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5.1: Ecuaciones Lineales en la Forma Pendiente Intercepto

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Objetivos de Aprendizaje

  • Escribir una ecuación dados la pendiente y el intercepto y
  • Escribir una ecuación dados la pendiente y un punto.
  • Escribir una ecuación dados dos puntos.
  • Escribir una función lineal en forma de pendiente intercepto.
  • Resolver problemas del mundo real usando modelos lineales en forma de pendiente intercepto.

Introducción

Estudiamos en el capítulo anterior que gráficos lineales y ecuaciones son usados para describir una variedad de situaciones de la vida real. En matemáticas, queremos encontrar ecuaciones que expliquen una situación como es presentada en un problema. En esta forma, podemos determinar la regla que describe la relación entre las variables en el problema. Conocer la ecuación o regla es muy importante ya que nos permite encontrar los valores para las variables. Existen distintas formas para encontrar una ecuación que describa el problema. Los métodos están basados en la información que puedes obtener del problema. Graficando estas ecuaciones, asumiremos que el dominio son todos los números reales.

Escribir una Ecuación Con una Pendiente Dada y un intercepto y

Vamos a comenzar por aprender cómo escribir una ecuación en forma pendiente intercepto y=mx+b.

b es el intercepto y (el valor de y cuando x=0. Este es el punto donde la línea cruza el eje y).

m es la pendiente cuanto cambia la cantidad y con cada unidad de x.

Si te han dado la pendiente y el intercepto y de una línea:

  1. Comienza con la forma pendiente intercepto de la línea y=mx+b.
  2. Sustituye los valores dados de m y b en la ecuación.

Ejemplo 1

a) Escribir una ecuación con una \text{pendiente} = 4 y un intercepto y = -3.

b) Escribir una ecuación con una \text{pendiente} = -2 y un intercepto y = 7.

c) Escribir una ecuación con una \text{pendiente} = \frac{2}{3} y un intercepto y = \frac{4}{5}.

a) Solución

Nos han dado m=4 y b=-3. Introducir estos valores dentro de la forma pendiente intercepto y=mx+b.

y = 4x -3

b) Solución

Nos han dado m=-2 y b=7. Introducir estos valores dentro de la forma pendiente intercepto y=mx+b.

y = -2x +7

c) Solución

Nos han dado m=\frac{2}{3} y b=\frac{4}{5}. Introducir estos valores dentro de la forma y=mx+b.

y = \frac {2}{3}x + \frac {4}{5}

Puedes también escribir una ecuación en la forma pendiente intercepto si te han dado la gráfica de la línea.

Ejemplo 2

Escribe la ecuación de cada línea en la forma pendiente intercepto.

a)

b)

c)

d)

a) El intercepto y = -4 y la \text{pendiente} =-\frac{5}{2}. Introducir estos valores en la forma pendiente intercepto y = mx + b.

Solución

 -\frac {5}{2}x - 4

b) El intercepto y = 2 y la \text{pendiente} =\frac{3}{1}. Introducir estos valores dentro de la forma pendiente intercepto y = mx + b.

Solución

y = 3x + 2

c) El intercepto y = 4 y la \text{pendiente} =-\frac{1}{1}. Introducir estos valores dentro de la forma pendiente intercepto y = mx + b.

Solución

y = -x + 4

d) El intercepto y = -2 y la \text{pendiente} =\frac{1}{2}. Introducir estos valores dentro de la forma pendiente intercepto y = mx + b.

Solución

 y = \frac{1}{2}x - 2.

Escribir una Ecuación dados una Pendiente y un Punto

Muchas veces, no sabemos el valor del intercepto y, pero sabemos el valor de y para un valor distinto de cero en x. En este caso podemos aún usar la forma pendiente intercepto para encontrar la ecuación de la línea.

Por ejemplo, nos han dicho que la pendiente de una línea es dos y que la línea pasa a través del punto (1, 4). Para encontrar la ecuación de la línea, comenzamos con la forma pendiente intercepto de una línea.

y = mx + b

Introducir el valor de la pendiente.

No conocemos el valor de b pero conocemos que la pendiente es dos, y que el punto (1, 4) está en esta línea. Donde el valor de x es uno, y el valor de y es cuatro. Introducimos este punto en la ecuación y resolvemos para b.

4 & = 2(1)+b\\ 4& = 2+b\\ -2& = -2\\2 &= b

Por lo tanto la ecuación de esta línea es y = 2x + 2.

