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3.3: Ecuaciones de Pasos Múltiples

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Objetivos de Aprendizaje

  • Resolver una ecuación de pasos múltiples combinando términos semejantes.
  • Resolver una ecuación de pasos múltiples usando la propiedad distributiva.
  • Resolver problemas del mundo real usando ecuaciones de pasos múltiples.

Resolver Ecuaciones de Pasos Múltiples Combinando Términos Semejantes

Hemos visto que cuando resolvemos para una variable desconocida, puede ser simplemente un caso en el que se tenga que mover términos en uno o dos pasos. Podemos observar ahora la resolución de ecuaciones que toman varios pasos para aislar la variable desconocida. Tales ecuaciones son referidas como ecuaciones de pasos múltiples.

En esta sección, simplemente combinaremos los pasos que ya conocemos cómo hacerlos. Nuestra meta será terminar con todas las constantes a un lado de la ecuación y todas las variables al otro lado. Haremos esto agrupando “términos semejantes”. No lo olvides, los términos semejantes tienen la misma combinación de variables en ellos.

Ejemplo 1

Resolver  \frac{3x+4} {3} - 5x = 6

Este problema involucra una fracción. Antes que podamos combinar los términos de la variable, necesitamos tratar con ellas. Vamos a colocar todos los términos en la izquierda sobre un denominador común, que es tres.

 \frac{3x+4} {3} - \frac{15x} {3} & =6\ && \text{Luego combinamos las fracciones}. \\\frac{3x+4 - 15x} {3} & = 6\ && \text{Combinar t\'{e}rminos semejantes}. \\\frac{4 - 12x} {3} & = 6\ && \text{Multiplicar ambos lados por}\ 3. \\4-12x & =18\ && \text{Sustraer}\ 4\ \text{de ambos lados}. \\-12x & =14\ && \text{Dividir ambos lados por}\ -12 \\\frac{-12} {-12} x  & = - \frac{14} {12}

Solución

 x = - \frac{7} {6}

Resolver Ecuaciones de Pasos Múltiples Usando la Propiedad Distributiva

Tú has visto en algunos de los ejemplos que podemos escoger dividir una constante o distribuirla. La elección depende si queremos o no obtener una fracción como resultado. Estamos tratando de simplificar la expresión. Si podemos dividir números grandes sin obtener una fracción, entonces evitamos coeficientes grandes. La mayor parte del tiempo, tendremos que distribuir y luego agrupar términos semejantes.

Ejemplo 2

Resolver 17(3x+ 4) =7

Esta ecuación tiene la x encerrada en paréntesis. Para extraerla, podemos proceder en una de dos formas. Podemos distribuir el diecisiete en la izquierda, o dividir ambos lados por diecisiete para removerlo del extremo izquierdo. Si dividimos por diecisiete, de cualquier manera, acabaremos con una fracción. De ser posible deseamos evitar las fracciones!

17(3x+ 4) & =7\ && \text{Distribuir el}\ 17. \\51x+68 & = 7 \\-68 & =-68\ && \text{Sustraer}\ 68\ \text{de ambos lados}. \\51x & =-61\ && \text{Dividir por}\ 51.

Solución

 x = -\frac{61} {51}

Ejemplo 3

Resolver 4(3x-4) - 7(2x+3) = 3

Esta vez necesitaremos agrupar términos semejantes, pero están escondidos dentro de los paréntesis. Comenzamos por expandir los paréntesis.

12x - 16 - 14x - 21 & = 3\ && \text{Agrupar los t\'{e}rminos semejantes}\ (12x\ \text{y}\ -14x). \\(12x -14x) + (-16 - 21) & = 3\ && \text{Evaluar cada grupo de t\'{e}rminos semejantes}. \\-2x-37 & =3 \\+37&+37 && \text{Sumar} \ 37 \ \text{en ambos lados}. \\-2x& =40 \\\frac{-2x}{-2} & =\frac{40}{-2}\ && \text{Dividir ambos lados por}\ -2.

Solución

x=-20

Ejemplo 4

Resolver la siguiente ecuación para x.

