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8.9: Estrategias para resolver problemas

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Objetivos de aprendizaje

  • Leer y entender situaciones de problemas dados.
  • Construir tablas e identificar sus patrones.
  • Resolver problemas del mundo real usando estrategias seleccionadas como parte de un plan.

Introducción

La solución de problemas aparece por todos lados en la vida regular, así como también en todos los trabajos y carreras. Por supuesto que en este manual nos concentraremos en resolver problemas que involucran procesos algebraicos. De las secciones previas recuerdar nuestro plan para resolver problemas.

Paso 1

Entender el problema.

Leer el problema cuidadosamente. Una vez el problema se ha leído hacer una lista de todos los componentes y datos que están involucrados. Aquí es donde se asignan las variables.

Paso 2

Divisar un plan: traducir.

Encontrar una forma de resolver el problema. Establecer una ecuación, dibujar un diagrama, hacer un cuadro sinóptico o construir una tabla como un inicio para resolver problemas.

Paso 3

Ejecutar el plan: Resolver.

En este paso es donde resuelves la ecuación que encontraste en el paso 2.

Paso 4

Observar: revisar e interpretar.

Revisar para observar si se usó toda la información y la respuesta tiene sentido.

Ejemplos de problemas exponenciales

En esta sección aplicaremos esta estrategia para resolver problemas del mundo real donde aparecen funciones exponenciales. Interés compuesto, volumen del sonido, crecimiento poblacional, decrecimiento poblacional o decaimiento radiactivo son aplicaciones que se resuelven haciendo uso de funciones exponenciales. En estos problemas usaremos los métodos de construir tablas e identificar patrones para ayudarnos a crear un plan para resolverlos.

Ejemplo 1: interés compuesto

Suponer que $4000 son invertidos al 6% de interés compuesto anualmente. ¿Cuánto dinero habrá en el banco a final de cinco años? ¿Al final de 20 años?

Solución

Paso 1

Leer el problema y resumir la información.

$4000 son invertidos al 6% de interés compuesto anualmente.

Queremos saber cuánto dinero tendremos después de cinco años.

Asignación de variables.

Sea x= el tiempo en años

Sea y= cantidad de dinero invertida en la cuenta

Paso 2

Buscar un patrón.

Empezamos con $4000 y cada año aplicamos el 6% de interés sobre el monto en el banco.

\text{Empezar con}&&& \$4000 \\1^{er}\ \text{a\~{n}o}  &&  \text{inter\'{e}s} & = 4000 \times (0.06) = \$240 \\&& \text{esto se a\~{n}ade al monto previo} & = \$4000 + \$4000 \times (0.06) \\&& & = \$4000(1 + 0.06) \\&& & = \$4000 (1.06) \\& && = \$4240 \\2^{do}\ \text{a\~{n}o} && \qquad \text{cantidad previa + inter\'{e}s sobre la cantidad previa} & = \$4240(1 +0.06) \\& && =\$4240 (1.06) \\& && = \$4494.40

El patrón es: cada año multiplicamos la cantidad previa por el factor 1.06.

Llenemos una tabla de valores.

& \text{Tiempo (a\~{n}os)} && 0 && 1 && 2 && 3 &&  4 && 5 \\& \text{Cantidad invertida} (\$) && 4000 && 4240 && 4494.4 && 4764.06 && 5049.90 && 5352.9

Respuesta:vemos que al fina de cinco años tenemos $5352.90 en la cuenta de inversión.

Paso 3: en el caso de 5 años, no necesitamos una ecuación para resolver el problema. Sin embargo, si queremos la cantidad al final de 20 años, nos cansaríamos de multiplicar por 1.06, y nos gustaría tener una fórmula.

Ya que tomamos la inversión original y la multiplicamos repetidas veces por el mismo factor 1.06 esto significa que podemos usar una función exponencial.

y = 4000 \cdot (1.06)^x

Para encontrar la cantidad después 5 años usamos x=5 en la ecuación.

y = 4000 \cdot (1.06)^5 = \$5352.90

Para encontrar la cantidad después de 20 años usasmos x = 20 en la ecuación.

y = 4000 \cdot (1.06)^{20} = \$12828.54

Paso 4: considerando de nuevo las soluciones, podemos observar que obtuvimos las respuestas que se nos preguntaron y que las mismas tienen sentido.

