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6.1: Desigualdades Usando Adición y Sustracción

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Objetivos de Aprendizaje

  • Escribir y graficar desigualdades de una variable en la recta numérica.
  • Resolver una desigualdad usando la adición.
  • Resolver una desigualdad usando la sustracción.

Introducción

Las desigualdades son similares a las ecuaciones ya que ellas muestran una relación entre dos expresiones. Resolvemos y graficamos desigualdades en una forma similar a las ecuaciones. Sin embargo, existen algunas diferencias sobre las que hablaremos en este capítulo. La diferencia principal es que para las desigualdades lineales la respuesta es un intervalo de valores mientras que para una ecuación lineal la respuesta es con más frecuencia sólo un valor.

Cuando escribimos desigualdades usamos los siguientes símbolos

> es mayor que

\geq es mayor o igual que

< es menor que

\leq es menor o igual que

Escribir y Graficar Desigualdades de una Variable en la Recta Numérica

Vamos a iniciar con la desigualdad simple x>3

Leemos esta desigualdad como “x es mayor que 3”. La solución es el conjunto de todos los números reales que son mayores que tres. Con frecuencia representamos el conjunto solución de una desigualdad en el gráfico de una recta numérica.

Considera la desigualdad simple x \leq  4

Leemos esta desigualdad como “x es menor o igual que 4”. La solución es el conjunto de todos los números reales que son iguales a cuatro o menores que cuatro. Graficamos este conjunto solución en la recta numérica.

En un gráfico, usamos un círculo vacío para eI punto final de una desigualdad estricta (x>3) y un círculo lleno si el signo igual está incluido (x\leq 4).

Ejemplo 1

Graficar las siguientes desigualdades en la recta numérica.

a) x < -3

b) x \geq 6

c) x > 0

d) x \leq 8

Solución

a) La desigualdad x < -3 representa todos los números reales que son menores que -3. El número -3 no está incluido en la solución y es representado por un círculo vacío en el gráfico.

b) La desigualdad x \geq 6 representa todos los números que son mayores o iguales que seis. El número seis está incluido en la solución y es representado por un círculo lleno en el gráfico.

c) La desigualdad x > 0 representa todos los números reales que son mayores que cero. El número cero no está incluido en la solución y es representado por un círculo vacío en el gráfico.

d) La desigualdad x \leq 8 representa todos los números reales que son menores o iguales que ocho. El número ocho esta incluido en la solución y que es representado por un círculo lleno en el gráfico.

Ejemplo 2

Escribir la desigualdad que está representada por cada gráfico.

a)

b)

c)

d)

Solución:

a) x \leq -12

b)  x > 540

c) x < 65

d)  x \geq

Las desigualdades aparecen en todas partes en la vida real. Aquí hay algunos ejemplos simples de aplicaciones del mundo real.

Ejemplo 3

Escribir cada enunciado como una desigualdad y graficarlo en la recta numérica.

a) Tú debes mantener un balance de al menos $2500 en tu cuenta corriente para obtener cheques gratis.

b) Tú debes tener al menos 48 pulgadas de altura para subir a la montaña rusa “Thunderbolt”.

c) Tu debes tener menos de 3 años para obtener admisión gratuita en el Zoológico de San Diego.

d) El límite de velocidad en la interestatal es 65 millas por hora.

Solución:

a) La desigualdad está escrita como x \geq 2500. Las palabras “al menos” implican que el valor de $2500 está incluido en el conjunto de soluciones.

b) La desigualdad está escrita como  x \geq 48. Las palabras “al menos” implican que el valor de 48 pulgadas está incluido en el conjunto de soluciones.

c) La desigualdad está escrita como x < 3.

d) Límite de Velocidad significa la más alta velocidad permitida, entonces la desigualdad está escrita como x \leq  65.

Resolver una Desigualdad Usando la Adición

Para resolver una desigualdad debemos aislar la variable a un lado del signo de desigualdad. Para aislar la variable, usamos las mismas técnicas básicas usadas en la resolución de ecuaciones. Para desigualdades de este tipo:

x-a <b o x-a > b

Aislamos la x agregando la constante a en ambos lados de la desigualdad.

