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9.7: Factorización completa de polinomios

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Objetivos de aprendizaje

  • Factorar un binomio común.
  • Factorización por agrupación.
  • Factorar un trinomio cuadrático donde a \neq 1.
  • Resolver problemas del mundo real usando ecuaciones polinomiales.

Introducción

Decimos que un polinomio está completamente factorado cuando lo factoramos lo más que se pueda. Algunas recomendaciones que se deberían tener en cuenta para asegurarnos que hemos factorado completamente son:

  • Factorar todos los monomios comunes primero.
  • Identificar productos especiales como diferencias de cuadrados o el cuadrado de un binomio. Factorar de acuerdo a sus fórmulas.
  • Si no hay productos especiales, factorar usando los métodos estudiados en las secciones previas.
  • Observar cada factor y ver si alguno de estos se puede seguir factorando.

Aquí hay algunos ejemplos:

Ejemplo 1

Factorar los siguientes polinomios completamente.

a) 6x^2 - 30x + 24

b) 2x^2 - 8

c) x^3 + 6x^2 + 9x

Solución

a) 6x^2 - 30x + 24

Factorar el monomio común. En este caso 6 puede ser factorado en cada término.

6(x^2 - 5x + 6)

No hay productos especiales. Factoramos x^2 - 5x + 6 como un producto de dos binomios (x \pm \underline{\;\;\;\;\;\;\;} )(x \pm \underline{\;\;\;\;\;\;\;}).

Los dos números que multiplicados dan 6 y sumados dan -5 son -2 y -3, los cuales sustituiremos en los dos paréntesis. El 6 está fuera porque ha sido factorado.

6(x^2 - 5x + 6) = 6(x - 2) (x - 3)

Si observamos cada factor vemos que no podemos factorar más.

La respuesta es 6(x - 2) (x - 3)

b) 2x^2 - 8

Factorar monomios comunes 2x^2 - 8 = 2(x^2 - 4).

Reconociendo x^2 - 4 como una diferencia de cuadrados. Factoramos como 2(x^2 - 4) = 2(x + 2) (x - 2).

Si observamos cada factor vemos que no podemos factorar más.

La respuesta es 2(x + 2) (x - 2).

c) x^3 + 6x^2 + 9x

Factorar monomios comunes x^3 + 6x^2 + 9x = x(x^2 + 6x + 9).

Reconociendo el cuadrado perfecto y factorando se tiene x (x + 3)^2.

Si observamos cada factor, vemos que no podemos factorar más.

La respuesta es x(x + 3)^2.

Ejemplo 2

Factorar los siguientes polinomios completamente.

a) -2x^4 + 162

b) x^5 - 8x^3 + 16x

Solución

a) -2x^4 + 162

Factorar el monomio común. En este caso, factorar -2 en vez de 2. Siempre es más fácil factorar el número negativo para que el término principal sea positivo.

-2x^4 + 162 = -2(x^4 - 81)

Reconociendo que la expresión dentro del paréntesis es una diferencia de cuadrados, factoramos y obtenemos el resultado.

-2(x^2 - 9) (x^2 + 9)

Si observamos cada factor, vemos que el primer paréntesis es una diferencia de cuadrados. Factoramos y obtenemos esta respuesta:

-2(x + 3) (x - 3) (x^2 + 9)

Si observamos cada factor, vemos que no podemos factorar más.

La respuesta es -2(x + 3) (x - 3) (x^2 + 9)

b) x^5 - 8x^3 + 16x

Factorar el monomio común x^5 - 8x^3 + 14x = x(x^4 - 8x^2 + 16).

Reconociendo que x^4 - 8x^2 + 16 es un cuadrado perfecto, lo factoramos como  x(x^2 - 4)^2.

Observando cada término y reconociendo que el primer término en parentesis es una diferencia de cuadrados.

Factoramos y obtenemos: x[(x + 2)^2 (x - 2)]^2 = x(x + 2)^2 (x - 2)^2.

