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4.8: Estrategias para Resolver Problemas - Gráficas

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Objetivos de Aprendizaje

En esta lección, aprenderás a:

  • Leer y comprender enunciados de problemas dados.
  • Usar la estrategia: leer gráficas.
  • Desarrollar y aplicar la estrategia: Elaborar una gráfica
  • Resolver problemas del mundo real a través del uso de estrategias específicas que forman parte de un plan de resolución de problemas.

Introducción

A lo largo de este capítulo, hemos resuelto problemas en los que las cantidades están relacionadas linealmente entre sí. En esta sección, veremos algunos ejemplos de relaciones lineales que ocurren en problemas del mundo real. Recordemos de nuevo nuestro Plan General para la Resolución de Problemas.

Paso 1

Entender el Problema

Lee el problema cuidadosamente. Una vez leído, haz una lista de todos los componentes y datos involucrados. Acá es donde asignarás las variables adecuadas.

Paso 2

Concebir un plan específico – Traducir

Idea un camino para resolver el problema. Desarrolla una ecuación, dibuja un diagrama, haz una gráfica o construye una tabla como punto de partida para implementar el plan general de resolución de problemas.

Paso 3

Llevar a cabo el plan específico – Resolver

Acá es donde resuelves la ecuación que desarrollaste en el paso 2.

Paso 4

Observar – Comprobar e Interpretar

Verifica si usaste toda la información. Mira si la respuesta tiene sentido.

Veamos un ejemplo que estudia una relación geométrica.

Ejemplo 1

Una compañía de teléfonos celulares está ofreciendo a sus clientes el siguiente plan promocional de llamadas. Tú puedes comprar un teléfono celular nuevo por $60 y pagar una tarifa mensual fija de $40 que te da el derecho a realizar un número ilimitado de llamadas. ¿Cuánto dinero te costará este plan de llamadas luego de 9 meses.?

Solución

Sigamos los pasos del plan general para resolución de problemas.

Paso 1:

\text{tel\'{e}fono celular} & = \$60, \text{plan de llamadas} = \$40 \ \text{al mes} \\\text{Sea} \ x & = \text{el n\'{u}mero de meses} \\\text{Sea} \ y &= \text{el costo en d\'{o}lares}

Paso 2: Resolvamos este problema mediante una gráfica que muestre el número de meses en el eje horizontal y el costo respectivo en el eje vertical.

Dado que pagas $60 por el teléfono cuando lo adquieres, entonces el intercepto en y está dado por el punto (0, 60).

Dado también que pagas $40 al mes, de modo que el costo se incrementa en $40 por cada mes transcurrido, entonces la pendiente = 40.

Podemos graficar esta línea a través del método pendiente-intercepto.

Paso 3: La pregunta fue: “¿Cuánto te costará este plan de llamadas luego de 9 meses?”

Podemos ahora leer la respuesta en la gráfica. Debemos trazar una línea vertical desde el valor de x igual a 9 meses, hasta que intersecte la gráfica. Luego, a partir de este punto de intersección, debemos trazar una línea horizontal hasta que corte el eje vertical el eje y.

Podemos observar entonces que, luego de 9 meses tú pagas aproximadamente $420.

Paso 4: Par verificar que este resultado sea correcto, pensemos y hagamos un nuevo planteamiento de la solución del problema.

Originalmente, tu pagas $60 y luego $40 mensuales, durante 9 meses.

\text{Tel\'{e}fono} & = \$60 \\ \text{Plan de llamadas} & = \$40 \times 9 = \$360 \\\text{Costo total} & = \$420.

La respuesta se ha comprobado.

Ejemplo 2

Un resorte (muelle) estirado verticalmente tiene una longitud de 12 pulgadas cuando un peso de 2 lbs cuelga de dicho resorte. El mismo resorte tiene una longitud de 18 pulgadas cuando un peso de 5 lbs cuelga de él. De la física se sabe que, dentro de ciertos límites, la función que describe cuánto se estira un muelle (resorte) para diferentes pesos es lineal. ¿Cuál es la longitud del muelle (resorte) cuando ningún peso se cuelga del mismo (es decir, cuando el peso tiene un valor igual a 0)?

Solución

Apliquemos las técnicas de resolución de problemas.

Paso 1:

Sabemos que la longitud del muelle = 12 pulgadas cuando el peso = 2 lbs.

la longitud del muelle = 18 pulgadas cuando el peso = 5 lbs.

Queremos conocer la longitud del muelle cuando el peso = 0 lbs.

Sea x= el peso que cuelga del muelle (resorte).

Sea y= la longitud del muelle (resorte).

Paso 2

Resolvamos este problema por medio de una gráfica que muestre el peso en el eje horizontal y la longitud del muelle (resorte) en el eje vertical.

