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4.4: Pendiente y razón de cambio

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Objetivos del aprendizaje

En esta lección aprenderás a:

  • Determinar pendientes positivas y negativas.
  • Reconocer y determinar las pendientes de líneas horizontales y verticales.
  • Entender el concepto de razón de cambio.
  • Interpretar gráficas y comparar razones de cambio.

Introducción

Nos encontramos con muchos ejemplos de pendiente en la vida cotidiana. Por ejemplo, una pendiente se encuentra en la inclinación de un techo, de una carretera, o bien de una escalera apoyada en una pared. En matemática usamos la palabra pendiente para definir, de forma particular, el grado de inclinación de algo.

\text{Pendiente} =\ \frac{\text{distancia recorrida verticalmente}}{\text{distancia recorrida horizontalmente}}

Esto es a menudo formulado de otra manera para que sea más fácil de recordar:

\text{Pendiente} = \ \frac{\text{elevaci\'{o}n}}{\text{avance}}

Esencialmente, la pendiente es el cambio en y si x se incrementa en 1.

En la figura siguiente, la pendiente sería la razón de la altura de la colina (su elevacion) a la longitud horizontal de la colina (el avance).

\text{Pendiente} = \frac{3} {4} =  0.75

Si el automóvil fuese conducido hacia la derecha, entonces subiría por la colina. Decimos que esta es una pendiente positiva. Cada vez que observes la gráfica de una línea recta que se eleva a medida que te mueves hacia la derecha, entonces la pendiente de dicha línea será positiva.

Si el carro continuase su marcha luego de alcanzar la cima de la colina, comenzaría a descender. Cuando el carro avanza hacia la derecha y desciende, entonces decimos que la pendiente es negativa. La figura mencionada anteriormente tiene una pendiente negativa igual a -0.75.

¡Por favor, evita confusiones! Si el carro retornara y fuese conducido hacia abajo sobre la primera pendiente (la que está a la izquierda de la cima), aún así la pendiente sería clasificada como positiva. Esto es así porque la elevación sería igual a -3, pero el avance sería igual a -4 (recuerda que si te mueves de derecha a izquierda sobre el eje x, entonces te estás moviendo en la dirección negativa de x). La razón de cambio al movernos hacia la izquierda es:

\text{Pendiente} & = \frac{-3} {-4} = 0.75 &&  \text{Un n\'{u}mero negativo dividido entre otro negativo da por}\\&&& \text{resultado un n\'{u}mero positivo.}

Así, cuando nos movemos de izquierda a derecha, para las pendientes positivas se incrementa nuestra elevación, mientras que para las negativas disminuye nuestra elevación.

Determinación de una Pendiente Positiva

Hemos visto que una función lineal con pendiente positiva se incrementa en y a medida que x se incrementa. Una manera simple de encontrar un valor para la pendiente es dibujar un triángulo rectángulo cuya hipotenusa sea paralela a la línea recta (la cual representa gráficamente a la función lineal). Entonces la pendiente se encuentra fácilmente a partir de las medidas de los lados del triángulo rectángulo que corresponden a la elevación (la dimensión vertical) y al avance (la dimensión horizontal).

Ejemplo 1

Encuentra las pendientes para las tres gráficas mostradas anteriormente.

Existen triangulos rectángulos previamente dibujados para cada una de las líneas rectas. En la práctica, tú tendrías que dibujarlos por tí mismo. Observa que es más fácil dibujar triángulos cuyos vértices sean puntos de cuadrícula (es decir, que todas sus coordenadas sean números enteros).

a. La elevación mostrada en este triángulo es igual a 4 unidades, el avance es igual a 2 unidades.

\text{Pendiente} = \frac{4} {2} = 2

b. La elevación en este triángulo es de 4 unidades, el avance es también de 4 unidades.

\text{Pendiente} = \frac{4} {4} = 1

c. La elevación mostrada en este triángulo es igual a 2 unidades, el avance es igual a 4 unidades.

\text{Pendiente} = \frac{2} {4} = \frac{1} {2}

Ejemplo 2

Encuentra la pendiente de la línea que pasa por los puntos (1, 2) y (4, 7).

