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4.3: Gráficas de ecuaciones lineales mediante el uso de intersectos

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Objetivos del aprendizaje

En esta lección aprenderás a:

  • Encontrar los intersectos de la gráfica de una ecuación lineal.
  • Obtener algebraicamente los intersectos de una ecuación lineal y usarlos para realizar la gráfica correspondiente.
  • Resolver problemas del mundo real a través del uso de los intersectos de una gráfica lineal.

Introducción

Se requieren únicamente dos puntos distintos para definir de manera única la gráfica de una línea recta (o, sencillamente, recta). En general existe un número infinito de rectas que pasan por un punto dado (algunas son mostradas en la gráfica que sigue).

Ahora bien, si colocamos un punto adicional, entonces una y solamente una recta puede pasar por ambos puntos. Para dibujar dicha línea recta, sencillamente dibujamos los dos puntos y hacemos que el borde de una regla pase por ambos; luego hacemos el trazo de la gráfica deseada.

Existe un sinnúmero de parejas de puntos que pertenecen a la línea recta de las que puedes escoger para graficarla. En esta lección, nos concentraremos en dos puntos especiales que son muy convenientes para graficar una línea recta: son los puntos donde dicha línea corta a los ejes x y y. Ambos puntos se conocen como intersectos.

En general, un intersecto en y ocurre en el punto donde una gráfica cualquiera corta al eje y (x = 0). Por otra parte, un intersecto en x ocurre en el punto donde una gráfica cualquiera corta al eje x (y = 0). Es decir, el concepto de intersecto puede aplicarse a muchos tipos de gráficas. Sin embargo, en lo que sigue, se determinarán intersectos algebraicamente a partir de ecuaciones lineales y se utilizarán para hacer rápidamente las gráficas de dichas ecuaciones. Por supuesto, las gráficas obtenidas de dichas ecuaciones se conocen como gráficas lineales o sencillamente líneas rectas, o aún más sencillamente rectas.

Observa la gráfica siguiente. El intersecto en y ocurre en el punto donde la recta se intersecta con el eje y. El valor de y en este punto es 8.

Similarmente, el intersecto en x ocurre en el punto donde la recta se intersecta con el eje x. El valor de x en este punto es 6.

A partir de lo aprendido en los casos anteriores, y recordando que los ejes coordenados x y y no son más que dos rectas que se intersectan en el origen (es decir, en el punto (0, 0)), podemos concluir que el valor de la coordenada x de todos los puntos que pertenecen al eje y, es igual a cero. De manera similar, el valor de la coordenada y de todos los puntos que pertenecen al eje x también es igual a cero. Por lo tanto, si se nos dan las coordenadas de dos intersectos, (0, 8) y (6, 0), sabemos que el primero de ellos se encuentra en el eje y, mientras que el segundo se encuentra en el eje x. Podemos entonces graficar rápidamente dichos puntos y unirlos con una línea recta para crear nuestra gráfica.

Por favor, toma nota de lo siguiente: No todas las líneas tienen ambos intersectos, pero la mayoría sí los tiene. Específicamente, las líneas horizontales nunca cortan el eje x; a su vez, las líneas verticales nunca cortan el y. Esto puede observarse en la gráfica anterior.

Localización de intersectos a través del método de sustitución

Ejemplo 1

Encuentra los intersectos de la recta y=13 - x y úsalos para graficar dicha función.

El primer intersecto es fácil de encontrar. El intercepto en y ocurre cuando x=0. Al sustituir este valor en la ecuación anterior se obtiene:

y = 13 - 0 = 13 &&  (0, 13)\ \text{es el intersecto en}\ x

Sabemos que el intersecto en x tiene, por definición, un valor de y igual a cero. La determinación del valor correspondiente de x es un simple caso de sustitución:

0 & = 13 - x && \text{Para aislar}\ x \ \text{se debe sustraer} \ 13\ \text{en ambos miembros de la ecuaci\'{o}n}.\\-13 & = -x && \text{Luego, se dividen ambos miembros entre} -1.

Solución

(13, 0) es el intersecto en x.

Para obtener la gráfica de la función, simplemente dibujamos estos puntos y los unimos con una recta.

Ejemplo 2

Grafica las siguientes funciones por medio de sus respectivos intersectos.

a. y = 2x+ 3

b. y = 7 - 2x

c. 4x - 2y = 8

d. 2x + 3y = -6

a. Encuentra el intersecto en y sustituyendo x=0 en la ecuación.

y = 2\cdot 0 + 3 = 3 && \text{El intersecto en}\ y\ \text{es} \ (0, 3).

Encuentra el intersecto x sustituyendo y = 0 en la ecuación.

