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Objetivos de Aprendizaje

  • Resolver una desigualdad en dos pasos.
  • Resolver una desigualdad en pasos múltiples.
  • Identificar el número de soluciones de una desigualdad.
  • Resolver problemas del mundo real usando desigualdades.

Introducción

En las últimas dos secciones, consideramos desigualdades muy simples las cuales requirieron un paso para obtener la solución. Sin embargo, la mayoría de desigualdades requieren varios pasos para llegar a la solución. Como en la resolución de ecuaciones, debemos usar el orden de operaciones para encontrar la solución correcta. Además recuerda que cuando multiplicamos o dividimos la desigualdad por un número negativo la dirección de la desigualdad cambia.

El procedimiento general para resolver desigualdades de pasos múltiples es el siguiente:

  1. Eliminar los paréntesis en ambos lados de la desigualdad y reunir términos semejantes.
  2. Sumar o restar términos entonces la variable está en un lado y la constante está en en el otro lado del signo de la desigualdad.
  3. Multiplicar y dividir por cualquiera que sean las constantes adjuntas a la variable. Si tú multiplicas o divides por un número negativo, recuerda cambiar la dirección de la desigualdad.

Resolver una Desigualdad en Dos Pasos

Ejemplo 1

Resolver cada una de las siguientes desigualdades y graficar el conjunto solución.

a) 6x-5 <10

b) -9x<-5x-15

c) -\frac{9x}{5} \leq 24

Solución

a) \text{Problema original}. & & 6x - 5 & < 10\\\text{Sumar} \ 5 \ \text{en ambos lados}. & & 6x - 5 + 5 & < 10 + 5\\\text{Simplicar}. & & 6x & < 15\\\text{Dividir ambos lados por} \ 6. & & \frac{6x}{6} & < \frac{15}{6}\\\text{Simplificar}. & & x & < \frac{5} {2} \ \text{Respuesta}

b) \text{Problema original}. & & -9x & \leq -5x-15\\\text{Sumar} \ 5x \ \text{en ambos lados}. & & -9x+5x & \leq -5x + 5x - 15\\\text{Simplificar}. & & -4x & < -15\\\text{Dividir ambos lados por} \ -4. & & \frac{-4x} {-4} & > \frac{-15} {-4} \ \text{El signo de la desigualdad fue cambiado}\\\text{Simplificar}. & & x & > \frac{15}{4} \ \text{Respuesta}

c) \text{Problema original}. & & -9x & \leq 24\\\text{Multiplicar ambos lados por} \ 5. & & \frac{-9x} {5} \cdot 5 & \leq 24.5\\\text{Simplificar}. & & -9x & \leq 120\\\text{Dividir ambos lados por} -9. & & \frac{-9x} {-9}& >\frac{120} {-9}\ \text{El signo de la desigualdad fue cambiado}\\\text{Simplificar}. & & x & \geq -\frac{40} {3} \ \text{Respuesta}

Resolver una Desigualdad en Pasos Múltiples

Ejemplo 2

Resolver cada una de las siguientes desigualdades y graficar el conjunto solución.

a)  \frac{9x} {5}-7 \geq -3x+12

b)  -25x+12 \leq -10x - 12

Solución

a) \text{Problema original} & & \frac{9x} {5}-7 & \geq -3x+12\\\text{Sumar} \ 3x \ \text{a ambos lados}. & & \frac{9x} {5}+3x-7 & \geq -3x+3x+12\\\text{Simplificar}. & & \frac{24x} {5}-7 & \geq 12\\\text{Sumar} \ 7  \ \text{en ambos lados}. & & \frac{24x} {5}-7+7 & \geq 12+7\\\text{Simplificar}. & & \frac{24x} {5}-7 & \geq 19\\\text{Multiplicar} \ 5 \ \text{en ambos lados}. & & 5\cdot \frac{24x} {5} & \geq 5.19\\\text{Simplificar}. & & 24x & \geq 95\\\text{Dividir ambos lados por} \ 24. & & \frac{24x} {24} & \geq \frac{95} {24}\\\text{Simplificar}. & & x & \geq \frac{95} {24} \ \text{Respuesta}

b) \text{Problema original} & & -25x+12 & \leq -10x-12\\\text{Sumar} \ 5 \ \text{en ambos lados}. & & -25x+10x+12 & \leq -10x+10x-12\\\text{Simplificar}. & & -15x+12 & \leq -12\\\text{Sustraer} \ 12 \ \text{de ambos lados}. & & -15x+12-12 & \leq -12-12\\\text{Simplificar}. & & -15x & \leq -24\\\text{Dividir ambos lados por} \ -15. & & \frac{-15x} {-15} & \geq \frac{-24} {-15} \ \text{El signo de la desigualdad fue cambiado}\\\text{Simplificar}. & & x & \geq \frac{8} {5} \ \text{Respuesta}

Ejemplo 3

Resolver las siguientes desigualdades.

