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9.5: Factorización de expresiones cuadráticas

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Objetivos de aprendizaje

  • Escribir ecuaciones cuadráticas en forma estándar.
  • Factorar expresiones cuadráticas con coeficientes de valores diferentes.
  • Factorar cuando a = -1.

Escritura de expresiones cuadráticas en forma estándar

Los polinomios cuadráticos son polinomios de 2^{do} grado. La forma estándar de un polinomio cuadrático se escribe como

ax^2 + bx + c

Aquí, a, b y c son números constantes. La factorización de estos polinomios depende de los valores de estas constantes. En esta sección, aprenderemos cómo factorar polinomios cuadráticos para diferentes valores de a, b y c. En la última sección, factoramos monomios comunes, así que ya se tiene el conocimiento de cómo factorar polinomios cuadráticos cuando c = 0.

Por ejemplo, para el polinomio cuadrático ax^2 + bx, el factor común es x y esta expresión se factora como x(ax + b). Cuando todos los coeficientes no son ceros estas expresiones son también llamadas trinomios cuadráticos, ya que son polinomios con tres términos.

Factorar cuando a = 1, b es positivo y c es positivo

Primero consideremos el caso cuando a = 1, b es positivo y c es positivo. El trinomio cuadrático tomará la siguiente forma.

x^2 + bx + c

De la multiplicación de binomios sabemos que cuando se multiplican dos factores (x + m) (x + n) obtenemos un polinomio cuadrático. Usamos la propiedad distributiva.

(x + m) (x + n) = x^2 + nx + mx + mn

Para simplificar este polinomio combinaremos los términos semejantes del centro sumándolos.

(x + m) (x + n) = x^2 + (n + m)x + mn

Para factorar necesitamos hacer este proceso en reversa.

& \text{Vemos que} && x^2 + (n + m) x + mn \\& \text{es la misma forma que} && x^2 + bx + c

Esto significa que necesitamos encontrar dos números m y n tales que

n + m = b && \text{y} && mn = c

Para factorar x^2 + bx + c, la respuesta es el producto de dos paréntesis.

(x + m) (x + n)

tal que n + m = b y mn = c

Tratemos con algunos ejemplos.

Ejemplo 1

Factorar x^2 + 5x +6

Solución Estamos buscando una respuesta que es el producto de dos binomios en paréntesis.

(x + \underline{\;\;\;\;\;\;\;} )(x + \underline{\;\;\;\;\;\;\;})

Para completar en los espacios en blanco, queremos dos números m y n que multiplicándolos den 6 y sumándolos den 5. una buena estrategia es listar las posibles formas en las que podemos multiplicar dos números que nos den 6y ver cuál de estos pares de números suman 5. El número seis puede ser escrito como el producto de

6 = 1 \cdot 6 && \text{y} && 1 + 6 = 7 \\6 = 2 \cdot 3 && \text{y} && 2 + 3 = 5 && \leftarrow && \text{esta es la opción correcta.}

Por consiguiente la respuesta es (x + 2) (x + 3).

Podemos probar si esto es correcto multiplicando (x + 2)(x + 3).

 & \quad \quad \quad x \ \ + \  2\\& \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x \ \ + \  3}\\& \quad \quad \quad 3x \ + \ 6\\& \underline{x^2 \ + \ 2x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\& x^2 \ + \  5x \ + \ 9

La respuesta es correcta.

Ejemplo 2

Factorar x ^2 + 7x + 12

Solución

Estamos buscando una respuesta que es el producto de dos paréntesis (x + \underline{\;\;\;\;\;\;\;} )(x + \underline{\;\;\;\;\;\;\;}).

El número 12 puede ser escrito como el producto de los siguientes números.

& 12 = 1 \cdot 12  && \text{y} && 1 + 12 = 13 \\& 12 = 2 \cdot 6 && \text{y} &&  2 + 6 = 8 \\& 12 = 3 \cdot 4 && \text{y} &&  3 + 4 = 7 \quad \quad \leftarrow \quad \quad \text{esta es la opción correcta.}

La respuesta es (x + 3) (x + 4).

