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10.8: Estrategias para resolver problemas: escoger un modelo de función

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Objetivos de aprendizaje

  • Leer y comprender la situaciones de problemas dados.
  • Desarrollar y usar la estrategia: escoger una función.
  • Desarrollar y usar la estrategia: hacer un modelo.
  • Planificar y comparar diferentes alternativas para resolver problemas.
  • Resolver problemas del mundo real usando estrategias seleccionadas como parte de un plan.

Introducción

A medida aprendas más y más métodos matemáticos y técnicas matemáticas, es importante pensar sobre el propósito de la matemática y cómo esta trabaja como parte de una figura más grande. Matemática se usa para resolver problemas en los cuales a menudo aparecen situaciones del mundo real; construir un modelo matemático es un proceso en el cual empezamos con una situación de la vida real y llegamos a una solución cuantitativa. Construir modelos requiere de la creación de un conjunto de ecuaciones matemáticas que describen una situación, resolver estas ecuaciones y usarlas para comprender el problema de la vida real. Regularmente el modelo necesita ser ajustado porque este no describe la situación también como lo desearíamos.

Un modelo matemático puede ser usado para adquirir entendimiento de un situación de la vida real aprendiendo cómo funciona el sistema, cuáles son las variables importantes en el sistema y cómo éstas están relacionadas la una con la otra. Los modelos también pueden ser usados para predecir y estimar qué hará un sistema en el futuro para diferentes valores de un parámetro. Por último, un modelo puede ser usado para estimar cantidades que son difíciles de evaluar de forma exacta.

Los modelos matemáticos son similares a otros tipos de modelos. El objetivo no es producir una copia exacta de un objeto “real”, sino dar una representación de algunos aspectos del objeto real. El proceso de construir modelos puede resumirse como sigue:

Nota que el proceso de construir modelos es muy similar al formato de solución de problemas que hemos usado a través de este libro. En esta sección, nos enfocaremos mayormente en las suposiciones que hacemos y la validación del modelo. Las funciones son una parte integral del proceso de construir modelos porque son usadas para describir las relaciones matemáticas en un sistema. Una de las partes más difíciles del proceso de construir modelos es determinar cuál es la función que mejor describe una situación. Regularmente encontraremos que la función que escogemos no es la apropiada. Entonces, debemos seleccionar una función diferente o encontramos que una función modelo es buena para un conjunto de parámetros pero necesitamos usar otra función para un conjunto diferente de parámetros. Seguido, para ciertos parámetros, más de una función describe bien la situación y usar la más simple es lo más práctico.

A continuación se presentan algunos modelos matemáticos provenientes de aplicaciones del mundo real.

Ejemplo 1 Estiramiento de resortes más allá del “límite elástico”

Un resorte se estira a medida que se le pone más peso en la parte de abajo. La siguiente tabla muestra la longitud del resorte en pulgadas para diferentes pesos en onzas.

& \text{Peso (onzas)} & & 0 & & 2 & & 4 & & 6 & & 8 & & 10 & & 12 & & 14 & & 16 & & 18 & & 20\\ & \text{Longitud (pulgadas)} & & 2 & & 2.4 & & 2.8 & & 3.2 & & 3.5 & & 3.9 & & 4.1 & & 4.4 & & 4.6 & & 4.7 & & 4.8

a) Encontrar la longitud del resorte como una función del peso que soporta.

b) Encontrar la longitud del resorte cuando se le pone un peso d 5 onzas.

c) Encontrar la longitud del resorte cuando se le pone un peso de 19 onzas.

Solución

Paso 1 Comprender el problema

Definir x = peso en onzas en el resorte

y = longitud en pulgadas del resorte

Paso 2 Trazar un plan

Los resortes usualmente tienen una relación lineal entre el peso sobre ellos y la longitud de su estiramiento. Si construimos un diagrama de dispersión, notamos que para pesos livianos los puntos parecen ajustarse a una línea recta (ver la gráfica). Asumir que la función que relaciona la longitud del resorte y el peso es lineal.

Paso 3 Resolver

Encontrar la ecuación de la línea usando puntos que describan los pesos livianos:

(0, 2) y (4, 2.8).