 0.1(3.2 + 2x) + \frac{1} {2} \left (3- \frac{x} {5}\right ) = 0

Esta función contiene fracciones y decimales. Deberíamos convertir todos los términos a uno o a otros. con frecuencia es más fácil convertir decimales a fracciones, pero las fracciones en esta ecuación se pueden pasar fácilmente a la forma decimal. Los decimales no requieren un denominador común!

Escribe de nuevo en forma decimal.

0.1 (3.2 +2x) +0.5 (3- 0.2x)& = 0\ && \text{Multiplicar fuera los decimales:} \\0.32 +0.2x +1.5 - 0.1x & = 0\ && \text{Agrupar t\'{e}rminos semejantes:} \\(0.2x -0.1x) + (0.32+1.5) & = 0\ && \text{Evaluar cada agrupaci\'{o}n:} \\0.1x+1.82 & = 0\ && \text{Sustraer}\ 1.82\ \text{de ambos lados} \\-1.82\ & -1.82 \\0.1x & = -1.82\ && \text{Dividir por}\ -0.1 \\\frac{0.1x}{0.1} & = \frac{-1.82}{0.1}

Solución

x=18.2

Resolver Problemas del Mundo Real Usando Ecuaciones de Pasos Múltiples

Los problemas del mundo real requieren que interpretes de un problema en palabras a una ecuación. Primero, observa lo que la ecuación está preguntando. Qué es lo desconocido que tienes que resolver? Eso determinará la cantidad que usaremos para nuestra variable. El texto explica lo que está pasando. Puedes cortarlo en pequeños trozos manejables. Luego, sigue detenidamente lo que pasa con nuestra variable a lo largo del problema.

Ejemplo 5

Una cooperativa de agricultores tiene un mercado de la granja en el centro de la ciudad cada Sábado. Ellos venden lo que han cosechado y dividen el dinero en varias categorías. 8.5% de todo el dinero es removido para impuestos de venta. $150 es ocupado para pagar la renta del espacio que ocupan. Lo que sobra es dividido entre los siete agricultores. Cuanto dinero es ocupado en total si cada agricultor recibe $175?

Vamos a traducir el texto de arriba para transformarlo en una ecuación. La incógnita va a ser el total de dinero en dólares. Llamaremos a esto x.

“8.5% de todo el dinero ganado que ha sido ocupado para los impuestos de las ventas”. Esto significa que 91.5% del dinero of the money remains. Esto es 0.915x.

 (0.915x - 150)

$150 es tomado para pagar la renta del espacio que ocupan”

\frac{0.915x - 150} {7}

“Lo que queda es dividido entre los 7 agricultores”

Si la parte que cada agricultor recibe es $175, entonces podemos escribir la siguiente ecuación.

 \frac{0.915x -150} {7} & = 175\ && \text{Multiplicar en ambos lados por}\ 7. \\0.915x-150 & = 1225\ && \text{Sumar}\ 150\ \text{en ambos lados}. \\0.915 x & = 1375\ && \text{Dividir por}\ 0.915.\\\frac{0.915x} {0.915} & = \frac{1373} {0.915} \\& = 1502.7322 \ldots && \text{Aproximar a dos cifras decimales}.

Solución

Si cada uno de los agricultores recibe $175 entonces ellos deben tomar por lo menos $1,502.73.

Ejemplo 6

El director de una fabrica está empacando componentes de motor en cajas de madera para ser enviadas en pequeños camiones. El camión está diseñado para cargar con seguridad dieciséis cajas con un peso de 1200 lb. Cada caja vacía pesa doce libras. Cuanto peso debería indicar el director a sus trabajadores que coloquen en cada caja para obtener el peso de envío tan cercano a 1200 lbs?

La cantidad desconocida es el peso a colocar en cada caja. Esto es x. Cada caja, con peso completo:

(x + 12) &&& 16\ \text{las cajas deben pesar}. \\16(x + 12) &&& \text{y este debe ser igual}\ 16\ \text{lbs}. \\16(x + 12) & = 1200\ && \text{Aislar}\ x \ \text{Primero, dividir ambos lados por}\ 16. \\x + 12 & = 75\ && \text{Despu\'{e}s sustraer}\ 12 \ \text{de ambos lados}. \\x & = 63

Solución

El director debería decirle a los trabajadores que coloquen 63 lbs de componentes en cada caja.

