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7.1: Solución de sistemas de ecuaciones lineales: método gráfico

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Objetivos de aprendizaje

  • Determinar si un par ordenado es una solución de un sistema de ecuaciones.
  • Resolver un sistema de ecuaciones lineales gráficamente.
  • Resolver un sistema de ecuaciones lineales gráficamente con una calculadora graficadora.
  • Resolver ejercicios planteados usando sistemas de ecuaciones lineales.

Introducción

En esta sección descubriremos métodos para determinar sin un par ordenado es una solución para un sistema de dos ecuaciones. Luego, aprenderemos a resolver las dos ecuaciones gráficamente y a confirmar que la solución es el punto donde las dos líneas se interceptan. Finalmente, veremos problemas del mundo real que pueden ser resueltos mediante los métodos descritos en esta sección.

Determinar si un par ordenado es una solución a un sistema de ecuaciones

Un sistema de ecuaciones lineales consiste en un conjunto de ecuaciones que deben ser resultas juntas.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones.

y & =x+2 \\y & =-2x+1

Ya que el sistema está formado por dos líneas, las resolveremos juntas graficándolas en los mismos ejes coordenados. Las líneas pueden ser graficadas usando tu método favorito.

Línea 1 y=x+2.

x y
0 2
1 3

Linea 2 y= -2x + 1

x y
0 1
1 -1

Una solución para una ecuación en particular es cualquier punto que se encuentre sobre una línea asociada a dicha ecuación. Una solución para un sistema de ecuaciones es cualquier punto que se encuentre simultáneamente sobre ambas líneas en el sistema.

Por ejemplo

  • Punto A no es una solución para el sistema porque este no se encuentra sobre ninguna de las líneas.
  • Punto B no es una solución para el sistema porque este solamente se encuentra sobe la línea azul y no sobre la línea roja.
  • Punto C es una solución para el sistema porque este se encuentra sobre ambas líneas al mismo tiempo.

En particular, este punto marca la intersección de las dos líneas. Este resuelve ambas ecuaciones y, por consiguiente, resuelve el sistema. Para un sistema de ecuaciones, la solución geométrica es la intersección de las dos líneas en el sistema. La solución algebraica es el par ordenado que resuelve ambas ecuaciones.

Se puede probar la solución sustituyéndola en el sistema de ecuaciones y confirmar que satisface para cada ecuación.

Ejemplo 1

Determina cuál de los puntos (1, 3), (0, 2) o (2, 7) es una solución para el siguiente sistema de ecuaciones.

y & =4x-1 \\y & =2x+3

Solución

Para saber si un punto coordinado es una solución para el sistema de ecuaciones, debemos sustituir cada uno de los valores de x y de y en cada ecuación para ver si las satisfacen simultáneamente.

Punto (1, 3)

y & = 4x-1 \\3^{?} & = ^{?}4(1)-1 \\3 & = 3

Satisface.

y & = 2x+3 \\3^{?} & = ^{?}2(1)+3 \\3 & \neq 5

No satisface.

El punto (1, 3) está sobre la línea y=4x-1, pero no sobre la línea y=2x+3, así que no es una solución al sistema.

Punto (0, 2)

y & = 4x-1 \\2^{?} & =^{?}4(0)-1 \\2 & \neq -1

No satisface.

El punto (0, 2) no está sobre la línea y=4x-1, así que no es una solución para el sistema. Nota que no es necesario sustituir los valores en la segunda ecuación porque el punto necesita estar sobre ambas líneas para poder ser una solución para el sistema.

Punto (2, 7)

y & = 4x-1 \\7^{?} & = ^{?}4(2)-1 \\7 & = 7

Satisface.

y & =2x+3  \\7^{?} & =^{?}2(2)+3 \\7 & = 7

Satisface.

El punto (2, 7) es una solución al sistema, ya que este se encuentra sobre ambas líneas.

Respuesta: La solución al sistema es el punto (2, 7).

Determinar la solución de un sistema lineal graficando

La solución a un sistema de ecuaciones lineales es el punto que se encuentra sobre ambas líneas. En otras palabras, la solución es el punto donde las dos líneas se intersectan.

Podemos resolver un sistema de ecuaciones graficando las líneas en el mismo plano coordenado y encontrar el punto de intersección de la gráfica.

