Para encontrar el costo de un recorrido de 7 millas, primero localizamos x=7 sobre el eje horizontal y, a partir de este punto, trazamos una línea vertical hacia arriba, de modo que se intersecte con nuestra gráfica. Luego, desde el punto de intersección de nuestra gráfica con la línea vertical trazada, trazamos una línea horizontal hasta que se intersecte con el eje y y leemos el valor correspondiente. Para nuestro caso, la línea recta horizontal se intersecta con el eje y aproximadamente en el punto medio entre y=8 y y=9. Asumamos, por tanto, que dicho punto de intersección es 8.5.

Solución

Un viaje de 7 millas en taxi costaría aproximadamente $8.50 ($8.60, exactamente).

Existen algunos puntos interesantes que debes observar con relación a esta gráfica y a la fórmula que la generó.

  • La gráfica es una línea recta (esto significa que la ecuación es lineal), aunque debe notarse que la función es discreta y se graficará como una serie de puntos.
  • El gráfico corta (es decir, se intersecta con) el eje y- en y=3 (echa un vistazo a la ecuación y verás un +3 en ella). Este es el costo base del taxi.
  • Cada vez que nos desplazamos horizontalmente una división, simultáneamente nos desplazamos verticalmente hacia arriba 0.8 divisiones (observa el coeficiente de x en la ecuación, el cual es 0.8 precisamente). Este valor representa la tasa de variación del costo del taxi (es decir, el costo por milla).
  • Si nos movemos horizontalmente 3 divisiones, entonces nos movemos verticalmente hacia arriba 3 \times 0.8 divisiones.

Ejemplo 2

Un pequeño negocio tiene una deuda de $500,000 debido a costos de apertura. Sin embargo, la gerencia predice que el negocio puede cancelar esta deuda a razón de $85,000 por año, de acuerdo a la siguiente ecuación que relaciona los años de operación (x) del negocio con la deuda (y), expresada en miles de dólares.

y = -85x + 500.

Grafica esta ecuación y utiliza la gráfica para predecir cuándo se cancelará totalmente la deuda.

Primero, comenzaremos por hacer una tabla de valores. Para ello, utilizamos valores convenientes para x- y calculamos los valores correspondientes de y-, haciendo uso de la ecuación de arriba.

x y
0 500
1 415
2 330
3 245
4 160

A continuación, graficamos los puntos contenidos en dicha tabla y trazamos la línea recta que pasa a través de ellos.

Debes observar la escala que se ha seleccionado. No es necesario graficar puntos que estén arriba de y=500, pero es recomendable tener algún espacio adicional.

Necesitamos determinar cuántos años (el valor de x) le toma a la deuda (el valor de y) ser igual a cero. Sabemos que el valor de x debe ser mayor que cuatro (dado que para x = 4 el valor de y todavía es positivo), Por lo tanto, necesitamos un valor máximo de la escala de x que se encuentre suficientemente alejado de x = 4. Seleccionamos, en este caso, una escala de valores de x que va desde 0 hasta 12. Debes notar que existen muchas escalas alternativas que serían igualmente adecuadas.

Para estimar el tiempo en que la deuda será totalmente cancelada, simplemente leemos el punto donde la línea recta se intersecta con y = 0 (es decir, con el eje x). Para nuestro caso, la línea recta corta a dicho eje muy cerca de x = 6. Por lo tanto, la deuda se cancelará totalmente en seis años.

Solución

La deuda se cancelará totalmente en seis años.

Vínculo multimedia: Ejemplos sencillos sobre cómo graficar ecuaciones lineales a mano se encuentran en el video Khan Academy Graphing Lines 1 (9:49)

. El narrador ejemplifica cómo graficar varias ecuaciones lineales haciendo uso de una tabla de valores para graficar puntos, los cuales se conectan por medio de una línea recta. Esto refuerza el procedimiento de graficación de líneas rectas a mano.

Gráficas y ecuaciones de líneas horizontales y verticales

Ejemplo 3

“Mad-cabs” pone en marcha una oferta inusual. Ellos cobran $7.50 por viajar cualquier distancia en taxi, siempre que el recorrido se realice dentro de los límites de la ciudad. Graficar la función que relaciona el costo total de alquiler del taxi (y) con la distancia recorrida en el viaje (x) en millas.

Para proceder, lo primero que necesitamos es una ecuación. Tú puedes observar, a partir del enunciado del problema, que el costo del viaje no depende de la distancia recorrida en el mismo. Por tanto, no debería sorprendernos que la ecuación buscada no contiene la variable x en ella. De hecho, cualquier valor de x da por resultado exactamente el mismo valor de y (7.5). He aquí, entonces, la ecuación.

y = 7.5

La gráfica de esta función se muestra a continuación. Puedes observar que la gráfica de y = 7.5 es simplemente una línea horizontal.

