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9.2: Multiplicación de polinomios

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Objetivos de aprendizaje

  • Multiplicar un polinomio por un monomio.
  • Multiplicar un polinomio por un binomio.
  • Resolver problemas usando multiplicación de polinomios.

Introducción

Cuando se multiplican polinomios debemos recordar las reglas de los exponentes que aprendimos en último capítulo.

La regla del producto x^n \cdot x^m = x^n + m

Esta dice que si multiplicamos expresiones que tienen la misma base, solo sumamos los exponentes y mantenemos la misma base.

Si las expresiones que estamos multiplicando tienen coeficientes y más de una variable, multiplicamos los coeficientes como cualesquiera números y aplicamos la regla del producto a cada variable separadamente.

(2x^2y^3) \cdot (3x^2y) = (2.3) \cdot (x^2 + 2) . (y^3 + 1) = 6x^4y^4

Multiplicación de un polinomio por un monomio

Empezamos esta sección multiplicando un monomio por un monomio. Como viste arriba, necesitamos multiplicar los coeficientes separadamente y aplicamos las reglas de los exponentes a cada variable separadamente. Tratemos con algunos ejemplos.

Ejemplo 1

Multiplicar los siguientes monomios.

a) (2x^2) (5x^3)

b) (-3y^4) (2y^2)

c) (3xy^5) (-6x^4y^2)

d) (-12a^2b^3c^4) (-3a^2b^2)

Solución

a) (2x^2) (5x^3) = (2 \cdot 5) \cdot (x^2 \cdot x^3) = 10x^{2 + 3} = 10x^5

b) (-3y^4) (2y^2) = (-3 \cdot 2) \cdot (y^4 \cdot y^2) = -6y^{4 + 2} = -6y^6

c) (3xy^5) (-6x^4y^2) = 18x^{1 + 4}y^{5 + 2} = -18x^5y^7

d) (-12a^2b^3c^4)(-3a^2b^2) = 36a^{2 + 2} b^{3 + 2} c^4 = 36a^4b^5c^4

Para multiplicar un polinomio por un monomio, usamos la propiedad distributiva.

Esta dice que

a(b + c) = a b + a c

Esta propiedad se ilustra mejor con un problema del área. Podemos encontrar el área del rectángulo grande de dos formas.

Una forma es usar la fórmula del área de un rectángulo.

\text{Área del rectángulo grande} &= \text{base} \cdot \text{altura }\\\text{base} &= a, \text{altura} = b + c \\\text{Área} &= a \cdot (b \cdot c)

El área del rectángulo grande también se puede encontrar sumando las áreas de los dos rectángulos pequeños.

\text{Área del rectángulo rojo}  &= ab \\\text{Área del rectángulo azul}  &= ac \\\text{Área del rectángulo grande}  &= ab + ac

Esto significa que a(b + c) = ab + ac. Esto muestra que la propiedad distributiva es verdadera.

Esta propiedad es útil para trabajar con números y también con variables.

Por consiguiente, para resolver este problema, sumarías 2 y 7 para obtener 9 y luego multiplicar por 5 para obtener 45. Pero hay otra forma de hacer esto.

5(2 + 7) = 5 \cdot 2 + 5 \cdot 7

Esto significa que cada número dentro del paréntesis se multiplica por 5 separadamente y luego los productos se suman.

5(2 + 7) = 5 \cdot 2 + 5 \cdot 7 = 10 + 35 = 45

En general, si tenemos un número o variable enfrente de un paréntesis.

a(b + c + d + e + f + \ldots) = a b + a c + ad + ae + af + \ldots

Los “\ldots” significan “y así sucesivamente”.

Apliquemos esta propiedad a la multiplicación de un polinomio por un monomio.

Ejemplo 2

Multiplicar

a) 3(x^2 + 3x - 5)

b) 4x(3x^2 - 7)

c) -7y(4y^2 - 2y + 1)

Solución

a) 3(x^2 + 3x - 5) = 3(x^2) + 3(3x) - 3(5) = 3x^2 + 9x -15

b) 4x(3x^2 - 7) = (4x)(3x^2) + (4x)(-7) = 12x^3 - 28x

c) -7y(4y^2 - 2y + 1) = (-7y) (4y^2) + (-7y) (-2y) + (-7y) (1) = -28y^3 + 14y^2 - 7y

Nótese que el uso de la propiedad distributiva simplifica los problemas a simplemente multiplicar monomios por monomios y sumar todas las partes separadas.