Para probar nuestras respuestas podemos usar algunos valores menores de x para ver si estos son iguales a los valores en la tabla:

x=0, && y & =4000 \cdot (1.06)^0 = 4000 \\x=1, && y &= 4000 \cdot (1.06)^1 = 4240 \\x=2, && y &= 4000 \cdot (1.06)^2 = 4494.4

Las respuestas están bien porque después del primer año la cantidad incrementa $240 (6% de $4000).

La cantidad del incremento se vuelve más grande cada año y esto tiene sentido porque el interés es el 6% de una cantidad que se hace más grande cada año.

Ejemplo 2: decrecimiento poblacional

En 2002, la población de niños escolares fue 90, 000. Esta población decreció con una razón del 5% cada año. ¿Cuál será la población de niños escolares en 2010?

Solución

Paso 1

Leer el problema y resumir la información.

Razón de decremento = 5% cada año.

¿Cuál es la población en 2010?

Asignar variables.

Sea x= el tiempo desde el 2002 (en años)

Sea y= la población de niños escolares

Paso 2

Buscar un patrón.

Empecemos en 2002.

Población = 90, 000

La razón de decremento es 5% cada año, por consiguiente necesitamos encontrar la cantidad de decremento multiplicando 90,000 \times 0.05 y sustrayendo este decremento del número original 90,000 - 90,000 \times 0.05 = 90,000(1 - 0.05) = 90,000 \times 0.95.

\text{En}\ 2003  && \text{poblaci\'{o}n} & = 90,000 \times 0.95 \\\text{en}\ 2004 && \text{poblaci\'{o}n} & = 90,000 \times 0.95 \times 0.95

El patrón es: por cada año multiplicamos por un factor de 0.95

Construyamos una tabla de valores:

 & \text{A\~{n}o} && 2002 && 2003 && 2004 && 2005 && 2006 && 2007 \\& \text{Poblaci\'{o}n} && 90,000 &&  85,500 && 81,225 && 77,164 && 73,306 && 69,640

Paso 3

Encontremos una fórmula para esta relación.

Como tomamos la población y continuamos multiplicando por el mismo factor de 0.95, este patrón concuerda con la fórmula exponencial.

y = 90000  \cdot (0.95)^x

Para encontrar la población en 2010, sustituir x=8 (número de años desde 2002)

y= 90000 \cdot (0.95)^8 = 59,708 niños escolares.

Paso 4

Volviendo a la solución, vemos que hemos dado respuesta a la pregunta que se nos hizo y que esta es concordante.

La respuesta es concordante porque los números decrecen cada año como esperábamos. Podemos probar que la fórmula es correcta sustituyendo valores de x de la tabla para ver si concuerdan con los dados por la fórmula.

\text{A\~{n}o}\ 2002, x=0 && \text{Poblaci\'{o}n} & = y=90000 \cdot (0.95)^0 = 90,000\\\text{A\~{n}o}\ 2003, x=1 && \text{Poblaci\'{o}n} & = y = 90000  \cdot (0.95)^1 = 85,500 \\\text{A\~{n}o}\ 2004, x=2 && \text{Poblaci\'{o}n} & = y = 90000  \cdot (0.95)^2 =81,225

Ejemplo 3: volumen del sonido

El volumen es medido en decibelios (dB). Un incremento en el volumen de 10 decibelios significa que la intensidad del sonido incrementa por un factor de 10. El sonido que se escucha con mucha dificultad tiene un nivel de decibelios de 0 dB y un nivel de intensidad de 10^{-12} \ W/m^2. El sonido que es doloroso para el oído tiene un nivel de decibelios de 130 dB y un nivel de intensidad de 10 \ W/m^2.

(a) El nivel de decibelios de una conversación normal es 60 dB. ¿Cuál es la intensidad del sonido de una conversación normal?

(b) El nivel de decibelios al entrar a una estación subterránea de trenes es 100 dB. ¿Cuál es la intensidad del sonido del tren?

Solución:

Paso 1

Leer el problema y resumir la información.

Para 10 decibelios, la intensidad del sonido incrementa por un factor de 10.