Siempre que se tenga una ecuación de la forma y = constante entonces la gráfica es una línea horizontal que intersecta al eje y en un punto cuya distancia al origen es igual al valor de la constante.

Similarmente, cuando se tiene una ecuación de la forma x = constant, entonces la gráfica es una línea vertical que intersecta al eje x en un punto cuya distancia al origen es igual al valor de la constante. Observa que esta es una relación y no una función porque cada valor de x (que es solamente uno en este caso) corresponde a muchos valores de y (infinitos valores de y, para ser más precisos).

Ejemplo 4

Grafica las siguientes ecuaciones.

(a) y=4

(b) y=-4

(c) x=4

(d) x=-4

(a) y=4 es una línea horizontal que corta al eje y en el punto (0, 4). Más sencillamente, podemos decir que corta a dicho eje en 4.

(b) y=-4 es una línea horizontal que corta al eje y en -4.

(c) x=4 es una línea vertical que corta al eje x en 4.

(d) x=-4 es una línea vertical que corta al eje x en -4.

Ejemplo 5

Encuentra una ecuación para el eje x y otra para el eje y.

Observa los ejes en cada una de las gráficas de los ejemplos anteriores. Ya hemos dicho que ellos se intersectan en el origen (el punto donde x=0 y y=0). La siguiente definición podría aplicarse fácilmente para cada eje.

Eje x: Una línea horizontal que corta al eje y en cero.

Eje y: Una línea vertical que corta al eje x en cero.

Así, haciendo uso del ejemplo 3 como guía, podemos definir el eje x como la línea horizontal y=0 y el eje y como la línea vertical x=0.

Análisis de gráficas de funciones lineales

A menudo utilizamos gráficos de líneas para representar la relación entre dos cantidades que poseen un vínculo. Tener la capacidad de interpretar la información contenida en una gráfica es una competencia que te será muy útil. Por ejemplo, la gráfica de abajo muestra las fluctuaciones del índice de precios del mercado de valores a lo largo de diez semanas. Puedes observar que el índice cerró al final de la primera semana (semana cero) aproximadamente en $68. También puedes notar que al final de la tercera semana cerró aproximadamente en $62. Así mismo, puedes ver que durante el período correspondiente a las primeras cinco semanas dicho índice perdió cerca de un 20% de su valor inicial. Además, puedes observar que, entre la séptima y la décima semana, el índice obtuvo una ganancia cercana al 20% de su valor inicial (el de la semana cero). Es de resaltar que esta relación es discreta, aunque los puntos están conectados por líneas para facilitar la interpretación de la gráfica.

El análisis de gráficos de líneas es parte de la vida cotidiana. Por ejemplo, cuando tratas de decidir si compras acciones o cuando quieres averiguar si las visitas a tu blog se están incrementando, o bien si quieres predecir la temperatura ambiente a partir de un reporte del tiempo. Muchas de estas gráficas son muy complicadas, así que por el momento comenzaremos con algunos gráficos de conversión lineal. El álgebra comienza con relaciones simples y se dirige luego hacia situaciones más complejas, tal como la lectura y análisis del gráfico anterior. En esta sección, nos concentraremos en la lectura de información de gráficas de conversión lineal sencillas.

Ejemplo 6

La gráfica mostrada arriba constituye una carta de conversión de los precios de las etiquetas de los productos de una tienda del centro de la ciudad, de modo que a través de la gráfica se pueden obtener los precios con el impuesto de venta incluido. Utiliza dicha gráfica para determinar el costo con impuesto de venta incluido de una pluma etiquetada con un precio de $6.00 en dicha tienda.

Para encontrar el precio que incluye el impuesto, primero leemos el precio previo al impuesto en el eje x. Este es el punto x=6.

Dibuja la línea vertical x=6 hacia arriba hasta que se intersecte con la línea de la función, luego dibuja una línea horizontal que se dirija al eje y. Esta línea corta a dicho eje en y \approx 6.75 (aproximadamente a tres cuartos de la distancia que separa y=6 de y=7).

Solución

El costo total aproximado de la pluma, que incluye el impuesto de venta, es de $6.75.