Con este método, la mayoría de las veces solo se encuentran soluciones aproximadas. Este método es exacto solo cuando los valores de x y y de la solución son enteros. Sin embargo, este método es fantástico para una representación visual del sistema de ecuaciones y demuestra que la solución para un sistema de ecuaciones es la intersección de las dos líneas del sistema.

Ejemplo 2

(Las ecuaciones están en la forma pendiente-intersecto.)

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones graficando.

y & =3x-5 \\y & =-2x+5

Solución

Graficar ambas líneas en los mismos ejes coordenados usando cualquier método.

En este caso, construyamos una tabla de valores para cada línea.

Línea 1  y=3x-5

x y
1 -2
2 1

Linea 2 y=-2x+5

x y
1 3
2 1

Respuesta: La solución al sistema está dada por el punto de intersección de las dos líneas. La gráfica muestra que las líneas se intersectan en el punto (2, 1). Así que la solución es x = 2, y = 1 o (2, 1).

Ejemplo 3

(Las ecuaciones están en forma estándar)

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones graficando.

2x+3y & = 6 \\4x-y & = -2

Solución

Grafica ambas líneas en los mismos ejes coordenados usando cualquier método.

Aquí graficaremos las líneas encontrando las intersecciones en x- and y- para cada línea.

Línea 1: 2x + 3y = 6 .

x-intersecto: hacer y=0 \Rightarrow 2x=6 \Rightarrow x=3, el cual resulta en el punto (3, 0).

y- intersecto: hacer x=0 \Rightarrow 3y=6 \Rightarrow y=2, el cual resulta en el punto (0, 2).

Línea 2: -4x + y = 2.

x- intersecto: hacer y=0\Rightarrow -4x=2 \Rightarrow x=-\frac{1}{2}, el cual resulta en el punto \left(-\frac{1}{2},0 \right).

y- intersecto: hacer x=0\Rightarrow y=2 , el cual resulta en el punto (0, 2).

Respuesta: La gráfica muestra que las líneas se intersectan en el punto (0, 2). Por consiguiente, la solución al sistema de ecuaciones es x=0, \ y=2.

Ejemplo 4

Resolver el siguiente sistema graficando.

y & = 3 \\x+y & = 2

Línea 1 y=3 es una línea horizontal que pasa por el punto (0, 3).

Línea 2 x+y=2.

x- intersecto: (2, 0).

y- intersecto: (0, 2).

Respuesta: La gráfica muestra que la solución para este sistema es (-1, 3) x=-1, \ y=3.

Estos ejemplos son una gran demostración de que la solución para un sistema de ecuaciones lineales significa el punto en el cual las líneas se intersectan. Esto es, por cierto, lo fuerte del método gráfico porque ofrece una excelente representación visual del sistema de ecuaciones y su solución. Como se puede ver, sin embargo, para determinar la solución las gráficas de las líneas se deben trazar cuidadosamente y es solamente práctico cuando se sabe con cierta seguridad que la solución dará valores enteros para x y y. En la mayoría de los casos, este método puede dar solamente soluciones aproximadas para los sistemas de ecuaciones. Para soluciones exactas son necesarios otros métodos.

Solución de un sistema de ecuaciones lineales usando calculadora graficadora

Una calculadora graficadora puede ser usada para encontrar o probar la solución de un sistema de ecuaciones. Es esta sección aprenderemos que para resolver un sistema de forma gráfica debemos graficar las dos líneas en los mismos ejes coordenados y encontrar el punto de intersección. Se puede usar una calculadora graficadora para graficar las líneas como una alternativa a dibujarlas a mano.

Ejemplo 6

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando una calculadora graficadora.

x-3y & = 4 \\2x+5y & = 8

Para poder introducir las ecuaciones en una calculadora, estas deben ser escritas en la forma pendiente-intersecto (forma y=mx+b) o, por lo menos, debe despejarse y.

 x - 3y & = 4 &&&& y = \frac{1}{3}x - \frac {4}{3} \\&& \Rightarrow && \\2x + 5y & = 8 &&&& y = \frac{-2}{5}x - \frac {8}{5}

Presiona el botón [y=] de la calculadora graficadora e introduce las dos funciones, así:

Y_1 & = \frac{x}{3}-\frac{4}{3} \\T_2 & = -\frac{2x}{3}-\frac{8}{5}

Ahora, presiona [GRAPH]. La ventana de abajo está configurada para -5 \leq x \leq 10 y -5 \leq x \leq 5.

