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8.2: Funciones de decaimiento exponencial

Difficulty Level: At Grade Created by: CK-12

Objetivos de aprendizaje

  • Graficar una función de decaimiento exponencial.
  • Comparar gráficas de funciones de decaimiento exponencial.
  • Resolver problemas del mundo real que involucran decaimientos exponenciales.

o

Se puede evaluar cada parte por separado y multiplicar los resultados. \begin{align*} 3^5 \cdot 3^7=243 \cdot 2,187 = 531,441\end{align*}.

(b) Primero usé la regla del producto: \begin{align*}2^6\cdot 2 = 2^7\end{align*}

Luego el resultado es: \begin{align*}2^7 =128\end{align*}

o

Se puede evaluar cada parte por separado y multiplicar los resultados: \begin{align*}2^6\cdot 2=64 \cdot 2 =128\end{align*}

(c) Usé la regla de potencia primero: \begin{align*}(4^2)^3=4^6\end{align*}

Luego el resultado es: \begin{align*}4^6= 4096\end{align*}

o

Se evalúa dentro del paréntesis primero: \begin{align*}(4^2)^3=(16)^3\end{align*}

Luego se aplica el exponente fuera del paréntesis: \begin{align*}(16)^3= 4096\end{align*}

Cuando se tiene una sola variable en la expresión solo se aplican las reglas.

Ejemplo 7

Simplificar las siguientes expresiones.

(a) \begin{align*}x^2\cdot x^7\end{align*}

(b) \begin{align*}(y^3)^5\end{align*}

Solución

(a) Usé la regla del produnto: \begin{align*}x^2 \cdot x^7 = x^{2+7}=x^9\end{align*}

(b) Usé la regla de la potencia: \begin{align*}(y^3)^5=y^{3 \cdot 5}=y^{15}\end{align*}

Cuando se tiene una combinación de números y variables se aplican las reglas a los números o cada variable separadamente.

Ejemplo 8

Simplificar las siguientes expresiones.

(a) \begin{align*}(3x^2 y^3)\cdot (4xy^2)\end{align*}

(b) \begin{align*}(4 xyz) \cdot (x^2y^3) \cdot (2yz^4)\end{align*}

(c) \begin{align*}(2a^3 b^3 )^2\end{align*}

Solución

(a) Se agrupan términos semejantes juntos.

\begin{align*}(3x^2y^3)\cdot (4xy^2) =(3\cdot 4 )\cdot (x^2 \cdot x) \cdot (y^3 \cdot y^2)\end{align*}

Se multiplican los números y se aplica la regla del producto a cada grupo.

\begin{align*}12x^3 y^5\end{align*}

(b) Se agrupan términos semejantes juntos.

\begin{align*}(4xyz)\cdot (x^2 y^3) \cdot (2yz^4 )=(4 \cdot 2) \cdot (x \cdot x^2) \cdot (y \cdot y^3 \cdot y) \cdot (z \cdot z^4)\end{align*}

Se multiplican los números y se aplica la regla del producto a cada grupo.

\begin{align*}8x^3 y^5 z^5\end{align*}

(c) Se aplica la regla de la potencia a cada término por separado dentro del paréntesis.

\begin{align*}(2a^3 b^3)^2=2^2 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^3)^2\end{align*}

Se evalúan los números y se aplica la regla de la potencia a cada término.

\begin{align*}4a^6 b^6\end{align*}

En problemas donde se necesita aplicar la regla del producto y potencia juntas debe mantenerse el orden de la operaciones. Las operaciones con exponentes se realizan antes que las multiplicaciones.