Ejemplo 7

La gráfica que se muestra abajo constituye una carta de conversión de temperaturas en grados Fahrenheit a temperaturas equivalentes en grados Celsius. Utiliza la gráfica para realizar las siguientes conversiones:

  1. 70^{\circ} Fahrenheit a Celsius
  2. 0^\circ Fahrenheit a Celsius
  3. 30^\circ Celsius a Fahrenheit
  4. 0^\circ Celsius a Fahrenheit

1. La temperatura 70^\circ Fahrenheit ocurre sobre el eje x, o eje Fahrenheit, específicamente en x=70. A partir de este valor, trazamos una línea vertical dirigida hacia la línea que representa la función de conversión de temperaturas. Luego, desde el punto de intersección de ambas, dibujamos una línea horizontal hacia el eje Celsius (el eje y). La línea horizontal corta a dicho eje un poco por encima de 20 (21 ó 22).

Solución

70^\circ Fahrenheit aproximadamente es equivalente a 21^\circ \ \text{Celsius}.

2. La temperatura 0^\circ Fahrenheit ocurre para x = 0. Si recordamos que esta es la ecuación del eje y, es decir, del eje Celsius para este caso, entonces sencillamente debemos observar dónde ocurre la intersección de la línea de la función de conversión de temperaturas con dicho eje. Se puede observar que dicha línea de conversión corta al eje y justo abajo del punto medio entre -15 y -20.

Solución: 0^\circ Fahrenheit aproximadamente es equivalente a -18^\circ \ \text{Celsius}.

3. La temperatura 30^\circ ocurre sobre el eje y, o eje Celsius, específicamente en y=30. A partir de dicho valor trazamos una línea horizontal dirigida hacia la línea que representa la función de conversión de temperaturas. Luego, desde el punto de intersección de ambas, dibujamos una línea vertical hacia el eje Fahrenheit (el eje x). Se puede observar que la línea vertical corta a dicho eje aproximadamente en 85.

Solución

30^\circ \ \text{Celsius} aproximadamente es equivalente 85^\circ Fahrenheit.

4. La cantidad 0^\circ \ \text{Celsius} ocurre para y = 0. Si recordamos que esta es la ecuación del eje x, es decir, del eje Fahrenheit para este caso, entonces sencillamente debemos observar dónde ocurre la intersección de la línea de la función de conversión de temperaturas con dicho eje. Se puede observar que dicha línea de conversión corta al eje x justo a la derecha del punto 30.

Solución

0^\circ \ \text{Celsius} aproximadamente es equivalente a 32^\circ Fahrenheit.

Resumen de la lección

  • Las ecuaciones que involucran las variables y y x pueden ser graficadas a través del siguiente procedimiento: se hace una tabla (o carta) de valores obtenida a partir de la ecuación; luego se grafican los puntos contenidos en dicha tabla en el plano coordenado. Esta gráfica es simplemente otra representación de la ecuación y puede ser analizada para resolver problemas.
  • Las líneas horizontales se definen por la ecuación y= constante. Las líneas verticales se definen por la ecuación x =.
  • Ten presente que aunque grafiquemos la función como una línea continua, con el objetivo de interpretarla con mayor facilidad, dicha función puede ser discreta.

Ejercicios de repaso

  1. Haz una tabla de valores para las siguientes ecuaciones y luego grafícalas.
    1. y = 2x + 7
    2. y = 0.7x - 4
    3. y = 6 -1.25x
  2. Piensa en un número y luego triplícalo. Entonces, sustrae siete del resultado de las operaciones anteriores.” Haz una tabla de valores y grafica la función que representa esta sentencia.
  3. Escribe las ecuaciones para las cinco líneas (desde la A hasta la E) presentadas en la gráfica que sigue.
  4. En el aeropuerto, puedes cambiar tus dólares por euros. El servicio de cambio de moneda te cuesta $5 y por cada dólar recibes 0.7 euros. Haz una tabla que represente este proceso de cambio de moneda y grafica la función de conversión correspondiente. Usa la gráfica obtenida para determinar cuántos euros obtendrás si entregas $50 a la oficina de cambio.
  5. La gráfica de abajo constituye una carta de conversión de peso expresado en kilogramos a peso expresado en libras. Utilízala para realizar las siguientes conversiones.
    1. 4 kilogramos a peso expresado en libras.
    2. 9 kilogramos a peso expresado en libras.
    3. 12 libras a peso expresado en kilogramos.
    4. 17 libras a peso expresado en kilogramos.

Respuestas a los ejercicios de repaso

  1. y = 3x- 7
  2. A: y = 5, B: y = -2, C: y = -7, D: x = -4, E: x = 6
  3. y = 0.7(x- 5)
    1. 9 lb
    2. 20 lb
    3. 5.5 kg
    4. 7.75 kg

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