La primera pantalla que se muestra abajo es la de una calculadora graficadora de la familia TI-83 con las líneas graficadas.

Hay diferentes formas para encontrar el punto de intersección.

Opción 1: Usar [TRACE] y mover el cursor con las flechas hasta que este se encuentre encima del punto de intersección. Los valores del punto coordinado estarán en la parte baja de la pantalla. La segunda pantalla arriba muestra que los valores son X = 4.0957447 y Y =.03191489.

Usar la función [ZOOM] para ampliar el punto de intersección y encontrar un resultado más exacto. La tercera pantalla de arriba muestra el sistema de ecuaciones después de ampliarlo algunas veces. Una solución más exacta aparece para X = 4 y Y = 0.

Opción 2: Observa la tabla de valores presionando [2nd] [GRAPH]. La primera pantalla abajo muestra una tabla de valores para este sistema de ecuaciones. Navega hacia abajo hasta que los valores sean los mismos. En este caso esto ocurre en X = 4 y Y = 0.

Usar la función [TBLSET] para cambiar el valor inicial de la tabla de valores para que el punto de intersección esté más próximo y no sea necesario navegar mucho hacia abajo. También se puede mejorar la exactitud de la solución usando valores pequeños en la Tabla 1.

Opción 3: Usando la función [2nd] [TRACE] da la pantalla en la segunda pantalla de arriba.

Navega hacia abajo y selecciona “intersecto”.

La calculadora mostrará la gráfica con la pregunta [FIRSTCURVE?]. Mueve el cursor sobre la primera curva hasta que este esté cerca del punto de intersección y presiona [ENTER].

Ahora, la calculadora muestra [SECONDCURVE?].

Mueve el cursor a la segunda línea (si es necesario) y presiona [ENTER].

La calculadora muestra [GUESS?].

Presiona [ENTER] y la calculadora muestra la solución en la parte de abajo de la pantalla (mira la tercera pantalla de arriba).

El punto de intersección es X = 4 y Y = 0.

Notas:

  • Cuando se usa la función “intersecto”, la calculadora pide seleccionar [FIRSTCURVE?] y [SECONDCURVE?] en el caso que se tengan más de dos gráficas en la pantalla. De igual forma, [GUESS?] es requerida en el caso de que las curvas tengan más de una intersección. Con líneas solamente se obtiene un punto de intersección, pero después en tus estudios de matemática trabajarás con curvas que tienen varios puntos de intersección.
  • Opción 3 es la única de la calculadora graficadora que da una solución exacta. Usando “trace” y “table” dan soluciones aproximadas.

Solución de problemas del mundo real usando gráficas de sistemas lineales

Considerar el siguiente problema

Peter y Nadia gustan competir a las carreras. Peter puede correr a la velocidad de 5 pies por segundo y Nadia puede correr a la velocidad de 6 pies por segundo. Por ser una buena deportista a Nadia le gusta darle a Peter una ventaja de 20 pies. ¿Cuánto tiempo le tomará a Nadia alcanzar a Peter? ¿A qué distancia desde el inicio Nadia alcanzará a Peter?

Dibuja un bosquejo.

Al tiempo de t = 0:

Fórmulas

Definamos dos variables en este ejercicio.

t = el tiempo al que Nadia empieza a correr.

d= la distancia de los corredores desde el punto de partida.

Ya que tenemos dos corredores, necesitamos escribir ecuaciones para cada uno de ellos. Estas serán el sistema de ecuaciones para este ejercicio.

Aquí usamos la fórmula: distancia = velocidad \times tiempo.

Ecuación para Nadia: d = 6t.

Ecuación para Peter: d = 5t + 20 .

(Recuérdese que Peter tenía una ventaja de 20 pies desde el punto de partida cuando Nadia empezó a correr.)

Grafiquemos las dos ecuaciones en el mismo plano coordenado.

Él debe ir en el eje horizontal, ya que es la variable independiente.

La distancia debe ir en el eje vertical, ya que es la variable dependiente.

