<meta http-equiv="refresh" content="1; url=/nojavascript/"> Factorización de productos especiales | CK-12 Foundation
Dismiss
Skip Navigation

9.6: Factorización de productos especiales

Created by: CK-12

Objetivos de aprendizaje

  • Factorar la diferencia de dos cuadrados.
  • Factorar trinomios cuadrados perfectos.
  • Resolver ecuaciones polinomiales cuadráticas factorando.

Introducción

Cuando se aprendió a multiplicar binomios, hablamos de acerca de dos productos especiales.

& \text{Fórmula para la suma y diferencia} && (a + b) (a - b ) = a^2 - b^2 \\& \text{Fórmula para el cuadrado de un binomio} && (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \\&&& (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

En esta sección aprenderemos como reconocer y factorar estos productos especiales.

Factorización de la diferencia de dos cuadrados

Usamos la fórmula de la suma y diferencia para factorar la diferencia de dos cuadrados. Una diferencia de cuadrados puede ser un polinomio cuadrático de esta forma:

a^2 - b^2

Ambos términos en el polinomio son cuadrados perfectos. En un caso como este, el polinomio se factora como el producto de la suma y diferencia de las raíces de cada término.

a^2 - b^2 = (a + b) (a - b)

En estos ejemplos, lo básico es determinar cuáles son los términos a y b. Hagamos algunos ejemplos de este tipo.

Ejemplo 1

Factorar la diferencia de cuadrados.

a) x^2 - 9

b) x^2 - 100

c)  x^2 - 1

Solución

a) Reescribir x^2 - 9 como x^2 - 3^2. Ahora es obvio que es una diferencia de cuadrados.

\text{La fórmula para la diferencia de cuadrados es} && a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \\\text{Apliquemos esta fórmula a nuestro ejercicio} && x^2 - 3^2 = (x + 3)(x - 3)

La respuesta es x^2 - 9 = (x + 3) (x - 3).

Podemos probar si esta respuesta es correcta multiplicando (x + 3) (x - 3).

& \quad \quad \quad x \ \ + \  3\\& \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x \ \ - \  3}\\& \quad \quad -3x \ - \ 9\\& \underline{x^2 \ +  \ \ 3x\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\& x^2 \ + \ \ 0x \ - \ 9

La respuesta es correcta.

Pudimos factorar este polinomio sin reconocer que es una diferencia de cuadrados. Con los métodos estudiados en la sección anterior sabemos que un polinomio cuadrático se factora como el producto de dos binomios.

(x \pm \underline{\;\;\;\;\;\;\;} )(x \pm \underline{\;\;\;\;\;\;\;})

Necesitamos encontrar dos números que multiplicados den como resultado -9 y sumados den como resultado 0, ya que el término de en medio no aparece.

Podemos escribir -9 como los siguientes productos

& -9 = -1 \cdot 9 && \text{y} &&&& -1 + 9 = 8 \\& -9 = 1 \cdot (-9) && \text{y} &&&& 1 + (-9) = -8 \\& -9 = 3 \cdot (-3) && \text{y} &&&& 3 + (-3) = 0 && \leftarrow && \text{Esta es la opción correcta}

Podemos factorar x^2 - 9 como (x + 3) (x - 3), la cual es la misma respuesta anterior.

Siempre se puede factorar usando los métodos para factorar trinomios, pero es más rápido si se pueden reconocer los productos especiales tales como la diferencia de cuadrados.

b) Reescribir x^2 - 100 como x^2 - 10^2. Esta expresión se puede factorar como (x + 10) (x - 10).

c) Reescribir x^2 - 1 como x^2 - 1^2. Esta expresión se puede factorar como (x + 1) (x - 1).

Ejemplo 2

Factorar las diferencias de cuadrados.

a)  16x^2 - 25

b)  4x^2 - 81

c) 49x^2 - 64

Solución

a) Reescribir 16x^2 - 25 como (4x)^2 - 5^2. Esta expresión se puede factorar como (4x + 5) (4x - 5).

b) Reescribir 4x^2 - 81 como (2x)^2 - 9^2. Esta expresión se puede factorar como (2x + 9) (2x - 9).

c) Reescribir 49x^2 - 64 como (7x)^2 - 8^2. Esta expresión se puede factorar como (7x + 8) (7x - 8).

