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3.1: Ecuaciones en un Paso

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Objetivos de Aprendizaje

  • Resolver una ecuación usando la suma o adición.
  • Resolver una ecuación usando la sustracción.
  • Resolver una ecuación usando la multiplicación.
  • Resolver una ecuación usando la división.

Introducción

Nadia está ocupada comprando un nuevo reproductor de mp3. Peter la observa pagar por el reproductor con un billete de $100. Ella recibe $22.00 en cambio, y con sólo esta información, Peter deduce cuánto cuesta el reproductor. Cuánto cuesta el reproductor?

En matemáticas, podemos resolver problemas como estos usando una ecuación. Una ecuación es una expresión algebraica que involucra un símbolo de igualdad. Si usamos la letra x para representar el reproductor de mp3 podríamos escribir la siguiente ecuación.

x + 22 = 100

Esto nos dice que el valor del reproductor más el valor del cambio recibido es igual al los $100 que Nadia pagó.

Peter observó la transacción desde un diferente punto de vista. El vio que Nadia recibió el reproductor, le dio al vendedor $100. Luego el vio que Nadia recibía $22 en cambio. Otra forma en la que podríamos escribir la ecuación sería:

x = 100 - 22

Esto nos dice que el valor del reproductor es igual a la cantidad de dinero que Nadia pagó (100 - 22).

Matemáticamente, estas dos ecuaciones son equivalentes. Aunque es más fácil determinar el costo del reproductor de mp3 desde la segunda ecuación. En este capítulo, aprenderemos como resolver para una variable en una ecuación lineal de una variable. Las ecuaciones lineales son ecuaciones en las cuales cada término es o bien una constante o el producto de una constante y una variable individual (a la primera potencia). El término lineal viene de la palabra línea. Tú verás en capítulos posteriores que las ecuaciones lineales definen lineas cuando son representadas en gráficos.

Comenzaremos con problemas simples como el del último ejemplo.

Resolución de una Ecuación usando la Adición o Suma

Cuando escribimos una ecuación algebraica, igualdad significa que cualquier cosa que hagamos a un lado de la ecuación, tenemos que hacerlo al otro lado. Por ejemplo, para pasar de la segunda ecuación en la introducción de nuevo a la primera ecuación, deberíamos agregar una cantidad de 22 en ambos lados:

x& =100-22\\x + 22 & = 100 - 22 + 22 \qquad \text{o} \qquad x + 22 = 100

De forma similar, podemos agregar números a cada lado de una ecuación para ayudar a resolver nuestra incógnita.

Ejemplo 1

Resolver x - 3 = 9

Solución

Necesitamos aislar x. Cambiar nuestra ecuación para que x aparezca sólo a un lado del signo igual. En este momento nuestra x tiene un 3 restándose de ella. Para invertir esto, podríamos sumar 3, pero debemos hacer esto en ambos lados.

x - 3 & = 9 \\x - 3 + 3 & = 9 + 3\ \text{El} +3\ \text{y} - 3\ \text{en la izquierda cancela al otro. Evaluamos}\ 9 + 3 \\x & = 12

Ejemplo 2

Resolver x- 3 = 11

Solución

Para aislar x necesitamos sumar 3 en ambos lados de la ecuación. Esta vez sumaremos verticalmente.

x-\cancel{3}& =11\\+\cancel{3}& =+3\\x& =14

Nota cómo funciona este formato. Un término eliminará siempre (en este caso el tres), pero necesitamos recordar llevar la x abajo y evaluar la suma en el otro lado del signo igual.

Ejemplo 3

Resolver z - 9.7 = -1.026

Solución

Esta vez nuestra variable es z, pero no dejes que eso te preocupe. Trata esta variable como cualquier otra variable.

z-9.7 & = -1.026\\ +9.7 & = +9.7\\ zb& = 8.674

Debes verificar que entiendes la suma de decimales en este ejemplo!