Usamos corchetes “[” y “]” en esta expresión porque x está multiplicada por la expresión (x + 2)^2 (x - 2). Cuando se necesitan símbolos de agrupación “anidados” usamos corchetes “[” y “]” para mostrar los niveles de anidamiento.

Si observamos cada factor, ahora vemos que no podemos factorar más.

La respuesta es: x(x + 2)^2 (x - 2)^2.

Factorar un binomio común

El primer paso en el proceso de factorización es factorar el monomio común en la mayoría de los casos. Algunas veces los polinomios tienen términos comunes que son binomios. Por ejemplo, considerá la siguiente expresión.

x (3x + 2) - 5 (3x + 2)

Podemos observar que el término (3x + 2) aparece en ambos términos del polinomio. Este término común puede ser factorado escribiéndolo enfrente de un paréntesis. Dentro del paréntesis escribimos todos los términos que resultan de dividir por el factor común.

(3x + 2) (x - 5)

Esta expresión ahora se encuentra factorada totalmente.

Observemos algunos ejemplos más.

Ejemplo 3

Factorar los binomios comunes.

a) 3x(x - 1) + 4(x - 1)

b) x(4x + 5) + (4x + 5)

Solución

a) 3x(x - 1) + 4(x - 1) tiene el binomio común (x - 1).

Cuando factoramos el binomio común, obtenemos (x - 1) (3x + 4).

b) x(4x + 5) + (4x + 5) tiene el binomio común (4x + 5).

Cuando factoramos el binomio común, obtenemos (4x + 5) (x + 1).

Factorización por agrupación

Es posible factorar un polinomio que contenga cuatro o más términos factorando monomios comunes de grupos de términos. Este método es llamado factorización por agrupación.

En el siguiente ejemplo se mostrará cómo se desarrolla este proceso.

Ejemplo 4

Factorar  2x + 2y + ax + ay.

Solución

No hay ningún factor común para los cuatro términos en este ejemplo. Sin embargo, hay un factor 2 que es común en los primeros dos términos y un factor común a en los últimos dos términos. Factorar 2 en los primeros dos términos y a en los últimos dos términos.

2 x + 2 y + ax + ay = 2(x + y) + a(x + y)

Ahora, nótese que el binomio (x + y) es común en ambos términos. Factoramos el binomio común y obtenemos:

(x + y)(2 + a)

Nuestro polinomio se encuentra totalmente factorado.

Ejemplo 5

Factorar 3x^2 + 6x + 4x + 8.

Solución

Factoramos 3x en los dos primeros términos y factoramos 4 en los dos últimos términos.

3x(x + 2) + 4(x + 2)

Ahora factoramos (x + 2) en ambos términos.

(x + 2) (3x + 4).

Ahora el polinomio se encuentra completamente factorado.

Factorización de trinomios cuadráticos donde  a \neq 1

Factorización por agrupación es un método muy útil para factorar trinomios cuadráticos donde a \neq 1. Un polinomio cuadrático tal como este:

ax^2 + bx + c

Esta expresión no se factora como (x \pm m) (x \pm n), así que no es tan simple como buscar dos números que multiplicados den c y sumados den b. En este caso, debemos considerar el coeficiente que aparece en el primer término.

Para factorar un polinomio cuadrático donde a \neq 1, seguimos los siguientes pasos:

  1. Encontramos el producto ac.
  2. Buscamos dos números que multiplicados den ac y sumados den b.
  3. Reescribimos el término de en medio usando los dos números que encontramos previamente.
  4. Factoramos esta expresión por agrupación.

Apliquemos este método a los siguientes ejemplos.