Si te han dado la pendiente y un punto en la línea debes:

  1. Empezar con la forma pendiente intercepto de la línea y = mx + b.
  2. Introducir el valor dado de m dentro de la ecuación.
  3. Introducir los valores de x y y del punto dado y resolver para b.
  4. Introducir el valor de b en la ecuación.

Ejemplo 3

Escribe la ecuación de la línea en la forma pendiente intercepto.

a) La pendiente de la línea es 4 y la línea contiene el punto (-1, 5).

b) La pendiente de la línea es -\frac{2}{3} y la línea contiene el punto (2, -2).

c) La pendiente de la línea es –3 y la línea contiene el punto (3, -5).

Solución

a)

\text{Empezar con la forma pendiente intercepto de la l\'{i}nea} && y & = mx + b\\\text{Introducir la pendiente}. && y & = 4x + b\\\text{Introducir el punto} \ (-1, 5) \ \text{en la ecuaci\'{o}n}. && 5 & = 4(-1)+b \Rightarrow b=9\\\text{Introducir el valor de} \ b \ \text{en la ecuaci\'{o}n}. && y & = 4x+9

b)

\text{Empezar con la forma pendiente intercepto de la l\'{i}nea} && y & = mx + b\\\text{Introducir la pendiente}. && y & = -\frac{2}{3}x + b\\\text{Introducir el punto} \ (2,-2) \ \text{en la ecuaci\'{o}n}.&& -2 & =-\frac{2}{3}(2)+b \Rightarrow b=-2+\frac{4}{3}=-\frac{2}{3}\\\text{Introducir el valor de} \ b \ \text{en la ecuaci\'{o}n}.&& y & =-\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}

c)

\text{Empezar con la forma pendiente intercepto de la l\'{i}nea} &&  y & = mx + b\\\text{Introducir la pendiente}. && y & = -3x + b\\\text{Introducir el punto} \ (3,-5) \ \text{en la ecuaci\'{o}n}. && -5 & =-3(3)+b \Rightarrow b=4\\\text{Introducir el valor de} \ b \ \text{en la ecuaci\'{o}n}. && y & =-3x+4

Escribir una Ecuación con Dos Puntos Dados

Un último caso es cuando nos han dado dos puntos en la línea y nos piden escribir la ecuación de la línea en la forma pendiente intercepto.

Por ejemplo, nos han dicho que la línea pasa a través de los puntos (-2, 3) y (5, 2). Para encontrar la ecuación de la línea, empezamos con la forma pendiente intercepto de ella:

y = mx + b

Ya que no conocemos la pendiente, la encontramos usando la fórmula de la pendiente m=\frac {y_2-y_1}{x_2-x_1}.

Ahora, vamos a sustituir los valores de x_1 y x_2 y la y_1 y y_2 dentro de la fórmula de la pendiente para resolver la pendiente.

 m=\frac {2-3}{5-(-2)}=-\frac{1}{7}

Introducimos el valor de la pendiente dentro de la forma pendiente intercepto  y=-\frac {1}{7}x+b

No conocemos el valor de b pero conocemos dos puntos en la línea. Podemos introducir cualquiera de ellos en la ecuación, y resolver para b. Vamos a usar el punto (-2, 3).

Por lo tanto, la ecuación de esta línea es  y=-\frac {1}{7}x+\frac{19}{7}.

Si te proporcionan dos puntos en la línea debes:

  1. Comenzar con la forma pendiente intercepto de la línea y = mx + b
  2. Usar los dos puntos para encontrar la pendiente usando la fórmula  m=\frac {y_2-y_1}{x_2-x_1}.
  3. Introducir el valor dado de m dentro de la ecuación.
  4. Introducir los valores x y y de uno de los puntos dados dentro de la ecuación y resolver para b.
  5. Introducir el valor de b dentro de la ecuación.
  6. Introducir el otro punto en la ecuación para revisar los valores de m y b.

Ejemplo 4

Escribir las ecuaciones de cada línea en la forma pendiente intercepto.

a) La línea contiene los puntos (3, 2) y (-2, 4).

b) La línea contiene los puntos (-4, 1) y (-2, 3).

