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9.4: Ecuaciones polinomiales en forma factorada

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Objetivos de aprendizaje

  • Usar propiedad del producto cero.
  • Encontrar el máximo común factor monomio
  • Resolver ecuaciones polinomiales simples por factorización

Introducción

En las últimas secciones, aprendimos a multiplicar polinomios. Lo hicimos usando la propiedad distributiva. Todos los términos en un polinomio deben ser multiplicados por todos los términos del otro polinomio. En esta sección, empezaremos aprendiendo cómo hacer este proceso en reversa. La reversa de la distribución es llamada factorización.

Observemos las áreas de los rectángulos otra vez: Área = base \cdot altura. El área total de la figura a la derecha se puede encontrar de dos formas.

Método 1: encontrar las áreas de todos los pequeños rectángulos y sumarlas

Rectángulo azul = ab

Rectángulo anaranjado = ac

Rectángulo rojo = ad

Rectángulo verde = ae

Rectángulo morado = 2a

Área total = ab + ac + ad + ae + 2a

Método 2: encontrar toda el área del rectángulo grande de una vez

\text{Base} & = a\\\text{Altura} & = b + c + d + e + 2\\\text{Área} & = a(b + c + d + e = 2)

Como el área del rectángulo es la misma sin importar qué método usemos entonces las respuestas son las mismas:

ab + ac + ad + ae + 2a = a (b + c + d + e + 2)

Factorar significa que se toman los factores que son comunes en todos los términos en un polinomio. Luego, multiplicarlos por un paréntesis que contenga todos los términos que quedaron cuando se dividieron por el factor común.

Usar la propiedad del producto cero

Los polinomios pueden ser escritos en forma expandida o en forma factorada. La forma expandida significa que se tienen sumas y diferencias de diferentes términos:

6x^4 + 7x^3 - 26x^2 + 17x + 30

Nota que el grado del polinomio es cuatro. Está escrito en forma estándar porque los términos están escritos en orden decreciente con respecto a las potencias.

La forma factorada significa que el polinomio está escrito como un producto de diferentes factores. Los factores también son polinomios, usualmente de grado menor. Aquí está el mismo polinomio en forma factorada.

\underbrace{x - 1}_{{\color{blue}1^{er}\ factor}}\ \underbrace{x + 2}_{{\color{blue}2^{do}\ factor}}\ \underbrace{2x - 3}_{{\color{blue}3^{er}\ factor}}\ \underbrace{3x + 5}_{{\color{blue}4^{to}\ factor}}

Nota que cada factor en este polinomio es un binomio. La escritura de polinomios en forma factorada es muy útil porque nos ayuda a resolver ecuaciones polinomiales. Antes de hablar de cómo resolver ecuaciones polinomiales de segundo grado o mayor grado, revisemos cómo resolver una ecuación lineal (grado 1).

Ejemplo 1

Resolver las siguientes ecuaciones

a) x - 4 = 0

b) 3x - 5 = 0

Solución

Recuerda que resolver una ecuación es tratar de encontrar los valores de x:

a) & x  - 4  = \ \ 0\\& \underline{\;\;\;+4 = + 4}\\& \quad \ \underline{\underline{x \ = \ \ 4}}

b)  & \quad 3x \ -5 \ = \ \ 0\\& \ \underline{\;\;\;\;\;\;+ \ 5 \ \ = +\ 5}\\&  \quad \quad \quad 3x \ = 5\\& \quad \quad \quad \frac{3x}{3} = \frac{5} {3}\\& \quad \quad \quad \ \ x = \frac{5}{3}

Ahora estamos listos para pensar cómo resolver ecuaciones como 2x^2 + 5x = 42. Nota que no podemos despejar x en ninguna de las formas que hemos aprendido hasta ahora. Pero, podemos restar 42 a ambos lados para obtener 2x^2 + 5x - 42 = 0. Ahora el lado izquierdo de esta ecuación puede ser factorado.

La factorización de un polinomio nos permite descomponer el problema en partes más fáciles de resolver. Por ejemplo, 2x^2 + 5x - 42 = (x + 6)(2x - 7). Por consiguiente queremos resolver: (x + 6)(2x - 7) = 0

¿Cómo resolveremos esto? Si multiplicamos dos números y su producto es cero, ¿qué podemos decir al respecto? La única forma en que un producto será cero es que uno o ambos de los términos sea cero. Esta propiedad es llamada la Propiedad del producto cero.