Tenemos dos puntos que podemos graficar.

Cuando el peso es de 2 lbs, la longitude del muelle es de 12 pulgadas. Esto nos da el punto (2, 12).

Cuando el peso es de 5 lbs, la longitud del muelle es 18 pulgadas. Esto nos da el punto (5, 18).

Si unimos estos puntos con una recta, la cual extendemos en ambas direcciones, habremos obtenido gráficamente la relación que existe entre el peso y la longitud del muelle.

Paso 3

La pregunta fue; “¿Cuál es la longitud del muelle (resorte) cuando ningún peso se cuelga del mismo (es decir, cuando el peso tiene un valor = 0?

Podemos responder esta pregunta leyendo en el gráfica que acabamos de elaborar. Cuando no hay peso alguno que cuelgue del muelle, el valor de x es igual a cero, de modo que la longitud buscada en este caso es, ni más ni menos, que el intercepto en y de la gráfica. Si observamos la gráfica, vemos que el intercepto en y es, aproximadamente 8 pulgadas.

Paso 4

Para verificar que este resultado es correcto, pensemos y hagamos un nuevo planteamiento de la solución del problema.

Puedes ver que la longitud del resorte se incrementa en 6 pulgadas cuando el peso se incrementa en 3 lbs. Por lo tanto, la pendiente de la recta es  \frac{6\ pulgadas} {3\ lbs}= 2\ pulgadas/lb.

Para encontrar la longitud del muelle cuando no hay peso que cuelgue de él, notamos que cuando dicho muelle sostiene un peso de 2 lbs, su longitud es de 12 pulgadas. Entonces, por cada libra que quitemos, el muelle se contraerá 2 pulgadas. Dado que quitamos 2 lbs (para conseguir un peso igual a 0 lbs), resulta que el muelle se contraerá 4 pulgadas. Así, la longitude del muelle sin peso es de 12 pulgadas -4 pulgadas = 8 pulgadas.

La respuesta ha sido comprobada.

Ejemplo 3

Christine tardó una hora en leer 22 páginas de Harry Potter and the Order of the Phoenix (Harry Potter y la Orden del Fénix). Para leer completamente dicho libro, le quedan por leer 100 páginas. Asumiendo que ella lee a una rapidez constante de páginas por hora, ¿Cuánto tiempo le tomará a Christine leer las 100 páginas que le restan para leer completamente el libro?

Solución: Apliquemos técnicas de resolución de problemas:

Paso 1

Sabemos que Christine tarda 1 hora en leer 22 páginas.

Queremos saber cuánto tiempo le tomará leer 100 páginas.

Sea x = el tiempo expresado en horas.

Sea y = el número de páginas que lee.

Paso 2

Resolvamos este problema mediante una gráfica que muestre el número de horas de lectura en el eje horizontal, mientras que el número de páginas leídas las muestre en el eje vertical.

Tenemos dos puntos que podemos graficar.

A Christine le toma una hora leer 22 páginas. Esto nos proporciona el punto (1, 22).

No se nos proporciona un segundo punto, pero por lógica sabemos que Christine debe tardar 0 horas en leer 0 páginas. Esto nos proporciona el punto (0, 0).

Si unimos estos dos puntos con una recta, la cual extendemos en ambas direcciones, habremos logrado representar gráficamente la relación que existe entre el tiempo invertido en lectura y el número de páginas leídas en dicho tiempo.

Paso 3

La pregunta fue: “¿Cuánto tiempo le tomará a Christine leer las 100 páginas que le restan para leer completamente el libro?”

Encontraremos la respuesta leyendo la gráfica que acabamos de elaborar. En primer lugar, trazamos una línea horizontal desde el valor de y igual a 100 hasta el punto donde intersecta la gráfica. Luego, desde este punto trazamos una línea vertical hasta que corte el eje horizontal. El punto donde la línea vertical y el eje horizontal se cortan es aproximadamente igual a 4.5 horas. Por tanto, a Christine le toma aproximadamente 4.5 horas leer las 100 páginas restantes.

Paso 4

Para verificar que esta respuesta es correcta, pensemos y hagamos un nuevo planteamiento de la solución del problema.

Sabemos que Christine lee 22 páginas por hora. Esta es la pendiente de la línea recta, que es igual a la rapidez con la que ella lee. Para encontrar cuántas horas le toma leer 100 páginas, dividimos el número de páginas por la rápidez de lectura. En este caso, \frac{\text{100 p\'{a}ginas}}{\text{22 p\'{a}ginas por hora}}=4.54 \ horas. Este resultado es muy cercano al que obtuvimos de la lectura de la gráfica.

La respuesta ha sido comprobada.

