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6.2: Desigualdades Usando Multiplicación y División

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Objetivos de Aprendizaje

  • Resolver una desigualdad usando la multiplicación.
  • Resolver una Desigualdad usando la división.
  • Multiplicar o dividir una desigualdad por un número negativo.

Introducción

En esta sección, consideramos problemas donde encontramos la solución de una desigualdad multiplicando o dividiendo ambos lados de la desigualdad por un número.

Resolver una Desigualdad Usando la Multiplicación

\text{Considera el problema} & &  \frac{x} {5} & \le 3\\\text{Para encontrar la soluci\'{o}n multiplicamos ambos lados por} \ 5. & & 5\cdot \frac{x} {5} &\le 3.5\\\text{Obtenemos} & &  x & \le 15

La respuesta de una desigualdad puede ser expresada en cuatro diferentes formas:

1. Notación de desigualdad La respuesta es expresada simplemente como x<15.

2. Notación de Conjunto La respuesta es \left \{ x| x<15 \right \}. Tú lees esto como “el conjunto de todos los valores de x, tal que x es un número real menor que 15”.

3. Notación de Intervalo Usa corchetes para indicar el rango de valores en la solución.

Corchetes cerrados o cuadrados “[” y “]” indican que el número junto al corchete está incluido en el conjunto de solución.

Paréntesis “(” y “)” indican que el número junto al corchete no está incluido en el conjunto de solución.

La notación de intervalo también usa el concepto de infinito \infty e infinito negativo -\infty.

La solución en notación de intervalo para nuestro problema es (-\infty, 15).

4. Solución gráfica muestra la solución en la recta numérica de los reales. Un círculo lleno en un número indica que el número está incluido en el conjunto de solución. Mientras un círculo vacío indica que el número no está incluido en el conjunto. Para nuestro ejemplo, el gráfico de la solución está dibujado aquí.

Ejemplo 1

a) [-4, 6) dice que la solución son todos los números entre -4 y 6 incluyendo -4 y 6.

b) (8, 24) dice que la solución son todos los números entre 8 y 24 pero no incluye los números 8 y 24.

c) [3, 12] dice que la solución son todos los números entre 3 y 12, incluyendo 3 pero sin incluir  12.

d) (-10) dice que la solución son todos los números mayores que -10, sin incluir -10.

e) ( , ) dice que la solución son todos los números reales.

Resolver una Desigualdad Usando la División

\text{Considera el problema}. & & 2x & \geq 15\\\text{Para encontrar la soluci\'{o}n multiplicamos ambos lados por} \ 2. & & \frac{2x} {2} & \geq \frac{12} {2}\\ \text{Obtenemos}. & & x & \geq 6

Vamos a escribir la solución en las cuatro diferentes notaciones que acabas de aprender:

& \text{Notaci\'{o}n de Desigualdad} & & x \geq 6\\& \text{Notaci\'{o}n de Conjunto} & & {x|x \geq 6 }\\& \text{Notaci\'{o}n de Intervalo} & & [6, \infty)

Solución gráfica

Multiplicar y Dividir una Desigualdad por un Número Negativo

Resolvemos una desigualdad en una forma similar a la que resolvemos ecuaciones. Podemos sumar o restar números en ambos lados de la desigualdad. Podemos también multiplicar o dividir números positivos en ambos lados de una desigualdad sin cambiar la solución.

Algo diferente pasa si multiplicamos o dividimos por números negativos. En este caso, el signo de la desigualdad cambia su dirección.

Por ejemplo, para resolver -3x <9

Dividimos ambos lados por –3. El signo de la desigualdad cambia desde < a > porque dividimos por un número negativo.  \frac{-3x} {-3} > \frac{9} {-3}

 x > -3

Podemos explicar porque pasa esto con un simple ejemplo. Sabemos que dos es menor que tres, entonces podemos escribir la desigualdad.

2 < 3

Si multiplicamos ambos números por -1 obtenemos -2 y -3, pero sabemos que -2 es mayor que -3.

-2>-3

Tú ves que multiplicar ambos lados de la desigualdad por un número negativo causó que el signo de la desigualdad cambiara su dirección. Esto también ocurre si dividimos por un número negativo.

Ejemplo 2

Resolver cada desigualdad. Dar la solución en notación de desigualdad y notación de intervalo.

