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4.5: Gráficas de Ecuaciones lineales de la forma Pendiente-Intercepto

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Objetivos del Aprendizaje

En esta lección aprenderás a:

  • Identificar la pendiente y el intercepto en el eje y en ecuaciones y gráficas.
  • Graficar ecuaciones de la forma pendiente-intercepto.
  • Comprender y explicar qué pasa cuando se cambia la pendiente o el intercepto de una recta.
  • Identificar líneas paralelas a partir de sus ecuaciones.

Identificación de la Pendiente y el intercepto en el eje y

Una de las formas más comunes de escribir ecuaciones lineales, previo a construir su gráfica, es la llamada forma pendiente-intercepto. De hecho, hasta el momento, ya hemos visto varias ecuaciones pendiente-intercepto, las cuales toman la forma siguiente:

y = mx + b donde m es la pendiente, mientras que el punto (0, b) es el intercepto en el eje y (o, más sencillamente, intercepto en y)

Sabemos que el intercepto en y es el punto donde una línea recta (o más sencillamente, recta) corta al eje y. La pendiente es una medida de la inclinación de una recta. Esperamos que te sea fácil visualizar que si se conoce un punto que pertenece a una recta así como la pendiente de la misma, entonces dicha línea queda perfectamente determinada y, por tanto, es posible graficarla con exactitud. El ser capaces de identificar rápidamente el intercepto en y y la pendiente nos ayudará a graficar funciones lineales.

Ejemplo 1

Identifica la pendiente y el intercepto en y de las siguientes ecuaciones.

a) y= 3x + 2

b) y = 0.5x- 3

c) y = -7x

d) y = -4

Solución

a) Comparando, vemos que m = 3 y b = 2.

y = 3x + 2 Tiene una pendiente de 3 y un intercepto en y- dado por (0, 2)

b) tiene una pendiente de 0.5 y un intercepto en y dado por (0, -3).

Observa que el intercepto en y es negativo. El término b incluye el signo del operador que antecede al número. Por ejemplo, recuerda que la ecuación y = 0.5x- 3 es idéntica a y = 0.5x + (-3). Esta última está en la forma y = mx + b.

c) A primera vista, esta ecuación no parece encajar en la forma pendiente-intercepto. Para solventar esta dificultad, escribamos la ecuación de otra manera, como sigue.

Ahora sí nos es posible observar que tenemos una pendiente igual a -7 y un intercepto en y dado por (0, 0).

Observa que la pendiente es negativa. Además, el intercepto (0, 0) indica que la recta pasa por el origen del sistema coordenado.

d) Si reescribimos esta ecuación como y = 0x -4, observamos que tenemos una pendiente con valor igual a 0 y un intercepto dado por (0, -4).

Recuerda:

  • Cuando m <0, la pendiente es negativa.

Por ejemplo, y = -3x + 2 tiene una pendiente igual a -3.

  • Cuando b<0, el intercepto está bajo el eje x.

Por ejemplo, y=4x- 2 tiene un intercepto en y dado por el punto (0, -2).

  • Cuando m = 0, la pendiente es cero y tenemos una línea horizontal.

Por ejemplo, y = 3 puede escribirse como y = 0 x + 3.

  • Cuando b = 0, la gráfica pasa por el origen del sistema coordenado.

Por ejemplo, y = 4x se puede escribir como  = 4x + 0.

Ejemplo 2

Identifica la pendiente y el intercepto en y de las líneas mostradas.

Los interceptos se pueden determinar gráficamente. Luego se utilizan junto con los puntos de cuadrícula marcados con círculos, por donde también pasan las rectas, para determinar las pendientes respectivas.

a. El intercepto en y es (0, 5). La recta también pasa a través de (2, 3).

\text{Pendiente}\ m = \frac{\Delta y} {\Delta x} = \frac{-2} {2} = -1

b. El intercepto en y es (0, 2). La recta también pasa por (1, 5).

\text{Pendiente}\ m = \frac{\Delta y} {\Delta x} = \frac{3} {1} = 3

c. El intercepto en y es (0, -1). La recta también pasa por (2, 3).

\text{pendiente}\ m = \frac{\Delta y} {\Delta x} = \frac{4} {2} = 2

d. El intercepto en y es (0, -3). La línea también pasa por (4, -4).