Ley de Ohm

La corriente eléctrica, I (amps), pasando a través de componentes electrónicos varía directamente con el voltaje aplicado, V (volts), de acuerdo a la relación:

V=I \cdot R donde R es la resistencia (medida en Ohms - \Omega)

Ejemplo 7

Un científico está tratando de deducir la resistencia de un componente desconocido. El científico etiqueta la resistencia del componente desconocido como x\Omega. La resistencia de un circuito que contiene un número de estos componentes es (5x + 20)\Omega. Si una diferencia potencial de 120 voltios (volt) a través del circuito produce una corriente de 2.5 amperios (amps), calcula la resistencia del componente desconocido.

Sustituye V=120, I=2.5 y R=5x+20 en V=I \cdot R:

120 & = 2.5(5x + 20) & & \text{Distribuir el} \ 2.5.\\120 & = 12.5x+50 & & \text{Sustraer} \ 50 \ \text{de ambos lados}.\\ -50 & = -50\\70 & =12.5x  & & \text{Dividir ambos lados} \ 12.5.\\\frac{70}{12.5}& =\frac{12.5x}{12.5}\\5.6\Omega & = x

Solución

Los componentes desconocidos tienen una resistencia de 5.6 \Omega.

Distancia, Velocidad y Tiempo

La velocidad de un cuerpo es la distancia a la que viaja por unidad de tiempo. Podemos determinar que tan lejos se mueve un objeto en una cierta cantidad de tiempo multiplicando la velocidad por el tiempo. Aquí está nuestra ecuación.

\text{distancia} = \text{velocidad} \times \text{tiempo}

Example 8

El automóvil de Shanice está viajando a 10 millas por hora más lento que el doble de la velocidad del automóvil de Brandon. Ella cubre 93 millas en 1 hora 30 minutos. Qué tan rápido está manejando Brandon?

Aquí tenemos dos incógnitas en este problema. La velocidad de Shanice y la velocidad de Brandon. Conocemos que la velocidad de Shanice es diez veces menor que la velocidad de Brandon. Ya que la pregunta es acerca de la velocidad de Brandon, es su velocidad en millas por hora la que será x.

Sustituyendo en los campos de distancia y tiempo en la ecuación:

93& =2x-10 \times 1.5 & & \text{Dividido por} \ 1.5.\\62& =2x-10\\+10 & = +10 & & \text{Sumar} \ 10 \ \text{en ambos lados}.\\72& =2x\\\frac{72}{2}&=\frac{2x}{2}& & \text{Dividir ambos lados por} \ 2.\\36& =x

Solución

Peter está manejando a 36 millas por hora.

Este ejemplo debería ser revisado considerando la situación en otra forma: Podemos usar el hecho de lo que Shanice cubre 93 millas en 1 hora 30 minutos para determinar su velocidad (llamaremos a esto y como x ha sido definida como la velocidad de Brandon):

93 & = y \cdot 1.5\\\frac{93} {1.5} & = \frac{1.5y}{1.5}&  & & \text{Dividir ambos lados por} \ 1.5.\\y&=62 \ mph

Podemos usar entonces esta información para determinar la velocidad de Shanice convirtiendo el texto a una ecuación.

“El automóvil de Shanice esta viajando a 10 millas por hora más lento que el doble de la velocidad del automóvil de Peter”

Se traslada a

y = 2x -10

Entonces es un simple asunto de sustituir en nuestro valor pory y luego resolver para x:

& 62 = (2x - \bcancel{10})\\& \underline{+10 \qquad +\bcancel{10}\quad }  & & \text {Sumar} \ 10 \  \text {en ambos lados}.\\& 72 = 2x \\& 72 = 2x & & \text{Dividir ambos lados por} \ 2.\\& \frac{72} {2} = \frac{2x}{2}\\ & \ x=36 \ \text{millas por hora}.

Solución

Brandon está manejando a 36 millas por hora.

Puedes ver que llegamos exactamente a la misma respuesta de cualquier manera que resolvamos el problema. En álgebra, hay casi siempre más de un método para resolver un problema. Si el tiempo lo permite, es una excelente idea tratar de resolver el problema usando dos diferentes métodos y entonces confirmar que has calculado tu respuesta correctamente.

Velocidad del Sonido

La velocidad del sonido en aire seco, v, está dado por la siguiente ecuación.

v = 331 + 0.6T donde T es la temperatura en Celsius y v es la velocidad del sonido en metros por segundo.