Resolver una Ecuación Usando la Resta o Sustracción

Cuando nuestra variable aparece con un número sumado a ella, seguimos el mismo proceso, sólo que esta vez par aislar la variable sustraemos un número de ambos lados de la ecuación.

Ejemplo 4

Resolver x+6=26

Solución

Para aislar x necesitamos sustraer seis de ambos lados.

\cancel{x}+\cancel{6} & = 26\\-\cancel{6} & =-6\\x & =20

Ejemplo 5

Resolver x+20=-11

Solución

Para aislar x necesitamos sustraer 20 de ambos lados de la ecuación.

x+20 & = -11 \\ -20 & = -20 \\ x & = -31

Ejemplo 6

Resolver  x + \frac{4} {7} = \frac{9} {5}

Solución

Para aislar x necesitamos sustraer \frac{4}{7} de ambos lados.

x + \frac{4} {7} & =\frac{9} {5} \\ -\frac{4} {7} & = -\frac{4} {7} \\ x & = \frac{9} {5} - \frac{4} {7}

Para resolver x, debes estar seguro que conoces cómo sustraer fracciones. Necesitamos encontrar el mínimo común denominador. 5 y 7 son ambos números primos. Así que podemos multiplicar para encontrar el mínimo común denominador, entonces el mcd = 5 \cdot 7=35.

x & = \frac{9} {5} - \frac{4} {7} \\ x & = \frac{7\cdot9} {35} - \frac{4\cdot5} {35}\\ x & = \frac{63 - 20} {35} \\x & =\frac{43} {35}

Debes estar seguro que te sientes cómodo con los decimales y las fracciones! Para dominar el algebra, necesitas trabajar con ellos frecuentemente.

Resolver una Ecuación Usando Multiplicación

Imagina que estas vendiendo pizza a $1.50 la porción y tú obtienes ocho porciones de una pizza individual. Cuánto de ganancia obtienes de una pizza individual? No debería tomarte tanto para saber que obtienes 8 \times \$1.50 = \$12.00. Tú resuelves este problema por multipicación. Los siguientes ejemplos hacen lo mismo de una forma algebraíca, usando la variable desconocida x como el costo en dólares por la pizza completa.

Ejemplo 7

Resolver  \frac{1} {8} \cdot x = 1.5

Nuestra x está siendo multiplicada por un octavo. Necesitamos eliminar o cancelar este factor, así que multiplicamos por el recíproco 8. No olvides multiplicar ambos lados de la ecuación.

\cancel{8}\left (\frac{1}{\cancel{8}}\cdot x \right ) & = 8(1.5)\\x & = 12

En general, cuando x es multiplicado por una fracción, multiplicamos por el recíproco de esa fracción.

Ejemplo 8

Resolver  \frac{9x} {5} = 5

 \frac{9x} {5} es equivalente a  \frac{9} {5} \cdot x entonces x está siendo multiplicado por  \frac{9}{5}. Para cancelar, multiplica por el recíproco  \frac{5} {9}.

\frac{5} {9} \left (\frac{9x} {5}\right ) & = \frac{5} {9} \cdot 5\\ x & = \frac{25}{9}

Ejemplo 9

Resolver 0.25x = 5.25

0.25 es el equivalente decimal de un cuarto, así que para cancelar el factor 0.25 deberíamos multiplicar por 4.

 4(0.25x) & = 4(5.25)\\ x & =21

Resolver una Ecuación Usando la División

Resolver por división es otra forma de cancelar cualquiera de los términos que están multiplicando a x. Puedes suponer que compras cinco barras de dulce idénticas, y te cobran $3.25. Cuánto cuesta cada barra de dulce? Podrías haber dividido $3.25 por 5. O puedes convertir a centavos y dividir 325 por 5. Vamos a ver como se observa este problema en algebra.

Ejemplo 10

Resolver 5x = 3.25 Para eliminar el 5 dividimos en ambos lados por 5.