 0 & = 2x + 3 && \text{Se sustrae}\ 3\ \text{en ambos miembros de la ecuaci\'{o}n}.\\-3 & = 2x && \text{Se dividen ambos miembros de la ecuaci\'{o}n entre}\ 2. \\- \frac{3}{2}& = x && \text{El intersecto en}\ x\ \text{es}\ (-1.5, 0).

b. Encuentra el intersecto en y sustituyendo x=0 en la ecuación correspondiente.

y = 7 -2\cdot 0 = 7 && \text{El intercepto en}\ y\ \text{es}\ (0, 7).

Encuentra el intersecto en x sustituyendo y=0 en la ecuación.

 0 & = 7- 2x  && \text{Se sustrae}\ 7\ \text{de ambos miembros de la ecuaci\'{o}n} \\-7 & = -2x && \text{Luego, se dividen ambos miembros de la ecuaci\'{o}n entre}\ -2.\\\frac{7} {2} & = x && \text{El intersecto en}\ x\ \text{es}\ (3.5, 0).

c. Encuentra el intersecto y sustituyendo x=0 en la ecuación correspondiente.

4\cdot 0 - 2y & = 8 \\-2y & = 8 && \text{Se dividen ambos miembros de la ecuaci\'{o}n entre}\ -2.\\y & = -4  && \text{El intersecto en}\ y\ \text{es}\ (0,-4).

Encuentra el intersecto en x sustituyendo y=0 en la ecuación.

4x-2\cdot 0 & = 8 \\4x & = 8 && \text{Se dividen ambos miembros de la ecuaci\'{o}n entre}\ 4. \\x & = 2 && \text{El intersecto en}\ x\ \text{es}\ (2,0).

d. Encuentra el intersecto en y sustituyendo x=0 en la ecuación correspondiente.

2\cdot 0 + 3y & = - 6 \\3y & = -6  && \text{Se dividen ambos miembros de la ecuaci\'{o}n entre}\ 3.\\y & = -2  && \text{El intersecto en}\ y\ \text{es}\ (0,-2).

Encuentra el intersecto en x sustituyendo y=0 en la ecuación.

2x + 3\cdot 0 & = -6\\2x & = -6 && \text{Se dividen ambos miembros de la ecuaci\'{o}n entre}\ 2.\\x &=-3 && \text{El intersecto en}\ x\ \text{es}\ (-3,0)

Obtención de intersectos con el método de “encubrimiento” (Cover-Up Method, en inglés) aplicado a la ecuación general de la línea recta

Observa las dos últimas ecuaciones del ejemplo 2. Ambas están escritas en un formato conocido como la forma general o ecuación general de la línea recta. También, algunos autores le llaman forma estándar (standard form, en inglés) de la línea recta. Las ecuaciones generales o estándar siempre siguen la estructura siguiente: coeficiente positivo multiplicado por x más (o menos) coeficiente positivo multiplicado por y igual a valor numérico (que puede ser tanto positivo como negativo). Observa que el término x siempre tiene un coeficiente positivo, mientras que el término y puede ser positivo o negativo (según sea el signo que se anteponga a su coeficiente). La ecuación luce como sigue:

ax + by + c = 0 \ \text{o} \ ax - by = c && (a\ \text{y}\ b\ \text{son n\'{u}meros positivos})

Para cualquiera de las ecuaciones anteriores, debe recordarse que c es un valor numérico que puede ser positivo o negativo.

Existe un método efectivo para encontrar intersectos cuando se usa la ecuación general (o estándar), el cual a menudo es referido como el método de encubrimientoo cover-up method, en inglés.

Ejemplo 3

Encuentra los intersectos de la líneas rectas correspondientes a las siguientes ecuaciones.

a. 7x - 3y = 21 .

b. 12x -10y = -15 .

c. x + 3y = 6.

Para encontrar cada intersecto, debemos recordar que tanto el valor x como el valor de y se hacen cero, según sea que estemos calculando intersecto en x o el intersecto en y, respectivamente. En cualquier caso, debe resultarte evidente que el término que contiene la variable con valor cero desaparece efectivamente de la ecuación. Para evidenciar que un término desaparece, sencillamente cúbrelo con un dedo y resuelve la ecuación que resulta.

a. Para encontrar el intersecto en y hacemos x=0 y cubrimos con un dedo el término que corresponde x:

-3y = 21\! \\y = -7  \qquad \quad (0, -7)\ \text{es el intercepto en}\ y

Ahora, determinaremos el intersecto en x:

 7x = 21\! \\x = 3 \qquad \quad (3, 0)\ \text{es el intersecto en}\ x

b. Determina el intersecto en y (x = 0). Para ello, cubre con un dedo el término correspondiente a x.

