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8.1: Propiedades de los exponentes que involucran productos

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Objetivos de aprendizaje

  • Usar la propiedad del producto de potencias.
  • Usar la propiedad de la potencia de un producto.
  • Simplificar expresiones que involucran las propiedades del producto de exponentes.

Introducción

En este capítulo se discutirán exponentes y funciones exponenciales. En las lecciones 8.1, 8.2 y 8.3 se estudiarán las reglas que gobiernan los exponentes. Se empezará con el significado de la palabra exponente.

Consideré el área del cuadrado mostrado. Se sabe que el área está dada por:

Pero también se conoce que para cualquier rectángulo el área = (base) * (altura), así que se tiene que:

Similarmente el volumen de un cubo esta dado por:

\text{Volumen} =\text{ancho} \cdot \ \text{grosor} \ \cdot \ \text{altura} = \ x \cdot x \cdot x

Pero también se sabe que el volumen de un cubo está dado por \text{volumen} = x^3, así que claramente

x^3=x\cdot x \cdot x

Probablemente se sepa que la potencia (el pequeño número arriba a la derecha de x) dice cuántas veces x se toma como factor. En estos ejemplos, x es llamada la base y la potencia (o exponente) dice cuántos factores de la base hay en la expresión completa.

 x^2 & = \underbrace{ x \cdot x }_{\text{2 factores de} \ x} && x^7 = \underbrace{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x }_{\text{7 factores de} \ x} \\x^3 & = \underbrace{ x \cdot x \cdot x }_{\text{3 factores de} \ x} && x^n = \underbrace{ x \cdot x \cdot \ldots \ldots \cdot x }_{\text{n factores de} \ x}

Ejemplo 1

Escribir en forma exponencial.

(a) 2\cdot 2

(b) (-3)(-3)(-3)

(c) y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y

(d) (3a)(3a)(3a)(3a)

Solución

(a) 2 \cdot 2 = 2^2 porque se tienen 2 factores de 2

(b) (-3)(-3)(-3) = (-3)^3 porque se tienen 3 factores de (-3)

(c) y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y = y^5 porque se tienen 5 factores de y

(d) (3a) (3a) (3a) (3a) = (3a)^4 porque se tienen 4 factores de 3a

Cuando se trabaja con números usualmente se simplifica. Se trabajará con 16 en lugar de 2^4. Sin embargo, con variables los exponentes son necesarios porque se trabajará con x^7 en lugar de  x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x.

Simplificando en el ejemplo 1 y evaluando los números, se tiene.

Ejemplo 2

Simplificar.

(a) 2\cdot 2

(b) (-3)(-3)(-3)

(c) y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y

(d) (3a)(3a)(3a)(3a)

Solución

(a) 2\cdot 2=2^2=4

(b) (-3) (-3) (-3)=(-3)^3=-27

(c) y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y=y^5

(d) (3a) (3a) (3a) (3a)=(3a)^4=3^4 \cdot a^4=81a^4

Nota que, se debe tener cuidado cuando se trabajan potencias de números negativos. Recuerde estas reglas.

(\text{n\'{u}mero negativo}) \cdot (\text{n\'{u}mero positivo}) &= \text{n\'{u}mero negativo}\\(\text{n\'{u}mero negativo}) \cdot (\text{n\'{u}mero negativo}) &= \text{n\'{u}mero positivo}

Para potencias pares de números negativos la respuesta es siempre positiva. Como se tiene un número par de factores, se hacen pares de números negativos y todos los signos negativos se cancelan.

(-2)^6 = (-2)(-2)(-2)(-2)(-2)(-2) =  \underbrace{ (-2)(-2) }_{+4 } \cdot \underbrace{ (-2)(-2) }_{+4} \cdot \underbrace{ (-2)(-2) }_{+4} = + 64

Para potencias impares de números negativos la respuesta es siempre negativa. Como se tiene un número impar de factores se pueden hacer pares de números negativos para obtener números positivos pero siempre se tiene un número negativo que no se aparea como factor, así que la respuesta es negativa:

Ejemplo:  (-2)^5 = (-2)(-2)(-2)(-2)(-2) = \underbrace{ (-2)(-2) }_{+4} \cdot \underbrace{(-2)(-2) }_{+4} \cdot \underbrace{ (-2) }_{-2} = - 32