Ejemplo 6

Factorar los siguientes trinomios cuadráticos por agrupación.

a) 3x^2 + 8x + 4

b) 6x^2 - 11x + 4

c)  5x^2 - 6x + 1

Solución

Sigamos los pasos descritos arriba.

a) 3x^2 + 8x + 4

Paso 1 ac = 3  \cdot  4 = 12

Paso 2 El número 12 puede ser escrito como el producto de dos números en cualquiera de las formas:

& 12 = 1 \cdot  12 && \text{y} && \ 1 + 12 = 13 \\& 12 = 2  \cdot  6 && \text{y} && \quad 2 + 6 = 8 && \text{Esta es la opción correcta}.\\& 12 = 3  \cdot  4 && \text{y} && \quad 3 + 4 = 7

Paso 3 Reescribir el término de en medio como: 8x = 2x + 6x, de tal forma que el problema se vuelve como sigue:

3x^2 + 8x + 4 = 3x^2 + 2x + 6x + 4

Paso 4 Factorar una x de los primeros dos términos y 2 de los últimos dos.

x(3x + 2) + 2(3x + 2)

Ahora se factora el binomio común (3x + 2).

(3x + 2) (x + 2)

Nuestra respuesta es (3x + 2) (x + 2).

Para probar si esto es correcto multiplicamos (3x + 2) (x + 2).

 & \quad \quad \quad 3x + 2\\& \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x \ + 2}\\& \quad \quad \quad 6x + 4\\& \underline{3x^2 + \ 2x\;\;\;\;\;\;}\\& 3x^2 + \ 8x  + 4

La respuesta es correcta.

b) 6x^2 - 11x + 4

Paso 1 ac = 6  \cdot  4 = 24

Paso 2 El número 24 puede ser escrito como el producto de dos números en cualquiera de las formas:

& 24 = 1  \cdot  24 && \text{y} && 1 + 24 = 25 \\& 24 = -1  \cdot  (-24) &&\text{y} && -1 + (-24) = -25 \\& 24 = 2  \cdot  12 &&\text{y} &&  2 + 12 = 14 \\& 24 = -2  \cdot  (-12) &&\text{y} && -2 + (-12) = -14 \\& 24 = 3  \cdot  8 &&\text{y}  && 3 + 8 = 11 \\& 24 = -3  \cdot  (-8) &&\text{y} &&  -3 + (-8) = -11 \quad \quad \leftarrow \quad \quad \text{Esta es la opción correcta.}\\& 24 = 4  \cdot  6 &&\text{y}  &&  4 + 6 = 10 \\ & 24 = -4  \cdot  (-6) &&\text{y} &&  -4 + (-6) = -10

Paso 3 Reescribir el término de en medio como -11x = -3x - 8x, así el problema se vuelve:

6x^2 - 11x + 4 = 6x^2 - 3x - 8x + 4

Paso 4 Factorar por agrupación. Factorar 3x en los primeros dos términos y factorar -4 en los últimos dos términos.

3x(2x - 1) - 4(2x - 1)

Ahora factoramos el binomio común (2x - 1).

(2x - 1) (3x - 4)

Nuestra respuesta es (2x - 1) (3x - 4).

c) 5x^2 -6x + 1

Paso 1 ac = 5  \cdot  1 = 5

Paso 2 El número 5 puede ser escrito como el producto de dos números en cualquiera de las formas:

& 5 = 1  \cdot  5 && \text{y} && \ \quad 1 + 5 = 6 \\& 5 = -1  \cdot  (-5) &&\text{y} && -1 + (-5) = -6 \quad \quad \leftarrow \quad \quad \text{Esta es la opción correcta}

Paso 3 Reescribir el término de en medio como -6x = -x - 5x. El problema se vuelve:

5x^2 - 6x+ 1 = 5x^2 - x- 5x+ 1

Paso 4 Factorar por agrupación: factorar una x en los primeros dos términos y factorar -1 en los últimos dos términos.

x(5x - 1) - 1(5x - 1)

Ahora factoramos el binomio común (5x - 1).

(5x - 1) (x - 1).

Nuestra respuesta es (5x - 1) (x - 1).