\text{Pendiente}\ m = \frac{\Delta y} {\Delta x} = \frac{-1} {4} = \frac{-1} {4}\ \text{\'{o}}\ -0.25

Gráfica de una Ecuación en la Forma Pendiente-Intercepto

Una vez se conoce la pendiente y el intercepto de una línea, es fácil graficarla. Sencillamente recuerda el significado de la pendiente. Veamos de nuevo este ejemplo, al que únicamente hemos cambiado el nombre del protagonista, tomado de la lección 4.1.

Ejemplo 3

Ahiga está tratando de entender y dominar un truco que un amigo le enseñó. Su amigo comenzó pidiéndole que pensara en un número; luego le pidió que lo duplicara; a continuación que le añadiera cinco al resultado obtenido. Ali ha escrito una regla que describe la primera parte del truco. Él utiliza la letra x para representar el número en que él pensó, también utiliza la letra y para representar el resultado de la aplicación de la regla. Él escribió la regla a través de la siguiente ecuación:

y = 2x+ 5

Ayúdale a comprender esta parte del truco a través de la gráfica de la función descrita por dicha regla.

En dicho ejemplo, en la lección 4.1, construimos la siguiente tabla de valores.

x y
0 2.0 + 5 = 0 + 5 = 5
1 2.1+ 5 = 2 + 5 = 7
2 2.2 + 5 = 4 + 5 = 9
3 2.3 + 5 = 6 + 5 = 11

La primera pareja de datos nos proporcionó nuestro intercepto en y, el cual está dado por el punto (0, 5). El resto de puntos nos ayudó a graficar la recta.

Ahora podemos usar la ecuación de la pendiente, evaluándola con dos de los puntos dados por la tabla.

Pendiente obtenida a partir de (x_1, y_1 ) = (0, 5) y (x_2, y_2 ) = (3, 11).

 m = \frac{y_2 - y_1} {x_2 - x_1} = \frac{11 - 5} {3 - 0} = \frac{6} {3} = 2

Así, hemos confirmado que la pendiente es, m=2.

Una forma más fácil de graficar esta función es a través de método pendiente–intercepto. A este nivel, estamos en la capacidad de hacer esto rápidamente, por medio de la identificación del intercepto y la pendiente.

Veamos la gráfica que obtuvimos. La recta corta al eje y en 5. Además, podemos verificar que cada vez que nos movemos una unidad hacia la derecha, nos movemos dos unidades hacia arriba.

¿Cuál sería la diferencia si graficásemos una función con pendiente negativa?. Simplemente recuerda que una pendiente negativa equivale a decir que la función decrece a medida que incrementamos x.

Ejemplo 4

Grafica la siguiente función. y = -3x + 5

  • Identifica el intercepto en y, b = 5
  • Grafica el intercepto (0, 5)
  • Identifica la pendiente m = -3
  • Dibuja la recta que pasa por el intercepto y que tiene una pendiente con valor igual a -3.

Al hacer esta última parte, recuerda que \text{pendiente} = \frac{\text{elevaci\'{o}n}}{\text{avance}}. De este modo, por cada unidad que nos movemos hacia la derecha, la función se incrementa en -3 unidades (en otras palabras, por cada cuadro (de la cuadrícula) que nos movemos hacia la derecha, la función cae 3 cuadros).

Variación del valor la pendiente de una Recta

Mira la gráfica anterior. Muestra varias rectas con diferentes pendientes, pero todas con el mismo intercepto en y, (0, 3).

Tú puedes observar que todas las funciones con pendientes positivas se incrementan a medida que nos movemos de izquierda a derecha, mientras que todas las funciones con pendientes negativas decrecen a medida que nos movemos de izquierda a derecha.

También nota que mientras mayor sea la pendiente, más inclinación posee la gráfica respectiva.

La gráfica de y = 2x + 3 luce como la imagen de espejo y=-2x + 3. Ambas pendientes son iguales pero de signos opuestos.

Pendientes Fraccionarias y Elevación sobre avance

Observa la gráfica de y=0.5x + 3, en la figura de arriba. A medida que incrementamos el valor de x en 1, entonces el valor de y se incrementa en 0.5. Si ahora incrementamos el valor de x en 2, entonces el valor de y se incrementa en 1. En efecto, si tú expresas cualquier pendiente como una fracción, puedes determinar cómo obtener la gráfica de la ecuación correspondiente si la elevación la obtienes del numerador de dicha fracción (recuerda incluir cualquier signo negativo que anteceda a este término), mientras que el avance lo obtienes del denominador de la misma.