Uso de la propiedad del producto de potencias

¿Qué ocurre cuando se multiplica una potencia de x por otra? Obsérvese qué pasa cuando se multiplica x a la 5 por x al cubo. Para hacer una mejor ilustración se multiplicarán todos los factores de cada una de las potencias:

\underbrace{ (x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x) }_{x^5} \cdot  \underbrace{ (x \cdot x \cdot x) }_{x^3} =  \underbrace{ (x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x ) }_{x^8}

Así, x^5 \cdot x^3=x^8. Hasta aquí es posible de una vez observar el patrón cuando se multiplican potencias, pero se confirmará con otro ejemplo. Se multiplicará x al cuadrado por x a la 4:

 \underbrace{ (x \cdot x)}_{x^2 } \cdot \underbrace{ (x \cdot x \cdot x \cdot x)}_{x^4 }  = \underbrace{ (x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x) }_{x^6}

Así, x^2 \cdot x^4=x^6. Obsérvese detenidamente las potencias y cuántos factores hay en cada cálculo. 5 factores de x por 3 factores de x es igual a (5 + 3) = 8 factores de x. 2 factores de x por 4 factores de x es igual a (2 + 4) = 6 factores de x.

Debería observarse que cuando se efectúa el producto de dos potencias de x, el número de factores de x en la respuesta es la suma de los factores de los términos que se están multiplicando. En otras palabras, el exponente de x en la respuesta es la suma de los exponentes en el producto.

Regla del producto para potencias: x^n \cdot x^m = x^{n+m}

Ejemplo 3

Multiplicar x^4 \cdot x^5.

Solución

x^4 \cdot x^5=x^{4+5}=x^9

Cuando se multiplican potencias de la misma base simplemente se suman los exponentes. Cuando se usa la regla del producto es importante evitar los errores más comunes. Considere lo siguiente.

Ejemplo 4

Multiplicar 2^2 \cdot 2^3.

Solución

2^2 \cdot 2^3 = 2^5=32

Nótese que que cuando se usa la regla del producto NO SE MULTIPLICAN LAS BASES. En otras palabras, se debe evitar el error común de escribir \xcancel{2^2 \cdot 2^3 = 4^5}. Traté con una calculadora y observé cuál es correcta!

Ejemplo 5

Multiplicar 2^2 \cdot 3^3.

Solución

2^2 \cdot 3^3 =4 \cdot 27=108

En este caso las bases son diferentes. La regla del producto de potencias SOLO APLICA A TÉRMINOS QUE TIENEN LA MISMA BASE. Errores comunes con problemas de este tipo incluyen \xcancel{2^2 \cdot 3^3 = 6^5}.

Uso de la propiedad de la potencia de un producto

Ahora se estudiará qué ocurre cuando se eleva una expresión completa a un exponente. Tomemos x elevado a la 4 elevado al cubo. Una vez más se tomarán los factores para cada uno de los exponentes.

(x^4)^3 &= x^4 \cdot x^4 \cdot x^4 && 3 \ \text{factores de}\ x\ \text{a la} \ 4.\\\underbrace{ (x \cdot x \cdot x \cdot x) }_{x^4} \cdot  \underbrace{ (x \cdot x \cdot x \cdot x) }_{x^4} \cdot \underbrace{ (x \cdot x \cdot x \cdot x) }_{x^4} &=  \underbrace{ (x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x)}_{x^{12}}

Así, (x^4)^3=x^{12}. Es claro ver que cuando se eleva una potencia de x a un nuevo exponente, los exponentes se multiplican.

Cuando se toma una expresión y se eleva a un exponente se multiplican los exponentes existentes de x por el exponente arriba del paréntesis.

Regla de la potencia para exponentes: (x^n)^m=x^{n \cdot m}

Potencia de un producto

Si se tiene un producto dentro de un paréntesis y el paréntesis está elevado a un exponente, entonces el exponente se distribuye dentro a cada elemento. Por ejemplo (x^2y)^4=(x^2)^4 \cdot (y)^4=x^8 y^4. Obsérvese como funciona lo anterior paso a paso.

