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4.6: Modelos de Variación Directa

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Objetivos del Aprendizaje

En esta lección, aprenderás a:

  • Identificar variaciones directas.
  • Graficar ecuaciones que expresan variación directa.
  • Resolver problemas del mundo real por medio de modelos de variación directa.

Introducción

Supón que ves que alguien compra cinco libras de fresas en la tienda local. El empleado de la tienda pesa las fresas y cobra $12.50 por ellas. Ahora supón que tú quieres comprar dos libras de fresas para tí. ¿Cuánto esperarías pagar por ellas?

Identificar Variaciones Directas

El problema anterior es representativo del concepto de variación directa de una variable respecto de otra. Así por ejemplo, asumiendo que el precio de las fresas se haya establecido “por libra”, entonces se esperaría que si tú compraras dos quintos de las cinco libras de fresas del ejemplo anterior, entonces tendrías que pagar dos quintos de $12.50 por tus fresas.

\frac{2}{5}\times \$ 12.50 = \$ 5.00

Similarmente, si tú compraras 10 libras de fresas (es decir, el doble de la cantidad que compró el otro cliente del problema anterior), entonces tu pagarías 2 \times \$ 12.50. Por supuesto, si no comprases fresa alguna, entonces, obviamente, no pagarías cantidad alguna.

Si la variable y varía directamente con x, entonces la relación que existe entre ambas se escribe como:

y=k \cdot x

k se conoce como constante de proporcionalidad.

Al graficar esta función, tú observarías que la misma pasa por el origen del sistema coordenado. Esto es cierto dadoque y = 0, cuando x = 0, sin importar el valor de k. Por tanto, concluimos que la gráfica de una ecuación (ecuación funcional, por cierto) que representa la variación directa de y respecto de x, tiene un único intercepto en (0, 0).

Ejemplo 1

Si y varía directamente con x, de acuerdo a la relación y = k\cdot x, y si se sabe, además, que y = 7.5 cuando x = 2.5, determina la constante de proporcionalidad, k.

Podemos resolver para la constante de proporcionalidad a través del método de sustitución.

Se sustituye x = 2.5 y y = 7.5 en la ecuación y = k \cdot x

 7.5 & = k(2.5) && \text{Dividir ambos miembros entre 2.5.} \\\frac{7.5} {2.5} & = k = 3

Solución

La constante de proporcionalidad es k = 3.

Podemos graficar dicha relación rápidamene, a través del intercepto (0, 0) y del punto 2.5, 7.5. La gráfica es mostrada arriba. Es una línea recta con pendiente igual a = 3.

La gráfica de una variación directa tiene una pendiente que es igual a la constante de proporcionalidad, k.

Ejemplo 2

El volumen de agua en un tanque de peces, V, varía directamente con la profundidad de la misma, d. Si hay 15 galones en el tanque cuando la profundidad del agua es de ocho pulgadas, calcula cuánta agua contiene el tanque cuando la profundidad de la misma es de 20 pulgadas.

Este es un buen ejercicio sobre variación directa, y para resolverlo necesitamos determinar la ecuación de variación nosotros mismos. Dado que el volumen, V, depende de la profundidad del agua, d, usaremos la ecuación anterior para crear una nueva que represente de mejor manera el contenido de este nuevo problema.

y & = k\cdot x && \text{En lugar de}\ y\ \text{usaremos}\ V\ \text{y en lugar de}\ x\ \text{usaremos} \ d.\\V & = k\cdot d

Sabemos que cuando la profundidad es de 8 pulgadas, el volumen es 15 galones. Ahora podemos sustituir éstos valores en nuestra ecuación

Sustituir V = 15 y x = 8:

V & = k\cdot d \\15 & = k(8) && \text{Dividir ambos miembros entre 8}. \\\frac{15} {8} & = k = 1.875

Ahora, para encontrar el volumen de agua correspondiente a la profundidad final, usaremos este valor de k en V=k\cdot d y sutituimos, además, el nuevo valor de d.