Se puede usar cualquier método para graficar las líneas. En este caso usaremos el método de la pendiente-intersecto, ya que este tiene más sentido físico.

Para graficar la línea que describe la carrera de Nadia empezamos graficando el intersecto en y- (0, 0). Si no se aprecia esto, este es el intersecto en y-, tratemos de sustituir x = 0 para probar el valor.

La pendiente nos dice que Nadia corre 6 pies por cada segundo, así que otro punto sobre la línea es (1, 6). Conectando estos dos puntos nos resulta la línea para Nadia.

Para graficar la línea que describe la carrera de Peter, una vez más empezaremos con el intersecto en y-. Para el caso, este es el punto (0, 20).

La pendiente nos dice que Peter corre 5 pies por cada segundo, así que otro punto sobre la línea es (1, 25). Conectando estos puntos obtenemos la línea para Peter.

Para poder encontrar dónde y cuándo Nadia y Peter se encuentran, graficaremos ambas líneas en los mismos ejes coordenados y extenderemos las líneas hasta que se intersecten. El punto donde ambas líneas se crucen será la solución para este problema.

La gráfica muestra que Nadia y Peter se encuentran a 20 segundos después de que Nadia empieza a correr y a 120 pies desde el punto inicial.

Ejercicios de repaso

Determina cuál par ordenado satisface el sistema de ecuaciones lineales.

  1. y = 3x -2\!\\y = -x
    1. (1, 4)
    2. (2, 9)
    3. \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)
  2. y = 2x -3\!\\y = x + 5
    1. (8, 13)
    2. (-7, 6)
    3. (0, 4)
  3. 2x + y = 8\!\\5x + 2y = 10
    1. (-9, 1)
    2. (-6, 20)
    3. (14, 2)
  4. 3x + 2y = 6\!\\y = \frac{x}{2} - 3
    1. \left(3, -\frac{3}{2} \right)
    2. (-4, 3)
    3. \left(\frac{1}{2}, 4\right)

Resuelve los siguientes sistemas usando el método gráfico.

  1. y = x+ 3\!\\y = -x + 3
  2. y = 3x- 6\!\\y = -x + 6
  3. 2x = 4\!\\y = -3
  4. y = -x + 5\!\\-x + y = 1
  5. x + 2y = 8\!\\5x + 2y = 0
  6. 3x +2y = 12\!\\4x-y = 5
  7. 5x + 2y = -4\!\\x- y = 2
  8. 2x + 4 = 3y\!\\x- 2y + 4 = 0
  9. y = \frac{x}{2}- 3\!\\2x-5y = 5
  10. y = 4\!\\x = 8 -3y

Resuelve los siguientes problemas usando el método gráfico.

  1. El carro de Mary tiene 10 años y tiene un problema. El mecánico le indica que le costará $1200 reparar su carro. Ella puede comprar un carro diferente y más eficiente por $4500. Su carro actual tiene un costo promedio de $2000 por año para gasolina mientras que el nuevo carro podría tener un promedio de $1500 por año. Encuentra el número de años cuando el costo total de la reparación será igual al costo total del reemplazo.
  2. Juan está considerando dos planes de teléfono celular. La primer compañía cobra $120 por el teléfono y $30 por mes por el plan de llamadas que Juan quiere. La segunda compañía cobra $40 por el mismo teléfono, pero cobra $45 por mes por el plan de llamadas que Juan quiere. ¿Después de cuántos meses el costo total de los dos planes será el mismo?
  3. Una tortuga y una liebre decidieron competir en una carrera de 30 pies. La liebre, que es mucho más rápida, decidió darle a la tortuga una ventaja de 20 pies. La tortuga corre a 0.5 pies/seg y la liebre corre a 5.5 pies por segundo. ¿Cuánto tiempo tomará antes de que la liebre alcance a la tortuga?

Respuesta a los ejercicios de repaso

  1. (c)
  2. (a)
  3. (b)
  4. (a)
  5. (0, 3)
  6. (3, 3)
  7. (2, -3)
  8. (2, 3)
  9. (-2, 5)
  10. (2, 3)
  11. (0, -2)
  12. (4, 4)
  13. (20, 7)
  14. (-4, 4)
  15. 6.6 años
  16. 5.33 meses
  17. 4.0 segundos

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