 -10y = -15\! \\y = -1.5 \qquad \quad (0, -1.5)\ \text{es el intersecto en}\ y

Determina el intersecto en x (y = 0):

 12x = -15 \! \\x = -\frac{5}{4} \qquad \quad (-1.25, 0)\ \text{es el intersecto en}\ x

c. Determina el intersecto en y (x = 0). Para ello, cubre con un dedo el término correspondiente a x:

3y = 6\! \\y  2 \quad \qquad (0, 2)\ \text{es el intersecto en}\ y

Determina ahora el intersecto en x:

x = 6 \qquad \quad (6, 0)\ \text{es el intersecto en}\ x

La gráfica de estas funciones e intersectos es mostrada en la figura que sigue.

Resolución de problemas del mundo real a través de los intersectos de una gráfica lineal

Ejemplo 4

El costo mensual de la membrecía de un gimnasio es $25. Con el objetivo de atraer más miembros, el gimnasio ofrece un reembolso inmediato en efectivo de $100 al momento de firmar un contrato de membrecía por un año completo. Tomando en cuenta el reembolso que se recibe al inicio, haz la gráfica del costo que se acumula mensualmente por membrecía, durante un período de 12 meses. Utiliza este gráfico para determinar el costo final acumulado luego de 12 meses de membrecía.

Procedamos a examinar el problema. Claramente, el costo acumulado es una función del número de meses que dura la membrecía (y no al revés). En otras palabras, mientras mayor es el número de meses transcurridos, el costo que se ha acumulado mensualmente también es mayor. Así, nuestra variable independiente es el número de meses transcurridos hasta un momento dado (observa que el dominio estará formado por números enteros no negativos, incluyendo el cero). Dicho número de meses transcurridos constituirá el valor de x. El costo acumulado, expresado en dólares, que a su vez corresponde al número dado de meses transcurridos, es la variable dependiente y será nuestro valor de y.

Más específicamente, el dinero que recibe el gimnasio se incrementa en $25 por cada mes transcurrido. Sin embargo, hay que recordar que un miembro comienza con un regalo (o reembolso) en efectivo de $100, por lo que su costo inicial es negativo, ya que evidentemente se trata realmente de una ganancia. Este costo inicial negativo tiene una magnitud o valor absoluto de $100, pero matemática y gráficamente corresponde al intersecto (0, -100), ubicado en el lado de valores negativos del eje y. Debe resultarte obvio que esta cantidad de dinero compensa en su totalidad el costo acumulado en un período de 4 meses de membrecía (4 \times \$25 = 100). Así, luego de cuatro meses, y tomando en cuenta el reembolso inicial, resulta que el costo acumulado por membrecía (es decir, el valor de y correspondiente a ese número de meses) es cero.

Matemática y gráficamente el intersecto en y es (0, -100). De manera similar, el intersecto en x es (4, 0).

Procedemos entonces a graficar ambos intersectos, luego los unimos con una línea recta, la cual extenderemos desde la marca correspondiente a x = 0 hasta la que corresponde a x = 12. La gráfica resultante se muestra a continuación.

Costo acumulado de membrecía e el gimnasio de acuerdo al número de meses transcurridos

Para encontrar el costo total acumulado por una membrecía que dura 12 meses, sencillamente leemos el valor de la función que corresponde al punto del mes 12. Para ello, desde la marca correspondiente a x = 12, ubicada sobre el eje x, trazamos una línea vertical hacia la gráfica de la función. La gráfica es cortada por la línea vertical en un valor de y igual a $200.

Solución

Ser miembro del gimnasio durante todo un año tiene un costo total de $200.

Ejemplo 5

Jesús tiene $30 para gastar en comida durante un evento de parrillada (o barbacoa) de su clase. Se sabe que los hot dogs cuestan $0.75 cada uno (incluyendo el pan). Por su lado, las hamburguesas cuestan $1.25 (incluyendo el pan y la ensalada). Haz una gráfica que muestre todas las combinaciones de hot dogs y hamburguesas que Jesús podría comprar en el evento, sin gastar más de $30.

Esta vez encontraremos una ecuación primero, luego podremos encontrar de manera lógica la mejor manera de encontrar los intersectos.

Si el número de hamburguesas que Jesús compra es x, entonces el dinero que él gasta en hamburguesas será 1.25x.

Si el número de hot dogs que Jesús compra es y, entonces el dinero que él gasta en hot dogs es 0.75y.

1.25x + 0.75y && \text{Es el costo total de la comida.}

El dinero disponible que Jesús tiene para gastar es $30. Si él lo gastase TODO, entonces podemos usar la siguiente ecuación.

1.25x + 0.75y = 30

A partir de dicha ecuación, podemos determinar los intersectos con el método de “encubrimiento” (cover-up method).

Primero determinamos el intersecto en y (que corresponde a x = 0).