V & = k\cdot d \\V & = 1.875 \times 20 \\V & = 37.5

Solución

A una profundidad de 20 pulgadas, el volumen de agua en el tanque es 37.5 galones.

Ejemplo 3

El gráfico mostrado arriba constituye una carta de conversión de dólares de U.S. (U.S. $) en Libras Esterlinas (informalmente conocidas como Libras Británicas, GB£), en un banco, en un día particular. Utiliza la tabla para determinar lo siguiente:

(i) El número de libras esterlinas que podrías comprar con $600.

(ii) El número de dólares que costaría comprar £200.

(iii) La tasa de cambio, expresada en libras por dólar.

(iv) ¿Es esta una función continua o discreta?

Solución

Con el fin de resolver (i) y (ii) podríamos, simplemente leer en el gráfico provisto arriba: resulta que, para x=600 la gráfica proporciona un valor que se encuentra aproximadamente a un quinto de la distancia entre £350 y £400. Por tanto, $600 compraría £360. De forma similar, la línea y =200 intersectaría la gráfica aproximadamente a un tercio de la distancia entre $300 y $400. Podríamos, pues, aproximar este resultado a $330. Así, comprar £200 costaría aproximadamente $330.

Para encontrar la relación o tasa de cambio debemos notar que la gráfica representa una variación directa (es decir que la cantidad de GB£ varía directamente con la cantidad de U.S. $). Esto se confirma con el hecho de que la gráfica es una línea recta que pasa por el origen. La pendiente de la línea recta dá la constante de proporcionalidad (en este caso la tasa de cambio), que es igual a la razón del valor de y al valor de x. Observando cuidadosamente la gráfica, es claro que existe un punto de cuadrícula por donde pasa la recta: (500, 300). Así, tomando como punto 1 el origen, (0, 0), y como punto 2 este último punto, (500, 300), resulta entonces que la ecuación de la pendiente evaluada en este par de puntos nos dará el estimado más preciso de la pendiente de la recta (que es la tasa de cambio de las monedas)

 y & = k \cdot x \Rightarrow k = \frac{y} {x} \\\text{tasa de cambio} & = \frac{300\ libras} {500\ dólares} = 0.60\ libras \ por \ dólar

Graficas de Ecuaciones de Variación Directa

Sabemos que todas las gráficas de variación directa (variación directa) pasan por el origen del sistema coordenado. Tambien conocemos que la pendiente de la línea es igual a la constante de proporcionalidad, k. En este caso, graficar es un proceso sencillo, si se utilizan los métodos punto-pendiente, o bien punto a punto, discutidos anteriormente en este capítulo.

Ejemplo 4

Graficar las siguientes relaciones de variación directa en el mismo gráfico.

a. y = 3x

b. y = -2x

c. y= -0.2x

d. y =\frac{2}{9}x

Solución

a. La línea recta pasa por el punto (0, 0). Todas estas funciones pasarán por este punto, el cual tiene color rojo. Esta función tiene una pendiente igual a 3. Esto quiere decir que cuando nos movemos horizontalmente una unidad, entonces la función se incrementa en 3 unidades.

b. La recta tiene una pendiente con valor igual a -2. Lo que indica que, cuando nos movemos horizontalmente en la gráfica una unidad, entonces la función cae 2 unidades.

c. La recta tiene una pendiente de -0.2. Dado que esta pendiente es idéntica a la fracción -\frac{1}{5}, concluimos que cuando nos movemos horizontalmente 5 unidades, entoncdes la función cae una unidad.

d. La línea pasa por el origen, (0, 0), y tiene una pendiente de \frac{2}{9}. Este resultado indica que cuando nos movemos horizontalmente 9, unidades, la función se incrementa en 2 unidades.

