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9.5: Factorización de expresiones cuadráticas

Difficulty Level: At Grade Created by: CK-12

Objetivos de aprendizaje

  • Escribir ecuaciones cuadráticas en forma estándar.
  • Factorar expresiones cuadráticas con coeficientes de valores diferentes.
  • Factorar cuando .

Escritura de expresiones cuadráticas en forma estándar

Los polinomios cuadráticos son polinomios de grado. La forma estándar de un polinomio cuadrático se escribe como

Aquí, y son números constantes. La factorización de estos polinomios depende de los valores de estas constantes. En esta sección, aprenderemos cómo factorar polinomios cuadráticos para diferentes valores de y . En la última sección, factoramos monomios comunes, así que ya se tiene el conocimiento de cómo factorar polinomios cuadráticos cuando .

Por ejemplo, para el polinomio cuadrático , el factor común es y esta expresión se factora como . Cuando todos los coeficientes no son ceros estas expresiones son también llamadas trinomios cuadráticos, ya que son polinomios con tres términos.

Factorar cuando es positivo y es positivo

Primero consideremos el caso cuando es positivo y es positivo. El trinomio cuadrático tomará la siguiente forma.

De la multiplicación de binomios sabemos que cuando se multiplican dos factores obtenemos un polinomio cuadrático. Usamos la propiedad distributiva.

Para simplificar este polinomio combinaremos los términos semejantes del centro sumándolos.

Para factorar necesitamos hacer este proceso en reversa.

Esto significa que necesitamos encontrar dos números y tales que

Para factorar , la respuesta es el producto de dos paréntesis.

tal que y

Tratemos con algunos ejemplos.

Ejemplo 1

Factorar

Solución Estamos buscando una respuesta que es el producto de dos binomios en paréntesis.

Para completar en los espacios en blanco, queremos dos números y que multiplicándolos den 6 y sumándolos den 5. una buena estrategia es listar las posibles formas en las que podemos multiplicar dos números que nos den 6y ver cuál de estos pares de números suman 5. El número seis puede ser escrito como el producto de

Por consiguiente la respuesta es .

Podemos probar si esto es correcto multiplicando .

La respuesta es correcta.

Ejemplo 2

Factorar

Solución

Estamos buscando una respuesta que es el producto de dos paréntesis .

El número 12 puede ser escrito como el producto de los siguientes números.

La respuesta es .

Ejemplo 3

Factorar .

Solución

Estamos buscando una respuesta que es el producto de dos paréntesis .

El número 12 puede ser escrito como el producto de los siguientes números.

La respuesta es

Ejemplo 4

Factorar .

Solución

Estamos buscando una respuesta que es el producto de dos paréntesis .

El número 36 puede ser escrito como el producto de los siguientes números.

La respuesta es .

Factorar cuando es negativo and es positivo

Ahora veamos cómo este método funciona si el coeficiente de en medio es negativo.

Ejemplo 5

Factorar

Solución

Estamos buscando una respuesta que es el producto de dos paréntesis .

El número 8 puede ser escrito como el producto de los siguientes números.

y , nota que estas son dos diferentes opciones.

Pero también,

Pero también,

La respuesta es

Podemos probar si esto es correcto multiplicando .

La respuesta es correcta.

Ejemplo 6

Factorar

Solución

Estamos buscando una respuesta que es el producto de dos paréntesis .

El número 16 puede ser escrito como el producto de los siguientes números.

La respuesta es .

Factorar cuando y c es negativo

Ahora veamos cómo funciona este método si el término constante es negativo.

Ejemplo 7

Factorar

Solución

Estamos buscando una respuesta que es el producto de dos paréntesis .

Es este caso, debemos tomar en cuenta el signo negativo. El número -15 puede ser escrito como el producto de los siguientes números.

Y también,

La respuesta es .

Podemos probar si esto es correcto multiplicando .

La respuesta es correcta.

Ejemplo 8

Factorar

Solución

Estamos buscando una respuesta que es el producto de dos paréntesis .

El número -24 puede ser escrito como el producto de los siguientes números.

La respuesta es

Ejemplo 9

Factorar

Solución

Estamos buscando una respuesta que es el producto de dos paréntesis

El número -35 puede ser escrito como el producto de los siguientes números.

La respuesta es .

Factorar cuando

Cuando , la mejor estrategia es sacar el factor común -1 de todos los términos en el polinomio cuadrático. Entonces podemos aplicar el método que aprendimos hasta acá en esta sección para encontrar los factores desconocidos.

Ejemplo 10

Factorar

Solución

Primero saquemos el factor común -1 de cada término en el trinomio. Factorando -1 produce un cambio en los signos de cada término en la expresión.

Estamos buscando una respuesta que es el producto de dos paréntesis

Ahora nuestro trabajo es factorar .

El número -6 puede ser escrito como el producto de los siguientes números.

La respuesta es .

Resumiendo,

Al factorar la forma caudratica se obtiene el producto de dos parentesis .

  • Si y son positiva, entonces ambos y son positivos.
    • Ejemplo se factora como .
  • Si negativa y es positiva, entonces ambos y son negativos.
    • Ejemplo se factora como .
  • Si es negativa, entonces es positivo y es negativo o viceversa.
    • Ejemplo se factora como .
    • Ejemplo se factora como .
  • Si , sacar como factor común -1 de cada término en el trinomio y entonces factorar como de costumbre. La respuesta tendrá la forma .
    • Ejemplo se factora como .

Ejercicios de repaso

Factorar los siguientes polinomios cuadráticos.

Respuestas a los ejercicios de repaso

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CK.MAT.SPA.SE.1.Algebra-I.9.5

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