Ejemplo 9

Tashi golpea un tubo de desagüe con un martillo y a 250 metros de distancia Minh escucha el sonido y golpea su propia tubería de desagüe. Desafortunadamente, hay un segundo de retraso entre él escuchando el sonido y golpeando su propio tubo. Tashi mide precisamente el tiempo desde su golpe en el tubo y el momento en que escucha el golpe de Minh a 2.46 segundos. Cual es la temperatura del aire?

Este problema complejo debe ser cuidadosamente trasladado a ecuaciones:

\text{Distancia recorrida} &= (331 + 0.6T) \times \text{tiempo}\\\text{tiempo } & = (2.46 - 1) & & \text{No olvides, por un segundo el sonido no esta viajando}\\\text{Distancia}& = 2 \times 250

Nuestra ecuación:

2(250) & = (331 + 0.6T)\cdot (2.46 - 1) & & \text{Simplificar t\'{e}rminos}.\\\frac{500}{1.46} & = \frac{1.46(331 + 0.6T)}{1.46} & & \text{Dividir por} \ 1.46.\\342.47 -331 & = 331 + 0.6T -331 & & \text{Sustraer 331 de ambos lados}.\\\frac{11.47}{0.6} & = \frac{0.6T}{0.6}& & \text{Dividir por} \ 0.6.\\19.1 & = T

Solución

La temperatura es 19.1 grados Celsius.

Repaso de la Lección

  • Si al dividir un número fuera del paréntesis producirá fracciones, con frecuencia es mejor usar la Propiedad Distributiva (por ejemplo, 3(x + 2) = 3x + 6) para expandir los términos y luego combinar los términos semejantes para resolver la ecuación.

Ejercicios de Repaso

  1. Resolver las siguientes ecuaciones para la variable desconocida.
    1.  3 (x - 1) - 2 (x + 3) = 0
    2.  7(w + 20) - w = 5
    3.  9(x - 2) = 3x + 3
    4.  2 \left (5a - \frac{1} {3}\right ) = \frac{2} {7}
    5.  \frac{2} {9} \left (i + \frac{2}{3}\right ) = \frac{2} {5}
    6.  4 \left (v + \frac{1} {4}\right )  = \frac{35} {2}
    7.  \frac{s - 4} {11} =  \frac{2} {5}
    8.  \frac{p} {16} - \frac{2p} {3} = \frac{1} {9}
  2. Un ingeniero está construyendo una plataforma suspendida para elevar bolsas de cemento. La plataforma tiene una masa de 200 kg, y cada bolsa de cemento es 40 kg. El está usando dos cables de acero, cada uno capaz de sostener 250 kg. Escribe una ecuación para el número de bolsas que puede colocar en la plataforma de una sola vez, y resuelvela.
  3. Un científico está probando un número de componentes idénticos de resistencia desconocida al cual coloca la etiqueta de x \Omega. El conecta un circuito con resistencia (3x + 4)\Omega a una fuente constante de 12 Volt y encuentra que esto produce a una corriente de 1.2 Amps. Cual es el valor de la resistencia desconocida?
  4. Lydia heredó una suma de dinero. Ella la divide en cinco partes iguales. Invierte tres partes del dinero en una cuenta de banco de alto interés que acumula el 10% al valor. Ella coloca el resto de su herencia más $500 en el mercado de valores pero pierde 20% de ese dinero. Si las dos cuentas terminan con exactamente la misma cantidad de dinero, cuando ha heredado Lydia?
  5. Pang manejó a la casa de su madre para dejarle su nuevo TV. El manejó a 50 millas por hora para ir y luego regresar, y tardó 10 minutos en dejarle el TV. El viaje completo le tomó 94 minutos. Qué tan lejos vive su madre?

Respuestas

    1. x = 9
    2. w = -22.5
    3. x = 3.5
    4. a = \frac{2}{21}
    5. i = \frac{17}{15}
    6. v = \frac{33}{8}
    7. s = \frac{42}{5}
    8. p = -\frac{16}{87}
  1. 2(250) = 200 + 40x; x = 7.5  \rightarrow 7 bolsas
  2.  2\Omega
  3. $1,176.50
  4. 35 millas

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