La pendiente es:  m = \frac{.8} {4} = 0.2

Usando y = mx + b

a) Obtenemos la función y = .2x + 2.

b) Para encontrar la longitud del resorte cuando el peso es 5 onzas, sustituir x = 5.

y = .2(5) + 2 = 3 \ \text{pulgadas}

c) Para encontrar la longitud del resorte cuando el peso es 19 onzas, sustituimos x = 19.

y = .2(19) + 2 = 5.8 \ \text{pulgadas}

Paso 4 Chequear

Para chequear la validez de las soluciones grafiquemos las respuestas de b) y c) sobre el diagrama de dispersión. Vemos que la respuesta en b) es cercana al resto de los datos, pero la respuesta en c) no parece seguir un buen ajuste.

Podemos concluir que para pesos pequeños, la relacion entre la longitud del resorte y el peso es una función lineal.

Para pesos grandes, el resorte no parece estirarse tanto cada vez que se le añade una onza. Debemos cambiar nuestra suposición. Debe haber una relación no lineal entre la longitud y el peso.

Paso 5 Resolver con la nueva suposición

Encontremos la ecuación de la función usando regresión cúbica con una calculadora graficadora.

a) Obtenemos la función y = -.000145x^3 - .000221x^2 +.202x + 2.002.

b) Para encontrar la longitud del resorte cuando el peso es 5 onzas, sustituimos x = 5.

y = -.000145(5)^3 - .000221(5)^2 + .202(5) + 2.002 = 3 \ \text{pulgadas}

c) Para encontrar la longitud del resorte cuando el peso es 19 onzas, sustituimos x = 19.

y = -.000145(19)^3 - .000221(19)^2 +.202(19) + 2.002 = 4.77 \ \text{pulgadas}

Paso 6 Chequear

Para chequear la validez de las soluciones graficamos las respuestas de b) y c) sobre el diagrama de dispersión. Vemos que la respuesta a ambas b) y c) son cercanas al resto de los datos.

Concluimos que una función cúbica representa el estiramiento del resorte más exactamente que una función lineal. Sin embargo, para pesos livianos la función lineal es también una buena representación, y es mucho más fácil de usar en la mayoría de los casos. En realidad, la aproximación lineal usualmente nos permite resolver de forma fácil muchos problemas que serían muy difíciles de resolver usando una función cúbica.

Ejemplo 2 Corriente de agua

Un cilindro delgado se llena con agua hasta la altura de 50 centímetros. El cilindro tiene un hoyo en la parte de abajo el cual se sella con un tapón. El tapón se quita cuando el tiempo es t = 0 segundos y se deja vaciar. Los siguientes datos muestran la altura del agua en el cilindro a diferentes tiempos.

& \text{Tiempo (segundos)} & & 0 & & 2 & & 4 & & 6 & & 8 & & 10 & & 12 & & 14 & & 16 & & 18 & & 20 & & 22 & & 24\\ & \text{Altura (cm)} & & 50 & & 42.5 & & 35.7 & & 29.5 & & 23.8 & & 18.8 & & 14.3 & & 10.5 & & 7.2 & & 4.6 & & 2.5 & & 1.1 & & 0.2

a) Encontrar la altura (en centímetros) del agua en el cilindro como una función del tiempo en segundos.

b) Encontrar la altura del agua cuando t = 5 \ segundos.

c) Encontrar la altura del agua cuando t = 13 \ segundos.

Solución:

Paso 1 Comprender el problema

Definir x = el tiempo en segundos

y = altura del agua en centímetros

Paso 2 Trazar un plan

Construyamos un diagrama de dispersión de nuestros datos con el tiempo en el eje horizontal y la altura del agua en el eje vertical.

Notar que la mayoría de los puntos parecen ajustarse a una línea recta cuando el nivel del agua es alto. Asumir que una función que relaciona la altura del agua con el tiempo es lineal.

Paso 3 Resolver

Encontrar la ecuación de la línea usando puntos que describan niveles altos:

(0, 50) y (4, 35.7).

La pendiente es  m = \frac{-14.3} {4} = -3.58

Usando y = mx + b

a) Obtenemos la función: y = -3.58x + 50

b) La altura del agua cuando t = 5 \ segundos es

y = -3.58 (5) + 50 = 32.1 \ \text{centímetros}

c) La altura del agua cuando t = 13 \ segundos es

y = -3.58(13) + 50 = 3.46 \ \text{centímetros}

Paso 4 Chequear

Para chequear la validez de las soluciones, grafiquemos las respuestas a b) y c) sobre el diagrama de dispersión. Vemos que la respuesta para b) es cercana al resto de los datos, pero la respuesta para c) no parece seguir un buen ajuste.

Podemos concluir que cuando el nivel del agua es alto, la relación entre la altura del agua y el tiempo es una función lineal. Cuando el nivel del agua es bajo, debemos cambiar nuestra suposición. Debe haber una relación no lineal entre la altura y el tiempo.