¿Cómo esto nos ayuda a resolver una ecuación polinomial? Ya que el producto es igual a 0, entonces cualquiera de los términos o factores en el producto debe ser igual a cero. Hacemos cada factor igual a cero y resolvemos.

(x + 6) = 0  && \text{o} && (2x - 7) = 0

Podemos resolver cada parte individualmente y obtenemos:

 & x + 6 = 0 && \text{o} && 2x - 7  = 0 \\&&&&& 2x = 7 \\& x = -6 && \text{o} && x = - \frac{7} {2}

Nótese que la solución es x = -6 o x = \frac{7}{2}. La partícula “o” dice que cualquiera de estos valores de x hará que el producto de los dos factores se igual a cero. Sustituyamos las soluciones en la ecuación para estar seguros de que están correctas.

& \text{Revisar}\ x = -6;\\& (x + 6) (2x - 7) = \\& (-6 + 6) (2(6) - 7) = \\& (0) (5) = 0

& \text{Revisar}\ x = \frac{7}{2}\\& (x + 6) (2x - 7) = \\& \left (\frac{7} {2} + 6 \right) \left (2 \cdot \frac{7} {2} - 7\right) = \\& \left (\frac{19} {2} \right) (7 - 7) = \\& \left (\frac{19} {2} \right) (0) = 0

Ambas soluciones son correctas. Debe notar que el producto da como resultado cero porque cada solución hace uno de los factores cero. Factorar un polinomio es muy útil porque la propiedad del producto cero nos permite descomponer el problema en subproblemas de fácil solución.

Si no podemos factorar un polinomio el problema se vuelve más complicado y debemos usar otros métodos que se aprenderán luego.

Como una última nota en esta sección, mantener en mente que la propiedad del producto cero sólo se puede usar cuando un producto es igual a cero. Por ejemplo, si multiplicamos dos números y la respuesta fuese nueve, no se podría decir que cada uno de los números era nueve. Para poder usar la propiedad se debe tener el polinomio factorado igual a cero.

Ejemplo 2

Resolver cada polinomio

a) (x - 9)(3x + 4) = 0

b) x(5x - 4) = 0

c) 4x (x + 6) (4x - 9) = 0

Solución

Como todos los polinomios están en forma factorada, igualamos cada factor a cero y resolvemos la ecuaciones simples separadamente.

a) (x - 9) (3x + 4) = 0 puede ser descompuesta en dos ecuaciones lineales.

& x - 9 = 0 \quad \quad \text{o} \quad \quad 3x + 4 = 0 \\& \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ 3x = -4\\& x = 9 \quad \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad \ \ \ x = - \frac{4} {3}

b) x(5x - 4) = 0 puede ser descompuesta en dos ecuaciones lineales.

& \quad \quad \quad \quad \quad 5x - 4  = 0\\& x = 0 \quad \quad \text{o} \quad \quad 5x  = 4 \\& \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ x  = \frac{4}{5}

c) 4x(x + 6)(4x - 9) = 0 puede ser descompuesta en dos ecuaciones lineales.

& 4x = 0  \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 4x - 9 = 0 \\& x = \frac{0} {4} \quad \quad \text{o} \quad \quad x + 6 = 0 \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad 4x = 9 \\& x = 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ x = -6 \quad \quad \quad \quad \quad x = \frac{9} {4}

Encontrar el máximo factor común monomio

Una vez que obtenemos un polinomio en forma factorada, es fácil resolver la ecuación polinomial. Pero primero, necesitamos aprender cómo factorar. Hay algunos métodos de factorización que aprenderás en las siguientes secciones. En la mayoría de los casos, factorar lleva algunos pasos para completarse porque queremos factorar completamente. Esto significa que debemos factorar hasta que ya no sea posible. Empecemos con el más simple de los casos: encontrar el máximo factor común monomio. Cuando queremos factorar, siempre, primeramente, buscamos los monomios comunes. Considera el siguiente polinomio escrito en forma expandida.

ax + bx + cx + dx

Un factor común puede ser un número, una variable o una combinación de números y variables que aparecen en todos los términos del polinomio. Buscamos expresiones que dividan exactamente cada término en el polinomio. Nota que en nuestro ejemplo, el factor x aparece en todos los términos. Por consiguiente, x es un factor común

ax + bx + cx + dx

Ya que x es un factor común, factoramos esta escribiéndola frente a un paréntesis:

x\ ( \ \ )

Dentro del paréntesis, escribimos los resultados de dividir por x cada término.

x (a + b + c + d)

Observemos más ejemplos.

