<meta http-equiv="refresh" content="1; url=/nojavascript/"> Desigualdades Lineales de Dos Variables | CK-12 Foundation
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Objetivos de Aprendizaje

  • Graficar desigualdades lineales de una variable en el plano de coordenadas.
  • Graficar desigualdades lineales de dos variables.
  • Resolver problemas del mundo real usando desigualdades lineales.

Introducción

Una desigualdad lineal de dos variables toma la forma

 y > mx+b o  y < mx+b

Las desigualdades lineales están cercanamente relacionadas a gráficos de líneas rectas. Una línea recta tiene la ecuación  y = mx+b. Cuando graficamos una línea en el plano de coordenadas, podemos ver que divide el plano en dos mitades.

La solución a una desigualdad lineal incluye todos los puntos en una de las mitades del plano. Podemos decir que mitad del plano es la solución observando el signo de la desigualdad.

> La solución es la mitad del plano por encima de la línea.

\geq La solución es la mitad del plano por encima de la línea y también todos los puntos en la línea.

< La solución es la mitad del plano por debajo de la línea.

\leq La solución es la mitad del plano por debajo de la línea y también todos los puntos en la línea.

(Sobre la línea implica que para una coordenada x dada, todos los puntos con valores y mayores que el valor y están en la línea)

Para una desigualdad estricta, dibujamos una línea discontinua para mostrar que los puntos en la línea no son parte de la solución.

Para una desigualdad que incluye el signo igual, dibujamos una línea sólida para mostrar que los puntos en la línea son parte de la solución.

Así es como deberías esperar que luzca un gráfico de desigualdad lineal.

La solución de y>mx+b es la mitad del plano sobre la línea. La línea discontinua muestra que los puntos en la línea no son parte de la solución.

La solución de y \geq mx+b es la mitad del plano por encima de la línea y todos los puntos en la línea.

La solución de y<mx+b es la mitad del plano por encima de la línea.

La solución de y\leq mx+b es la mitad del plano por encima de la línea y todos los puntos en la línea.

Graficar Desigualdades Lineales de Una Variable en el Plano Coordenado

En las últimas lecciones, graficamos desigualdades de una variable en la recta numérica. También podemos graficar desigualdades de una variable en el plano coordenado. Sólo necesitamos recordar que cuando graficamos una ecuación del tipo x=a obtenemos una línea vertical y cuando graficamos una ecuación del tipo y=b obtenemos una línea horizontal.

Ejemplo 1

Graficar en el plano coordenado la desigualdad x>4.

Solución

Primero, vamos a recordar a lo que se parece la solución de x>4 en la recta numérica.

La solución a esta desigualdad es el conjunto de todos los números reales x que son más grandes que cuatro pero no lo incluye. La solución está representada por una línea.

En dos dimensiones también estamos interesados en los valores de  y, y la solución a  x>4 consiste de todos los puntos de coordenadas para los cuales el valor de x es mayor que cuatro. La solución está representada por la mitad del plano a la derecha de x=4.

La línea x=4 es discontinua porque el signo igual no está incluido en la desigualdad y por lo tanto los puntos en la línea no están incluidos en la solución..

Ejemplo 2

Graficar la desigualdad  y \leq 6 en el plano de coordenas.

Solución

La solución son todos los puntos de coordenadas para los cuales el valor y es menor o igual que 6. Esta solución está representada por la mitad del plano por abajo de la línea y=6.

La línea y=6 es sólida porque el signo igual está incluido en el signo de la desigualdad y los puntos en la línea están incluidos en la solución.

Ejemplo 3

Graficar la desigualdad. \mid 6 \mid <5

Solución

El valor absoluto de la desigualdad  \mid 6 \mid <5 puede reescribirse como -5 < y <5. Esta es una desigualdad compuesta la cual implica

y>-5 y y<5

En otras palabras, la solución son todos los puntos de coordenadas para los cuales el valor de y es mayor que -5 y más pequeños que 5. La solución está representada por el plano entre las líneas horizontales y=-5 y y=5.