Nosotros ya sabemos cómo graficar una línea recta cuando conocemos dos puntos del Plano Coordenado. Simplemente graficamos los puntos y los unimos con la recta. Observa la gráfica mostrada anteriormente.

Dado que conocemos las coordenadas para los vértices de nuestro triángulo rectángulo, fácilmente podemos concluir que la elevación es 5 y que el avance es 3 (ver el diagrama). He aquí el valor de nuestra pendiente.

\text{Pendiente} = \frac{7-2} {4-1} = \frac{5} {3}

Si observas cuidadosamente los cálculos realizados para determinar la pendiente, notarás que las cantidades 7 y 2 son las coordenadas en y de los dos puntos graficados. Similarmente, las cantidades 4 y 1 son las coordenadas en x de dichos puntos. Esto nos sugiere un patrón que podemos seguir para conseguir una fórmula general para la pendiente que existe entre dos puntos (x_1, y_1) y (x_2, y_2).

Pendiente entre (x_1, y_1) y  (x_2, y_2) = \frac{y_2 - y_1} {x_2 - x_1} ó  m = \frac{\triangle y} {\triangle x}

En la segunda ecuación, la letra m denota la pendiente (tú verás dicha notación muy frecuentemente en este capítulo) y la letra griega delta (\Delta) representa cambio. Así, otra forma de definir la pendiente es cambio en y dividido entre cambio en x. En la siguiente sección tú verás que no interesa cuál punto escojas como punto 1 y cuál como punto 2.

Determinación de una Pendiente Negativa

Cualquier función con una pendiente negativa es sencillamente aquella que decrece a medida que incrementamos x. Si asumimos que dicha función es análoga a la inclinación de una carretera, entonces una pendiente negativa corresponde a una carretera que va cuesta abajo a medida que tú conduces tu automóvil hacia la derecha.

Ejemplo 3

Encuentra las pendientes de las líneas rectas mostradas en la gráfica siguiente.

Observa las rectas. Ambas caen (o decrecen) a medida que nos movemos de izquierda a derecha. Por lo tanto, ambas posee una pendiente negativa.

Ninguna de dichas líneas pasa a través de muchos puntos de la cuadrícula. Sin embargo, observando cuidadosamente, podrás ver unos cuantos puntos que tienen coordenadas enteras. Como puede verse en la figura anterior, estos puntos han sido identificados convenientemente (con círculos alrededor de los mismos)y los utilizaremos para determinar las pendientes de las líneas respectivas. Además, haremos dos veces nuestros cálculos, para mostrar que obtenemos la misma pendiente, sin importar cuál es nuestro punto 1 y cuál nuestro punto 2.

Para la línea recta A:

(x_1, y_1) &= (-6, 3) \ (x_2, y_2) = (5, -1) && (x_1, y_1) = (5, -1) \ (x_2, y_2) = (-6, 3) \\m &= \frac{y_2 - y_1} {x_2 - x_1} = \frac{(-1) - (3)} {(5) - (-6)} = \frac{-4} {11} \approx -0.364 && \qquad \ m = \frac{y_2 - y_1} {x_2 - x_1} = \frac{(3) - (-1)} {(-6) - (-5)} = \frac{-4} {11} \approx -0.364

Para la línea recta B:

(x_1, y_1) &= (-4, 6) \ (x_2, y_2) = (4, -5) && (x_1, y_1) = (4, -5)\ (x_2, y_2) = (-4, 6) \\m &= \frac{y_2 - y_1} {x_2 - x_1} = \frac{(-5) - (6)} {(4) - (-4)} = \frac{-11} {8} = -1.375 && \qquad \ m = \frac{y_2 - y_1} {x_2 - x_1} = \frac{(6) - (-5)} {(-4) - (4)} = \frac{11} {-8} = -1.375

Como puedes ver, sin importar el orden en que selecciones los puntos, ¡Las respuestas son siempre las mismas!

Solución

La línea recta A tiene una pendiente igual a -0.364. La línea recta B tiene una pendiente igual a -1.375.

