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7.2: Solución de sistemas lineales por sustitución

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Objetivos de aprendizaje

  • Resolver sistemas de ecuaciones con dos variables sustituyendo cualquiera de las variables.
  • Manipular la forma estándar de ecuaciones para despejar una variable.
  • Resolver problemas del mundo real usando sistemas de ecuaciones.
  • Resolver problemas de mezclas usando sistemas de ecuaciones.

Introducción

Es esta lección, aprenderemos a resolver sistemas de dos ecuaciones usando el método de sustitución.

Solución de sistemas lineales usando sustitución de expresiones variables

Volvamos a revisar el problema que involucra la carrera de Peter y Nadia.

Peter y Nadia gustan competir a las carreras. Peter puede correr a la velocidad de 5 pies por segundo y Nadia puede correr a la velocidad de 6 pies por segundo. Por ser una buena deportista a Nadia le gusta darle a Peter una ventaja de 20 pies. ¿Cuánto tiempo le tomará a Nadia alcanzar a Peter? ¿A qué distancia desde el inicio Nadia alcanzará a Peter?

En este ejemplo obtuvimos dos ecuaciones.

\text{Ecuacion de Nadia} && d & = 6t \\\text{Ecuacion de Peter} && d & = 5t + 20

Hemos visto que cada relación produce su propia línea en la gráfica, pero para resolver el sistema tenemos que encontrar el punto de intersección de las líneas (lección 1). En ese punto los valores para d y t ambos satisfacen las relaciones.

En este ejemplo, esto significa que la d en la ecuación de Nadia es la misma d que en la ecuación de Peter. Podemos hacer las ecuaciones iguales la una a la otra para resolver para t.

6t & = 5t + 20 && \text{Restar}\ 5t\ \text{a ambos lados.}\\t & = 20 && \text{sustituir esta valor para}\ t\ \text{en la ecuacion de Nadia.}\\d & = 6\cdot 20 = 120

Aunque las ecuaciones no fuesen obvias, podemos usar una simple manipulación algebraica para encontrar una expresión para una variable en términos de la otra. Podemos arreglar de forma diferente la ecuación de Peter para despejar t.

 d & = 5t + 20 && \text{Restar}\ 20\ \text{a ambos lados}.\\d - 20 & = 5t && \text{Dividir por}\ 5.\\\frac{d - 20}{5} & = t

Ahora podemos sustituir esta expresión para t en la ecuación de Nadia (d = 6t) para resolverla.

 d & = 6 \left (\frac {d-20}{5}  \right ) && \text{Multiplicar ambos lados por}\ 5.\\5d & = 6(d - 20) && \text{distribuir el}\ 6.\\5d & = 6d - 120 && \text{restar}\ 6d\ \text{a ambos lados.}\\-d & = -120 && \text{dividir por}\ -1.\\d & = 120 && \text{sustituir el valor de}\ d\ i\text{en nuestra expresion para}\ t.\\t & = \frac {120 - 20}{5}=\frac {100}{5}=20

Encontramos que Nadia y Peter se encuentran a los 20 segundos después de empezada la carrera, a una distancia de 120 yardas.

El método que acabamos de usar es llamado método de sustitución. En esta lección aprenderemos algunas técnicas para despejar variables en un sistema de ecuaciones y usar las expresiones obtenidas para resolver sistemas de ecuaciones que describen situaciones con esta.

Ejemplo 1

Observemos un ejemplo donde las ecuaciones están escritas en forma estándar.

Resolver el sistema

2x+3y & = 6 \\-4x + y & = 2

Una vez más, empezamos escogiendo una variable para despejarla en cualquiera de las ecuaciones. Si se observa la segunda ecuación, se podrá apreciar que el coeficiente de la y es 1. Por lo anterior, podemos usar esta ecuación para resolver para y.

Resolver la segunda ecuación para la variable y:

-4x + y & = 2 && \text{Sumar}\ 4x\ \text{a ambos lados}.\\y & = 2 + 4x

Sustituir esta expresión en la primera ecuación.