Ejemplo 3

Factorar

a) 2x + 8

b) 15x - 25

c) 3a + 9b + 6

Solución

a) Vemos que el factor 2 divide exactamente ambos términos.

2x + 8 = 2(x) + 2(4)

Factoramos el 2 escribiéndolo frente a un paréntesis.

2( \ \ )

Dentro del paréntesis, escribimos los resultados de dividir cada término por 2.

2(x + 4) Esta es la forma factorada.

b) Vemos que el factor 5 divide exactamente todos los términos.

Reescribir 15x - 25 = 5(3x) - 5(5)

Factorar 5 para obtener 5(3x - 5)

c) Vemos que el factor 3 divide exactamente todos los términos.

Reescribir 3a + 9b + 6 = 3(a) + 3(3b) + 3(2)

Factorar 3 para obtener 3(a + 3b + 2)

Aquí hay ejemplos donde el factor común aparece con diferentes potencias en el polinomio.

Ejemplo 4

Encuentra el máximo común factor

a) a^3 - 3a^2 + 4a

b) 12a^4 - 5a^3 + 7a^2

Solución

a) Nota que el factor a aparece en todos los términos de a^3 - 3a^2 + 4a, pero cada término tiene una potencia diferente de a. El factor común es la potencia mínima que aparece en la expresión. En este caso el factor es a.

Reescribamos a^3 - 3a^2 + 4a = a(a^2) + a(-3a) + a(4)

Factorar a para obtener a(a^2 - 3a + 4)

b) El factor a aparece en todos los términos y la menor potencia es a^2.

Reescribimos la expresión como 12a^4 - 5a^3 + 7a^2 = 12a^2 \cdot a^2 - 5a \cdot a^2 + 7 \cdot a^2

Factorar a^2 para obtener a^2(12a^2 - 5a + 7)

Observemos algunos ejemplos donde hay más de un factor común.

Ejemplo 5:

Factorar completamente

a) 3ax + 9a

b) x^3y + xy

c) 5x^3y - 15x^2y^2 + 25xy^3

Solución

a) Nota que 3 es común en ambos términos.

Cuando factoramos 3 obtenemos 3(ax + 3a)

Esta expresión no está completamente factorada porque si se observa dentro del paréntesis, notamos que a es también un factor común.

Cuando factoramos a obtenemos 3 \cdot a(x + 3)

Esta es la respuesta porque no hay más factores comunes.

Una opción diferente es factorar todos los factores comunes al mismo tiempo.

Ya que ambos 3 y a son comunes, factoramos el término 3a y obtenemos 3a(x + 3).

b) Nota que ambas x y y son factores comunes.

Reescribamos la expresión x^3y + xy = xy(x^2) + xy(1)

Cuando factoramos xy obtenemos xy(x^2 + 1)

c) Los factores comunes son 5xy.

Cuando factoramos 5xy obtenemos 5xy(x^2 - 3xy + 5y^2)

Resolver ecuaciones polinómicas simples factorando

Ahora que conocemos lo básico sobre factorización, podemos resolver algunas ecuaciones polinomiales simples. Ya vimos de antemano que podemos usar la propiedad del producto cero para resolver polinomios en forma factorada. Aquí aprenderemos cómo resolver polinomios en forma expandida. Estos son los pasos para este proceso.

Paso 1

Si es necesario, reescribir la ecuaciones en forma estándar tal que:

Expresión polinomial = 0

Paso 2

Factorar el polinomio completamente.

Paso 3

Usar la regla del producto cero para hacer cada factor igual a cero

Paso 4

Resolver cada ecuación del paso 3

Paso 5

Revisar las respuestas sustituyendo las soluciones en la ecuación original

Ejemplo 6

Resolver las siguientes ecuaciones polinomiales

a) x^2 - 2x = 0

b) 2x^2 = 5x

c)  9x^2y - 6xy = 0

Solución:

a) x^2 - 2x = 0

Reescribir esto no es necesario, ya que la ecuación está en la forma correcta.

Factorar El factor común es x, así que se factora como:  x(x - 2) = 0.