El sonido que se escucha con dificultad =0 \ dB =10^{-12} \ W/m^2

Sonido molesto al oído = 130 \ dB =10 \ W/m^2

Encontrar intensidad a 60 dB y a 100 dB.

Asignar variables.

Sea x = nivel del sonido en decibelios (dB)

Sea y = intensidad del sonido (W/m^2)

Paso 2

Buscar un patrón.

Empecemos con 0 dB

\text{Para}\ 0\ dB  && \text{Intensidad} = 10^{-12}\W/m^2

Por cada decibelio la intensidad aumenta por un factor de 10.

\text{Para}\ 10\ dB  && \text{Intensidad} & = 10^{-12}\times 10 \ W/m^2 \\\text{Para}\ 20\ dB && \text{Intensidad} & = 10^{-12} \times 10 \times 10 \ W/m^2\\\text{Para}\ 30\ dB && \text{Intensidad} & = 10^{-12}\times 10 \times 10 \times 10\W/m^2

El patrón es: por cada 10 decibelios multiplicamos por un factor de 10.

Construyamos una tabla de valores.

& \text{Volumen \ (dB)} && 0 && 10 && 20 && 30 && 40 && 50 \\& \text{Intensidad} \ (W/m^2) && 10^{-12} && 10^{-11} && 10^{-10} && 10^{-9} &&10^{-8} && 10^{-7}

Paso 3

Encontremos una fórmula para esta relación.

Ya que tomamos la intensidad original del sonido y multiplicamos repetidamen por el mismo factor de 10, podemos usar notación exponencial.

y=10^{-12} \cdot 10^{\frac{x}{10}}

La potencia es \frac{x}{10}, ya que subimos 10 dB cada vez.

Para encontrar la intensidad a 60 dB usamos x=60 en la ecuación.

y=10^{-12} \cdot (10)^{\left(\frac{60}{10}\right)}=10^{-12}\cdot (10)^6=10^{-6}\W/m^2

Para encontrar la intensidad a 100 dB usamos x=100 en la ecuación.

y=10^{-12}\cdot (10)^{\left(\frac{100}{10}\right)}=10^{-12}\cdot (10)^{10}=10^{-2} \ W/m^2

Paso 4

Observando otra vez la solución, vemos que no usamos toda la información que se nos proporciono, tenemos el hecho de que un nivel de decibelios de 130 dB tiene un nivel de intensidad de 10 \ W/m^2.

Podemos usar esta información para ver si nuestra fórmula es correcta. Usemos x=130 en nuestra fórmula.

y=10^{-12}\cdot (10)^{\left(\frac{130}{10}\right)}=10^{-12} \cdot (10)^{13}=10\W/m^2

La fórmula confirma que un nivel de decibelios de 130 dB corresponde a un nivel de intensidad de 10 \ W/m^2.

Ejercicios de repaso

Aplicar las técnicas presentadas en esta sección para resolver los siguientes problemas.

  1. Vida media: suponer que una sustancia radiactiva decae a razón de 3.5% por hora. ¿Qué porcentaje de la sustancia hay después de 6 horas?
  2. Decrecimiento poblacional: en 1990 un área rural tiene 1200 especies de pájaros. Si las especies de pájaros se están extinguiendo con una razón de 1.5% por década (diez años), ¿cuántas especies de pájaros habrá en 2020?
  3. Crecimiento: Nadia tiene una cadena de restaurantes de comida rápida que opera en 200 tiendas en 1999. Si la razón de crecimiento es del 8% anual, ¿cuántas tiendas opera el restaurante en 2007?
  4. Inversión: Peter invierte $360 en una cuenta que paga 7.25% de interés compuesto anualmente. ¿Cuál es la cantidad total de la cuenta después de 12 años?

Respuestas a los ejercicios de repaso

  1. 100 (.965)^x = 100 (.965)^6= 80.75\%
  2. 1200 (.985)^x = 1200 (.985)^3 = 1147
  3. 200 (1.08)^x = 200 (1.08)^8 = 370
  4. 360 (1.0725)^x = 360 (1.0725)^{12}= \$833.82

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CK.MAT.SPA.SE.1.Algebra-I.8.9

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