\frac{\cancel{5}x}{\cancel{5}} & = \frac{3.25}{5}\\x & = 0.65

Ejemplo 11

Resolver  7x = \frac{5} {11}. Dividir ambos lados por 7.

x & = \frac{5} {7\cdot11}\\ x & = \frac{5} {77}

Ejemplo 12

Resolver  1.375x = 1.2. Dividir por 1.375

x & = \frac{1.2} {1.375} \\ x & = 0.8\overline{72}

Puedes notar la barra sobre los últimos dos decimales. Significa recurrencia o repetición: la respuesta completa es 0.872727272....

Enlace Multimedia Para ver más ejemplos de resolución de ecuaciones en uno y dos pasos, observa las series de video (en inglés) Khan Academy Solving Equations

. El narrador de estos videos usa términos y frases informales para describir el proceso de resolución de ecuaciones, pero la práctica extra y el observar ejemplos resueltos podría ser útil para reforzar la fluencia del proceso.

Resolver Problemas del Mundo Real Usando Ecuaciones

Ejemplo 13

En el año 2017, Anne tendrá 45 años. En qué año nació Anne?

Aquí la incógnita es el año en que nació Anne. Esto es x. Esta será nuestra ecuación.

x+45 & = 2017 \\ -45 & = -45 \\ x & = 1972

Solución

Anne nació en 1972.

Ejemplo 14

Una compañía de electronicos que funciona a través de ordenes hechas por correo, provee un pequeño nuevo reproductor de DVD y está usando una balanza para determinar el peso del envio. Usando sólo pesas de una libra, el departamento de envío encontró que el siguiente arreglo equilibra la balanza:

Conociendo que cada peso es una libra, calcula el peso de un reproductor de DVD.

Solución

Sabemos que el sistema está en equilibrio, así que los pesos a cada lado deben ser iguales. Podemos escribir una expresión algebraica tomando como base esta igualdad. La cantidad desconocida, el peso del reproductor de DVD (en libras), será x. El peso combinado a la derecha de la balanza es 5 \times 1 \ lb = 5 \ lb.

2x = 5 Dividir ambos lados por 2.

\frac{\cancel{2}x}{\cancel{2}}& =\frac{5}{2}\\x & = 2.5

Cada reproductor de DVD pesa x 2.5 lbs.

Ejemplo 15

En buen clima, las semillas de tomate pueden crecer hasta ser plantas y dar fruto en corto tiempo, en 19 semanas. Laura plantó sus semillas hace 11 semanas. Qué tanto debe esperar antes que sus tomates esten listos para poder comerse?

Solución

Sabemos que el tiempo total para dar fruta es 19 semanas, y que el tiempo hasta ahora es 11 semanas. Nuestra incógnita es el tiempo que falta en semanas, entonces la llamamos x. Esta es nuestra ecuación.

x+11 & = 19 \\ -11 & = -11 \\ x & = 8

Laura tendrá que esperar otras 8 semanas antes que sus tomates esten listos. Podemos mostrar esto diseñando una tabla.

Ejemplo 16

En 2004, Takeru Kobayashi, de Nagano, Japón, comió 53 \frac{1}{2} hot dogs en 12 minutos. Rompió su anterior récord mundial, establecido en 2002, por tres hot dogs. Calcular:

a) Cuántos minutos le tomó comer un hot dog.

b) Cuántos hot dogs puede comer por minuto.

c) Cuál era su antiguo récord.

a) Sabemos que el tiempo total para 53.5 hot dogs es 12 minutos. Si el tiempo en minutos, para cada hot dog (la incógnita) es x entonces podemos escribir la siguiente ecuación.

53.5x & = 12\ && \text{Dividir ambos lados por}\ 53.5 \\ x = \frac{12} {53.5} & = 0.224\ &&\text{minutos Convertir a segundos, multiplicando por}\ 60.

Solución

El tiempo que toma para comer un hot dog es 0.224 minutos, o cerca de 13.5 segundos.

Nota: Aproximamos nuestra respuesta pues no hay necesidad de darla con una precisión superior a 0.1 (un décimo) de un segundo.

b) Esta vez, observamos nuestros datos un poquito diferente. Conocemos que el comió durante 12 minutos. Su tasa por minuto es nuestra nueva incógnita (para evitar confusión con x, llamaremos a esta y). Sabemos que el número total de hot dogs es 53.5 así que podemos escribir la siguiente ecuación.