Ejemplo 3

Factorar las diferencias de cuadrados:

a) x^2 - y^2

b) 9x^2 - 4y^2

c)  x^2y^2 - 1

Solución

a) x^2 - y^2 se factora como (x +  y) (x- y).

b) Reescribir  9x^2 - 4y^2 como (3x)^2 - (2y)^2. Esta expresión se puede factorar como (3x + 2y) (3x - 2y).

c) Reescribir x^2y^2 - 1 como (xy)^2 - 1^2. Esta expresión se puede factorar como (xy + 1) (xy - 1).

Ejemplo 4

Factorar las diferencias de cuadrados.

a) x^4 - 25

b) 16x^4 - y^2

c) x^2y^8 - 64z^2

Solución

a) Reescribir x^4 - 25 como (x^2)^2 - 5^2. Esta expresión se factora como (x^2 + 5) (x^2 - 5).

b) Reescribir 16x^4 - y^2 como (4x^2)^2 - y^2. Esta expresión se factora como (x^2 + 5) (x^2 - 5).

c) Reescribir x^2y^8 - 64z^2 como (xy^2)^2 - (8z). Esta expresión se factora como (xy^2 + 8z) (xy^2 - 8z).

Factorización de trinomios cuadrados perfectos

Para factorar trinomios cuadrados perfectos usamos la fórmula del cuadrado de un binomio. Un trinomio cuadrado perfecto tiene la siguiente forma:

a^2 + 2ab + b^2 && \text{o} && a^2 - 2ab + b^2

En estos tipos de trinomios especiales, el primer término y el último término son cuadrados perfectos y el término de en medio es el doble producto de las raíces cuadradas del primer término y el último término. En un caso como este, el polinomio se factora en cuadrados perfectos.

a^2 + 2ab + b^2 & = (a + b)^2 \\a^2 - 2ab + b^2 & = (a - b)^2

En estos problemas, lo básico es saber cuales son los términos a y b. Hagamos algunos ejemplos de este tipo.

Ejemplo 5

Factorar los siguientes trinomios cuadrados perfectos.

a) x^2 + 8x + 16

b) x^2 - 4x + 4

c) x^2 + 14x + 49

Solución

a) x^2 + 8x + 16

El primer paso es reconocer si esta expresión es en realidad un trinomio cuadrado perfecto.

1. Revisar si el primero y último término son cuadrados perfectos. En este caso lo son porque podemos reescribir:

x^2 + 8x + 16 && \text{como} && x^2 + 8x + 4^2.

2. Revisar si el término de en medio es el doble producto de las raíces cuadradas del primer y último término. Esto también es verdad, ya que podemos reescribirlos.

x^2 + 8x + 16 && \text{as} && x^2 + 2 \cdot 4 \cdot x + 4^2

Esto significa que podemos factorar x^2 + 8x + 16 como (x + 4)^2.

Podemos probar si la respuesta es correcta multiplicando (x + 4) (x + 4).

& \quad \quad \quad x \ \ + \ \ 4\\& \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x \ \ - \  \ 4}\\& \quad \quad \quad 4x \ + \ 16\\& \underline{x^2 \ + \ 4x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\& x^2 \ + \  8x \ + \ 16

La respuesta es correcta.

Podríamos factorar este trinomio sin reconocer que es un cuadrado perfecto. Con los métodos que aprendimos en la última sección sabemos que un trinomio se factora como el producto de dos binomios en paréntesis.

(x \pm \underline{\;\;\;\;\;\;\;} )(x \pm \underline{\;\;\;\;\;\;\;})

Necesitamos encontrar dos números que multiplicados den 16 y sumados den 8. Podemos escribir 16 como los siguientes productos.