Ejemplo 3

Factorar x^2 + 8x + 12.

Solución

Estamos buscando una respuesta que es el producto de dos paréntesis (x + \underline{\;\;\;\;\;\;\;} )(x + \underline{\;\;\;\;\;\;\;}).

El número 12 puede ser escrito como el producto de los siguientes números.

& 12  = 1 \cdot 12 && \text{y} && 1 + 12 = 13 \\& 12  = 2 \cdot 6 && \text{y} && 2 + 6 = 8 \quad \quad \leftarrow \quad \quad \text{esta es la opción correcta}.\\& 12  = 3 \cdot 4 && \text{y} && 3 + 4 = 7

La respuesta es (x + 2) (x + 6).

Ejemplo 4

Factorar x^2 + 12x + 36.

Solución

Estamos buscando una respuesta que es el producto de dos paréntesis (x + \underline{\;\;\;\;\;\;\;} )(x + \underline{\;\;\;\;\;\;\;}).

El número 36 puede ser escrito como el producto de los siguientes números.

& 36 = 1 \cdot 36 && \text{y} && 1 + 36 = 37 \\& 36 = 2 \cdot 18 && \text{y} && 2 + 18 = 20 \\& 36 = 3 \cdot 12 && \text{y} && 3 + 12 = 15 \\& 36 = 4 \cdot 9 && \text{y} && 4 + 9 = 13 \\& 36 = 6 \cdot 6 && \text{y} && 6 + 6 = 12 \quad \quad \leftarrow \quad \quad \text{esta es la opción correcta}

La respuesta es (x + 6) (x + 6).

Factorar cuando a = 1, b es negativo and c es positivo

Ahora veamos cómo este método funciona si el coeficiente de en medio (b) es negativo.

Ejemplo 5

Factorar x^2 - 6x + 8.

Solución

Estamos buscando una respuesta que es el producto de dos paréntesis (x + \underline{\;\;\;\;\;\;\;} )(x + \underline{\;\;\;\;\;\;\;}).

El número 8 puede ser escrito como el producto de los siguientes números.

8 = 1 \cdot 8 y 1 + 8 = 9, nota que estas son dos diferentes opciones.

Pero también,

& 8 = (-1) \cdot (-8) && \text{y} && -1 + (-8) = -9 && \text{Nota que estas son dos diferentes opciones.}\\& 8 = 2 \cdot 4 && \text{y} && 2 + 4 = 6

Pero también,

8 = (-2) \cdot (-4) && \text{y} && -2 + (-4) = -6 \quad \quad \leftarrow \quad \quad \text{esta la opción correcta.}

La respuesta es (x - 2) (x - 4)

Podemos probar si esto es correcto multiplicando (x - 2) (x - 4).

 & \quad \quad \quad x \ \ - \  2\\& \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x \ \ - \  4}\\& \quad \  -4x \ + \ 8 \\& \underline{x^2 \ - \ 2x\;\;\;\;\;\;\;\;}\\& x^2 \ - \  6x \ + \ 8

La respuesta es correcta.

Ejemplo 6

Factorar x - 17x + 16

Solución

Estamos buscando una respuesta que es el producto de dos paréntesis (x \pm \underline{\;\;\;\;\;\;\;} )(x \pm \underline{\;\;\;\;\;\;\;}).

El número 16 puede ser escrito como el producto de los siguientes números.

16 & = 1 \cdot 16 && \text{y} && 1 + 16 = 17 \\16 & = (-1) \cdot (-16) && \text{y} && -1 + (-16) = -17 \quad \quad \leftarrow \quad \quad \text{esta es la opción correcta.}\\16 & = 2 \cdot 8 && \text{y} && 2 + 8 = 10 \\16 & = (-2) \cdot (-8) && \text{y} && -2 + (-8) = -10\\16 & = 4 \cdot 4 && \text{y} && 4 + 4 = 8 \\16 & = (-4) \cdot (-4) && \text{y} && -4 + (-4) = -8

La respuesta es (x - 1) (x - 16).

