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9.1: Suma y Resta de Polinomios

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Objetivos de aprendizaje

  • Escribir una expresión polinomial en forma estándar.
  • Clasificar expresiones polinomiales por su grado.
  • Sumar y restar polinomios.
  • Solución de problemas usando suma y resta de polinomios.

Introducción

Hasta ahora hemos visto funciones descritas por líneas rectas (funciones lineales) y funciones donde las variables aparecen en el exponente (funciones exponenciales). En esta sección introduciremos funciones polinomiales. Un polinomio está constituido de diferentes términos que contienen potencias enteras positivas de las variables. Aquí está un ejemplo de polinomio.

4x^3 + 2x^2 - 3x + 1

Cada parte del polinomio que es sumada o restada es llamada un término del polinomio. El ejemplo de arriba es un polinomio con cuatro términos.

Los números que aparecen en cada término en frente de las variables son llamados los coeficientes. El número que aparece sin ninguna variable es llamado una constante.

En este caso, el coeficiente de x^3 es 4, el coeficiente de x^2 es 2, el coeficiente de x es -3 y la constante es 1.

Grado de un polinomio y forma estándar

Cada término en el polinomio tiene un grado. Este es la potencia de la variable en ese término.

4x^3 es de grado 3 y es llamado un término cúbico o término de 3^{er} orden.

2x^2 es de grado 2 y es llamado término cuadrático o término de 2^{do} orden.

-3x es de grado 1 y es llamado el término lineal o término de 1^{er} orden.

1 es de grado 0 y es llamado la constante.

Por definición, el grado de un polinomio es el mismo grado que el del término con mayor grado. Este ejemplo es un polinomio de 3^{er} grado, el cual es también llamado polinomio “cúbico”. (¿Por qué piensas que este es llamado cúbico?).

Los polinomios pueden tener más de una variable. Aquí está otro ejemplo de un polinomio.

t^{4}-6s^{3}t^{2}-12st+4s^{4}-5

Este es un polinomio porque todos los exponentes de las variables son enteros positivos. Este polinomio tiene cinco términos. Revisemos cada término más de cerca. Nota: El grado de un término es la suma de las potencias de cada variable en el término.

t^{4} es de grado 4, así que es un término de 4^{to} orden.

-6s^{3}t^{2} es de grado 5, así que es un término de 5^{to} orden.

-12st es de grado 2, así que es un término de 2^{do} orden.

4s^{4} es de grado 4, así que es un término de 4^{to} orden.

-5 es una constante, así que su grado es 0.

Ya que el grado mayor de uno de los términos en este polinomio es 5, entonces este es un polinomio de grado 5 o un polinomio de 5^{to} orden.

Un polinomio que tiene solamente un término tiene un nombre especial. Es llamado un monomio (mono significa uno). Un monomio puede ser una constante, una variable o el producto de una constante y una o más variables. Como podrás ver cada término en un polinomio es un monomio. Un polinomio es la suma de monomios. Aquí hay algunos ejemplos de monomios.

\underbrace{b^2}_{{\color{blue}\text{este es un monomio}}} && \underbrace{8}_{{\color{blue}\text{también este es}}} && \underbrace{-2ab^2}_{{\color{blue}\text{y este}}} && \underbrace{\frac{1} {4}x^4}_{{\color{blue}\text{y este}}} && \underbrace{-29xy}_{{\color{blue}\text{y este}}}

Ejemplo 1

Para los siguientes polinomios, identificar el coeficiente de cada término, el grado de cada término y el grado del polinomio.

a) x^5 - 3x^3 + 4x^2 - 5x + 7

b) x^4 - 3x^3 y^2 + 8x - 12

Solución

a) x^5 - 3x^3 + 4x^2 - 5x + 7

Los coeficientes de cada término en orden son 1, -3, 4, -5 y la constante es 7.

Los grados de cada término son 5, 3, 2, 1, y 0. Por consiguiente, el grado del polinomio es 5.

b) x^4 - 3x^3 y^2 + 8x - 12

Los coeficientes de cada término en orden son 1, -3, 8 y la constante es -12.

Los grados de cada término son 4, 5, 1, y 0. Por consiguiente, el grado del polinomio es 5.