 \underbrace{ (x \cdot x \cdot y) }_{x^2y}  \cdot \underbrace{ (x \cdot x \cdot y)}_{x^2y} \cdot \underbrace{ (x \cdot x \cdot y) }_{x^2y} \cdot \underbrace{ (x \cdot x \cdot y)}_{x^2y} = \underbrace{ (x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y ) }_{x^8 y^4}

Regla de la potencia para exponentes: \left(x^n\right)^m = x^{nm} y \left(x^ny^m\right)^p = x^{np}y^{mp}

CUIDADO! Esto NO funciona si se tiene una suma o una diferencia dentro del paréntesis. Por ejemplo (x+y)^2 \neq x^2+y^2. Este es un error que se comete comúnmente. Es fácil evitarlo si se recuerda qué es lo que significa un exponente: (x+y)^2=(x+y)(x+y). Se estudiará cómo simplificar esta expresión en un capítulo posterior.

A continuación se aplicarán las reglas estudiadas a algunos ejemplos.

Cuando se tienen números, solo se evalúan las expresiones y la mayor parte del tiempo no es tan importante usar la regla del producto y la regla de la potencia.

Ejemplo 6

Simplificar las siguientes expresiones.

(a) 3^4 \cdot 3^7

(b) 2^6 \cdot 2

(c) (4^2)^3

Solución

En cada uno de los ejemplos lo que se quiere es evaluar los números.

(a) Primero usé la regla del producto: 3^5 \cdot 3^7=3^{12}

Luego evalue el resultado: 3^{12}=531, 441 Usar primero la regla del cociente del

Ejemplo 7

Peter ganó $1, 500 el verano pasado. Si él depositó el dinero en una cuenta de banco con un interés anual del 5 % ¿Cuánto dinero tendrá después de 5 años?

Solución

Este problema trata con un interés que es compuesto anualmente. Esto significa que cada año es calculado sobre la cantidad de dinero que se tiene en el banco. Este interés es añadido a la cantidad original y el próximo año el interés es calculado sobre esta nueva cantidad. De esta manera se obtienen intereses sobre intereses.

Escribamos una función que describa la cantidad de dinero en el banco. La forma general de una función exponencial es

y = A \cdot b^x

Definir y como la cantidad de dinero en el banco.

Definir x como el número de años a partir de hoy.

A es la cantidad inicial, por consiguiente A = 1500 .

Ahora debemos encontrar b.

Se nos ha dicho que el interés es del 5 % cada año.

Cambiar 5 % a decimales, lo cual es equivalente a 0.05.

5 % de A es igual a 0.05A. Esto representa el interés ganado por año.

Para obtener la cantidad total de dinero para el siguiente año debemos añadir el interés ganado a la cantidad inicial.

A + 0.05A = 1.05A

De aquí podemos ver que la cantidad de dinero debe ser multiplicada por un factor de 1.05 cada año.

Esto significa que la base de la exponencial es b = 1.05

La fórmula que describe el problema es y = 1500 \cdot (1.05)^x

Para encontrar la cantidad de dinero total en el banco al final de cinco años simplemente usamos x = 5 en nuestra fórmula.

Respuesta y = 1500 \cdot (1.05)^5= \$1914.42

Ejercicios de repaso

Graficar las siguientes funciones exponenciales construyendo una tabla de valores.

  1. y=3^x
  2. y= 5 \cdot 3^x
  3. y = 40 \cdot 4^x
  4. y = 3 \cdot 10^x

Resolver los siguientes problemas.

  1. Una cadena de cartas se manda a 10 personas diciéndole a cada una que haga 10 copias de la carta y envíe cada una a una nueva persona. Asumiendo que cada persona que recibe la carta la envía a diez nuevas personas y que cada ciclo toma una semana, ¿cuántas personas reciben la carta en seis semanas?
  2. Nadia recibe $200 por su décimo cumpleaños. Si ella lo deposita en un banco con un interés compuesto anual del 7.5%, ¿cuánto dinero tendrá en el banco en su vigésimo primer cumpleaños?

Respuestas a los ejercicios de repaso

  1. 10, 000, 000
  2. $443.12

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