2x + 3(2 + 4x) & = 6 && \text{Distribuir el}\ 3.\\2x+6+12x & = 6 &&  \text{agrupar terminos semejantes.}\\14x + 6 & = 6  && \text{restar}\ 6\ \text{a ambos lados.}\\14x & = 0 \\x & = 0

Sustituir de regreso en la expresión para y.

y= 2 + 4\cdot 0 = 2

Como se puede ver, obtuvimos la misma solución (x = 0, y = 2) que encontramos cuando graficamos estas funciones (lección 7.1). Mientras se tenga cuidado con los procedimientos algebraicos, el método de sustitución puede ser muy eficiente para resolver sistema.

Ahora, consideraremos un ejemplo más complicado. En el siguiente ejemplo la solución da valores fraccionarios para ambas x y y, por consiguiente, sería muy difícil de resolver por el método gráfico.

Ejemplo 2

Resolver el sistema

2x + 3y & = 3 \\2x - 3y & = -1

Una vez más, escogemos una variable para despejarla en cualquier ecuación. En estos momentos no importa cuál ecuación usemos o cuál variable despejemos.

Resolver la primera ecuación para x.

2x+ 3y & = 3 && \text{Restar}\ 3y\ \text{a ambos lados.}\\2x & = 3 - 3y && \text{dividir ambos lados por 2.}\\x & = \frac{3-3y}{2}

Sustituir esta expresión en la segunda ecuación.

\cancel{2}. \frac{1} {\cancel{2}} (3 - 3y) - 3y & = -1 && \text{Cancelar la fraccion y reescribir los terminos.}\\3 - 3y - 3y & = -1 && \text{agrupar t\'{e}rminos semejantes.}\\3 - 6y & = -1 && \text{restar}\ 3\ \text{a ambos lados.}\\-6y & = -4 && \text{dividir por}\ -6.\\y & = \frac{2}{3}

Sustituir en la expresión resolver para x.

x & = \frac{1} {2} \left (3 - \cancel{3} \frac{2} {\cancel{3}}\right )\\x & = \frac {1}{2}

Por consiguiente, la solución es  x = \frac {1}{2}, y = \frac {2}{3}. Como se puede observar, la solución gráfica  \left(\frac {1}{2}, \frac {2}{3} \right ) muy difícil de leer exactamente.

Solución de problemas del mundo real usando sistemas lineales

Hay muchas situaciones donde podemos usar ecuaciones simultáneas para resolver problemas del mundo real. Podríamos estar considerando una compra. Por ejemplo, tratar de decidir si es más barato comprar un artículo en línea donde se paga el envío o en una tienda que no se conoce. O quiere asociarse a un club de discos compactos de música, pero no se sabe si en verdad se ahorrará dinero comprando un disco compacto nuevo cada mes de esta forma. Un ejemplo con el cual todos estamos familiarizados es considerar contratos telefónicos. Observemos un ejemplo de estos ahora.

Ejemplo 3

Anne está tratando de decidirse entre dos planes de teléfonos. El primer plan, con Vendafone, cuesta $20 mensuales, con un costo adicional de llamadas de 25 centavos por minuto. La segunda compañía, Sellnet, cuesta $40 mensuales, pero las llamadas solo cuestan 8 centavos por minuto. ¿Cuál plan debería ella escoger?

La opción de Anne dependerá de cuántas llamadas espera hacer cada mes. Empezaremos escribiendo dos ecuaciones para el costo en dólares en términos de los minutos usados. Como el número de minutos es la variable independiente, esta será nuestra x. El costo depende de los minutos, por consiguiente el costo por mes es la variable dependiente y será asignada por y.

& \text{Para Vendafone} && y = 0.25x + 20\\& \text{Para Sellnet} && y = 0.08x + 40

Escribiendo las ecuaciones en la forma pendiente-intersecto (y = mx + b) se puede visualizar la situación en una gráfica simple, mostrada a la derecha. La línea para Vendafone tiene un intersecto de 20 y una pendiente de 0.25. La línea para Sellnet tiene un intersecto de 40 y una pendiente de 0.08 (la cual es aproximadamente una tercera parte de la línea de Vendafone). Para poder ayudarle a Anne a decidir cuál escoger, determinaremos dónde se intersectan las dos líneas resolviendo las dos ecuaciones como un sistema. Ya que la ecuación uno nos da una expresión para y \ (0.25x + 20), podemos sustituir esta expresión directamente en la ecuación dos.