Ambas líneas horizontales son discontinuas porque los puntos en la línea no están incluidos en la solución.

Ejemplo 4

Graficar la desigualdad \mid x \mid \geq 2.

Solución

El valor absoluto de la desigualdad  \mid x \mid \geq 2 puede reescribirse como una desigualdad compuesta:

 x \leq -2 o  x \geq 2

En otras palabras, la solución son todos los puntos de coordenadas para los cuales el valor de x es menor o igual que -2 y mayor o igual que 2. La solución está representada por el plano a la izquierda de la línea vertical x= -2 y el plano a la derecha de la línea x=2.

Ambas líneas verticales son sólidas porque los puntos en la línea están incluídos en la solución.

Graficar Desigualdades Lineales con Dos Variables

El procedimiento general para graficar desigualdades con dos variables es el que sigue.

Paso 1 Reescribir la desigualdad en la forma pendiente intercepto y=mx+b. Escribiendo la desigualdad en esta forma te permite conocer la dirección de la desigualdad.

Paso 2 Graficar la línea de la ecuación y=mx+b usando tu método favorito. (Por ejemplo, dibujando dos puntos, usando la pendiente y el intercepto y , usando el intercepto y y otro punto, etc.). Dibujar una línea discontínua si el signo igual no está incluido y una línea sólida si el signo igual está incluido.

Paso 3 Sombrear la mitad del plano por encima de la línea si la desigualdad es mayor que. Sombrear la mitad del plano por debajo de la línea si la desigualdad es menor que.

Ejemplo 5

Graficar la desigualdad  y \geq 2x-3.

Solución

Paso 1

La desigualdad ya está escrita en la forma pendiente intercepto  y \geq 2x-3.

x y
-1 2(-1) - 3 = -5
0 2(0) - 3 = -3
1 2(1) - 3 = -1

Paso 2

Graficar la ecuación y=2x-3 haciendo una tabla de valores.

Paso 3

Graficar la desigualdad. Sombreamos el plano por encima de la línea porque y es mayor que. El valor 2x-3 define la línea. La línea es sólida porque el signo igual está incluido.

Ejemplo 6

Graficar la desigualdad  5x - 2y > 4.

Solución

Paso 1

Reescribir la desigualdad en la forma pendiente intercepto.

 -2y & > -5x + 4\\y & > \frac{5} {2}x - 2

Nota que el signo de la desigualdad cambió de dirección debido a la división del signo negativo.

Paso 2

Graficar la ecuación  y>\frac{5} {2}x - 2 haciendo una tabla de valores.

x y
-2 \frac{5} {2}(-2) - 2 = -7
0 \frac{5} {2}(0) - 2 = -2
2 \frac{5} {2}(2) - 2 = 3

Paso 3

Graficar la desigualdad. Sombreamos el plano por debajo de la línea porque la desigualdad en la forma pendiente intercepto es menor que. La línea es discontínua porque el signo igual no está incluido.

Ejemplo 7

Graficar la desigualdad  y+4 \leq -\frac{x} {3}+5.

Solución

Paso 1

Reescribir la desigualdad en la forma pendiente intercepto  y \leq -\frac{x} {3}+1

Paso 2

Graficar la ecuación  y= -\frac{x} {3}+1 haciendo una tabla de valores.

x y
-3 -\frac{(-3)} {3}+1=2
0 -\frac{0} {3}(0)+1=1
3 -\frac{3} {3}+1=0

Paso 3

Graficar la desigualdad. Sombreamos el plano por debajo de la línea. La línea es sólida porque el signo igual está incluido.

Resolver Problemas del Mundo Real Usando Desigualdades Lineales

En esta sección, observamos como las desigualdades lineales pueden ser usadas para resolver aplicaciones del mundo real.

Ejemplo 8

Una libra de una mezcla de café es hecha mezclando dos tipos de granos de café. Un tipo cuesta $9 por libra y el otro tipo cuesta $7 por libra. Encontrar todas las posibles mezclas de pesos de los dos diferentes granos de café para los cuales la mezcla vale $8.50 por libra o menos.