Vínculo Multimedia La serie de videos que se encuentran en Khan Academy Slope (8:28) muestran varios ejemplos adicionales sobre cómo encontrar la pendiente de una recta a partir de dos puntos dados.

Determinación de las Pendientes de Líneas Horizontales y Verticales

Ejemplo 4

Encuentra las pendientes de las dos líneas de la gráfica mostrada.

Hay dos líneas en la gráfica. A (y = 3) y B (x= 5).

Escojamos dos puntos sobre la línea A. Una posible selección de puntos es (x_1, y_1 )=(-4,3) y (x_2, y_2 )=(5,3). A continuación, utilizamos nuestra ecuación para el cálculo de la pendiente.

 m = \frac{y_2 - y_1} {x_2 - x_1} = \frac{(3) - (3)} {(5) - (-4)} = \frac{0} {9} = 0

Si analizas este resultado, concluirás que tiene sentido. Si no hay cambio en y a medida que incrementamos x entonces no hay pendiente, o bien, para decirlo correctamente, la pendiente tiene un valor igual a cero. Debe resultarte evidente que este resultado es correcto y es igual para toda línea horizontal.

Las líneas horizontales, representadas por la ecuación (y = constante) tienen todas una pendiente igual a 0.

Ahora veamos la línea B. Escoge dos puntos diferentes de esta línea y sustituyamos sus valores en la ecuación de la pendiente.

(x_1, y_1) & = (5,-3)\ \text{y} \ (x_2, y_2 )=(5,4).\\m & = \frac{y_2 - y_1} {x_2 - x_1} = \frac{(4) - (-3)} {(5) - (5)} = \frac{7} {0} && \text{Una divisi\'{o}n entre cero! }

Las divisiones entre cero dan por resultado infinito. En matemáticas a menudo utilizamos el términoindefinición para alguna división entre cero.

Líneas verticales (x = constante) todas tienen una pendiente infinita (o indefinida)

Determinación de Razones de Cambio

La pendiente de una función que describe cantidades reales y medibles es, a menudo, llamadarazón de cambio. En este caso, la pendiente se refiere al cambio de una cantidad (y) por unidad de cambio de otra cantidad (x).

Ejemplo 5

Andrea tiene un empleo de medio tiempo en la tienda local. Ella está ahorrando para sus vacaciones a razón de $15 por semana. Expresa esta razón de cambio como dinero ahorrado por día y dinero ahorrado por año.

La conversión de razones de cambio es usualmente sencilla siempre que recuerdes las correspondientes ecuaciones de pendiente y los factores de conversión apropiados. En este caso los factores de conversión que se necesitan son: 1 semana = 7 días y 52 semanas = 1 año.

\text{Raz\'{o}n de cambio} & = \frac{\$15} {1 \ \text{semana}} \cdot \frac{1 \ \text{semana}} {7 \ \text{d\'{i}as}} = \frac{\$ 15} {7\ \text{d\'{i}as}} = \frac{15} {7} \ \text{d\'{o}lares por d\'{i}a} \approx \$ 2.14\ \text{por d\'{i}a} \\\text{Raz\'{o}n de cambio} & = \frac{\$ 15} {1 \ \text{semana}} \cdot \frac{52 \ \text{semanas}} {1 \ \text{a\~{n}o}} = \$15 \cdot \frac{52} {\text{a\~{n}o}} = \$ 780 \ \text{por a\~{n}o}

Ejemplo 6

Una vela (o candela) tiene una longitud inicial de 10 pulgadas. 30 minutos despues de haber sido encendida, su longitud es de 7 pulgadas. Determine la razón de cambio de su longitud a medida que se derrite. Determina el tiempo que le toma a la vela derretirse totalmente, hasta desaparecer.

En este caso, graficaremos la función para visualizar lo que está pasando.

Tenemos dos puntos para iniciar nuestro trabajo. Sabemos que que en el instante de encenderse por primera vez (tiempo = 0) y que su longitud es de 10 pulgadas. Después de 30 minutos, (tiempo = 30), su longitud es de 7 pulgadas. Dado que la longitud de la vela es una función del tiempo, el eje horizontal corresponderá a esta última variable, el eje vertical corresponderá a la longitud de la vela. He aquí una gráfica que muestra toda esta información.