Factorar cuando a = 1 y c es negativo

Ahora veamos cómo funciona este método si el término constante es negativo.

Ejemplo 7

Factorar x^2 + 2x -15

Solución

Estamos buscando una respuesta que es el producto de dos paréntesis (x \pm \underline{\;\;\;\;\;\;\;} )(x \pm \underline{\;\;\;\;\;\;\;}).

Es este caso, debemos tomar en cuenta el signo negativo. El número -15 puede ser escrito como el producto de los siguientes números.

-15 = -1 \cdot 15 && \text{y} && -1 + 15 = 14 && \text{Nota que estas son dos opciones diferentes.}

Y también,

& -15 = 1 \cdot (-15) && \text{y} && 1 + (-15) = -14 &&&& \text{Nota que estas son dos opciones diferentes.}\\& -15 = -3 \cdot 5  && \text{y} && -3 + 5 = 2 && \leftarrow && \text{esta es la opción correcta.} \\& -15  = 3 \cdot (-5) && \text{y} && 3 + (-5) = -2

La respuesta es (x - 3) (x + 5).

Podemos probar si esto es correcto multiplicando (x - 3) (x + 5).

& \quad \quad \quad x \ \ - \  3\\& \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x \ + \ 5}\\& \quad \quad \ \ 5x \ - \ 15\\& \underline{x^2 \ -\ 3x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\& x^2 \ + \  2x \ - \ 15

La respuesta es correcta.

Ejemplo 8

Factorar x^2 - 10x -24

Solución

Estamos buscando una respuesta que es el producto de dos paréntesis (x \pm \underline{\;\;\;\;\;\;\;} )(x \pm \underline{\;\;\;\;\;\;\;}).

El número -24 puede ser escrito como el producto de los siguientes números.

& -24 = -1 \cdot 24 && \text{y} && -1 + 24 = 23 \\& -24 = 1 \cdot (-24) && \text{y} && 1 + (-24) = -23 \\& -24 = -2 \cdot 12 && \text{y} && -2 + 12 = 10 \\& -24 = 2 \cdot (-12) && \text{y} && 2 + (-12) = -10 \quad \quad \leftarrow \quad \quad \text{esta es la opción correcta.}\\& -24 = -3 \cdot 8 && \text{y} && -3 + 8 = 5 \\& -24 = 3 \cdot (-8) && \text{y} && 3 + (-8) = -5 \\& -24 = -4 \cdot 6 && \text{y} && -4 + 6 = 2 \\& -24 = 4 \cdot (-6) && \text{y} && 4 + (-6) = -2

La respuesta es (x - 12) (x + 2).

Ejemplo 9

Factorar x^2 + 34x - 35

Solución

Estamos buscando una respuesta que es el producto de dos paréntesis (x \pm \underline{\;\;\;\;\;\;\;} )(x \pm \underline{\;\;\;\;\;\;\;})

El número -35 puede ser escrito como el producto de los siguientes números.

& -35 = -1 \cdot 35 && \text{y} && -1 + 35 = 34 \quad \quad \leftarrow \quad \quad \text{esta es la opción correcta.}\\& -35 = 1 \cdot (-35) && \text{y} && 1 + (-35) = -34 \\& -35 = -5 \cdot 7 && \text{y} &&  -5 + 7 = 2 \\& -35 = 5 \cdot (-7) && \text{y} && 5 + (-7) = -2

La respuesta es (x - 1) (x + 35).

Factorar cuando a = - 1

Cuando a = -1, la mejor estrategia es sacar el factor común -1 de todos los términos en el polinomio cuadrático. Entonces podemos aplicar el método que aprendimos hasta acá en esta sección para encontrar los factores desconocidos.

Ejemplo 10

Factorar x^2 + x + 6.