Ejemplo 4

Aatif quiere comprar una tabla de surf que cuesta $249. Él recibió $50 como regalo por su cumpleaños, y tiene un empleo donde gana $6.50 por hora. ¿Cuántas horas necesita trabajar Aatif para poder comprar la tabla de surf?

Solución

Apliquemos técnicas de resolución de problemas.

Paso 1

Sabemos que la tabla de surf cuesta $249.

El tiene $50.

En su empleo el gana $6.50 por hora.

Queremos determinar la respuesta a la pregunta ¿Cuántas horas necesita trabajar Aatif para poder comprar la tabla de surf?

Sea x = el tiempo expresado en horas.

Sea y = el dinero ganado por Aatif durante dicho tiempo.

Paso 2

Resolvamos este problema elaborando una gráfica que muestre, en el eje horizontal, el número de horas que Aatif trabaja, mientras que en el eje vertical muestre el dinero ganado por él en dichas horas.

Aatif obtiene, por su cumpleaños, $50 al principio. Esta cantidad es el intercepto en y, el cual está dado por el punto (0, 50).

Él gana $6.50 por hora. Esta es la pediente de la línea recta.

Podemos graficar ésta línea por medio del método pendiente-intercepto. En primer lugar graficamos el intercepto en y, dado por (0, 50). También sabemos que por cada unidad de incremento en la dirección horizontal, la línea recta se eleva 6.5 unidades en la dirección vertical. He aquí la línea que describe esta situación.

Paso 3

La pregunta era “¿Cuántas horas necesita trabajar Aatif para poder comprar la tabla de surf?”

Podemos encontrar la respuesta leyendo de la gráfica. Dado que la tabla de surf cuesta $249, trazamos, en el eje vertical, una línea horizontal desde el valor de y igual a $249, hasta intersectar la gráfica. Luego, desde el punto de intersección, trazamos una línea vertical hacia abajo, hasta cortar el eje horizontal. Observamos que este punto donde la línea vertical corta el eje horizontal es aproximadamente igual a 1 horas. Por tanto, Aatif debe trabajar aproximadamente 31 horas para ganar el dinero suficiente para comprar la tabla de surf.

Paso 4

Para comprobar qaue este resultado es correcto, pensemos y hagamos un nuevo planteamiento de la solución del problema

Sabemos que Aatif tiene $50 y que necesita $249 para comprar la tabla de surf. Por tanto, él necesita ganar \$249-\$50 = \$199 en su empleo.

Su empleo le paga $6.50 por hora. Para encontrar cuántas horas necesita trabajar, dividimos \frac{\$199}{\$6.50 \ por \ hora} = 30.6 \ horas. Este valor es muy cercano al resultado obtenido de la lectura de la gráfica.

La respuesta ha sido comprobada.

Resumen de la lección

Los cuatro pasos del plan de resolución de problemas son:

  1. Entender el problema
  2. Concebir un plan específico – Traducir. Elaborar una gráfica.
  3. Llevar a cabo el plan específico – Resolver. Usar la gráfica para responder la pregunta planteada en el enunciado del problema.
  4. Observar – Comprobar e Interpretar

Ejercicios de Repaso

Resuelve los siguientes problemas mediante la elaboración de una gráfica y la lectura adecuada de la misma.

  1. Un gimnasio está haciendo la siguiente oferta miembros nuevos. Los clientes adquieren la membresía al pagar una tarifa de inscripción de $200 y una cuota mensual fija de $39. ¿Cuánto costará esta membresía a un miembro determinado al final del año
  2. Una vela (o candela) se consume con una razón de cambio de tipo lineal. La vela mide cinco pulgadas dos minutos despues de haber sido encendida. Luego mide tres pulgadas ocho minutos despues de haber sido encendida. ¿Cuál fue la longitud original de la vela?
  3. Tali está tratando de medir el espesor de una página de su directorio telefónico (guía de teléfonos). Para lograr este objetivo, él mide el espesor de 550 páginas, el cual resulta ser igual a 1.25 pulgadas. ¿Cuál es el espesor de una página del directorio telefónico?
  4. Bobby y Petra tienen un negocio de venta de limonada y cobran 45 centavos por cada vaso de limonada. Con el fin de recuperar, cuando menos, la cantidad de dinero invertida para iniciar su negocio (es decir, que no tendrán ni ganancias ni pérdidas), ellos deben vender el equivalente a $25. ¿Cuántos vasos de limonada deben vender para no tener ni ganancias ni pérdidas?

Respuestas a los Ejercicios de Repaso

  1. $668
  2. 5.67 pulgadas
  3. 0.0023 pulgadas
  4. 56 vasos

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CK.MAT.SPA.SE.1.Algebra-I.4.8

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