a)  4x - 2(3x - 9) \leq -4(2x - 9)

b)  \frac{5x-1} {4} > -2(x+5)

Solución

a) \text{Problema original} & & 4x-2(3x-9) & \leq -4(2x-9)\\\text{Simplificar par\'{e}ntesis}. & & 4x-6x+18 & \leq -8x+36\\\text{Reunir t\'{e}rminos semejantes}. & & -2x+18 & \leq -8x+36\\\text{Sumar} \ 8x \ \text{en ambos lados}. & & -2x+8x+18 & \leq -8x+8x+36\\\text{Simplificar}. & & -6x+18 & \leq 36\\\text{Sustraer} \ 18 \ \text{de ambos lados}. & & -6x+18-18 & \leq 36-18\\\text{Simplificar}. & & 6x & \leq 18\\\text{Dividir ambos lados por} \ 6. & & \frac{6x} {6} & \leq \frac{18} {6}\\\text{Simplificar}. & & x & \leq 3 \ \text{Respuesta}

b) \text{Problema original} & & \frac{5x-1} {4} & > -2(x+5)\\\text{Simplificar par\'{e}ntesis}. & & \frac{5x-1} {4} & > -2x-10\\\text{Multiplicar ambos lados por} \ 4. & & 4.\frac{5x-1} {4} & > 4(-2x-10)\\\text{Simplificar}. & & 5x-1 & > -8x-40\\\text{Sumar} \ 8x \ \text{en ambos lados}. & & 5x+8x-1 & > -8x+8x-40\\\text{Simplificar}. & & 13x-1 & > -40\\\text{Sumar} \ 1 \ \text{en ambos lados}. & & 13-1+1 & > - 40+1\\\text{Simplificar}. & & 13x & > -39\\\text{Dividir ambos lados por} \ 13. & & \frac{13x} {13} & > -\frac{39} {13}\\\text{Simplificar}. & & x & > - 3 \ \text{Respuesta}

Identificar el Número de Soluciones de una Desigualdad

Las desigualdades pueden tener soluciones como:

  • Un conjunto que tiene un número infinito de soluciones.
  • Sin soluciones
  • Un conjunto que tiene un número discreto de soluciones.

Número Infinito de Soluciones

Las desigualdades que hemos resuelto hasta ahora, tienen todas un número infinito de soluciones. En el ejemplo anterior, observamos que la desigualdad

 \frac{5x-1} {4}>-2(x+5) tenía la solución  x>-3

Esta solución dice que todos los números reales mayores que -3 hacen esta desigualdad verdadera. Tú puedes ver que la solución a este problema es un conjunto infinito de números.

Sin soluciones

\text{Considera la desigualdad} & & x-5 & > x+6\\\text{Esto se simplifica a} & & -5 & >6

Estos enunciados no son verdaderos para cualquier valor de x. Decimos que esta desigualdad no tiene solución.

Soluciones Discretas

Hasta ahora hemos asumido que las variables en nuestras desigualdades son números reales. Sin embargo, en muchas situaciones de la vida real estamos tratando de resolver para variables que representan cantidades enteras, tales como número de personas, número de automóviles o número de corbatas.

Ejemplo 4

Raul está comprando corbatas y quiere gastar $200 o menos en su compra. La corbata que a él le gusta más tiene un precio de $50. Cuantas corbatas podría comprar él?

Solución

Dejar x = el número de corbatas que Raúl compra.

Podemos escribir una desigualdad que describa la cantidad de la compra usando la fórmula.

\text{(n\'{u}mero de corbatas) }\times \text{ (precio de una corbata)} \leq \$200 o 50x \leq 200

Simplificamos nuestra respuesta.  x \leq 4

Esta solución dice que Raúl compró cuatro o menos corbatas. Ya que las corbatas son objetos discretos, el conjunto solución consiste en cinco números \left \{0, 1, 2, 3, 4 \right \}.

Resolver Problemas del Mundo Real Usando Desigualdades

Algunas veces la resolución de un problema del mundo real involucra el uso de una desigualdad.

Ejemplo 5

Con el fin de obtener un bono este mes, Leon debe vender por lo menos 120 suscripciones de periódicos. El vendió 85 suscripciones en las primeras tres semanas del mes. Cuántas suscripciones debe vender León en la última semana del mes?

Solución

Paso 1

Conocemos que Leon vendió 85 suscripciones y él debe vender por lo menos 120 suscripciones.

Queremos conocer la menor cantidad de suscripciones que él debe vender par obtener su bono.

Dejar x = el número de suscripciones que Leon vende en la última semana del mes.

Paso 2

El número de suscripciones por mes deben ser mayores que 120.

Escribimos

85 + x \geq 120

Paso 3

Resolvemos la desigualdad sustrayendo 85 en ambos lados x \geq  35

Respuesta Leon debe vender 35 o más suscripciones en la última semana para obtener su bono.

Paso 4

Para revisar la respuesta, observamos que 85 + 35 = 120. Si él vende 35 o más suscripciones el número de suscripciones vendidas ese mes será 120 o más.