0.25x + 20 & = 0.08x + 40 && \text{restar}\ 20\ \text{a ambos lados.}\\0.25x & = 0.08x + 20 && \text{restar}\ 0.08x\ \text{a ambos lados.}\\0.17x & = 20 && \text{dividir ambos lados por}\ 0.17.\\x & = 117.65\ \text{minutos} && \text{redondeado a dos decimales.}

Ahora podemos usar nuestro dibujo, más esta información para dar una respuesta:

Si Anne usara 117 minutos o menos cada mes, debería escoger Vendafone. Si ella planea usar 118 o más minutos, debería escoger Sellnet.

Problemas de mezclas

La sistemas de ecuaciones aparecen frecuentemente cuando se consideran químicos en soluciones y pueden aparecer en situaciones tales como mezclar maní y pasas o examinar cuánto se tiene en la bolsa. Revisemos algunos ejemplos de estos.

Ejemplo 4

Nadia vacía su cartera y descubre que solo contiene monedas de 5 centavos y monedas de 10 centavos. Si ella tiene en total de 7 monedas y valor combinado de 55 centavos, ¿cuántas monedas de cada una tiene?

Ya que tenemos dos tipos de monedas, llamemos al número de monedas de cinco centavos x y al número de monedas de diez centavos y. Se nos ha proporcionado información sobre el número de monedas y su valor para construir nuestras ecuaciones.

& \text{ecuaci\'{o}n del n\'{u}mero de monedas} && x + y = 7 && \text{(monedas de cinco centavos)} + \text{(monedas de diez centavos)}\\& \text{ecuaci\'{o}n del valor} && 5x + 10y = 55 && \text{ya que se tienen monedas de cinco y diez centavos}

Rápidamente podemos reordenar la primera ecuación para despejar x.

x & = 7 -y && \text{ahora sustituir en la segunda ecuacion}.\\5(7 -y) + 10y & = 55 && \text{distribuir el}\ 5.\\35 - 5y + 10y & = 55 && \text{asociar terminos semejantes.}\\35 + 5y & = 55 && \text{restar}\ 35\ \text{a ambos lados.}\\5y & = 20 && \text{dividir}\ 5.\\y & = 4 && \text{sustituir de regreso en la primera ecuaci\'{o}n.}\\+ 4 & = 7 && \text{restar}\ 4\ \text{a ambos lados}.\\x & =3

Solución

Nadia tiene 3 monedas de cinco centavos y 4 monedas de diez centavos.

Algunas veces la pregunta que se te hará será determinar (de una concentración) cuánto de una sustancia particular usar. La sustancia puede ser algo como las monedas del ejemplo anterior, o puede ser una solución química o incluso calor. En tales casos, se necesita saber la cantidad de la sustancia en cada parte. Hay muchas situaciones comunes donde para obtener una ecuación simplemente se suman dos cantidades dadas, pero para obtener la segunda ecuación se necesita usar un producto. A continuación, se muestran tres ejemplos.

Tipo de mezcla Primera ecuación Segunda ecuación
Monedas (objetos con valor $) Número total de objetos (n_1 \ n_2) Valor total (valor del objeto x n.^\circ de objetos)
Solución química Volumen total de solución (V_1 + V_2) Cantidad de soluto (volumen x concentración)
Densidad de dos sustancias Cantidad total o volumen de la mezcla Masa total (volumen x densidad)

Por ejemplo, cuando se está trabajando mezclas de soluciones químicas, necesitaremos considerar la cantidad total de soluto en las partes individuales y en la mezcla final. Un soluto es simplemente el químico que se disuelve en una solución. Un ejemplo de soluto es la sal cuando se le añade a agua para hacer salmuera. Aun si el químico es más exótico, estamos interesados en la cantidad total del químico en cada parte. Para encontrar esto, simplemente multiplicamos la cantidad de la mezcla por la fracción de concentración. Para ilustrar, observemos un ejemplo donde se nos dan las cantidades relativas de un todo.