Ejemplo 3

Multiplicar

a) 2x^3(-3x^4 + 2x^3 -10x^2 + 7x +9)

b) -7a^2 bc ^3(5a^2 - 3b^2 - 9c^2)

Solución

a) 2x^3(-3x^4 + 2x^3 -10x^2 + 7x +9) & = (2x^3)(-3x^4) + (2x^3)(2x^3) + (2x^3)(-10x^2) + (2x^3) (7x) + (2x^3) (9) \\& =-6x^7 + 4x^6 -20x^5 + 14x^4 + 18x^3

b) -7a^2 bc^3(5a^2 - 3b^2 - 9c^2) & =(-7a^2 bc^3)(5a^2) + (-7a^2 bc^3)(-3b^2) + (-7a^2 bc^3)(-9c^2) \\& = -35a^4 bc^3 + 21a^2b^3c^3 + 63a^2 bc^5

Multiplicación de un polinomio por un binomio

Empecemos multiplicando dos binomios. Un binomio es un polinomio con dos términos, por consiguiente el producto de dos binomios tomará la forma

(a + b) (c + d)

La propiedad distributiva también se puede aplicar en esta situación. Pensemos que el primer paréntesis es un solo término. La propiedad distributiva dice que el término enfrente del paréntesis multiplica cada término dentro del paréntesis separadamente. Luego, sumamos los resultados de los productos.

(a + b) (c + d) = (a + b) \cdot c + (a + b) \cdot d

Reescribamos esta respuesta como c \cdot (a + b) + d \cdot (a + b)

Podemos ver que podemos aplicar la propiedad distributiva en cada uno de los paréntesis.

c \cdot (a + b) + d \cdot (a + b) = c \cdot a + c \cdot b + d \cdot a + d \cdot  b\ (\text{or}\ c a + c b + d a + d b)

Lo que se debería notar es que cuando se multiplican dos polinomios cualesquiera, cada término en un polinomio es multiplicado por cada término en el otro polinomio.

Observemos algunos ejemplos de multiplicación de polinomios.

Ejemplo 4

Multiplicar y simplificar (2x + 1) (x + 3)

Solución

Debemos multiplicar cada término del primer polinomio con cada término del segundo polinomio.

Tratemos de ser sistemáticos para asegurarnos que obtenemos todos los productos.

Primeramente, multipliquemos el primer término del primer paréntesis por todos los términos dentro del segundo paréntesis.

Ahora hemos terminado con el primer término.

Enseguida multiplicamos el segundo término en el primer paréntesis por todos los términos en el segundo paréntesis y los sumamos con los términos previos.

Hemos terminado con la multiplicación y podemos simplificar.

(2x) (x) + (2x) (3) + (1) (x) + (1) (3) & = 2x^2 + 6x + x + 3 \\& = 2x^2 + 7x + 3

Esta forma de multiplicar polinomios es llamada multiplicación en línea o multiplicación horizontal.

Otro método para multiplicar polinomios es usar multiplicación vertical similar a la multiplicación vertical que se aprendió con números regulares. Demostremos este método con el mismo ejemplo.

& \quad \quad \quad 2x \ + \  1\\& \underline{\quad \quad \quad x \ \ + \  3}\\& \quad \quad \quad 6x \ + \ 3 \leftarrow \text{Multiplicar cada término de arriba por} \ 3\\\text{Multiplicar cada temino de arriba por} \ x \rightarrow & \underline{2x^2 + \ x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\& 2x^2 \ + \  7x \ + \ 3 \leftarrow \text{Ordenar términos semejantes uno sobre el}\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \text{otro y sumarlos verticalmente}

Este método es típicamente fácil de usar a pesar que se lleva más espacio. Solo hay que asegurarse que los términos semejantes se escriben juntos en columnas verticales para que sean fáciles de combinar al final.

Ejemplo 5

Multiplicar y simplificar

(a) (4x - 5) (x - 20)

(b) (3x - 2) (3x + 2)

(c) (3x^2 + 2x - 5) (2x - 3)

(d) (x^2 - 9) (4x^4 + 5x^2 - 2)

Solución

a) (4x - 5) (x - 20)

Multiplicación horizontal

(4x - 5) (x - 20) & = (4x)(x) + (4x)(-20) + (-5)(x) + (-5)(-20) \\& = 4x^2 - 80x - 5x + 100 = 4x^2 - 85x + 100

Multiplicación vertical

Reordenar los polinomios uno encima del otro con términos semejantes en las mismas columnas.

& \quad \quad \quad 4x \ \ \ - \ \ \  5\\& \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; x \ \ \ \ - \  \ \  20}\\& \quad \quad -80x \ + \ 100\\& \underline{4x^2 \ - \ 5x \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\& 4x^2 \ - \  85x \ + \ 100

Ambas técnicas resultan en la misma respuesta:  4x^2 - 85x + 100.

Para la última pregunta, mostraremos la solución con multiplicación vertical porque esta puede ser una técnica con la cual no está acostumbrado. Multiplicación horizontal resultará exactamente en los mismos términos y misma respuesta.

b) (3x - 2) (3x + 2)

& \quad \quad \quad 3x \ \ - \  2\\& \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3x \ \ + \  2}\\& \quad \quad \quad 6x \ - \ 4\\& \underline{9x^2 - 6x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\& 9x^2 \ + \  0x \ - \ 4

Respuesta 9x^2 - 4

(c) (3x^2 + 2x -5) (2x - 3)

Es mejor colocar el polinomio más pequeño abajo:

& \quad \quad \quad \quad 3x^2 \ + \ 2x - 5\\& \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2x - 3}\\& \quad \quad \ \ -9x^2 - 6x + 15\\& \underline{6x^{3} \ + \ \ 4x^{2} - 10x\;\;\;\;\;\;\;}\\& 6x^{3} \ - \ 5x^{2} \ - 16x + 15