Ejemplo 5

Encuentra valores enteros para la elevación y el avance de las siguientes pendientes. Luego grafica las rectas correspondientes a dichas pendientes.

a. m = 3

b. m = -2

c. m = 0.75

d. m = -0.375

Solución:

a.

b.

c.

d.

Variación del valor del Intercepto de una Recta

Cuando a una ecuación (tal como y=2x) le cambiamos su intercepto en y (dejando intacta su pendiente), entonces aparece el patrón mostrado en la gráfica anterior.

Observa que los cambios (variaciones) del intercepto simplemente mueven verticalmente la gráfica hacia arriba o hacia abajo. Toma un punto que pertenezca a la gráfica de y=2x, tal como (1, 2). De manera análoga, un punto correspondiente a la recta y = 2x + 3 es (1, 4). Similarmente, el punto correspondiente a la recta y = 2x- 3 es (1, -1).

¿Se cruzarán alguna vez estas rectas?

Para responder tal pregunta, tomemos dos de las ecuaciones, a decir y=2x y y=2x+3 y resolvamos para valores de x and y que satisfagan ambas ecuaciones. Estas soluciones nos darán las coordenadas (x, y) del punto de intersección de las dos rectas asociadas a dichas ecuaciones.

2x & = 2x + 3c &&&& \text{Sustrae}\ 2x\ \text{de ambos miembros.}\\0 & = 0 + 3  && \text{\'{o}}  && 0 = 3\ \text{¡Esta igualdad es FALSA!}

Una igualdad falsa como ésta significa que no existen valores (x, y) que satisfagan ambas ecuaciones simultáneamente. Por lo tanto, estas rectas núnca se cruzarán. Por tanto, ellas deben ser paralelas.

Identificación de Líneas Paralelas

En la sección anterior, cuando cambiamos el intercepto (dejando inalterada la pendientes), la nueva recta resultaba paralela a la recta original. Este resultado es siempre verdadero sin importar el valor de pendiente de la recta original. Todo ello se explica con el hecho de que el cambio en el valor del intercepto en la gráfica correspondiente a y = mx + b no afecta en absoluto el valor de la pendiente. Esta idea puede resumirse como sigue.

Cualquier par de líneas que posean pendientes idénticas son paralelas.

Resumen de la Lección

  • Una forma común de la línea recta (que es una ecuación lineal) es la forma pendiente-intercepto:

y=mx+b donde m es la pendiente, mientras que el punto (0, b) es el intercepto en y.

  • El proceso de graficar una línea en la forma pendiente-intercepto consiste en lo siguiente: primero se grafica el intercepto en y, es decir el punto (0, b); luego se grafican más puntos en localidades que resultan de moverse un paso a la derecha (es decir, añadiéndole 1 a x) y luego, de moverse verticalmente m unidades (es decir, añadiéndole el valor m de la pendiente, con signo incluido, a y). En la localidad alcanzada a través de ambos movimientos se grafica a un punto de la recta. Cada punto subsecuente se puede graficar de manera similar.
  • Dos líneas rectas con pendientes idénticas son paralelas.

Ejercicios de Repaso

  1. Identifica la pendiente y el intercepto en y- par las siguientes ecuaciones.
    1. y = 2x + 5
    2. y = -0.2x + 7
    3. y = x
    4. y = 3.75
  2. Identifica la pendiente de las siguientes líneas rectas.
  3. Identifica la pendiente y el intercepto en y de cada una de las siguientes funciones.
  4. Grafica las siguientes funciones.
    1. y = 2x + 5
    2. y = -0.2x + 7
    3. y = -x
    4. y = 3.75
  5. ¿Cuáles de las siguientes líneas son paralelas?
    1. y = 2x + 5
    2. y = -0.2x + 7
    3. y = -x
    4. y = 3.75
    5. y = -\frac{1}{5}x-11
    6. y = -5x + 5
    7. y = -3x + 11
    8. y = 3x + 3.5

Respuestas a los Ejercicios de Repaso

    1. m = 2, (0, 5)
    2. m = -0.2, (0, 7)
    3. m = 1, (0, 0)
    4. m = 0, (0, 3.75)
    1. m = -2
    2. m = -\frac{4}{3}
    3. m = 0
    4. m = \frac{2}{5}
    5. m = -0.25
    6. m = -0.5
    7. m = 4
    1. y = -\frac{2}{3}x+ 1.5
    2. y = 3x+ 1
    3. y = 0.5x- 2
    4. y = -x
    5. y = 3
    6. y = -0.2x - 1
  1. b y e

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