Ejemplo 5

Un químico necesita preparar 500 ml de una solución de sulfato de cobre con el 15% de concentración. Para lograr esto, él desea usar una solución de alta concentración con el (60%) y diluirla con una solución de baja concentración con el (5%). ¿Cuánto de cada solución debe usar el químico?

Para plantear este problema, primero necesitamos definir nuestras variables. Nuestras incógnitas son la cantidad de solución concentrada (x) y la cantidad de solución diluida (y). También convertiremos los porcentajes (60%, 15% y 5%) en decimales (0.6, 0.15 and 0.05). Las dos partes de información crítica que necesitamos es el volumen final (500 ml) y la cantidad final de soluto (15% de 500 ml = 75 ml). Nuestras ecuaciones serán

& \text{Ecuacion del volumen} && x + y = 500 \\& \text{Ecuacion del soluto} && 0.6x + 0.05y = 75

Deberías observar que para despejar una variable por sustitución será fácil empezar con la ecuación uno.

x + y & = 500 && \text{Restar}\ y\ \text{a ambos lados.}\\x & = 500 -y && \text{ahora sustituir en la ecuacion dos.}\\0.6(500 - y) + 0.05y & = 75 && \text{distribuir el}\ 6.\\300-0.6y + 0.05y  & = 75 && \text{agrupar t\'{e}rminos semejantes.}\\300 - 0.55y & = 75 && \text{restar}\ 300\ \text{a ambos lados.}\\-0.55y & = -225 && \text{dividir ambos lados por}\ -0.55.\\y & = 409\ \text{ml} && \text{sustituir de regreso en la ecuacion para}\ x.\\x & = 500 - 409 = 91\ \text{ml}

Solución

El químico debería mezclar 91 ml de la solución al 60% con 409 ml de la solución al 5%.

Ejercicios de repaso

  1. Resolver el sistema: x + 2y = 9\!\\3x + 5y= 20
  2. resolver el sistema. x -3y = 10\!\\2x + y = 13
  3. De los dos ángulos no rectos de un triangulo rectángulo, uno mide dos veces el otro. ¿Cuáles son los ángulos?
  4. La suma de dos números es 70. Ellos difieren por 11. ¿Cuáles son los números?
  5. Un campo rectangular está encerrado por una cerca en tres de sus lados y una pared en el cuarto lado. La longitud total de la cerca es 320 yardas. Si el campo tiene un perímetro total de 400 yardas, ¿cuáles son las dimensiones del campo?
  6. Un rayo corta un línea formando dos ángulos. La diferencia entre los dos ángulos es 18^{\circ}. ¿Cuánto mide cada ángulo?
  7. Tengo $15 y deseo comprar cinco libras de nueces mezcladas por una fiesta. La libra de maní cuesta $2.20. La libra de anacardos cuesta $4.70. ¿Cuántas libras de maní debería de comprar?
  8. En un experimento químico se necesita un litro de ácido sulfúrico al 15% de concentración, pero en la bodega solo se tiene ácido sulfúrico en concentraciones del 10% y del 35%. ¿Cuántos litros de cada uno se deberían mezclar para obtener el ácido para el experimento?
  9. Bachelle quiere conocer la densidad de su brazalete, el cual es una mezcla de oro y plata. La densidad es la masa total dividida por el volumen total. La densidad del oro es 19.3 g/cc y la densidad de la plata es 10.5 g/cc. El joyero le dijo que el volumen de plata usado fue 10 cc y el volumen de oro usado fue 20 cc. Encontrar la densidad combinada de su brazalete.

Respuestas de los ejercicios de repaso

  1. x=-5, y=7
  2. x= 7, y = -1
  3. x = 30^{\circ}, y = 60^{\circ}
  4. 29.5 y 40.5
  5. x = 120 \ yardas, y = 80 \ yardas
  6. x = 81^{\circ}, y = 99^{\circ}
  7. 3.4 libras de maní, 1.6 libras de anacardos
  8. 0.8 litros al 10%, 0.2 litros al 35%
  9. 16.4 g/cc

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