Ejemplo 2

Identificar las siguientes expresiones como polinomios o no-polinomios.

a)  5x^2 - 2x

b)  3x^2 - 2x^{-2}

c)  x \sqrt{x} - 1

d)  \frac{5} {x^3 + 1}

e)  4x^{\frac{1}{3}}

f)  4xy^2 - 2x^2y - 3 + y^3 - 3x^3

Solución

(a)  5x^2 - 2x Este es un polinomio.

(b)  3x^2 - 2x^{-2} Este no es un polinomio porque tiene un exponente negativo.

(c)  x \sqrt{x} - 1 Este no es un polinomio porque tiene una raíz cuadrada.

(d)  \frac{5} {x^3 + 1} Este no es un polinomio porque la potencia de x aparece en el denominador.

(e)  4x^{\frac{1}{3}} Este no es un polinomio porque tiene un exponente fraccionario.

(f)  4xy^2 - 2x^y - 3 + y^3 - 3x^3 Este es un polinomio.

Observaste que cada término en un polinomio tiene grado. El mayor grado de un término es también el grado del polinomio. A menudo, organizamos los términos en un polinomio de tal forma que el término con el grado mayor sea el primero, seguido de los otros términos en orden decreciente de acuerdo a su potencia. Esta forma de organizar los polinomios es llamada forma estándar.

Los siguientes polinomios están en forma estándar.

4x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x + 1

a^4 b^3 - 2a^3 b^3 + 3a^4 b - 5ab^2 + 2

El primer término de un polinomio en forma estándar es llamado término principal y el coeficiente del término principal es llamado coeficiente principal.

El término principal del primer polinomio de arriba es 4x^4 y el coeficiente principal es 4.

El término principal del segundo polinomio de arriba es a^4 b^3 y el coeficiente principal es 1.

Ejemplo 3

Reordena los términos en los siguientes polinomios de tal manera que estén en la forma estándar. Indiqua el término principal y el coeficiente principal en cada polinomio.

(a) 7 - 3x^3 + 4x

(b) ab - a^3 + 2b

(c) -4b + 4 + b^2

Solución

(a) 7 - 3x^3 + 4x es reordenado como -3x^3 + 4x + 7. El término principal es -3x^3 y el coeficiente principal es -3.

(b) ab - a^3 + 2b es reordenado como -a^3 + ab + 2b. El término principal es -a^3 y el coeficiente principal es -1.

(c) -4b + 4 +b^2 es reordenado como b^2 -4b + 4. El término principal es b^2 y el coeficiente principal es 1.

Simplificación de polinomios

Un polinomio está simplificado si no tiene términos semejantes. Términos semejantes son términos en el polinomio que tienen la(s) misma(s) variable(s) con los mismos exponentes, pero pueden tener coeficientes diferentes.

2x^2y y 5x^2y son términos semejantes.

6x^2y y 6xy^2 no son términos semejantes.

Si tenemos un polinomio que contiene términos semejantes, lo podemos simplificar combinándolos.

& x^2 + \underline{6xy} - \underline{4xy} + y^2\\& \qquad \nearrow \qquad \nwarrow\\& \quad \text{Términos semejantes}

Este polinomio de ejemplo puede ser simplificado combinando los términos semejantes 6xy - 4xy = 2xy. Escribimos el polinomio simplificado como

x^2 + 2xy + y^2

Ejemplo 4

Simplificar los siguientes polinomios agrupando términos semejantes y combinándolos.

(a) 2x - 4x^2 + 6 + x^2 -4 + 4x

(b) a^3b^3 - 5ab^4 + 2a^3b - a^3b^3 + 3ab^4 - a^2b

Solución

(a) 2x - 4x^2 + 6 + x^2 -4 + 4x

Reordenando los términos de tal manera que los términos semejantes se agrupen juntos:

=(-4x^2 + x^2) + (2x + 4x) + (6 -4)

Combinar cada conjunto de términos semejantes sumando o restando los coeficientes:

= -3x^2 + 6x + 2

(b) a^3b^3 - 5ab^4 + 2a^3b - a^3b^3 + 3ab^4 - a^2b

Reordenando los términos de tal manera que los términos semejantes se agrupen juntos:

= (a^3b^3 - a^3b^3) + (-5ab^4 + 3ab^4) + 2a^3b - a^2b

Combinar cada conjunto de términos semejantes sumando o restando los coeficientes:

& = 0 - 2ab^4 + 2a^3b - a^2b \\& = - 2ab^4 + 2a^3b - a^2b

Suma y resta de polinomios

Suma de polinomios

Para sumar dos o más polinomios, escribir su suma y simplificarlos combinando términos semejantes.