Paso 5 Resolver con nuevas suposiciones

Asumamos que la relación es cuadrática y encontremos la ecuación de la función usando regresión cuadrática con una calculadora graficadora.

a) Obtenemos la función y = .075x^2 - 3.87x + 50

b) La altura del agua cuando t = 5 \ segundos es

y = .075(5)^2 - 3.87 (5) + 50 = 32.53 \ centímetros

c) La altura del agua cuando t = 13 \ segundos es

y = .075(13)^2 - 3.87(13) + 50 = 12.37 \ centímetros

Paso 6 Chequear

Para chequear la validez de las soluciones grafiquemos las respuestas en b) y c) sobre el diagrama de dispersión. Vemos que ambas respuestas en b) y c) se acercan al resto de los datos.

Concluimos que una función cuadrática representa la situación de forma más exacta que una función lineal. Sin embargo, para niveles altos de agua la función lineal es igualmente una buena representación.

Ejemplo 3 Movimiento de un proyectil

Una pelota de golf es golpeada directamente hacia la calle. La siguiente tabla muestra la altura de la pelota con respecto al tiempo. La pelota es golpeada con un ángulo de 70 grados respecto a la horizontal con una velocidad de 40 metros/segundo.

& \text{Tiempo (segundos)} & & 0 & & 0.5 & & 1.0 & & 1.5 & & 2.0 & & 2.5 & & 3.0 & & 3.5 & & 4.0 & & 4.5 & &  5.0 && 5.5 & & 6.0 & & 6.5 & & 7.0\\ & \text{Altura (metros)} & & 0 & & 17.2 & & 31.5 & & 42.9 & & 51.6 & & 57.7 & & 61.2 & & 62.3 & &  61.0 & & 57.2 & & 51.0 & & 42.6 & & 31.9 & & 19.0 & & 4.1

a) Encontrar la altura de la pelota como una función del tiempo.

b) Encontrar la altura de la pelota cuando t = 2.4 \ segundos.

c) Encontrar la altura de la pelota cuando t = 6.2 \ segundos.

Solución

Paso 1 Comprender el problema

Definir x = el tiempo en segundos

y = altura de la pelota en metros

Paso 2 Trazar un plan

Construyamos un diagrama de dispersión para nuestros datos con el tiempo sobre el eje horizontal y la altura de la pelota sobre el eje vertical. Sabemos que un proyectil sigue una trayectoria parabólica, así que asumiremos que la función que relaciona la altura y el tiempo es cuadrática.

Paso 3 Resolver

Encontremos la ecuación de la función usando regresión cuadrática con una calculadora graficadora.

a) Obtenemos la función y = -4.92x^2 + 34.7x + 1.2

b) Encontrar la altura de la pelota cuando t = 2.4 \ segundos es

y = -4.92(2.4)^2 + 34.7(2.4) + 1.2 = 56.1 \ metros

c) Encontrar la altura de la pelota cuando t = 6.2 \ segundos es

y = -4.92(6.2)^2 + 34.7(6.2) + 1.2 = 27.2 \ metros

Paso 4 Chequear

Para chequear la validez de las soluciones grafiquemos las respuestas para b) y c) sobre el diagrama de dispersión. Vemos que ambas respuestas b) y c) se ajustan muy cercanamente. La función cuadrática es un modelo muy bueno para este problema.

Ejemplo 4 Crecimiento poblacional

Un científico cuenta dos mil peces en un lago. La población de peces incrementa a una razón de 1.5 peces por generación, pero el lago tiene espacio y comida para 2,000,000 de peces. La siguiente tabla da el número de peces (en miles) en cada generación.

& \text{Generación} & & 0 & & 4 & & 8 & & 12 & & 16 & & 20 & & 24 & & 28\\ & \text{Número (miles)} & & 2 & & 15 & & 75 & & 343 & & 1139 & & 1864 & & 1990 & & 1999

a) Encontrar el número de peces como una función de la generación.

b) Encontrar el número de peces en la generación 10.

c) Encontrar el número de peces en la generación 25.

Solución

Paso 1 Comprender el problema

Definir x = el número de generación y = el número de peces en el lago

Paso 2 Trazar un plan

Construyamos un diagrama de dispersión con nuestros datos con el número de generación en el eje horizontal y el número de peces en el eje vertical. Sabemos que una población puede incrementar exponencialmente. Así que asumiremos que podemos usar una función exponencial para describir la relación entre el número de generación y el número de pescados.