16 = 1 \cdot 16 && \text{y} && 1 + 16 = 17 \\16 = 2 \cdot 8 && \text{y} && 2 + 8 = 10 \\16 = 4 \cdot 4 && \text{y} && 4 + 4 = 8 \quad \quad \leftarrow \quad \quad \text{Esta es la opción correcta.}

Podemos factorar x^2 + 8x + 16 como (x + 4) (x + 4), lo cual es lo mismo que (x + 4)^2.

Siempre puedes factorar trinomios usando los métodos que has aprendido, pero es más rápido si puedes reconocer productos especiales.

b) Reescribir x^2 - 4x + 4 como x^2 + 2 \cdot (-2) \cdot x + (-2)^2.

Nótese que este es un trinomio cuadrado perfecto y que lo podemos factorar como: (x - 2)^2.

c) Reescribir x^2 + 14x + 49 como x^2 + 2 \cdot 7 \cdot x + 7^2.

Nótese que este es un trinomio cuadrado perfecto y qeu lo podemos factorar como: (x + 7)^2.

Ejemplo 6

Factorar los siguientes trinomios cuadrados perfectos.

a) 4x^2 + 20x + 25

b) 9x^2 - 24x + 16

c) x + 2xy + y^2

Solución

a) Reescribir 4x^2 + 20x + 25 como (2x)^2 + 2.5 \cdot (2x) + 5^2

Nótese que este es un trinomio cuadrado perfecto y que lo podemos factorar como: (2x + 5)^2.

b) Reescribir 9x^2 - 24x + 16 como (3x)^2 + 2 \cdot (-4) \cdot (3x) + (-4)^2.

Nótese que este es un trinomio cuadrado perfecto y que lo podemos factorar como: (3x - 4)^2.

Podemos revisar si esto es correcto multiplicando (3x - 4)^2 = (3x - 4) (3x - 4).

 & \quad \quad \qquad 3x +   4\\& \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3x - 4}\\& \quad \ - \ 12x + 16\\& \underline{9x^2 - \ 12x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\& 9x^2 - 24x + 16

La respuesta es correcta.

c) x + 2xy + y^2

Nótese que este es un trinomio cuadrado perfecto y que lo podemos factorar como: (x + y)^2.

Soluciones de ecuaciones polinómicas cuadráticas por factorización

Con los métodos estudiados en las últimas dos secciones, podemos factorar muchos tipos de polinomios cuadráticos. Esto es muy útil cuando necesitamos resolver ecuaciones polinómicas como:

ax^2 + bx + c = 0

Recordar que para resolver polinomios en forma expandida usamos los siguientes pasos:

Paso 1

Si es necesario, reescribir la ecuación en forma estándar para que:

Expresión polinomial = 0.

Paso 2

Factorar el polinomio completamente.

Paso 3

Usar la regla del producto cero para hacer cada factor igual a cero.

Paso 4

Resolver cada ecuación del paso 3.

Paso 5

Revisar las respuestas sustituyendo las soluciones en la ecuación original.

Haremos algunos ejemplos para mostrar cómo resolver polinomios cuadráticos usando los métodos de factorización recién aprendidos.

Ejemplo 7

Resolver las siguientes ecuaciones polinomiales.

a) x^2 + 7x + 6 = 0

b) x^2 - 8x = -12

c) x^2 = 2x + 15

Solución

a) x^2 + 7x + 6 = 0

Reescribir Esto no es necesario, ya que la ecuación se encuentra en la forma correcta.

Factorar Podemos escribir 6 como el producto de los siguientes números.

& 6 = 1 \cdot 6 \quad \quad \text{y} \quad \quad 1 + 6 = 7 \quad \quad \leftarrow \quad \quad \text{Esta es la opción correcta.}\\& 6 = 2 \cdot 3 \quad \quad \text{y}\quad \quad 2 + 3 = 5

x^2 + 7x + 6 = 0 se factora como (x + 1) (x + 6) = 0

Hacer cada factor igual a cero

x + 1 = 0 \quad \quad \text{o} \quad \quad x + 6 = 0

Resolver

x = -1 \quad \quad \text{o} \quad \quad x = -6

Probar Sustituir cada solución en la ecuación original.