 12y & = 53.5\ &&\text{Dividir ambos lados por}\ 12 \\y = \frac{53.5}{12} & = 4.458

Solución

Takeru Kobayashi comió aproximadamente 4.5. hot dogs por minuto.

c) Sabemos que su nuevo récord es 53.5. y también que su nuevo récord es tres más que su antiguo record. Tenemos una nueva incógnita. Llamaremos a su antiguo récord z, y escribimos la siguiente ecuación.

x+3 & = 53.5 \\ -3 & = -3 \\ x & = 50.5

Solución

El antiguo récord de Takeru Kobayashi era 50 \frac{1}{2} hot dogs en 12 minutos.

Resumen de la Lección

  • Una ecuación en la cual cada término es o bien una constante o el producto de una constante y una variable individual es una ecuación lineal.
  • Sumar, sustraer, multiplicar o dividir ambos lados de una ecuación por el mismo valor, da como resultado una ecuación equivalente..
  • Para resolver una ecuación, debemos aislar la variable desconocida en un lado de la ecuación aplicando una o más operaciones aritméticas en ambos lados.

Ejercicios de Repaso

  1. Resolver las siguientes ecuaciones para  x .
    1.  x + 11 = 7
    2.  x - 1.1 = 3.2
    3.  7x = 21
    4.  4x = 1
    5.  \frac{5x} {12} = \frac{2} {3}
    6.  x + \frac{5} {2} = \frac{2} {3}
    7.  x - \frac{5} {6} = \frac{3} {8}
    8.  0.01 x = 11
  2. Resolver las siguientes ecuaciones para la variable desconocida.
    1.  q - 13  = -13
    2.  z + 1.1 = 3.0001
    3.  21 s = 3
    4.  t + \frac{1} {2} = \frac{1} {3}
    5.  \frac{7f} {11} = \frac{7} {11}
    6.  \frac{3} {4} = -\frac{1} {2} \cdot y
    7.  6r = \frac{3} {8}
    8.  \frac{9b} {16} = \frac{3} {8}
  3. Peter está coleccionando fichas de los paquetes de cereal para obtener un bote a escala. En ocho semanas ha coleccionado 10 fichas. El necesita 25 fichas para el bote. Escribir una ecuación y determinar la siguiente información.
    1. Cuantas fichas más necesita coleccionar, n.
    2. Cuantas fichas colecciona por semana, w.
    3. Cuantas semanas más quedan hasta que las envíe para tener su bote, r.
  4. Juan ha horneado un pastel y desea venderlo en su panaderia. El lo va a partir en 12 porciones para venderlas individualmente. Quiere venderlas por el triple del costo que le llevó hacerlas. Los ingredientes le costaron $8.50, y él ocupó $1.25 para cubrir el costo de electricidad al hornearlo. Escribe las ecuaciones que describen los siguientes enunciados:
    1. La cantidad de dinero por la que vende el pastel (u).
    2. La cantidad de dinero que cobra por cada porción de pastel (c).
    3. El beneficio total que obtiene del pastel (w).

Respuestas

  1. x = -4
  2. x = 4.3
  3. x = 3
  4. x = 0.25
  5. x = 1.6
  6. x = - \frac{11}{6}
  7. x = \frac{29}{24}
  8. x = 1100
  1. q = 0
  2. z = 1.9001
  3. s = \frac{1}{7}
  4. t = -\frac{1}{6}
  5. f = 1
  6. y = -1.5
  7. r = \frac{1}{16}
  8. b = \frac{2}{3}
  1. n + 10 = 25, n = 15
  2. 8w = 10, w = 1.25
  3. r\cdot w = 15 or 1.25r = 15, r = 12
  1. u = 3(8.5 + 1.25)
  2. 12v = u
  3. w = u - (8.5 + 1.25)

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