Paso 3 Resolver

a) Ya que la población incrementa a razón de 1.5 por generación, asumir la función y = 2(1.5)x

b) El número de peces en la generación 10 es y = 2(1.5)^{10} = 115 mil peces.

c) El número de peces en la generación 25 es y = 2(1.5)^{25} = 50502 mil peces.

Paso 4 Chequear

Para chequear la validez de las soluciones grafiquemos la respuestas para b) y c) sobre el diagrama de dispersión. Vemos que la respuesta para b) se ajusta bien a los datos, pero la respuesta para c) no parece ajustarse muy cercanamente. El resultado ni siquiera está en nuestra gráfica.

Cuando la población de eces es grande, los peces compiten por espacio y recursos por lo que no incrementan tan rápido. Debemos cambiar nuestras suposiciones.

Paso 5 Resolver con nuevas suposiciones

Cuando intentamos diferentes regresiones con la calculadora graficadora, encontramos que la regresión logística es la que mejor se ajusta a nuestros datos.

a) Obtenemos la función  y - \frac{2023.6} {1 + 1706.3(2.71)^{-484x}}

b) El número de peces en la generación 10 es  y = \frac{2023.6} {1 + 1706.3(2.71)^{-.484(10)}} = 139.6 miles de peces.

c) El número de peces en la generación 25 es  y = \frac{2023.6} {1 + 1706.3(2.71)^{-.484(25)}} = 2005 miles de peces.

Paso 6 Chequear

Para chequear la validez de las soluciones, grafiquemos la respuestas para b) y c) sobre el diagrama de dispersión. Vemos que ambas respuestas b) y c) están cercanas al resto de los datos.

Concluimos que la función logística representa la situación con más exactitud que la función exponencial. Sin embargo, para poblaciones pequeñas la función exponencial es igualmente una buena representación y es mucho más fácil de usar en muchos casos.

Ejercicios de repaso

  1. En el ejemplo 1, evaluar la longitud del resorte para un peso de = 3 \ onzas usando
    1. la función lineal
    2. la función cúbica
    3. determinar cuál función es la mejor que se puede usar en esta situación.
  2. En el ejemplo 1, evaluar la longitud del resorte para un peso de = 15 \ onzas usando
    1. la función lineal
    2. la función cúbica
    3. determinar cuál función es la mejor que se puede usar en esta situación.
  3. En el ejemplo 2, evaluar la altura del agua en el cilindro cuando t = 4.2 segundos usando
    1. la función lineal
    2. la función cuadrática
    3. determinar cuál función es la mejor que se puede usar en esta situación.
  4. En el ejemplo 2, evaluar la altura del agua en el cilindro cuando t = 19 segundos usando
    1. la función lineal
    2. la función cuadrática
    3. determinar cuál función es la mejor que se puede usar en esta situación.
  5. En el ejemplo 3, evaluar la altura de la pelota cuando t = 5.2 segundos. Encontrar cuando la pelota está en su punto más alto.
  6. En el ejemplo 4, evaluar el número de peces en la generación 8 usando
    1. la función exponencial
    2. la función logística
    3. determinar cuál función es la mejor que se puede usar en esta situación.
  7. En el ejemplo 4, evaluar el número de peces en la generación 18 usando
    1. la función exponencial
    2. la función logística
    3. determinar cuál función es la mejor que se puede usar en esta situación.

Respuestas a los ejercicios de repaso

  1. 2.6 pulgadas
  2. 2.6 pulgadas
  3. Ambas funciones dan el mismo resultado. La función lineal es la mejor porque es más fácil de usar.
  1. 5 pulgadas
  2. 4.5 pulgadas
  3. Las dos funciones dan respuestas diferentes. La función cúbica es mejor porque da una respuesta más precisa.
  1. 34.96 cm
  2. 35.07 cm
  3. Los resultados de ambas funciones son casi los mismos. La función lineal es la mejor porque es más fácil de usar.
  1. -18.02 cm
  2. 3.5 cm
  3. Las dos funciones dan resultados diferentes. La función cuadrática es mejor porque da una respuesta más precisa.
  1. 48.6 metros
  2. 3.7 segundos
  1. 51,000
  2. 55,000
  3. Los resultados de ambas funciones son casi los mismos. La función lineal es mejor porque es más fácil de usar.
  1. 2,956,000
  2. 1,571,000
  3. Las dos funciones dan resultados diferentes. La función logística en mejor porque da una respuesta más precisa.

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