Ejemplo 5

Sumar y simplificar los polinomios resultantes.

(a) Sumar 3x^2 - 4x + 7 y 2x^3 - 4x^2 - 6x + 5.

(b) Sumar x^2 - 2xy + y^2 y 2y^2 - 4x^2 y 10xy + y^3.

Solución:

(a) Sumar 3x^2 - 4x + 7 y 2x^3 - 4x^2 - 6x + 5

 &=(3x^2 - 4x + 7) + (2x^3 - 4x^2 - 6x + 5)\\\text{Agrupar términos semejantes} &= 2x^3 + (3x^2 - 4x^2) + (-4x - 6x) + (7 + 5)\\\text{Simplificar}  &= 2x^3 - x^2 - 10x +12

(b) Sumar x^2 - 2xy + y^2 y 2y^2 - 3x^2 y 10xy + y^3

& =(x^2 - 2xy + y^2) + (2y^2 - 3x^2) + (10xy + y^3)\\\text{Agrupar términos semejantes} & = (x^2 - 3x^2) + (y^2 + 2y^2) + (-2xy + 10xy) + y^3)\\\text{Simplificar}& = 2x^2 +3y^2 + 8xy + y^3

Resta de polinomios

Para restar un polinomio de otro, sumar el opuesto de cada término del polinomio que se está restando.

Ejemplo 6

Restar y simplificar el polinomio resultante.

a) Restar x^3 - 3x^2 + 8x + 12 de 4x^2 + 5x- 9.

b) Restar 5b^2 - 2a^2 de 4a^2 - 8ab - 9b^2.

Solución

a) (4x^2 + 5x - 9) - (x^3 - 3x^2 + 8x + 12) & = (4x^2 + 5x - 9) + (-x^3 + 3x^2 - 8x -12)\\\text{Agrupar términos semejantes} & = - x^3 - (4x^2 + 3x^2) + (5x - 8x) + (-9 - 12)\\\text{Simplificar} & = - x^3 + 7x^2 - 3x -21

b) (4a^2 - 8ab - 9b^2) - (5b^2 - 2a^2)  & = (4a^2 - 8ab - 9b^2) + (-5b^2 + 2a^2)\\\text{Agrupar términos semejantes} & =  (4a^2 + 2a^2) + (-9b^2 - 5b^2)- 8ab\\\text{Simplificar} & = 6a^2 - 14b^2 - 8ab

Nota: Una forma fácil de saber si tu trabajo es correcto después de sumar o restar polinomios, es sustituir un valor conveniente para las variables, y revisar que la respuesta y el problema dan el mismo valor. Por ejemplo, en la parte (b) del ejemplo 6, si hacemos a = 2 y b = 3, entonces podemos revisar como sigue.

Dado Solución
(4a^2 - 8ab - 9b^2) - (5b^2 - 2a^2) 6a^2 - 14b^2 - 8ab
(4(2)^2 - 8(2)(3) - 9(3)^2) - (5(3)^2 - 2(2)^2) 6(2)^2 - 14(3)^2 - 8(2)(3)
(4(4) - 8(2)(3) - 9(9)) - (5(9) - 2(4)) 6(4) - 14(9) - 8(2)(3)
(-113) - 37 24 - 126 - 48
-150 -150

Ya que ambas expresiones dan el mismo resultado cuando se sustituyen valores arbitrarios para las variables, podemos estar razonablemente seguros que nuestra respuesta esta correcta. Nota que cuando se usa un valor para las variables, no escoja 0 o 1 para revisar, ya que estos valores pueden llevar a errores comunes.

Solución de problemas usando suma o resta de polinomios

Una aplicación de polinomios es su uso en el cálculo de áreas de objetos geométricos. En los siguientes ejemplos, veremos cómo la suma o resta de polinomios puede ser útil en la representación de diferentes áreas.

Ejemplo 7

Escribe un polinomio que represente el área de cada figura mostrada.

a)

b)

c)

d)

Soluciones

a) Esta figura está formada por dos cuadrados y dos rectángulos.