0.75y = 30\! \\y = 40 \qquad \quad (0, 40)\ \text{Es el intersecto en}\ y

Luego, determinamos el intersecto en x (que corresponde a y = 0).

1.25x = 30\! \\x = 24 \qquad \quad (24, 0)\ \text{Es el intersecto en}\ x

Posibles cantidades de hot dogs y hamburguesas que Jesús podría comprar con $30

Podemos ahora graficar los intersectos encontrados y unirlos para crear nuestra gráfica, tal como se muestra en la figura.

He aquí una alternativa al método de ecuaciones.

Si Jesús gastase TODO su dinero en hot dogs, él podría comprar  \frac{30} {0.75} = 40 hot dogs. Si, por el contrario, Jesús comprara únicamente hamburguesas, él podría comprar  \frac{30} {1.25} = 24 hamburguesas. Así, puedes observar que tenemos dos intersectos: (0 hamburguesas, 40 hot dogs) y (24 hamburguesas, 0 hot dogs). Podríamos ahora graficarlos de manera idéntica y así poder diseñar nuestra gráfica de acuerdo a esta segunda alternativa.

Nota importante: Debemos darnos cuenta de que el problema de Jesús es realmente un ejemplo de una desigualdad o inecuación. Él puede, en efecto, gastar cualquier cantidad hasta $30, inclusive. Lo único que él no puede hacer es gastar más de $30. Nuestra gráfica refleja esto. La región sombreada es el lugar donde se encuentran todas las soluciones para el problema de Jesús. Las desigualdades o inecuaciones serán estudiadas en el capítulo 6.

Resumen de la lección

  • Un intersecto en y ocurre en el punto donde una gráfica corta al eje y (x = 0). Por otra parte, un intersecto en x ocurre en el punto donde una gráfica corta al eje x (y = 0).
  • El intersecto en y puede encontrarse al sustituir x = 0 en la ecuación y encontrando luego el valor de y. De manera similar, el intersecto en x puede encontrarse al sustituir y = 0 en la ecuación y encontrando luego el valor de x.
  • Una ecuación lineal se encuentra en su forma general o estándar si está escrita como “coeficiente positivo multiplicado por x más (o menos) coeficiente positivo multiplicado por y igual a un valor numérico (que puede ser tanto positivo como negativo)”. Los intersectos de las ecuaciones escritas en su forma general (o estándar) pueden encontrarse cubriendo el término x (o el término y) y encontrando la solución para la variable de la ecuación resultante.

Ejercicios de repaso

  1. Encuentra los intersectos para las siguientes ecuaciones con el método de sustitución.
    1. y = 3x - 6
    2. y = -2x + 4
    3. y = 14x- 21
    4. y = 7 -3x
  2. Encuentra los intersectos de las siguientes ecuaciones utilizando el método de “encubrimiento” (cover-up method).
    1. 5x- 6y = 15
    2. 3x-4y = -5
    3. 2x+7y = -11
    4. 5x + 10y = 25
  3. Utiliza algún método válido para encontrar los intersectos y luego grafica las siguientes ecuaciones.
    1. y = 2x + 3
    2. 6(x- 1) = 2(y + 3)
    3. x-y = 5
    4. x+y = 8
  4. En la tienda (o abarrotería) local las fresas cuestan $3.00 por libra, mientras que los bananos cuestan $1.00 por libra. Si dispones únicamente de $10 para la compra de fresas y bananos, haz la gráfica que muestre las combinaciones de ambas frutas que puedes comprar de modo que gastes exactamente $10.
  5. Un cine cobra $7.50 por boleto de adultos y $4.50 por boleto de niño. Si el cine recauda $900 por la venta de boletos en una exhibición particular, haz una gráfica que muestre las posibles combinaciones del número de boletos de adulto y número de boletos de niño que se han vendido.
  6. ¿Por qué no podemos utilizar el método de los intersectos para graficar la siguiente ecuación? 3(x + 2) = 2(y+3)

Respuestas a los ejercicios de repaso

    1. (0, -6), (2, 0)
    2. (0, 4), (2, 0)
    3. (0, -21), (1.5, 0)
    4. (0, 7), \left(\frac{7}{3}, 0\right)
    1. (0, -2.5), (3, 0)
    2. (0, 1.25), \left(-\frac{5}{3}, 0\right)
    3. \left(0,-\frac{11}{7}\right), \left(-\frac{11}{2},0\right)
    4. (0, 2.5), (5, 0)
  1. Esta ecuación se reduce a 3x=2y, la cual pasa por el origen (0, 0) y, por lo tanto, tiene solo un intersecto. Para que el método funcione se necesitan dos intersectos.

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CK.MAT.SPA.SE.1.Algebra-I.4.3

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