Ejemplo 6

La Tropa Scout de Virena está tratando de recaudar por lo menos $650 esta primavera. Cuántas cajas de galletas deben vender a $4.50 por caja con efecto de alcanzar su meta?

Solución

Paso 1

Virena está tratando de recaudar al menos $650

Cada caja de galletas se vende por $4.50

Dejar x = número de cajas vendidas

La desigualdad que describe este problema es:

450x \geq 650.

Paso 3

Resolvemos la desigualdad dividiendo ambos lados por 4.50

x \geq 1444.44

Respuesta Aproximamos la respuesta a 145 ya que solamente las cajas enteras pueden ser vendidas.

Paso 4

Si multiplicamos 145 por $4.50 obtenemos $652.50. Si la tropa de Virena vende más de 145 cajas, ellas recaudan más de $650.

La respuesta es correcta.

Ejemplo 7

El ancho del rectángulo es 20 pulgadas. Cuál debe ser el largo si el perímetro es por lo menos de 180 pulgadas?

Solución

Paso 1

ancho = 20 pulgadas

Perímetro es al menos 80 pulgadas

Cuál es la longitud más pequeña que da ese perímetro?

Dejar x = como longitud del rectángulo

Paso 2

La fórmula para el perímetro es \text{Per\'{i}metro} = 2 \times \text{longitud} + 2 \times \text{ancho}

Ya que el perímetro debe ser por lo menos de 180 pulgadas, tenemos la siguiente ecuación.

2x + 2(20) \geq 180

Paso 3

Resolvemos la desigualdad.

Simplificar.

2x + 40 \geq 180

Sustraer 40 de ambos lados.

 2x\geq 140

Dividir ambos lados por 2.

x \geq 70

Respuesta La longitud debe ser por lo menos 70 pulgadas.

Paso 4

Si la longitud es al menos de 70 pulgadas y el ancho es 20 pulgadas, entonces el perímetro puede ser encontrado usando esta ecuación.

2(70) + 2(20) = 180 pulgadas

La respuesta es correcta.

Resumen de la Lección

  • El procedimiento general para resolver desigualdades en múltiples pasos es el siguiente:
  1. Eliminar paréntesis en ambos lados de la desigualdad y reunir los términos semejantes.
  2. Sumar o restar términos así la variable está en un lado y la constante está en el otro lado del signo de la desigualdad.
  3. Multiplicar y dividir por cualquiera que sean las constantes adjuntas a la variable. Recuerda cambiar la dirección de la desigualdad si multiplicas o divides por un número negativo.
  • Las Desigualdades pueden tener soluciones múltiples, sin solución, o soluciones discretas.

Ejercicios de Repaso

Resolver las siguientes desigualdades y dar la solución en notación de conjunto y mostrar la solución gráfica.

  1. 4x + 3< -1
  2. 2x< 7x- 36
  3. 5x>8x+27
  4. 5-x<9+x
  5. 4-6x \leq 2(2x+3)
  6. 5(4x+3)\geq 9(x-2)-x
  7. 2(2x- 1) + 3 < 5(x + 3) -2x
  8. 8x-5(4x+1) \geq -1 +2(4x-3)
  9.  2( 7x- 2) - 3(x + 2) < 4x - (3x + 4)
  10. \frac{2}{3}x-\frac{1}{2}(4x-1) \geq x+2(x-3)
  11. En el zoológico de San Diego, puedes pagar $22.75 por la cuota de ingreso o $71 por un boleto de admisión sin límite durante un año. Cuantas veces como máximo puedes entrar al zoológico con la cuota de ingreso de $22.75 antes de gastar más que el costo de una membresía anual?
  12. Las calificaciones de Proteek para cuatro exámenes fueron 82, 95, 86 y 88. Qué calificación tendrá que obtener en su última prueba para promediar al menos 90 para el período?

Respuestas

  1. \left \{ x \mid x \right . es un número real, \left . x<-1 \right \}
  2. \left \{ x \mid x\right . es un número real, \left . x>\frac{36}{5} \right \}
  3. \left \{ x \mid x\right . es un número real, \left . x<-9 \right \}
  4. \left \{ x \mid x\right . es un número real, \left . x>-2 \right \}
  5. \left \{ x \mid x\right . es un número real, \left . x\geq -\frac{1}{5} \right \}
  6. \left \{ x \mid x \right . es un número real, \left . x\geq -\frac{33}{12} \right \}
  7. \left \{ x \mid x\right . es un número real, \left . x<14 \right \}
  8. \left \{ x \mid x \right . es un número real, \left . x\leq \frac{1}{10}\right \}
  9. \left \{ x \mid x  \right . es un número real, \left . x<\frac{3}{5}\right \}
  10. \left \{ x \mid x \right . es un número real,  \left . x\leq \frac{3}{2}\right \}
  11. como máximo 3 veces.
  12. como mínimo 99.

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