El cuadrado azul tiene el área: y \cdot y = y^2

El cuadrado amarillo tiene el área: x \cdot x = x^2

Cada uno de los rectángulos rosados tienen el área: x \cdot y = xy

Para encontrar el área total de la figura sumamos todas las áreas parciales.

\text{Área total} & = y^2 + x^2 + xy + xy\\& = y^2 + x^2 + 2xy

b) Esta figura está formada por dos cuadrados y un rectángulo.

Cada uno de los cuadrados amarillos tiene el área: a \cdot a = a^2.

El rectángulo anaranjado tiene el área: 2a  \cdot b = 2ab.

Para encontrar el área total de la figura sumamos todas las áreas parciales.

\text{Área total} & = a^2 + a^2 + 2ab\\& = 2a^2 + 2ab

c) Para encontrar el área de la región verde encontraremos el área del cuadrado grande y restaremos el área del cuadrado pequeño.

El cuadrado grande tiene el área: y  \cdot y = y^2.

El cuadrado pequeño tiene el área: x \cdot x = x^2.

Área de la región verde = y^2 - x^2

d) Para encontrar el área de la figura podemos encontrar el área del rectángulo grande y sumar las áreas de los cuadrados rosados.

Cada uno de los cuadrados rosados tiene el área: a \cdot a = a^2.

El rectángulo azul tiene el área: 3a \cdot a = 3a^2.

Para encontrar el área total de la figura sumamos todas las áreas parciales.

\text{Área total} = a^2 + a^2 + a^2 + 3a^2 = 6a^2

Otra forma de encontrar esta área es encontrar el área del cuadrado grande y restar las áreas de los tres cuadrados amarillos.

El cuadrado grande tiene el área: 3a \cdot 3a = 9a^2.

Cada cuadrado amarillo tiene el área: a \cdot a = a^2.

Para encontrar el área total de la figura restamos:

\text{Área} & = 9a^2 - (a^2 + a^2 + a^2)\\& = 9a^2 - 3a^2\\& = 6a^2

Ejercicios de repaso

Indicar cuáles expresiones son polinomios.

  1.  x^2 + 3x^{\frac{1}{2}}
  2.  \frac{1} {3}x^2y - 9y^2
  3.  3x^{-3}
  4.  \frac{2} {3}t^2 - \frac{1} {t^2}

Expresa cada polinomio en forma estándar. Da el grado de cada polinomio.

  1. 3 - 2x
  2. 8 - 4x + 3x^3
  3. -5 + 2x - 5x^2 + 8x^3
  4. x^2 - 9x^4 + 12

Sumar y simplificar.

  1. (x + 8) + (-3x - 5)
  2. (-2x^2 + 4x -12) + (7x + x^2)
  3. (2a^2b - 2a + 9) + (5a^2b - 4b + 5)
  4. (6.9a^2 - 2.3b^2 + 2ab) + (3.1a - 2.5b^2 + b)

Restar y simplificar.

  1. (-t + 15t^2) - (5t^2 + 2t - 9)
  2. (-y^2 + 4y - 5) - (5y^2 + 2y + 7)
  3. (-5m^2 - m) - (3m^2 + 4m - 5)
  4. (2a^2b - 3ab^2 + 5a^2b^2) - (2a^2b^2 +4a^2b - 5b^2)

Encontrar el área de las siguientes figuras.

Respuestas a los ejercicios de repaso

  1. No
  2. yes
  3. no
  4. no
  5. - 2x + 3; \ \text{Grado} = 1
  6. 3x^3 - 4x + 8; \ \text{Grado} = 3
  7. 8x^3 - 5x^2 + 2x - 5; \ \text{Grado} = 3
  8. -9x^4 + x^2 + 12; \ \text{Grado} = 4
  9. -2x + 3
  10. -x^2 + 11x - 12
  11. 7a^2b - 2a - 4b + 14
  12. 6.9a^2 - 4.8b^2 + 2ab + 3.1a + b
  13. -3t + 9
  14. -6y^2 + 2y - 12
  15. -8m^2 - 5m + 5
  16. -2a^2b - 3ab^2 + 3a^2b^2 + 5b^2
  17. \text{Área} = 2xz - xy
  18. \text{Área} = 4ab + ac
  19. 2xy - 2x^2
  20. \text{Área} = 3ab

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