Hacer cada factor igual a cero.

x = 0 && \text{o} && x - 2 = 0

Resolver

x = 0 && \text{o} && x = 2

Revisar Sustituir cada solución en la ecuación original.

& x = 0 && \Rightarrow && (0)^2 - 2(0) = 0 && \text{solución correcta}\\& x = 2 && \Rightarrow  &&  (2)^2 - 2(2) = 4 - 4 = 0 && \text{solución correcta}

Respuesta x = 0, x = 2

b) 2x^2 = 5x

Reescribir 2x^2 = 5x \Rightarrow  2x^2 - 5x = 0.

Factorar El factor común es x, así que se factora como: x(2x - 5) = 0.

Hacer cada factor igual a cero:

x = 0 && \text{o} && 2x - 5 = 0

Resolver

\underline{x = 0} && \text{o} && 2x = 5\\&&&& x = \frac{5} {2}

Revisar Sustituir cada solución en la ecuacione original.

& x = 0 \Rightarrow 2(0)^2 = 5(0) \Rightarrow 0 = 0 && \text{resuelve}\\& x = \frac{5} {2} \Rightarrow 2 \left (\frac{5} {2} \right)^2 = 5 \cdot \frac{5} {2} \Rightarrow 2 \cdot \frac{25} {4} = \frac{25} {2} \Rightarrow \frac{25} {2} =\frac{25} {2} && \text{resuelve}

Respuesta x = 0, x = \frac{5}{2}

c) 9x^2y - 6xy = 0

Reescribir No es necesario

Factorar El factor común es 3xy, así que se factora como: 3xy(3x - 2) = 0.

Hacer cada ecuación igual a cero.

3 = 0 nunca es verdadero, así que esta parte no da una solución

x = 0 && \text{o} && y = 0 && \text{o} && 3x - 2 = 0

Resolver

 x = 0 && \text{or} &&  y = 0 && \text{or} && 3x = 2 \\&&&&&&&&x = \frac{2} {3}

Revisar Sustituir cada solución en la ecuación original.

 x = 0 & \Rightarrow 9(0)y - 6(0)y = 0 - 0 = 0 && \text{resuelve}\\y = 0 & \Rightarrow 9x^2(0) - 6x = 0 - 0 = 0 && \text{resuelve}\\\frac{2} {3} & \Rightarrow 9 \cdot \left (\frac{2} {3} \right)^2 y - 6 \cdot \frac{2} {3}y = 9 \cdot \frac{4} {9}y - 4y = 4y - 4y = 0 && \text{resuelve}

Respuesta x = 0, y = 0, x = \frac{2}{3}

Ejercicios de repaso

Encontrar el factor común en los siguientes polinomios.

  1. 3x^3 - 21x
  2. 5x^6 + 15x^4
  3. 4x^3 + 10x^2 - 2x
  4. -10x^6 + 12x^5 - 4x^4
  5. 12xy + 24xy^2 + 36xy^3
  6. 5a^3 - 7a
  7. 45y^{12} + 30y^{10}
  8. 16xy^2z + 4x^3y

Resolver las siguientes ecuaciones polinomiales.

  1. x(x + 12) = 0
  2. (2x + 1) (2x - 1) = 0
  3. (x - 5) (2x + 7) (3x - 4) = 0
  4. 2x(x + 9) (7x - 20) = 0
  5. 18y - 3y^2 = 0
  6. 9x^2 = 27x
  7. 4a^2 + a = 0
  8. b^2 - \frac{5}{3b} = 0

Respuestas a los ejercicios de repaso

  1. 3x(x^2 - 7)
  2. 5x^4(x^2 + 3)
  3. 2x(2x^2 + 5x - 1)
  4. 2x^4(-5x^2 + 6x - 2)
  5. 12xy(1 + 2y + 3y^2)
  6. a(5a^2 - 7)
  7. 15y^{10}(3y^2 + 2)
  8. 4xy(4yz + x^2)
  9. x = 0, x = -12
  10. x = - \frac{1}{2}, x = \frac{1}{2}
  11. x = 5, x = - \frac{7}{2}, x = \frac{4}{3}
  12. x = 0, x = -9, x = \frac{20}{7}
  13. y = 0, y = 6
  14. x = 0, x = 3
  15. a = 0, a = - \frac{1}{4}
  16. b = 0, b = \frac{5}{3}

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CK.MAT.SPA.SE.1.Algebra-I.9.4

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