Longitud de la vela respecto al tiempo que se mantiene encendida

La razón de cambio de la longitud de la vela es simplemente la pendiente observada en la gráfica. Dado que tenemos lo dos puntos (x_1, y_1 )=(0,10) y (x_2, y_2 )=(30,7) podemos utilizar fácil y directamente la fórmula.

\text{Raz\'{o}n de cambio} = \frac{y_2 - y_1} {x_2 - x_1}= \frac{(7\ pulgadas)- (10\ pulgadas)} {(30\ minutos) - (0\ minutos)} = \frac{-3 \ pulgadas} {30\ minutos} = -0.1\ \text{pulgadas por minuto}

La pendiente es negativa. Una razón de cambio negativa indica que la cantidad bajo análisis disminuye respecto al tiempo.

Podemos también convertir nuestra razón de cambio a pulgadas por hora.

\text{Raz\'{o}n de cambio} = \frac{- 0.1 \ pulgadas} {1 \ minutos} \cdot \frac{60\ minutos} {1\ hora} = \frac{-6\ pulgadas} {1\ hora} = -6\ \text{pulgadas por hora}

Par encontrar el tiempo para el cual la vela tiene longitud cero, simplemente lo leemos de la gráfica (100 minutos). Podemos usar la ecuación de la razón de cambio para verificar este resultado algebraicamente.

\text{Longitud derretida} &= \text{raz\'{o}n de cambio} \times \text{tiempo}\\0.1 \times 100 &= 10

Dado que la longitud original de la vela fue originalmente de 10 pulgadas, este resultado confirma que 100 minutos es la cantidad de tiempo correcta.

Interpretear un gráfico para comparar Razones de Cambio

Ejemplo 7

Examina la gráfica que se muestra abajo. Representa la jornada realizada por un camión grande en un día particular. Durante el día, el camión hizo dos entregas, cada una de ellas la realiza en el lapso de una hora. Sabemos también que el conductor se tomó una hora libre para almorzar. Identifica qué está ocurriendo en cada etapa de este viaje (de la etapa A hastea la E)

Distancia recorrida por el camión desde su base (o punto de partida), en función del tiempo transcurrido

Acá identificamos el itinerario seguido por el conductor del camión.

A. El camión inicia su recorrido y viaja 80 millas en 2 horas.

B. El camión se detiene durante 1 hora.

C. El camión avanza (120 - 80) = 40 millas en 1 hora

D. El camión se detiene durante 2 horas.

E. El camión avanza 120 millas en 2 horas.

Veamos ahora a las razones de cambio para cada sección.

A. \text{Raz\'{o}n \ de\ cambio} = \frac{\Delta y} {\Delta x} = \frac{80 \ milllas} {2 \ horas} = 40 millas por hora

  • La razón de cambio es una ¡velocidad! ¡Este es un concepto muy importante, el cual merece una nota especial!

La pendiente (or razón de cambio) de una gráfica de distancia vs. tiempo es una velocidad.

Probablemente tú puedes estar más familiarizado con las expresiones millas por hora y rapidez. La Rapidez es la magnitud de la velocidad, o, dicho con mayor detalle, la velocidad tiene dirección, la rapidez no. Esto se ilustra de mejor manera trabajando sobre lo que resta del presente ejemplo.

En la primera etapa de la jornada el camión viaja a una velocidad constante de 40 millas por hora (ó mph) durante 2 horas y avanza una distancia de 80 millas.

B. Pendiente = 0; así, la razón de cambio = 0 mph. El camión se estaciona durante una hora. Esto podría ser el tiempo de almuerzo, pero dado que únicamente han transcurrido 2 horas desde que el camión inició su recorrido, es muy probable que se trate de la primera parada de entrega.

C. \text{Raz\'{o}n de cambio} = \frac{\Delta y} {\Delta x} = \frac{(120 -80) \ millas} {(4 - 3)\ horas} = 40 millas por hora. Por lo tanto, el camión avanza a 40 mph.

