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9.3: Productos especiales de polinomios

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Objetivos de aprendizaje

  • Encontrar el cuadrado de un polinomio
  • Encontrar el producto de binomios usando la fórmula de la suma y resta
  • Resolver problemas usando productos especiales de polinomios

Introducción

Vimos que cuando multiplicamos dos binomios necesitamos estar seguros de que cada término en el primer binomio es multiplicado con cada término en el segundo binomio. Observemos otro ejemplo.

Multiplicar dos binomios lineales (con \text{grado} = 1):

(2x + 3) (x + 4)

Cuando multiplicamos, obtenemos un polinomio cuadrático (con \text{grado} = 2) con cuatro términos.

2x^2 + 8x + 3x + 12

Los términos del medio son términos semejantes y los podemos combinar. Simplificamos y obtenemos:

2x^2 + 11x +12

Este es un trinomio (polinomio con tres términos) cuadrático o de 2^{do} grado.

Como se puede observar cada vez que multipliquemos dos binomios lineales con una variable, obtendremos un polinomio cuadrático. En esta sección estaremos hablando acerca de algunos productos especiales de binomios.

Encontrar el cuadrado de un binomio

Un producto especial de binomios es el cuadrado de un binomio. Considera la siguiente multiplicación.

(x + 4)(x + 4)

Como estamos multiplicando la misma expresión por sí misma esto significa que estamos encontrando el cuadrado de la expresión. Esto significa que:

& &  (x + 4)(x + 4) & = (x + 4)^2\\\text{Multipliquemos:} && (x + 4)(x + 4) & = x^2 + 4x + 4x + 16\\\text{y combinemos términos semejantes:} && & = x^2 + 8x + 16

Nota que los términos de en medio son los mismos. ¿Es esta una coincidencia? Para poder contestar esta pregunta, elevemos al cuadrado un binomio lineal general.

(a + b)^2 = (a + b) (a + b) & = a^2 + ab + ab + b^2\\& = a^2 + 2ab + b^2

Parece que los términos de en medio son los mismos una vez más. Hasta aquí hemos elevado al cuadrado la suma de binomios. Elevemos ahora al cuadrado una diferencia de binomios.

(a - b)^2 = (a - b) (a - b) & = a^2 - ab - ab + b^2\\& = a^2 - 2ab + b^2

Notemos el patrón cuando un binomio se eleva al cuadrado. Para elevar un binomio al cuadrado, sumar el cuadrado del primer término, sumar o restar dos veces el producto de los términos y el cuadrado del segundo término. Deberías de memorizar estas fórmulas:

Cuadrado de un binomio

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 y (a− b)^2 = a^2 - 2ab-b^2

Recordar: Un polinomio que es elevado a un exponente significa que multiplicamos el polinomio por sí mismo tantas veces como el exponente lo indique. Por consiguiente

(a + b)^2 = (a + b) (a + b)

No cometer el error común (a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}. Para ver por qué (a+b)^2 \neq a^2+b^2 tratemos de sustituir números para a y b en la ecuación (por ejemplo, a = 4 y b = 3) y verás que no es una afirmación verdadera. El término de en medio, 2ab, es necesario para que la ecuación funcione.

Podemos aplicar las fórmulas para elevar al cuadrado un binomio a cualquier número de problemas.

Ejemplo 1

Elevar al cuadrado cada binomio y simplificar.

(a) (x + 10)^2

(b) (2x - 3)^2

(c) (x^2 + 4)^2

(d) (5x - 2y)^2

Solución

Usemos las fórmulas para elevar un binomio al cuadrado para multiplicar cada expresión.