& x = -1 && (-1)^2 + 7(-1) + 6 = 1 - 7 + 6 = 0 && \text{Correcta.}\\& x = -6 && (-6)^2 + 7(-6) + 6 = 36 - 42 + 6 = 0 && \text{Correcta.}

b) x^2 - 8x = -12

Reescribir x^2 - 8x = -12 se reescribe como x^2 - 8x + 12 = 0.

Factorar Podemos escribir 12 como el producto de los siguientes números:

& 12 = 1 \cdot 12  && \text{y} && \quad \quad \quad 1 + 12 = 13 \\& 12 = -1 \cdot (-12) && \text{y}  && -1 + (-12) = -13 \\& 12 = 2 \cdot 6 && \text{y} &&  \quad \quad \quad \ 2 + 6 = 8 \\ & 12 = -2 \cdot (-6) && \text{y} && \ \ -2 + (-6) = -8 \quad \quad \leftarrow \quad \quad \text{Esta es la opción correcta.}\\& 12 = 3 \cdot 4  && \text{y}  && \quad \quad \ \ \ \ \ 3 + 4 = 7 \\& 12 = -3 \cdot (-4)  && \text{y}  &&  \quad -3 + (-4) = -7

x^2 -8x + 12 = 0 se factora como (x - 2) (x - 6) = 0

Igualar cada factor a cero.

x - 2 = 0 \quad \quad \text{o} \quad \quad x - 6 = 0

Resolver.

x = 2 \quad \quad \text{o} \quad \quad x = 6

Probar Sustituir cada solución en la ecuación original.

& x = 2 && (2)^2 - 8(2) = 4 -16 = -12 && \text{correcta.}\\& x = 2 && (6)^2 - 8(6) = 36 - 48 = -12 && \text{correcta.}

c) x^2 = 2x + 15

Reescribir x = 2x + 15 se reescribe como x - 2x - 15 = 0.

Factorar Podemos escribir -15 como el producto de los siguientes números:

& -15 = 1 \cdot (-15) && \text{y} && \ \ 1 + (-15) = -14 \\& -15 = -1 \cdot (15) && \text{y}  && -1 + (15) = 14 \\& -15 = -3 \cdot 5 && \text{y}  && \quad \ -3 + 5 = 2 \\& -15 = 3 \cdot (-5) && \text{y}  && \quad 3 + (-5) = -2 \quad \quad \leftarrow \quad \quad \text{Esta es la opción correcta.}

x^2 - 2x - 15 = 0 se factora como (x + 3) (x - 5) = 0.

Igualar cada factor a cero

x + 3 = 0 \quad \quad \text{o} \quad \quad x - 5 = 0

Resolver

 x = -3 \quad \quad \text{o} \quad \quad x = 5

Probar Sustituir cada solución en la ecuación original.

& x = -3 && (-3)^2 = 2(-3) + 15 \Rightarrow 9 = 0 \quad \quad \text{correcta.}\\& x = 5 && (5)^2 = 2(5) + 15 \Rightarrow  25 = 25 \quad \quad \text{correcta.}

Ejemplo 8

Resolver las siguientes ecuaciones polinomiales.

a) x^2 - 12x + 36 = 0

b) x ^2 - 81 = 0

c) x ^2 + 20x + 100 = 0

Solución

a) x^2 - 12x + 36 = 0

Reescribir Esto no es necesario, ya que la ecuación se encuentra en la forma correcta.

Factorar: Reescribir x^2 - 12x + 36 como x^2 - 2 \cdot (-6)x + (-6)^2.

Reconocemos esto como una diferencia de cuadrados, lo cual se factora como (x - 6)^2 = 0 \quad \quad \text{o} \quad \quad (x - 6) (x - 6) = 0.

Igualar cada factor a cero

x - 6 = 0 \quad \quad \text{o} \quad \quad x - 6 = 0

Resolver

 x = 6 \quad \quad \text{o} \quad \quad x = 6

Nótese que para un cuadrado perfecto las dos soluciones son la misma. Esta es llamada una raíz doble.