Solución:

a)

  1. Comenzar con la forma pendiente intercepto de la línea y = mx + b.
  2. Encontrar la pendiente de la línea  m=\frac {y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac {4-2}{-2-3}=-\frac {2}{5}
  3. Introducir el valor de la pendiente.  y=-\frac {2}{5}x+b
  4. Introducir el punto (3, 2) en la ecuación  2=-\frac {2}{5}(3)+b\Rightarrow b=2+\frac {6}{5}=\frac{16}{5}
  5. Introducir el valor de b en la ecuación  y=-\frac {2}{5}x+\frac {16}{5}
  6. Introducir el punto (-2, 4) en la ecuación para revisar. 4=-\frac {2}{5}(-2)+\frac {16}{5}=\frac {4}{5}+\frac {16}{5}=\frac {20}{5}=4

b)

  1. Comenzar con la forma pendiente intercepto de la línea y = mx + b.
  2. Encontrar la pendiente de la línea m=\frac {y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac {3-1}{-2-(-4)}=\frac {2}{2}=1
  3. Introducir el valor de la pendiente y = x + b
  4. Introducir el punto (-2, 3) en la ecuación  3=-2+b\Rightarrow b=5
  5. Introducir el valor de b en la ecuación y = x + 5
  6. Introducir el punto (-4, 1) en la ecuación para revisar 1 = -4 + 5 = 1

Escribir una Función Lineal en la Forma Pendiente Intercepto

Recuerda que tú escribes una función lineal en la forma f(x) = mx+b. Aquí f(x) representa los valores para y de la ecuación en el gráfico. Entonces y = f(x) y con frecuencia son usados intercambiados. Usando la notación funcional en una ecuación obtenemos más información.

Por ejemplo, la expresión f(x) = mx+b muestra claramente que x es la variable independiente porque tú introduces valores de x en la función y ejecutas una serie de operaciones en el valor de x en orden de calcular los valores de la variable dependiente, y.

En este caso cuando tú introduces x en la función, ésta te dice que debes multiplicarla por m y luego sumar b al resultado. Esto genera todos los valores de y que necesitas.

Ejemplo 5

Considera la función lineal f(x) = 3x-4. Encontrar f(2), f(0) y f(-1).

Solución

Todos los números en el paréntesis son los valores de x que tú necesitas para introducir en la ecuación de la función.

Cuando tú introduces valores en una función, es mejor introducirlos en todo el paréntesis, no solamente el valor dentro del paréntesis. Con frecuencia colocamos expresiones en la función en vez de números, y es importante conservar la expresión dentro del paréntesis con el fin de ejecutar el orden correcto de operaciones. Por ejemplo, queremos encontrar f(2x-1) para la misma función que usamos antes.

La Notación Funcional es una forma muy compacta de dar información. Por ejemplo te dicen que f(3)=2.

Para leer esta información, recuerda unas cosas:

El valor dentro del paréntesis es el valor de x.

El valor equivalente a la función es el valor dependiente (i.e. el valor de y para líneas).

Entonces, f(3) = 2 te dice que x = 3 y y = 2 o que el punto (3, 2) está en la línea.

Ahora usaremos notación funcional para escribir ecuaciones de lineas en la forma pendiente intercepto.

Ejemplo 6

Encuentra la ecuación de las siguientes líneas en la forma pendiente intercepto

a) m = -2 y f(0)=5.

b) m = 3.5 y f(-2) = 1.

c) f(-1) = 1 y f(1) = -1.

Solución

a) Se nos dice que m = -2 y que la línea contiene al punto (0, 5), entonces b = 5.

Introducir los valores de m y b en la forma pendiente intercepto f(x) = mx + b.

f(x) = -2x + 5.

b) Se nos dice que m = 3.5 y que la línea contiene al punto (-2, 1).

\text{Empezar con la forma pendiente intercepto}. && f(x) & = mx + b\\\text{Introducir el valor de la pendiente}. && f(x) & = 3.5x + b\\\text{Introducir el punto} \ (-2, 1). && 1 & =3.5(-2)+\Rightarrow b=1+7=8\\\text{Introducir el valor de} \ b \ \text{en la ecuaci\'{o}n}. && f(x) & = 3.5x + 8

c) Se nos dice que la línea contiene los puntos (-1, 1) and (1, -1).

\text{Empezar con la forma pendiente intercepto}. && f(x) & = mx + b\\\text{Encontrar la pendiente}.&& m& =\frac {-1-1}{1-(-1)}=\frac {-2}{2} = -1\\\text{Introducir el valor de la pendiente}.&& f(x) & = -1x + b\\\text{Introducir el punto} && (-1, 1). 1 & =-1(-1)+b\Rightarrow b=0\\\text{Introducir el valor de} \ b \ \text{en la ecuaci\'{o}n}.&& f(x) & = -x

Resolver Problemas del Mundo Real Usando Modelos Lineales en la Forma Pendiente Intercepto

Vamos a aplicar los métodos que acabamos de aprender, aplicándolos a unos cuantos problemas que se pueden modelar usando relaciones lineales.