Solución

Primero saquemos el factor común -1 de cada término en el trinomio. Factorando -1 produce un cambio en los signos de cada término en la expresión.

- x^2 + x + 6 = - (x^2 - x - 6)

Estamos buscando una respuesta que es el producto de dos paréntesis (x \pm \underline{\;\;\;\;\;\;\;} )(x \pm \underline{\;\;\;\;\;\;\;})

Ahora nuestro trabajo es factorar x^2 - x - 6.

El número -6 puede ser escrito como el producto de los siguientes números.

& -6 = -1 \cdot 6 && \text{y}&&  -1 + 6 = 5 \\& -6 = 1 \cdot (-6) && \text{y}&& 1 + (-6) = -5 \\& -6 = -2 \cdot 3 && \text{y}&& -2 + 3 = 1 \\& -6 = 2 \cdot (-3) && \text{y}&& 2 + (-3) = -1 \quad \quad \leftarrow \quad \quad \text{esta es la opción correcta.}

La respuesta es - (x - 3) (x + 2).

Resumiendo,

Al factorar la forma caudratica x^2 + bx + c se obtiene el producto de dos parentesis (x + m) (x + n).

  • Si b y c son positiva, entonces ambos m y n son positivos.
    • Ejemplo x^2 + 8x + 12 se factora como (x + 6) (x + 2).
  • Si b negativa y c es positiva, entonces ambos m y n son negativos.
    • Ejemplo x^2 - 6x + 8 se factora como (x - 2) (x - 4).
  • Si c es negativa, entonces m es positivo y n es negativo o viceversa.
    • Ejemplo x^2 + 2x -15 se factora como (x + 5) (x - 3).
    • Ejemplo x^2 + 34x -35 se factora como (x + 35) (x - 1).
  • Si a = -1, sacar como factor común -1 de cada término en el trinomio y entonces factorar como de costumbre. La respuesta tendrá la forma - (x + m) (x + n).
    • Ejemplo - x^2 + x + 6 se factora como -(x - 3) (x + 2).

Ejercicios de repaso

Factorar los siguientes polinomios cuadráticos.

  1. x^2 + 10x + 9
  2. x^2 + 15x + 50
  3. x^2 + 10x + 21
  4. x^2 + 16x + 48
  5. x^2 - 11x + 24
  6. x^2 - 13x + 42
  7. x^2 - 14x +33
  8. x^2 - 9x + 20
  9. x^2 + 5x - 14
  10. x^2 + 6x - 27
  11. x^2 + 7x - 78
  12. x^2 + 4x - 32
  13. x^2 - 12x - 45
  14. x^2 - 5x - 50
  15. x^2 - 3x - 40
  16. x^2 - x - 56
  17. -x^2 - 2x - 1
  18. -x^2 - 5x + 24
  19. -x^2 + 18x - 72
  20. -x^2 + 25x - 150
  21. x^2 + 21x + 108
  22. -x^2 + 11x - 30
  23. x^2 + 12x - 64
  24. x^2 - 17x - 60

Respuestas a los ejercicios de repaso

  1. (x + 1) (x + 9)
  2. (x + 5) (x + 10)
  3. (x + 7) (x + 3)
  4. (x + 12) (x + 4)
  5. (x - 3) (x - 8)
  6. (x - 7) (x - 6)
  7. (x - 11) (x - 3)
  8. (x - 5) (x - 4)
  9. (x - 2) (x + 7)
  10. (x - 3) (x + 9)
  11. (x - 6) (x + 13)
  12. (x - 4) (x + 8)
  13. (x - 15) (x + 3)
  14. (x - 10) (x + 5)
  15. (x - 8) (x + 5)
  16. (x - 8) (x + 7)
  17. - (x + 1) (x + 1)
  18. - (x - 3) (x + 8)
  19. - (x - 6) (x - 12)
  20. - (x - 15) (x - 10)
  21. (x + 9) (x + 12)
  22. - (x - 5) (x - 6)
  23. (x - 4) (x + 16)
  24. (x - 20) (x + 3)

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