Probar Sustituir cada solución en la ecuación original.

x = 6 && 6^2 - 12(6) + 36 = 36 - 72 + 36 + 0 \quad \quad \text{correcta.}

b) x^2 - 81 = 0

Reescribir Esto no es necesario, ya que la ecuación se encuentra en forma correcta.

Factorar Reescribir x^2 - 81 = 0 como x^2 - 9^2 = 0.

Reconocemos esto como una diferencia de cuadrados, lo cual se factora como (x- 9)(x + 9) = 0.

Igualar cada factor a cero.

x - 9 = 0 \quad \quad \text{o} \quad \quad x + 9 = 0

Resolver

x = 9 \quad \quad \text{o} \quad \quad x = -9

Probar Sustituir cada solución en la ecuación original.

& x = 9 && 9^2 - 81 = 81 - 81 = 0 && \text{correcta.}\\& x = -9 && (-9)^2 - 81 = 81 - 81 = 0 && \text{correcta.}

c) x^2 + 20x + 100 = 0

Reescribir Esto no es necesario, ya que la ecuación se encuentra en forma correcta.

Factorar Reescribir x^2 + 20x + 100 = 0 como x^2 + 2 \cdot 10 \cdot x + 10^2

Reconocemos esto como una diferencia de cuadrados, lo cual se factora como (x + 10)^2 = 0 o (x + 10) (x +10) = 0.

Igualar cada factor a cero.

x + 10 = 0 \quad \quad \text{o} \quad \quad x + 10 = 0

Resolver.

 x = -10 \quad \quad \text{o} \quad \quad x = -10 \quad \quad \text{esta es una raíz doble.}

Probar Sustituir cada solución en la ecuación original.

 x = 10 && (-10)^2 + 20(-10) + 100 = 100 - 200 + 100 = 0 && \text{correcta.}

Ejercicios de repaso

Factorar los siguientes trinomios cuadrados perfectos.

  1. x^2 + 8x + 16
  2. x^2 - 18x + 81
  3. -x^2 + 24x -144
  4. x^2 + 14x + 49
  5. 4x^2 - 4x + 1
  6. 25x^2 + 60x + 36
  7. 4x^2 - 12xy + 9y^2
  8. x^4 + 22x^2 + 121

Factorar las siguientes diferencias de cuadrados.

  1. x^2 - 4
  2. x^2 - 36
  3. -x^2 + 100
  4. x^2 - 400
  5. 9x^2 - 4
  6. 25x^2 - 49
  7. -36x^2 + 25
  8. 16x^2 - 81y^2

Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas usando factorización.

  1. x^2 - 11x + 30 = 0
  2. x^2 + 4x = 21
  3. x^2 + 49 = 14x
  4. x^2 - 64 = 0
  5. x^2 - 24x + 144 = 0
  6. 4x^2 - 25 = 0
  7. x^2 + 26x = -169
  8. -x^2 - 16x - 60 = 0

Respuestas a los ejercicios de repaso

  1. (x + 4)^2
  2. (x - 9)^2
  3. - (x - 12)^2
  4. (x + 7)^2
  5. (2x - 1)^2
  6. (5x + 6)^2
  7. (2x - 3y)^2
  8. (x^2 + 11)^2
  9. (x + 2) (x - 2)
  10. (x + 6) (x - 6)
  11. - (x + 10) (x - 10)
  12. (x + 20) (x - 20)
  13. (3x + 2) (3x - 2)
  14. (5x + 7) (5x - 7)
  15. - (6x + 5) (6x - 5)
  16. (4x + 9y) (4x - 9y)
  17. x = 5, x = 6
  18. x = -7, x = 3
  19. x = 7
  20. x = -8, x = 8
  21. x = 12
  22. x = \frac{5}{2}, x = -\frac{5}{2}
  23. x = -13
  24. x = -10, x = -6

Image Attributions

You can only attach files to None which belong to you
If you would like to associate files with this None, please make a copy first.

Reviews

Please wait...
Please wait...
Image Detail
Sizes: Medium | Original
 
CK.MAT.SPA.SE.1.Algebra-I.9.6

Original text