Ejemplo 9

Simplificar las siguientes expresiones

(a) \begin{align*}(x^2)^2\cdot x^3\end{align*}

(b) \begin{align*}(2x^2 y) \cdot (3x y^2)^3\end{align*}

(c) \begin{align*}(4a^2 b^3 )^2 \cdot (2ab^4 )^3\end{align*}

Solución

(a) \begin{align*}(x^2)^2\cdot x^3\end{align*}

Aplicando la regla de la potencia primero en el primer paréntesis se tiene:

\begin{align*}(x^2)^2 \cdot x^3 = x^4 \cdot x^3\end{align*}

Luego aplicando la regla del producto para combinar los dos términos se tiene.

\begin{align*}x^4 \cdot x^3 = x^7\end{align*}

(b) \begin{align*}(2x^2 y ) \cdot (3xy^2)^3\end{align*}

Primero se debe aplicar la regla de la potencia en el segundo paréntesis.

\begin{align*}(2x^2 y) \cdot (3xy^2)^3 = (2x^2y) \cdot (27x^3 y^6)\end{align*}

Luego se puede aplicar la regla del producto para combinar los dos paréntesis.

\begin{align*}(2x^2 y) \cdot (27x^3 y^6) =54x^5 y^7\end{align*}

(c) \begin{align*}(4a^2 b^3)^2 \cdot (2ab^4)^3\end{align*}

Se aplica la regla de la potencia a cada paréntesis separadamente.

\begin{align*}(4a^2 b^3)^2 \cdot (2ab^4)^3=(16a^4 b^6) \cdot (8a^3 b^{12})\end{align*}

Luego se puede aplicar la regla del producto para combinar los dos paréntesis.

\begin{align*}(16a^4b^6) \cdot (8a^3 b^{12})=128a^7 b^{18}\end{align*}

Ejercicios de repaso

Escribir en notación exponencial.

  1. \begin{align*}4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4\end{align*}
  2. \begin{align*}3x \cdot 3x \cdot 3x\end{align*}
  3. \begin{align*}(-2a)(-2a)(-2a)(-2a)\end{align*}
  4. \begin{align*} 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot x\cdot x \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y\end{align*}

Encuentré cada número:

  1. \begin{align*}5^4\end{align*}
  2. \begin{align*}(-2)^6\end{align*}
  3. \begin{align*}(0.1)^5\end{align*}
  4. \begin{align*}(-0.6)^3\end{align*}

Multiplicar y simplificar.

  1. \begin{align*}6^3 \cdot 6^6\end{align*}
  2. \begin{align*}2^2 \cdot 2^4 \cdot 2^6\end{align*}
  3. \begin{align*}3^2 \cdot 4^3\end{align*}
  4. \begin{align*}x^2 \cdot x^4\end{align*}
  5. \begin{align*}(-2y^4) (-3y)\end{align*}
  6. \begin{align*}(4a^2)(-3a)(-5a^4)\end{align*}

Simplificar.

  1. \begin{align*}(a^3)^4\end{align*}
  2. \begin{align*}(xy)^2\end{align*}
  3. \begin{align*}(3a^2 b^3 )^4\end{align*}
  4. \begin{align*}(-2xy^4 z^2)^5\end{align*}
  5. \begin{align*}(-8x)^3(5x)^2\end{align*}
  6. \begin{align*}(4a^2)(-2a^3)^4\end{align*}
  7. \begin{align*}(12xy)(12xy)^2\end{align*}
  8. \begin{align*}(2xy^2)(-x^2 y)^2 (3x^2 y^2)\end{align*}

Respuestas a los ejercicios de repaso

  1. \begin{align*}4^5\end{align*}
  2. \begin{align*}(3x)^3\end{align*}
  3. \begin{align*}(-2a)^4\end{align*}
  4. \begin{align*}6^3 x^2 y^4\end{align*}
  5. 625
  6. 64
  7. 0.00001
  8. -0.216
  9. 10077696
  10. 4096
  11. 576
  12. \begin{align*}x^6\end{align*}
  13. \begin{align*}6y^5 \end{align*}
  14. \begin{align*}60a^7\end{align*}
  15. \begin{align*}a^{12}\end{align*}
  16. \begin{align*}x^2 y^2 \end{align*}
  17. \begin{align*}81a^8 b^{12} \end{align*}
  18. \begin{align*}-32x^5 y^{20} z^{10}\end{align*}
  19. \begin{align*}12800x^5\end{align*}
  20. \begin{align*}64a^{14}\end{align*}
  21. \begin{align*}1728x^3 y^3\end{align*}
  22. \begin{align*}6x^7 y^6\end{align*}

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CK.MAT.SPA.SE.1.Algebra-I.8.2