a) (x + 10)^2

Si hacemos a = x y b = 10, entonces

&({\color{red}a}^2 \ + \ {\color{blue}b}) \ = \ {\color{red}a}^2 \ \ + \ 2{\color{red}a} \quad \ {\color{blue}b} \  + \ \ {\color{blue}b}^2\\& \ \downarrow \quad  \quad \downarrow  \quad \quad \ \downarrow  \quad \quad \quad  \downarrow \ \quad \downarrow  \quad \quad \ \downarrow \\& ({\color{red}x} \ + \ {\color{blue}10})^2 = ({\color{red}x})^2 + 2({\color{red}x})({\color{blue}10}) + ({\color{blue}10})^2\\& \ \ \qquad \qquad =x^2 + 20x + 100

b) (2x- 3)^2

Se hacemos a = 2x y b = 3, entonces

(a-b)^2 & =a^2  -2ab  + b^2 \\(2x-3)^2 & = (2x)^2  - 2(2x)(3) + (3)^2 \\& = 4x^2  - 12x + 9

c) (x + 4)^2

Si hacemos a = x^2 y b = 4, entonces

(x^2 + 4)^2  & = (x^2)^2 + 2(x^2) (4) + (4)^2\\& = x^4 + 8x^2 + 16

d) (5x - 2y)^2

Si hacemos a = 5x y b = 2y, entonces

(5x - 2y)^2  & = (5x)^2 - 2(5x) (2y) + (2y)^2\\& = 25x^2 - 20xy + 4y^2

Encontrar el producto de binomios usando patrones de suma y diferencia

Otro producto especial de binomios es el producto de una suma y una diferencia de términos. Por ejemplo, multipliquemos los siguientes binomios.

(x + 4) (x - 4)  & = x^2 - 4x + 4x -16\\& = x^2 -16

Nota que los términos de en medio son opuestos el uno del otro, por consiguiente se cancelan cuando agrupamos términos semejantes. Esto no es una coincidencia. Esto siempre ocurre cuando multiplicamos la suma y la diferencia de los mismos términos.

(a + b) (a - b) & = a^2 - ab - b^2\\& = a^2 - b^2

Cuando multiplicamos la suma y diferencia de los mismos dos términos, las términos de en medio se cancelan. Obtenemos el cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término. Deberías de memorizar esta fórmula.

Fórmula de la suma y diferencia

(a + b) (a - b) = a^2 - b^2

Apliquemos esta fórmula a algunos ejemplos.

Ejemplo 2

Multiplicar los siguientes polinomios y simplificar.

(a) (x + 3)(x - 3)

(b) (5x + 9)(5x - 9)

(c) (2x^3 + 7)(2x^3 - 7)

(d) (4x + 5y)(4x -5y)

Solución

(a) Sean a = x y b = 3, entonces

&({\color{red}a} + {\color{blue}b})  ({\color{red}a} - {\color{blue}b})  =  \ {\color{red}a}^2 \quad - \  {\color{blue}b}^2\\& \ \downarrow \quad \downarrow  \quad \downarrow  \quad \downarrow \ \ \quad \ \downarrow  \quad \quad \ \ \downarrow \\& ({\color{red}x} + {\color{blue}3})  ({\color{red}x}  -  {\color{blue}3})  = ({\color{red}x})^2  -   ({\color{blue}3})^2\\& \ \qquad \qquad \qquad  =x^2 - 9

(b) Sean a = 5x y b = 9, entonces

&({\color{red}a} \ + \ {\color{blue}b})  ({\color{red}a} \ - \ {\color{blue}b})  =  \ {\color{red}a}^2 \quad - \  {\color{blue}b}^2\\& \ \downarrow \quad  \ \ \downarrow  \quad \downarrow  \quad \ \ \downarrow \ \ \quad \ \downarrow  \quad \quad \ \ \downarrow \\& ({\color{red}5x} + {\color{blue}9})  ({\color{red}5x}  -  {\color{blue}9})  = ({\color{red}5x})^2  -   ({\color{blue}9})^2\\& \ \qquad \qquad \qquad \quad =25x^2 - 81

(c) Sean a = 2x^3 y b = 7, entonces

(2x^3 + 7) (2x^3 - 7)  & = (2x^3)^2 - (7)^2\\& = 4x^6 - 49

(d) Sean a = 4x y b = 5y, entonces

(4x + 5y) (4x -5y) & = (4x)^2 - (5y)^2\\& = 16x^2 - 25y^2

Solución de problemas del mundo real usando productos especiales de polinomios

Ahora veamos cómo los productos especiales de polinomios se aplican a problemas de geometría y aritmética mental.