Resolver problemas del mundo real usando ecuaciones polinómicas

Ahora que ya conocemos la mayoría de las estrategias para factorar polinomios cuadráticos, podemos ver cómo se aplican estos métodos para resolver problemas del mundo real.

Ejemplo 7 Teorema de Pitágoras

Un lado de un triangulo rectángulo tiene 3 pies más de longitud que el otro lado. La longitud de la hipotenusa es 15 pies. Encontrar las dimensiones del triangulo rectángulo.

Solución

Sea x = la longitud de uno de los lados del triángulo, entonces el otro lado medirá x + 3.

Dibujemos un diagrama.

Usar el teorema de Pitágoras (\text{lado}_1)^2 + (\text{lado}_2)^2 = (\text{hipotenusa})^2 or a^2 + b^2 = c^2.

Aquí a y b son las longitudes de los lados y c es la longitud de la hipotenusa.

Sustituyamos los valores del diagrama.

a^2 + b^2 & =c^2 \\x^2 + (x + 3)^2 & = 15^2

Para resolver necesitamos obtener el polinomio en forma estándar. Primero debemos distribuir, asociar términos semejantes y reescribir en la forma: polinomio = 0.

x^2 + x^2 + 6x + 9 & = 225 \\ 2x^2 + 6x + 9 & = 225 \\2x^2 + 6x - 216 & = 0

Factorar el monomio común 2(x + 3x - 108) = 0.

Para factorar el trinomio dentro de los paréntesis, necesitamos dos números que multiplicados den -108 y sumados den 3. Tomaría mucho tiempo revisar todas las opciones, así que tratemos con algunos de los factores grandes.

-108 & = -12  \cdot & \text{y} && -12 + 9 = -3 \\-108 & = 12  \cdot  (-9) & \text{y} && 12 + (-9) = 3 && \leftarrow && \text{Esta es la opción correcta}.

Factoramos como: 2(x - 9) (x + 12) = 0.

Hacer cada factor igual a cero y resolver

x - 9 & = 0 && x + 12 = 0 \\& \quad \quad \quad \quad \quad \quad \text{o}\\x & = 9 && \quad \quad \ x = -12

No una respuesta negativa no tiene sentido para la longitud de un lado del triángulo, así que la respuesta sería la siguiente.

Respuesta x = 9 para un lado, y x + 3 = 12 para el otro lado.

Revisar 9^2 +12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2, la respuesta es correcta.

Ejemplo 8 Problemas de números

El producto de dos números positivos es 60. Encontrar los dos números si uno de ellos es 4 más que el otro.

Solución

Sea x = uno de los números y x + 4 igual al otro número.

El producto de estos dos números es igual a 60. Podemos escribir la ecuación:

x (x + 4) = 60

Para resolver debemos escribir el polinomio en forma estándar. Distribuir, agrupar términos semejantes y reescribir en la forma: polinomio = 0.

x^2 + 4x & = 60 \\x^2 + 4x - 60 & = 0

Factorar encontrando dos números que multiplicados den -60 y sumados den 4. Hacer una lista de algunos números que multiplicados den -60:

& -60  = -4  \cdot  15 && \text{y} && \ -4 + 15 = 11 \\& -60 = 4  \cdot  (-15) && \text{y} && 4 + (-15) = -11 \\& -60 = -5  \cdot 12 &&\text{y} && \ -5 + 12 = 7 \\& -60 = 5  \cdot  (-12) &&\text{y} && 5 + (-12) = -7 \\& -60 = -6  \cdot  10 &&\text{y} && \ -6 + 10 = 4 \quad \quad \leftarrow \quad \quad \text{Esta es la opción correcta.}\\& -60 = 6  \cdot  (-10) &&\text{y} && 6 + (-10) = -4

La expresión se factora como (x + 10) (x - 6) = 0.

Hacer cada término igual a cero y resolver.

& x + 10 = 0 && x - 6 = 0\\& \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \text{o}\\&  \quad \quad \ x = -10 && \quad \quad x = 6

Ya que estamos buscando números positivos, la respuesta debe ser la siguiente:

Respuesta x = 6 para un número y x + 4 = 10 para el otro número.