Respuesta 6x^3 - 5x^2 - 16x + 15

(d) (x^2 - 9) (4x^4 + 5x^2 - 2)

Arreglar la multiplicación verticalmente y dejar espacios en blanco en las potencias x faltantes:

& \quad \quad \quad \quad 4x^{4} + 5x^2 - \ 2\\& \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^2 \ - \ 9}\\& \quad \quad -36x^4 - 45x^2 + 18\\& \underline{4x^6 \ + \ 5x^4 \ - \ 2x^2\;\;\;\;\;\;\;\;}\\& 4x^{6} \ - 31x^4 \ - 47x^2 + 18

Respuesta 4x^6 - 31x^4 - 47x^2 + 18

Enlace multimedia El siguiente vídeo muestra cómo multiplicar dos binomios está relacionado con la propiedad distributiva. Khan Academy Multiplying Expressions (7:59)

.

Solución de problemas del mundo real usando multiplicación de polinomios

En esta sección, veremos cómo aplicar multiplicación de polinomios para encontrar áreas y volúmenes de figuras geométricas.

Ejemplo 6

Encontrar las áreas de las siguientes figuras

a)

b)

Encuentra los volúmenes de las siguientes figuras

c)

d)

Solución

a) Usaremos la fórmula del área de un rectángulo.

\text{Área} = \text{base} \cdot \text{altura}

Para el rectángulo grande

\text{base} = b + 3,\ \text{altura} = b + 2

\text{Área} & = (b + 3)(b + 2)\\& = b^2 + 2b + 3b + 6\\& = b^2 + 5b + 6

b) Encontremos el área del rectángulo grande en la segunda figura y restemos el área del rectángulo amarillo.

\text{Área del rectángulo grande} = 20(12) = 240

\text{Área del rectángulo amarillo} & = (12- x)(20 - 2x)\\& = 240 - 24x - 20x + 2x^2\\& = 240 - 44x + 2x^2\\& = 2x^2 - 44x + 240

El área deseada es la diferencia entre las dos.

\text{Área} & = 240 - (2x^2 - 44x + 240)\\& = 240 + (-2x^2 + 44x - 240)\\& = 240 - 2x^2 + 44x - 240\\& = -2x^2 + 44x

c) El volumen de esta figura = (área de la base) \cdot (altura).

\text{Área de la base } & = x(x + 2)\\& = x^2 + 2x

\text{Altura}& = 2x + 1\\\text{Volumen} & = (x^2 + 2x) (2x + 1)\\& = 2x^3 + x^2 + 4x^2 + 2x\\& = 2x^3 + 5x^2 + 2x

d) El volumen de esta figura = (área de la base) \cdot (altura).

\text{Área de la base} & = (4a - 3) (2a + 1)\\& = 8a^2 + 4a - 6a - 3\\& = 8a^2 - 2a - 3

\text{Altura} & = a + 4 \\\text{Volumen} & = (8a^2 - 2a - 3) (a + 4)

Multipliquemos usando el método vertical:

& \quad \quad \quad \quad 8a^2 - 2a - 3\\& \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;a \ + \ 4}\\& \quad \quad \quad 32a^2 - 8a \ - 12\\& \underline{8a^3 \ - 2a^2 \ - 3a \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\& 8a^3 \ + 30a^2 - 11a - 12

Respuesta \text{Volumen} = 8a^3 + 30a^2 - 11a -12

Ejercicios de repaso

Multiplicar los siguientes monomios.

  1. (2x) (-7x)
  2. (-5a^2b) (-12a^3b^3)
  3. (3xy^2 z^2) (15x^2 yz^3)

Multiplicar y simplificar.

  1. 2x(4x - 5)
  2. 9x^3 (3x^2 - 2x + 7)
  3. -3a^2b(9a^2 - 4b^2)
  4. (x - 3) (x + 2)
  5. (a^2 + 2) (3a^2 - 4)
  6. (7x - 2) (9x - 5)
  7. (2x - 1) (2x^2 - x + 3)
  8. (3x + 2) (9x^2 - 6x + 4)
  9. (a^2 + 2a - 3) (a^2 - 3a + 4)

Encontrar el área de las siguientes figuras.

Encontrar el volumen de las siguientes figuras.

Respuestas a los ejercicios de repaso

  1. - 14x^2
  2. 60a^5b^4
  3. 45x^3y^3 z^5
  4. 8x^2 - 10x
  5. 27x^5 - 18x^4 + 63x^3
  6. -27a^4b + 12a^2b^3
  7. x^2 - x - 6
  8. 3a^4 + 2a^2 - 8
  9. 63x^2 - 53x + 10
  10. 4x^3 - 4x^2 + 7x - 3
  11. 27x^3 + 8
  12. a^4 - a^3 - 5a^2 + 17a - 12
  13. (2x + 4)(x + 6) = 2x^2 +16x + 24
  14. x(3x + 8) = 3x^2 + 8x
  15. 6x^3 + 14x^2 + 8x
  16. 24x^3 - 28x^2 - 12x

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