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3.4: Ecuaciones con Variables en Ambos Lados

Difficulty Level: At Grade Created by: CK-12
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Objetivos de Aprendizaje

  • Resolver una ecuación con variables en ambos lados.
  • Resolver una ecuación con símbolos de agrupamiento.
  • Resolver problemas del mundo real usando ecuaciones con variables en ambos lados.

Resolver una Ecuación con Variables en Ambos Lados

Cuando la variable aparece en ambos lados de la ecuación, necesitamos manipular nuestra ecuación de forma que todas las variables aparezcan en un lado, y que al otro extremo aparezcan sólo constantes.

Ejemplo 1

A Dwayne le dijo su profesor de química que usando una balanza midiera el peso de un beaker vacío. Dwayne encontró sólo pesas de una libra, así que inventó la siguiente forma de equilibrar la balanza.

Conociendo que cada pesa es de una libra, calcula el peso de un beaker.

Solución

Sabemos que el sistema se equilibra, así que los pesos en cada lado deben ser iguales. Podemos escribir una expresión algebraica basada en este hecho. La cantidad desconocida, el peso del beaker, será nuestra \begin{align*}x\end{align*}x. Podemos ver que en el plato izquierdo de la balanza tenemos un beaker y cuatro pesas. en el plato derecho, tenemos cuatro beakers y tres pesas. El equilibrio de la balanza es análogo al equilibrio de la siguiente ecuación.

\begin{align*}x + 4 = 4x+ 3\end{align*}x+4=4x+3

“Un beaker más 4 lbs es igual a 4 beakers más 3 lbs”

Para resolver el peso del beaker, queremos que todas las constantes (números) estén en un lado y todas las variables (términos con \begin{align*}x\end{align*}x en) el otro lado de la ecuación. Observa el otro lado. Observa la balanza. Hay más beakers en la derecha y más pesas en la izquierda. Nuestro objetivo será terminar sólo con términos \begin{align*}x\end{align*}x (beakers) en la derecha, y sólo constantes (pesas) en la izquierda.

\begin{align*}& \ x+4=4x+3 & & \text{Sustraer} \ 3 \ \text{de ambos lados}.\\ & \underline{\quad -3= -3 \qquad }\\ & \ x+1=4x\\ & \underline{\quad -x =-x \qquad } & & \ \text{Sustraer} \ x \ \text{en ambos lados}.\\ & \quad \ \ \ 1=3x\\ & \quad \ \ \frac{1}{3} = \frac{\cancel{3}x}{\cancel{3}} & & \text{Dividir ambos lados por} \ 3.\\ & \quad \ \ x = \frac{1} {3}\end{align*} x+4=4x+33=3 x+1=4xx=x   1=3x  13=3x3  x=13Sustraer 3 de ambos lados. Sustraer x en ambos lados.Dividir ambos lados por 3.

Constestar El peso del beaker es un tercio de una libra.

Podemos hacer lo mismo con objetos reales como lo hemos hecho con la ecuación. Nuestra primera acción fue sustraer tres de ambos lados del signo de la ecuación. En la balanza, podríamos remover un cierto número de pesas o beakers de cada plato. Porque removemos el mismo número de pesas en cada extremo, sabemos que la balanza seguirá en equilibrio.

En la balanza, podríamos remover tres pesas de cada plato. Esto dejaría un beaker y una pesa a la izquierda y cuatro beakers a la derecha (en otras palabras \begin{align*}x+1=4x\end{align*}).:

El próximo paso que podemos hacer es remover un beaker de cada plato de la balanza dejando solo una pesa en la izquierda y tres beakers en la derecha y verás nuestra ecuación final: \begin{align*}1 = 3x\end{align*}.

Mirando a la balanza, está claro que el peso del beaker es un tercio de una libra.

Ejemplo 2

Se le dijo a Sven que encuentre con una balanza el peso de una caja vacía. Sven encontró pesas de una libra y pesas de cinco libras. El colocó dos pesas de una libra en tres de las cajas y con una cuarta caja vacía encontró la siguiente manera de equilibrar las balanzas.

Conociendo que las pesas pequeñas son de una libra y las pesas grandes son de cinco libras, debes calcular el peso de una caja.

Sabemos que el sistema se equilibra, así que las pesas en ambos extremos deben ser iguales. Podemos escribir una expresión algebraica basada en esta igualdad. La cantidad desconocida, el peso de cada caja vacía, en libras, será nuestra \begin{align*}x\end{align*}. Una caja con dos pesas de 1 lb dentro de ella pesa \begin{align*}(x+2)\end{align*}. Aquí está la ecuación.

\begin{align*}& 3(x+2)=x + 3(5) & & \text{Distribuye el} \ 3.\\ & \ \ 3x+6=\bcancel{x}+5\\ & \underline{\quad \ \ -x=-\bcancel{x} \ \qquad} & & \text{Sustraer} \ x \ \text{de ambos lados}.\\ & \ \ 2x+\bcancel{6}=15\\ & \underline{\quad \ \ -\bcancel{6}=-6 \ \qquad } & & \text{Sustraer} \ 6 \ \text{de ambos lados}.\\ & \qquad \ 2x=9 & & \text{Dividir ambos lados por} \ 2.\\ & \qquad \ \ x = 4.5\end{align*}

Solución

Cada caja pesa 4.5 lbs.