Revisar 6  \cdot  10 = 60, la respuesta es correcta.

Ejemplo 9 Área de un rectángulo

Un rectángulo tiene lados de x + 5 y x - 3. ¿Qué valor de x da un área de 48?

Solución:

Hacer un bosquejo para esta situación.

Área del rectángulo = \text{base} \times \text{altura}

(x + 5) (x - 3) = 48

Para poder resolver, debemos escribir el polinomio en forma estándar. Distribuir, agrupar términos semejantes y reescribir en la forma: polinomio = 0.

x^2 + 2x - 15 & = 48\\x^2 + 2x - 63 & = 0

Factorar encontrando dos números que multiplicados den -63 y sumados den 2. Hacer una lista de algunos números que multiplicados den -63.

& -63 = -7  \cdot  9 &&\text{y} && -7 + 9 = 2 \quad \quad \leftarrow \quad \quad \text{Esta es la opción correcta}\\&-63 = 7  \cdot  (-9) &&\text{y} && 7 + (-9) = -2

La expresión se factora como (x + 9)(x - 7) = 0.

Hacer cada factor igual a cero y resolver.

& x + 9 = 0 && x - 7 = 0\\& \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \text{o}\\&  \quad \ \ x = -9 &&  \quad \quad x = 7

Ya que estamos buscando números positivos, la respuesta debe ser x = 7.

Respuesta La altura es x - 3 = 4 y la base es x + 5 = 12.

Revisar 4  \cdot  12 = 48, la respuesta es correcta.

Ejercicios de repaso

Factorar completamente.

  1. 2x^2 + 16x + 30
  2. -x^3 + 17x^2 - 70x
  3. 2x^2 - 512
  4. 12x^3 + 12x^2 + 3x

Factorar por agrupación.

  1. 6x^2 - 9x + 10x - 15
  2. 5x^2 - 35x + x - 7
  3. 9x^2 - 9x - x + 1
  4. 4x^2 + 32x - 5x- 40

Factorar los siguientes binomios cuadráticos por agrupación.

  1. 4x^2 + 25x - 21
  2. 6x^2 + 7x + 1
  3. 4x^2 + 8x - 5
  4. 3x^2 + 16x + 21

Resolver los siguientes problemas de aplicación:

  1. Un lado de un triángulo rectángulo es 7 pies más largo que el otro lado. La hipotenusa tiene 13 pies. Encontrar las dimensiones del triángulo rectángulo.
  2. Un rectángulo tiene lados de x + 2 y x - 1. ¿Cuál es el valor de x que da un área de 108?
  3. El producto de dos números positivos es 120. Encuentra los dos números si uno es 7 veces mayor que el otro.
  4. Framing Warehouse ofrece servicios de enmarcado de fotografías. El costo de enmarcado de una fotografía depende de dos cosas. El costo del vidrio es $1 por pie cuadrado. El costo del marco es $2 por pie lineal. Si el marco es un cuadrado, ¿qué tamaño de fotografía podrías enmarcar por $20?

Respuestas a los ejercicios de repaso

  1. 2 (x + 3) (x + 5)
  2. -x (x - 7) (x - 10)
  3. 2(x - 4) (x + 4) (x^2 + 16)
  4. 3x (2x + 1)^2
  5. (2x - 3) (3x + 5)
  6. (x - 7) (5x + 1)
  7. (9x - 1) (x - 1)
  8. (x + 8) (4x - 5)
  9. (4x - 3) (x + 7)
  10. (6x + 1) (x + 1)
  11. (2x - 1) (2x + 5)
  12. (x + 3) (3x + 7)
  13. \text{Lado} 1 = 5, \text{lado} 2 = 12
  14. x = 10
  15. Los números son 8 y 15.
  16. Se puede enmarcar una fotografía de 2 pies \times 2 pies.

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