D. Pendiente = 0, por tanto razón de cambio = 0 mph. El camión se estaciona durante dos horas. Es muy probable que el conductor usó estas 2 horas para su hora de almuerzo y para la segunda parada de entrega. En este punto, el camión se encuentra a 120 millas de su posición de inicio.

E. \text{Raz\'{o}n de cambio} = \frac{\triangle y} {\triangle x} = \frac{(0 - 120) \ millas} {(8 - 6)\ horas} = \frac{-120\ millas} {2\ horas} = -60 millas por hora. El camión se mueve con una velocidad negativa de 60 mph.

¡Espera!, ¿Una velocidad negativa? ¿Significa esto acaso que el conductor simplemente ha puesto la marcha atrás (es decir que simplemente retrocede, sin girar primero para avanzar luego en la dirección opuesta)? Bueno, probablemente no es esto lo que ocurre. Lo que significa es que la distancia (y no olvides que se trata de la distancia medida desde la base, o punto de inicio) está decreciendo con el tiempo. Es decir que el camión avanza hacia adelante, pero en dirección opuesta. Más específicamente, el camión retorna a su base o punto de partida. Así, la rapidez del camión es 60 mph, pero su velocidad (la cual incluye dirección) es negativa porque el camión se está acercando al punto desde donde inició su recorrido. Es importante notar que, en el viaje de retorno, ya no transporta dos cargas pesadas. Esto significa que viaja más rápido (60 mph a diferencia de 40 mph). Por lo tanto, cubre las 120 millas del viaje de regreso en 2 hours.

Resumen de la lección

  • Pendiente es una medida del cambio en la dirección vertical por cada paso en la dirección horizontal. La pendiente se denota mediante la letra “m”.
  • \text{Pendiente} = \frac{\text{elevaci\'{o}n}}{\text{avance}} or  m = \frac{\triangle y} {\triangle x}
  • La pendiente entre dos puntos (x_1, y_1) y  (x_2, y_2 ) =  \frac{y_2 - y_1} {x_2 - x_1}
  • Líneas horizontales (y = constante); todas tienen una pendiente con valor igual a 0.
  • Líneas verticales (x = constante); todas tienen una pendiente infinita (o indefinida).
  • La pendiente (or razón de cambio) de una gráfica de distancia vs. tiempo es una velocidad.

Ejercicios de Repaso

  1. Utiliza la fórmula de la pendiente para encontrar la pendiente de la línea recta que pasa por cada par de puntos.
    1. (-5, 7) y (0, 0)
    2. (-3, -5) y (3, 11)
    3. (3, -5) y (-2, 9)
    4. (-5, 7) y (-5, 11)
    5. (9, 9) y (-9, -9)
    6. (3, 5) y (-2, 7)
  2. Usa los puntos indicados en cada línea recta de las gráficas siguientes, para determinar sus respectivas pendientes.
  3. La gráfica distancia vs. tiempo de abajo muestra un viaje particular, en bicicleta, de tres millas y media que Mark realizó desde su casa a la escuela. Durante este viaje él utilizó vías especiales para ciclistas, pero el terreno era en pendiente. Por ello, Mark avanzó lentamente en las cuestas hacia arriba y rápidamente en las cuestas hacia abajo. Se sabe además que se detuvo ante semáforo y también se detuvo para reparar una pinchadura de un neumático. Identifica lo que ocurre en cada sección de la gráfica de acuerdo con la información proporcionada. Distancia recorrida por Mark desde su casa en función del tiempo transcurrido

Respuestas a los Ejercicios de Repaso

  1. -1.4
  2. 2.67
  3. -2.8
  4. indefinida
  5. 1
  6. -0.4
  1. 3
  2. 0.5
  3. -2
  4. 1
  5. Indefinida
  6. \frac{1}{3}
  1. Cuesta arriba
  2. Se detuvo (Semáforo)
  3. Cuesta arriba
  4. Cuesta abajo
  5. Se detuvo (pinchadura)
  6. Cuesta arriba

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