Ejemplo 7

Nadia tiene $200 en su cuenta de ahorros. Ella obtiene un empleo donde le pagan $7.50 por hora y ella deposita toda su ganancia en su cuenta de ahorro. Escribir la ecuación en la forma pendiente intercepto. Cuantas horas necesitará trabajar Nadia para tener $500 en su cuenta?

Vamos a definir nuestras variables

y = cantidad de dinero en la cuenta de ahorros de Nadia

x = número de horas

Puedes observar que el problema nos proporciona el intercepto y y la pendiente de la ecuación.

Se nos dice que Nadia tiene $200 en su cuenta de ahorro, entonces b = 200.

Se nos dice que Nadia tiene un empleo que paga $7.50 por hora, entonces m = 7.50.

Si colocamos estos valores en la forma pendiente intercepto y = mx + b obtenemos y=7.5x+200.

Para responder la pregunta, vamos a introducir y = 500 y resolver para x. 500=7.5x+200\Rightarrow 7.5x=300\Rightarrow x=40 horas.

Solución

Nadia debe trabajar 40 horas si va a tener $500 en su cuenta.

Ejemplo 8

Un tallo de bambú de la familia Phyllostachys nigra crece a una velocidad constante de 12 pulgadas por día y alcanza su altura completa de 720 pulgadas en 60 días. Escribir la ecuación describiendo este problema en la forma pendiente intercepto.

Qué tan alto está el bambú 12 días después que comenzó a crecer?

Vamos a definir nuestras variables:

y = La altura de la planta de bambú en pulgadas

x = número de días

Puedes observar que el problema nos proporciona la pendiente de la ecuación y un punto en la línea.

Se nos dice que el bambú crece a una velocidad de 12 pulgadas por día, entonces m= 12.

Se nos dice que la planta crece a 720 pulgadas en 60 días, así que tenemos el punto (60, 720).

\text{Comenzar con la forma pendiente intercepto} && y & = mx + b\\\text{Introducir la pendiente}. && y & = 12x + b\\\text{Introducir el punto} \ (60, 720). && 720 & =12(60)+ b \Rightarrow b=0\\\text{Introducir el valor de} \ b \ \text{de regreso en la ecuaci\'{o}n}. && y & = 12x

Para responder la pregunta, introducir x = 12 para obtener y= 12(12) = 144 \ pulgadas.

Solución

El bambú tiene 144 pulgadas (12 pies!) de altura a los 12 días después de comenzar a crecer.

Ejemplo 9

Petra está probando una cuerda de bungee. Ella amarra una punta de la cuerda de bungee a lo alto de un puente y en la otra punta amarra diferentes pesos y mide que tan lejos se estira el bungee. Ella encuentra que para un peso de 100 lb, el bungee se estira 265 pies y para un peso de 120 lb, el bungee se estira a 275 pies. La física nos dice que en un cierto rango de valores, incluído los anteriores dados, la cantidad de estiramiento es una función lineal del peso. Escribir la ecuación describiendo este problema en la forma pendiente intercepto. Qué longitud deberíamos esperar se estire la cuerda con un peso de 150 lbs?

Vamos a definir nuestras variables:

y = la longitud de estiramiento en pies de la cuerda de bungee.

x = el peso atado a la cuerda de bungee en libras.

Puedes observar que el problema nos da dos puntos de la línea.

Se nos dice que para un peso de 100 lbs la cuerda se estira 265 pies, así que tenemos el punto (100, 265).

Se nos dice que para un peso de 200 lbs la cuerda se estira 275 pies, así que tenemos el punto (120, 270).

\text{Comenzar con la forma pendiente intercepto} &&  y & = mx + b\\\text{Encontrar la pendiente de la l\'{i}nea}. && m & =\frac {y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac {270-265}{120-100}=\frac {5}{20}=\frac {1}{4}\\\text{Introducir el valor de la pendiente}. && y & =\frac {1}{4}x+b\\\text{Introducir el punto} \ (100, 265) \ \text{en la ecuaci\'{o}n}. && 265 & =\frac {1}{4}(100)+b\Rightarrow b=265-25=240\\\text{Introducir el valor de} \ b \ \text{en la ecuaci\'{o}n}. && y & =\frac {1}{4}x+240

Para responder la pregunta, introducir x = 150.  y=\frac {1}{4}(150)+240\Rightarrow y=37.5+240=277.5 \ pies

Solución

Para un peso de 150 lbs esperamos que la cuerda se estire a una longitud de 277.5 pies.