Ejemplo 3

Encuentra el área del siguiente cuadrado

Solución

El área del cuadrado = lado \times lado

\text{Área} & = (a + b) (a + b)\\& = a^2 + 2ab + b^2

Nota que esto nos da una explicación visual del cuadrado del producto de binomios.

\text{Área del cuadrado grande} & = \text{área del cuadrado azul} + 2 \text{(área del cuadrado amarillo)} + \text{área del cuadrado rojo}\\(a + b)^2 & = a^2  + 2ab + b^2

El siguiente ejemplo muestra cómo usar los productos especiales para hacer operaciones mentales de forma rápida.

Ejemplo 4

Usar la diferencia de cuadrados y las fórmulas del cuadrado de un binomio para encontrar el producto de los siguientes números sin usar una calculadora.

(a) 43 \times 57

(b) 112 \times 88

(c) 45^2

(d) 481 \times 309

Solución

La llave para estos “trucos” mentales es reescribir cada número como una suma o diferencia de números conocidos para elevarlos al cuadrado fácilmente.

(a) Reescribir 43 = (50 - 7) y 57 = (50 + 7).

Entonces 43 \times 57 = (50 - 7)(50 + 7) = (50)^2 - (7)^2 = 2500 - 49 = 2,451

(b) Reescribir 112 = (100 + 12) y 88 = (100 - 12)

Entonces 112 \times 88 = (100 + 12)(100 - 12) = (100)^2 - (12)^2 = 10,000 - 144 = 9,856

(c) 45^2 = (40 + 5)^2 = (40)^2 + 2(40)(5) + (5)^2 = 1600 + 400 + 25 = 2,025

(d) Reescribir 481 = (400 + 81) y 319 = (400 - 81)

Entonces, 481 \times 319 = (400 + 81)(400 - 81) = (400)^2 - (81)^2

(400)^2 es fácil, es igual a 160,000

(81)^2 no es fácil de hacer mentalmente. Reescribirlo como 81 = 80 + 1

(81)^2 = (80 + 1)^2 = (80)^2 + 2(80)(1) + (1)^2 = 6400 + 160 + 1 = 6,561

Entonces, 481 \times 309 = (400)^2 - (81)^2 = 160,000 - 6,561 = 153,439

Ejercicios de repaso

Usar productos especiales del cuadrado de binomios para multiplicar estas expresiones.

  1. (x + 9)^2
  2. (3x - 7)^2
  3. (4x^2 + y^2)^2
  4. (8x - 3)^2

Usar el producto especial de una suma y diferencia para multiplicar estas expresiones.

  1. (2x - 1) (2x + 1)
  2. (x -12) (x + 12)
  3. (5a - 2b) (5a + 2b)
  4. (ab - 1) (ab + 1)

Encontrar el área del cuadrado rojo en la siguiente figura. Es la que está abajo a la derecha.

Multiplicar los siguientes números usando productos especiales.

  1. 45 \times 55
  2. 56^2
  3. 1002 \times 998
  4. 36 \times 44

Respuestas a los ejercicios de repaso

  1. x^2 + 18x + 81
  2. 9x^2 - 42x + 49
  3. 16x^4 + 8x^2y^2 + y^4
  4. 64x^2 - 48x + 9
  5. 4x^2 - 1
  6. x^2 - 144
  7. 25a^2 - 4b^2
  8. a^2b^2 - 1
  9. \text{Área} = (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
  10. (50 - 5) (50 + 5) = 2475
  11. (50 + 6)^2 = 3136
  12. (1000 + 2)(1000 - 2) = 999,996
  13. (40 - 4)(40 + 4) = 1584

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