Multimedia Link Para ver más ejemplos de resolución de ecuaciones con variables en ambos lados de la ecuación, mira Khan Academy Solving Linear Equations 3. Este video tiene muchos más ejemplos de resolución de ecuaciones y puede ayudarte a practicar el procedimiento de resolución de ecuaciones lineales con variables en ambos lados de la ecuación.

Resolver una Ecuación con Símbolos de Agrupamiento

Cuando tenemos un número de términos semejantes en un lado del signo igual, podemos agrupar términos semejantes luego sumarlos con el fin de resolver nuestra variable. Cuando movemos variables de un lado de la ecuación al otro lado, algunas veces los encerramos con símbolos de agrupación. Esencialmente estamos haciendo exactamente lo que hacemos con las constantes. Podemos sumar y sustraer términos variables justo como lo haríamos con los números. En fracciones, ocasionalmente tendremos que multiplicar y dividir por variables con el fin de tenerlas en el numerador.

EJemplo 3

Resolver \begin{align*}3x + 4 = 5x\end{align*}

Solución

Esta ecuación tiene \begin{align*}x\end{align*} en ambos lados. De cualquier manera, sólo hay un término numérico en la izquierda. Vamos a mover entonces todos los términos con \begin{align*}x\end{align*} a la derecha del signo igual dejando la constante a la izquierda.

\begin{align*}& \bcancel{3x}+4=5x & & \text{Sustraer} \ 3x \ \text{de ambos lados}.\\ & \underline{- \bcancel{3x}\quad -3x \;\;} \\ & \qquad \ 4=2x\\ & & & \text{Dividir por} \ 2\\ & \qquad \frac{4} {2} = \frac{2x}{2}\end{align*}

Solución

\begin{align*}x=2\end{align*}

Ejemplo 4

Resolver \begin{align*}9x = 4-5x\end{align*}

Esta vez agruparemos términos semejantes (términos \begin{align*}x\end{align*}) a la izquierda del signo igual.

\begin{align*}& \quad 9x=4-\bcancel{5x}\\ & \underline{+5x \qquad +\bcancel{5x}\qquad} & & \text{Sumar} \ 5x \ \text{a ambos lados}.\\ & \ 14x = 4\\ & \ 14x = 4 & & \text{Dividir por} \ 14.\\ & \frac{14x}{14} = \frac{4} {14}\\ & \ \quad x=\frac{2} {7}\end{align*}

Solución

\begin{align*} x = \frac{2} {7}\end{align*}

Ejemplo 5

Resolver \begin{align*} 3x + 2 = \frac{5x} {3}\end{align*}

Esta ecuación tiene \begin{align*}x\end{align*} en ambos lados y una fracción. Siempre es fácil el manejo de ecuaciones que no tienen fracciones. La primera cosa que haremos es deshacernos de la fracción.

\begin{align*}& \ \quad 3x + 2 = \frac{5x}{3}\\ & 3(3x + 2) = 5x & & \text{Multiplicar ambos lados por} \ 3.\\ & & & \text{Distribuir el} \ 3.\\ & \ \quad \bcancel{9} x+6=5x\\ & \underline{\ -9\bcancel{x} \qquad -9x\quad} & & \text{Sustraer} \ 9x \ \text{de ambos lados}:\\ & & & \text{Dividir por} \ -4.\\ & \ \qquad \frac{6} {-4} = \frac{-4x}{-4}\\ & \ \qquad \frac{6}{-4}=x\\ & \qquad -\frac{3}{2}=x\end{align*}

Solución

\begin{align*} x = -1.5\end{align*}

Ejemplo 6

Resolver \begin{align*} 7x + 2 = \frac{5x - 3} {6}\end{align*}

Otra vez comenzamos eliminando la fracción.

\begin{align*}& \quad \ 7x + 2 = \frac{5x - 3} {6}\\ & 6(7x + 2) = \frac{5x - 3} {6} \cdot 6 & & \text{Multiplicar ambos lados por} \ 6.\\ & 6(7x + 2) = 5x - 3 & & \text{Distribuir el} \ 6.\\ & \ 42x+12=\cancel{5x}-3 & & \text{Sustraer} \ 5x \ \text{de ambos lados}:\\ & \underline{-5x \quad \quad \ -\cancel{5x}\ \qquad}\\ & \ 37x+\cancel{12}=-3 & & \text{Sustraer} \ 12 \ \text{de ambos lados}.\\ & \underline{\ \qquad -\cancel{12} \ -12\qquad}\\ & \qquad \ 37x=-15 \\ & \qquad \frac{37x}{37}=\frac{-15}{37} & & \text{Dividir por} \ 37.\end{align*}