Solución

Vamos a aplicar nuestro plan de resolución para este problema.

Paso 1

Dejar x = peso de $9 por libra de granos de café en libras

Dejar y = peso de $7 por libra de granos de café en libras

Paso 2

El valor de una libra de mezcla de café está dado por 9x + 7y.

Estamos buscando las mezclas que valen $8.50 o menos.

Escribimos la desigualdad 9x + 7y \leq 8.50.

Paso 3

Para encontrar el conjunto solución, graficar la desigualdad 9x + 7y \leq 8.50.

Reescribir en la forma pendiente intercepto y \leq -1.29x + 1.21.

Graficar y=-1.29x+1.21 haciendo una tabla de valores.

x y
0 1.21
1 -0.08
2 -1.37

Paso 4

Graficar la desigualdad. La línea será sólida. Sombreamos por debajo de la línea.

Nota que mostramos sólo el primer cuadrante del plano de coordenadas porque los valores del peso deberían ser positivos.

La región sombreada en azul te dice todas las posibilidades de las dos mezclas de granos que darán un total menor o igual que $8.50.

Ejemplo 9

Julian tiene un trabajo como un vendedor de electrodomésticos. El gana una comisión de $60 por cada máquina lavadora que vende y $130 por cada congelador que vende. Cuantas máquinas lavadoras y congeladores debe vender Julian con el fin de hacer $1000 o más en comisiones?

Solución Vamos a aplicar nuestro plan de resolución para este problema.

Paso 1

Dejar x = número de máquinas lavadoras que vende Julian

Dejar y = número de congeladores que vende Julian

Paso 2

La comisión total está dada por la expresión 60x+130y.

Estamos buscando una comisión total de $1000 o más. Escribimos la desigualdad 60x + 130y \geq 1000.

Paso 3

Para encontrar el conjunto solución, graficar la desigualdad 60x + 130y \geq 1000.

Reescribirla en la forma pendiente intercepto y \geq -.46x + 7.7.

Graficar y = -.46x + 7.7 haciendo una tabla de valores.

x y
0 7.7
2 6.78
4 5.86

Paso 4

Graficar la desigualdad. La línea será sólida. Sombreamos por encima de la línea.

Nota que sólo mostramos el primer cuadrante del plano de coordenadas porque las cantidades de dólares deberían ser positivas. También, sólo los puntos con coordenadas enteras son las soluciones posibles.

Resumen de la Lección

  • El procedimiento general para graficar desigualdades de dos variables es el que sigue:

Paso 1

Reescribir la desigualdad en la foma pendiente intercepto y=mx+b.

Paso 2

Graficar la línea de ecuación y=mx+b construyendo una tabla de valores.

Dibujar una línea discontinua si el signo igual no está incluido y una línea sólida si está incluido.

Paso 3

Sombrear la mitad del plano por encima de la línea si la igualdad es mayor que.

Sombrear la mitad del plano bajo la línea si la desigualdad es menor que.

Ejercicios de Repaso

Graficar las siguientes desigualdades en el plano de coordenadas.

  1. x<20
  2. y \geq -5
  3.  \mid x \mid >10
  4.  \mid y \mid \leq 7
  5.  y \leq 4x+3
  6. y > -\frac{x}{2}-6
  7. 3x-4y \geq 12
  8.  x+7y <5
  9. 6x + 5y>1
  10. y + 5 \leq -4x + 10
  11. x-\frac{1}{2}y \geq 5
  12. 30x + 5y < 100
  13. Una libra de oro cuesta $670 y una libra de plata cuesta $13. Encontrar todos los posibles pesos de plata y oro que hace que una aleación tenga un valor menor que $600 por libra.
  14. Una compañía de teléfonos cobra 50 centavos por minuto durante el día y 10 centavos por minuto en la noche. Cuantos minutos durante el día y durante la noche tendrías que usar para pagar más de $20 sobre un período de 24 horas?

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CK.MAT.SPA.SE.1.Algebra-I.6.7

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