Ejemplo 4

Resolver cada desigualdad y graficar el conjunto solución.

a) x-3 <10

b) x-1 >-10

c) x-1 \leq -5

d) x-20 \geq 14

Solución:

a) \text{Para resolver la desigualdad} & & x-3 &<10\\\text{Sumar} \ 3 \ \text{en ambos lados de la desigualdad} & & x-3+3 &<10+3\\\text{Simplificar} & & x &<13

b) \text{Para resolver la desigualdad} & & x-1 & >-10\\\text{Sumar} \ 12 \ \text{en ambos lados de la desigualdad} & & x-12+12 & >-10+12\\\text{Simplificar} & & x & >2

c) \text{Para resolver la desigualdad} & & x-1 & \leq -5\\\text{Sumar} \ 1 \ \text{en ambos lados de la desigualdad} & & x-1+1 & \leq -5+1\\\text{Simplificar para obtener} & & x & \leq -4

d) \text{Resolver la desigualdad} & & x-20 & \leq 14\\\text{Sumar} \ 20 \ \text{en ambos lados de la desigualdad} & & x-20+20 & \leq 14+20\\\text{Simplificar} & & x &  \leq 34

Resolver una Desigualdad Usando la Sustracción

Para desigualdades de este tipo:

x+1 <b o x+1 > b

Aislamos la x sustrayendo la constante a en ambos lados de la desigualdad.

Ejemplo 5

Resolver cada desigualdad y graficar el conjunto solución.

a) x+2 <7

b) x+8 \leq -7

c) x+4 >13

d) x+5 \geq \frac{3}{4}

Solución:

a) \text{para resolver la desigualdad} & & x+2 &< 7\\\text{Sustraer} \ 2 \ \text{en ambos lados de la desigualdad} & & x+2-2 &<7-2\\\text{Simplificar para obtener} & & x&<5

b) \text{Para resolver la desigualdad} & & x+8 &\leq -7\\\text{Subtract} \ 8 \ \text{en ambos lados de la desigualdad} & & x+8-8 & \leq -7-8\\\text{Simplificar para obtener} & & x & <-15

c) \text{Para resolver la desigualdad} & & x+4 & >13\\\text{Sustraer} \ 4 \ \text{en ambos lados de la desigualdad} & & x + 4 -4 & > 13 - 4\\\text{Simplificar} & & x & >9

d) \text{Para resolver la desigualdad} & & x + 5 & \geq \frac{3} {4}\\\text{Sustraer} \ 5 \ \text{en ambos lados de la desigualdad} & & x + 5 -5 & \geq -\frac{3} {4}-5\\\text{Simplificar para obtener} & & x & \geq -5\frac{3} {4}

Resumen de la Lección

  • La respuesta a una desigualdad es con frecuencia un intervalo de valores. Desigualdades comunes son:
  • > es mayor que
  •  \geq es mayor o igual que
  • > es menor que
  •  \leq es menor o igual que
  • Al resolver desigualdades con adición y sustracción se trabaja justo como al resolver una ecuación. Para resolver, aislamos la variable en un lados de la ecuación.

Ejercicios de Repaso

  1. Escribir la desigualdad representada en el gráfico.
  2. Escribir la desigualdad representada en el gráfico.
  3. Escribir la desigualdad representada en el gráfico.
  4. Escribir la desigualdad representada en el gráfico.

Graficar cada desigualdad en la recta numérica.

  1.  x< -35
  2.  x > -17
  3.  x \geq 20
  4.  x \leq 3

Resolver cada desigualdad y graficar la solución en la recta numérica.

  1.  x-5 < 35
  2.  x+ 15 \geq -60
  3.  x-2 \leq 1
  4.  x-8 > -20
  5.  x+11 > 13
  6.  x+ 65 < 100
  7.  x-32 \leq 0
  8.  x+68 \geq 75

Respuestas

  1.  x \geq 1
  2.  x <-10
  3.  x \leq -10
  4. x > 30

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