Solución de Problemas del Mundo Real por medio de Modelos de Variación Directa

Las variaciones directas se encuentran por doquier en la vida cotidiana. Cada vez que tenemos una cantidad que se duplica cuando otra cantidad relacionada se duplica, entonces decimos que ellas siguen una variación directa.

La Segunda Ley de Newton

En 1687, Sir Isaac Newton publicó el famoso Principea Mathematica. El cual contenía, entre otras cosas, su Segunda Ley del Movimiento. Dicha ley es a menudo escrita como:

F=m\cdot a

Una fuerza de F (Newtons) aplicada a una masa de m (kilogramos) resulta en una aceleración de dicha masa de a \text{(metros/segundo}^2).

Ejemplo 5

Si una fuerza de 175 Newtons hace que una carretilla de compras que está pesadamente cargada se acelere por un pasillo con una aceleración de 2.5 \ m/s^2, calcular

(i) La masa de la carretilla de compras.

(ii) La fuerza necesaria para mover la misma carretilla con una aceleración de 6 \ m/s^2.

Solución

(i) Este ejercicio básicamente nos pide encontrar la constante de proporcionalidad. Empezemos por comparar las dos fórmulas siguientes:

y & = k\cdot x && \text{Ecuaci\'{o}n de variaci\'{o}n directa}\\F & = m\cdot a && \text{Segunda Ley de Newton}

Observamos que las dos ecuaciones tienen la misma forma; y es análoga a la fuerza y x es análoga a la aceleración.

Podemos resolver la segunda ecuación para m (la masa) sustituyendo los valores dados de fuerza y aceleración en la ecuación de la Segunda Ley de Newton:

Sustituir F=175, a=2.5

175 & = m(2.5) && \text{Dividir ambos miembros entre}\ 2.5.\\70 & = m

La masa de la carretilla de compras es 70 kg.

(ii) Una vez que hemos determinado la masa, a continuación sustituimos ese valor junto con la aceleración requerida en la fórmula F=m\cdot a y la resolvemos para F:

Sustituir m=70, a = 6

F = 70 \times 6 = 420

La fuerza necesaria para mover la carretilla con una aceleración de 6 \ m/s^2 es 420 Newtons.

La Ley de Ohm

La corriente eléctrica, I (medida en amperios), que pasa a través de un componente electrónico, varía directamene con el voltaje aplicado, V (medido en voltios), de acuerdo con la relación siguiente:

V = I\cdot R && \text{donde} \ R \ \text{es la resistencia (medida en Ohmios)}

La resistencia es considerada de valor constante para todos los valores de V and I.

Ejemplo 6

Se ha determinado que a través de cierto componente electrónico pasa una corriente de 1.3 amperios para un voltaje de 2.6 voltios. Cuando el voltaje se incrementa hasta un valor de 12.0 voltios, la corriente medida es de 6.0 amperios.

a) ¿Obedece dicho componente la ley de Ohm?

b) ¿Cuál sería el valor de la corriente para 6voltios?

Solución

a) La ley de Ohm es una ley de proporcionalidad directa sencilla. Dado que la resistencia R es constante, entonces actúa como nuestra constante de proporcionalidad. Con el fin de saber si el componente electrónico obedece a la ley de Ohm, debemos determinar si obedece a una regla de proporcionalidad directa. En otras palabras, ¿Es V directamente proporcional a I?

Método Uno – Grafica la Relación entre V e I

Si graficamos los dos puntos que conocemos en una gráfica y los unimos con una recta que se prolonga en ambas direcciones ¿Pasa por (0, 0)?

Point 1 V = 2.6, I = 1.3 nuestro punto es (1.3, 2.6) ^*

Point 2 V = 12.0, I = 6.0 nuestro punto es (6, 12)

Graficando ambos puntos y uniéndolos con una recta que prolongamos en ambas direcciones, resulta la gráfica siguiente.

La gráfica efectivamente pasa por el origen, por lo que...