Resumen de la Lección

  • La ecuación de una línea en la forma pendiente intercepto es y = mx + b.

Donde m es la pendiente y (0, b) es el intercepto en y.

  • Si tienes la pendiente y el intercepto en y de una línea:

1. Simplemente introduce m y b en la ecuación.

  • Si tienes la pendiente y un punto de una línea debes:
  1. Introducir el valor dado para m en la ecuación.
  2. Introducir los valores para x y y del punto dado y resolver para b.
  3. Introducir el valor de b en la ecuación.
  • Si tienes dos puntos pertenecientes a la línea debes:
  1. Usar los dos puntos para encontrar la pendiente usando la fórmula m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
  2. Usar los valores de m en la ecuación.
  3. Introducir los valores de x y y de uno de los puntos dados y resolver para b.
  4. Introducir el valor de b en la ecuación.
  5. Introducir el otro punto en la ecuación para revisar los valores de m y b.

Ejercicios de Repaso

Encontrar la ecuación de la línea en la forma pendiente intercepto.

  1. La línea tiene una pendiente de 7 y un intercepto en y de -2.
  2. La línea tiene una pendiente de -5 y un intercepto en y de 6.
  3. La línea tiene una pendiente de -\frac{1}{4} y contiene al punto (4, -1).
  4. La línea tiene una pendiente de \frac{2}{3} y contiene al punto  \left ( \frac{1}{2},1 \right ).
  5. La línea tiene una pendiente de -1 y contiene al punto  \left ( \frac{4}{5},0 \right).
  6. La línea contiene los puntos (2, 6) y (5, 0).
  7. La línea contiene los puntos (5, -2) y (8, 4).
  8. La línea contiene los puntos (3, 5) y (-3, 0).
  9. La línea contiene los puntos (10, 15) y (12, 20).

Escribir la ecuación de cada línea en la forma pendiente intercepto.

Encuentra la ecuación de la función lineal en la forma pendiente intercepto.

  1. m = 5, f(0) = -3
  2. m = -7, f(2) = -1
  3. m= \frac{1}{3}, f(-1) = \frac{2}{3}
  4. m = 4.2, f(-3) = 7.1
  5.  f\left( \frac{1}{4} \right )=\frac {3}{4}, f(0)=\frac {5}{4}
  6. f(1.5) = -3, f(-1) = 2
  7. Para comprar un automóvil, Andrew desembolsa $1500 y paga $350 por mes a plazos. Escribir una ecuación describiendo este problema en la forma pendiente intercepto. Qué tanto dinero ha pagado Andrew al final de un año?
  8. Anne transplanta una rosa en su jardín. Ella desea seguir el crecimiento de la rosa para medir su altura cada semana. En la tercera semana, encuentra que la rosa tiene 10 pulgadas de altura y en la semana once, ella encuentra que la rosa tiene 14 pulgadas de altura. Asumiendo que la rosa crece linealmente con respecto al tiempo, escribir una ecuación describiendo este problema en la forma pendiente intercepto. Cuál era la altura de la rosa cuando Anne la plantó?
  9. Ravi se cuelga de un resorte gigante cuya longitud es 5 metros. Cuando su hijo Nimi se cuelga del resorte su longitud es 2 metros. El peso de Ravi es 160 lbs. y el peso de Nimi es 40 lbs. Escribir una ecuación para este problema en la forma pendiente intercepto. Qué longitud del resorte deberíamos esperar cuando su esposa Amardeep se cuelga de el, si el peso de ella es 140 lbs?

Respuestas

  1. y = 7x- 2
  2. y = -5x + 6
  3. y =-\frac{1}{4}x
  4. y = \frac{2}{3}x + \frac{2}{3}
  5. y = -1x + \frac{4}{5}
  6. y = -2x + 10
  7. y = 2x-12
  8. y = \frac{5}{6}x + \frac{5}{2}
  9. y = \frac{5}{2}x- 10
  10. y = -x + 3
  11. y= 4x- 6
  12. f(x)= 5x- 3
  13. f(x) = -7x + 13
  14. f(x) = \frac{1}{3}x + 1
  15. f(x) = 4.2x + 19.7
  16. f(x) = -2x + \frac{5}{4}
  17. f(x)= -2x
  18. y = 350x + 1500; y = \$5700
  19. y = 0.5x + 8.5; y= 8.5 \ pulgadas
  20. y =.025x + 1 o y =\frac{1}{40}x + 1; y = 4.5 \ m

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