a) 4x < 24

b)  -9x \geq -\frac{3}{5}

c) -5x \leq 21

d) 12 > -30

Solución:

a) \text{Problema original}.& & 4x & < 24\\\text{Dividir ambos lados por} \ 4. & & \frac{4x} {4} &< \frac{24} {4}\\\text{Simplificar}. & & x &< 6 \ \text{o} \ (\infty, 6) \ \text{Respuesta}

b) \text{Problema original}. & & & -9x\frac{-3} {5}\\\text{Dividir ambos lados por} \ -9. & & \frac{-9}{-9} & \le \frac{\cancel{-3}}{5}\cdot\frac{1}{\cancel{-9}_3} \ \text{Direcci\'{o}n de la desigualdad cambia}\\\text{Simplificar}. & & x & \geq \frac{1} {15} \ \text{o} \ \left [ \frac{1} {15}, \infty \right)\ \text{Respuesta}

c) \text{Problema original}. & & -5x & \leq 21\\\text{Dividir ambos lados por} \ -5. & & \frac{-5x} {-5} & \geq \frac{21} {-5} \ \text{Direcci\'{o}n de la desigualdad cambia}\\\text{Simplificar}. & & x & \geq -\frac{21} {5} \ \text{o} \ \left [ \frac{21} {5}, \infty \right)\ \text{Respuesta}

d) \text{Problema original}. & & 12x & >-30\\\text{Dividir ambos lados por} \ 12. & & \frac{12x} {12}& >\frac{-30} {12}\\\text{Simplificar}. & & x & > -\frac{5} {5}\ \text{o} \left ( \frac{-5} {2}, \infty \right) \ \text{Respuesta}

Ejemplo 3

Resolver cada desigualdad. Dar la solución en notación de desigualdad y en solución gráfica.

a)  \frac{x} {2} > 40

b)  \frac{x} {-3} \leq -12

c)  \frac{x} {25} < \frac{3} {2}

d)  \frac{x} {-7} \geq 9

Solución

a) \text{Problema original} & & \frac{x} {2} & > 40\\\text{Multiplicar ambos lados por} \ 2. & & 2 \cdot \frac{x} {2} & > 40 \cdot 2 \ \text{La direcci\'{o}n de la desigualdad NO cambia}\\\text{Simplificar}. & & x & > -80 \ \text{Respuesta}

b) \text{Problema original} & & \frac{x} {-3} & \leq -12\\\text{Multiplicar ambos lados por} \ -3. & & -3\cdot\frac{x} {-3} & \geq -12 \cdot (-3)\ \text{La direcci\'{o}n de la desigualdad cambia}\\\text{Simplificar}. & & x & \geq 36 \ \text{Respuesta}

c) \text{Problema original} & & \frac{x} {25}&< \frac{3} {2}\\\text{Multiplicar  ambos lados por} \ 25. & & 25 \cdot \frac{x} {25} &< \frac{3} {2} \cdot 25\ \text{La direcci\'{o}n de desigualdad  NO cambia}\\\text{Simplificar}. & & x &< \frac{75} {2} \ \text{or} \ x < 37.5 \ \text{Respuesta}

d) \text{Problema  original} & & \frac{x} {-7} & \geq 9\\\text{Multiplicar ambos lados por} \ -7. & & -7 \cdot \frac{x} {-7} & \leq 9 \cdot (-7) \ \text{La direcci\'{o}n de la desigualdad cambia}\\\text{Simplificar}. & & x & \leq -63 \ \text{Respuesta}

Resumen de la Lección

  • Existen cuatro maneras para representar una desigualdad:

1. Notación de desigualdad x \geq 2

2. Notación de Conjunto x \geq 2

3. Notación de Intervalo [2, \infty)

Corchetes cerrados “[” y “]” significan incluso, paréntesis “(” y “)” significa exclusivo.

4. Solución gráfica

  • Cuando multiplicamos o dividimos ambos lados de la desigualdad por un número negativo, tú necesitas revertir la desigualdad.

Ejercicios de Repaso

Resolver cada desigualdad. Dar la solución en notación de desigualdad y solución gráfica.

  1.  3x \leq 6
  2.  \frac{x} {5}> -\frac{3} {10}
  3.  -10x > 250
  4.  \frac{x} {-7} \geq -5

Resolver cada desigualdad. Dar la solución en notación de desigualdad y en notación de intervalo.

  1.  9x > -\frac{3} {4}>
  2.  -\frac{x} {15}> \leq 5
  3.  620x > 2400
  4.  \frac{x} {20} \geq -\frac{7} {40}

Resolver cada desigualdad. Dar la solución en notación de desigualdad y en notación de conjunto.

  1.  -0.5x \leq 7.5
  2.  75x \geq 125
  3.  \frac{x} {-3}>-\frac{10} {9}
  4.  \frac{x} {-15} < 8

Respuestas

  1.  x \leq 2 o
  2.  x > -\frac{3}{2} o
  3. x  <-25 o
  4.  x \leq 35 o
  5.  x > -\frac{1}{12} o \left (-\frac{1}{12}, \infty \right )
  6.  x \geq -75 o [-75, \infty)
  7.  x < 3.9  o (-\infty, 3.9)
  8.  x \geq -\frac{7}{2} o \left [-\frac{7}{2}, \infty \right )
  9.  x \geq -15 o \left \{ x \right . es un número real \left . \mid  x \geq -15 \right \}
  10.  x \geq \frac{5}{3} o \big \{ x es un número real \left . \mid x \geq \frac{5}{3} \right \}
  11. x < -\frac{10}{3} o \big \{ x es un número real  \left . \mid x < -\frac{10}{3} \right \}
  12.  x > -120 o \left \{ x \right . es un número real \left . \mid x > -120 \right \}

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