Sí, el componente obedece a la ley de Ohm.

Método Dos – Resolver para R

Podemos determinar rápidamene el valor de R en cada caso, ya que es la razón del voltaje a la resistencia (es decir, el cociente del voltaje entre la resistencia).

Case 1  R = \frac{V} {I} = \frac{2.6} {1.3} = 2 \ Ohmios

Case 2  R = \frac{V} {I} = \frac{12} {6} = 2 \ Ohmios

¡Ambos valores de R concuerdan! Esto significa que la línea que une el punto 1 con el origen es la misma línea que une el punto 2 con el origen. Por tanto, el componente obedece a la ley de Ohm.

b) Para encontrar la corriente que pasa por el componente para 6 voltios, simplemente sustituimos los valores de V y R en la ecuación V=I\cdot R

Sustituir V=6, R=2

  • En Física, se acostumbra graficar el voltaje en el eje horizontal, dado que la mayoría de las veces es considerado como la variable independiente. En esta situación, la pendiente dá el valor de la conductancia, \sigma . Sin embargo, al graficar la corriente en el eje horizontal, lo que sucede es que la pendiente es igual a la resistencia, R.

6 & = I(2) && \text{Dividir ambos lados entre}\ 2.\\3 & = I

Solución

La corriente que pasa a través del componente para un voltaje de 6 voltios es de 3 amperios.

Resumen de la Lección

  • Si una variable y varía directamenecon una variable x, entonces podemos escribir dicha relación como

 y = k \cdot x

Donde k es una constante conocida como constante de proporcionalidad.

  • La Variación Directa es muy comun en muchas áreas de la ciencia.

Ejercicios de Repaso

  1. Grafica las siguienes variaciones directas en la misma gráfica.
    1. y=\frac{4}{3}x
    2. y=-\frac{2}{3}x
    3. y= -\frac{1}{6}x
    4. y = 1.75x
  2. La madre de Dasan lo lleva a las máquinas de videojuegos por ser el día de su cumpleaños. En los primeros 10 minutos,él gasta $3.50 en los videojuegos. Si la asignación de dinero que recibe Dasan para el día es de $20.00, ¿Por cuánto tiempo puede permanecer jugando en los videojuegos antes de gastarse todo su dinero?
  3. El estándar actual de flujo para las regaderas de duchas de bajo caudal es de 2.5 galones por minuto. Calcular cuánto tiempo tomaría el llenar una tina (bañera) de 30 galones con una regadera que produce dicho caudal de agua.
  4. Amen utiliza una manga (o manguera) para llenar su piscina (o pileta) por primera vez. El comienza el llenado a las 10 P.M. y deja corriendo el agua toda la noche. A las 6 AM, Amen mide la profundidad del agua y calcula que cuatro séptimos de la piscina se han llenado de agua. ¿A qué hora estará completamente llena su nueva piscina?
  5. En Wisconsin hay terrenos a la venta para inversionistas en propiedades. Cierto terreno de 232 acres está a la venta por $200500. Asumiendo el mismo precio por acre, ¿Por cuánto se vendería un terreno de 60 acres?
  6. La fuerza (F) necesaria para estirar un resorte (o muelle) una distancia x está dada por la ecuación F = k \cdot x, donde k is la constante del resorte (medida en Newtons por centímetro, N/cm). Si una fuerza de 12 Newtons estira cierto resorte en 10 cm, calcular:
    1. La constante del resorte, k
    2. La fuerza necesaria para estirar el resorte en 7 cm.
    3. La distancia que se alargaría el resorte con una fuerza de 23 Newtons.

Respuestas a los Ejercicios de Repaso

  1. 57 minutos 8 segundos
  2. 12 minutos
  3. 12:00 Mediodía
  4. $51, 853
    1. k = 1.2 \ N/cm
    2. 8.4 Newtons
    3. 19.17 cm

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