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8.2: Funciones de decaimiento exponencial

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Objetivos de aprendizaje

  • Graficar una función de decaimiento exponencial.
  • Comparar gráficas de funciones de decaimiento exponencial.
  • Resolver problemas del mundo real que involucran decaimientos exponenciales.

o

Se puede evaluar cada parte por separado y multiplicar los resultados.  3^5 \cdot 3^7=243 \cdot 2,187 = 531,441.

(b) Primero usé la regla del producto: 2^6\cdot 2 = 2^7

Luego el resultado es: 2^7 =128

o

Se puede evaluar cada parte por separado y multiplicar los resultados: 2^6\cdot 2=64 \cdot 2 =128

(c) Usé la regla de potencia primero: (4^2)^3=4^6

Luego el resultado es: 4^6= 4096

o

Se evalúa dentro del paréntesis primero: (4^2)^3=(16)^3

Luego se aplica el exponente fuera del paréntesis: (16)^3= 4096

Cuando se tiene una sola variable en la expresión solo se aplican las reglas.

Ejemplo 7

Simplificar las siguientes expresiones.

(a) x^2\cdot x^7

(b) (y^3)^5

Solución

(a) Usé la regla del produnto: x^2 \cdot x^7 = x^{2+7}=x^9

(b) Usé la regla de la potencia: (y^3)^5=y^{3 \cdot 5}=y^{15}

Cuando se tiene una combinación de números y variables se aplican las reglas a los números o cada variable separadamente.

Ejemplo 8

Simplificar las siguientes expresiones.

(a) (3x^2 y^3)\cdot (4xy^2)

(b) (4 xyz) \cdot (x^2y^3) \cdot (2yz^4)

(c) (2a^3 b^3 )^2

Solución

(a) Se agrupan términos semejantes juntos.

(3x^2y^3)\cdot (4xy^2) =(3\cdot 4 )\cdot (x^2 \cdot x) \cdot (y^3 \cdot y^2)

Se multiplican los números y se aplica la regla del producto a cada grupo.

12x^3 y^5

(b) Se agrupan términos semejantes juntos.

(4xyz)\cdot (x^2 y^3) \cdot (2yz^4 )=(4 \cdot 2) \cdot (x \cdot x^2) \cdot (y \cdot y^3 \cdot y) \cdot (z \cdot z^4)

Se multiplican los números y se aplica la regla del producto a cada grupo.

8x^3 y^5 z^5

(c) Se aplica la regla de la potencia a cada término por separado dentro del paréntesis.

(2a^3 b^3)^2=2^2 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^3)^2

Se evalúan los números y se aplica la regla de la potencia a cada término.

4a^6 b^6

En problemas donde se necesita aplicar la regla del producto y potencia juntas debe mantenerse el orden de la operaciones. Las operaciones con exponentes se realizan antes que las multiplicaciones.

Ejemplo 9

Simplificar las siguientes expresiones

(a) (x^2)^2\cdot x^3

(b) (2x^2 y) \cdot (3x y^2)^3

(c) (4a^2 b^3 )^2 \cdot (2ab^4 )^3

Solución

(a) (x^2)^2\cdot x^3

Aplicando la regla de la potencia primero en el primer paréntesis se tiene:

(x^2)^2 \cdot x^3 = x^4 \cdot x^3

Luego aplicando la regla del producto para combinar los dos términos se tiene.

x^4 \cdot x^3 = x^7

(b) (2x^2 y ) \cdot (3xy^2)^3

Primero se debe aplicar la regla de la potencia en el segundo paréntesis.

(2x^2 y) \cdot (3xy^2)^3 = (2x^2y) \cdot (27x^3 y^6)

Luego se puede aplicar la regla del producto para combinar los dos paréntesis.

(2x^2 y) \cdot (27x^3 y^6) =54x^5 y^7

(c) (4a^2 b^3)^2 \cdot (2ab^4)^3

Se aplica la regla de la potencia a cada paréntesis separadamente.

(4a^2 b^3)^2 \cdot (2ab^4)^3=(16a^4 b^6) \cdot (8a^3 b^{12})

Luego se puede aplicar la regla del producto para combinar los dos paréntesis.

(16a^4b^6) \cdot (8a^3 b^{12})=128a^7 b^{18}

Ejercicios de repaso

Escribir en notación exponencial.

  1. 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4
  2. 3x \cdot 3x \cdot 3x
  3. (-2a)(-2a)(-2a)(-2a)
  4.  6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot x\cdot x \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y

Encuentré cada número:

  1. 5^4
  2. (-2)^6
  3. (0.1)^5
  4. (-0.6)^3

Multiplicar y simplificar.

  1. 6^3 \cdot 6^6
  2. 2^2 \cdot 2^4 \cdot 2^6
  3. 3^2 \cdot 4^3
  4. x^2 \cdot x^4
  5. (-2y^4) (-3y)
  6. (4a^2)(-3a)(-5a^4)

Simplificar.

  1. (a^3)^4
  2. (xy)^2
  3. (3a^2 b^3 )^4
  4. (-2xy^4 z^2)^5
  5. (-8x)^3(5x)^2
  6. (4a^2)(-2a^3)^4
  7. (12xy)(12xy)^2
  8. (2xy^2)(-x^2 y)^2 (3x^2 y^2)

Respuestas a los ejercicios de repaso

  1. 4^5
  2. (3x)^3
  3. (-2a)^4
  4. 6^3 x^2 y^4
  5. 625
  6. 64
  7. 0.00001
  8. -0.216
  9. 10077696
  10. 4096
  11. 576
  12. x^6
  13. 6y^5
  14. 60a^7
  15. a^{12}
  16. x^2 y^2
  17. 81a^8 b^{12}
  18. -32x^5 y^{20} z^{10}
  19. 12800x^5
  20. 64a^{14}
  21. 1728x^3 y^3
  22. 6x^7 y^6

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CK.MAT.SPA.SE.1.Algebra-I.8.2

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