Solución

\begin{align*} x = - \frac{15} {37}\end{align*}

Ejemplo 7

Resolver la siguiente ecuación \begin{align*}x\end{align*}.

\begin{align*} \frac{14x} {(x + 3)} = 7\end{align*}

La forma del lado izquierdo de esta ecuación es conocida como una función racional porque es la relación de dos otras funciones \begin{align*}(14x)\end{align*} y \begin{align*}(x+3)\end{align*}. De cualquier manera, deseamos simplificar para resolver \begin{align*}x\end{align*} así que empezamos por eliminar la fracción. Hacemos esto como siempre lo hemos hecho, multiplicando por el denominador.

\begin{align*}& \frac{14x} {(x + 3)} (x+3)= 7(x+3) & & \text{Multiplicar por} \ (x+3).\\ & \qquad \qquad \quad 14x = 7(x + 3) & & \text{Distribuir el} \ 7.\\ & \qquad \qquad \quad 14x=\bcancel{7x}+21\\ & \qquad \quad \quad \underline{\ -7x=-\bcancel{7x}\qquad} & & \text{Sustraer} \ 7x \ \text{de ambos lados}.\\ & \qquad \qquad \quad \ \ 7x=21\\ & \qquad \qquad \quad \ \frac{7x}{7}=\frac{21}{7} & & \text{Dividir ambos lados por} \ 7\\ & \qquad \qquad \quad \ \ \ x=3\end{align*}

Resolver Problemas del Mundo Real Usando Ecuaciones con Variables en Ambos Lados

Construye tus habilidades en trasladar problemas de palabras a ecuaciones. Qué es lo que la ecuación está preguntando? Cual es la variable desconocida? Qué cantidad usaremos para nuestra variable?

El texto explica lo que está pasando. Sepáralo en pequeños pedazos manejables, y sigue lo que está pasando con nuestra variable a través de todo el problema.

Más sobre la Ley de Ohm

La corriente eléctrica, \begin{align*}I\end{align*} (amps), pasando a través de un componente electrónico varia directamente con el voltaje aplicado, \begin{align*}V\end{align*} (volts), de acuerdo a la relación:

\begin{align*}V=I \cdot R & & \text{donde} \ R \ \text{es la resistencia (medido en Ohms)}\end{align*}

La resistencia \begin{align*}R\end{align*} de un número de componentes cableados en series (uno después de otro) está dado por: \begin{align*}R=r_1 +r_2 + r_3 + r_4 + \ldots\end{align*}

Ejemplo 8

En un intento de encontrar la resistencia de un nuevo componente, un científico lo prueba en serie con resistencias estándar. Un voltaje fijo causa una corriente de 4.8 amp en un circuito preparado del nuevo componente más una resistencia en serie de \begin{align*}15\Omega\end{align*}. Cuando el componente es colocado en un circuito en serie con una resistencia de \begin{align*}50\Omega\end{align*}, el mismo voltaje causa una corriente que fluye a 2.0 amp. Calcula la resistencia del nuevo componente.

Este es un problema complejo de interpretar, pero una vez que convertimos la información en ecuaciones es relativamente directo de resolver. Primero estamos tratando de encontrar la resistencia del nuevo componente en Ohmnios, \begin{align*}\Omega\end{align*}). Esta es nuestra \begin{align*}x\end{align*}. No sabemos el voltaje que esta siendo usado, pero podemos dejarlo simplemente como \begin{align*}V\end{align*}. Nuestra primera situación tiene la resistencia como incógnita más \begin{align*}15\Omega \end{align*}. La corriente es de 4.8 amps. Sustituye en la fórmula \begin{align*}V=I\cdot R\end{align*}.

\begin{align*}V = 4.8(x + 15)\end{align*}

Nuestra segunda situación tiene la resistencia como incógnita más \begin{align*}50\Omega\end{align*}. La corriente es de 2.0 amps.

\begin{align*}V = 2(x+ 50)\end{align*}

Conocemos que el voltaje es arreglado, así que \begin{align*}V\end{align*} en la primera ecuación debe igualar a \begin{align*}V\end{align*} en la segunda. Esto significa que:

\begin{align*}& 4.8(x + 15) = 2(x + 50) & & \text{Distribuir las constantes}.\\ & \ \ 4.8x+72=\bcancel{2x}+100\\ & \underline{-2x \qquad \quad -\bcancel{2x}\qquad \;\;} & & \text{Sustraer} \ 2x \ \text{de ambos lados}.\\ & \ \ 2.8x+\bcancel{72}=100\\ & \underline{-72 \ \ -\bcancel{72}\qquad \qquad \quad} & & \text{Sustraer} \ 72 \ \text{de ambos lados}.\\ & \ \qquad \ 2.8x=28 & & \text{Dividir ambos lados por} \ 2.8.\\ & \ \qquad \frac{2.8x}{2.8}=\frac{28}{2.8}\\ & \qquad \quad \ \ \ x=10 \end{align*}

Solución

La resistencia del componente es \begin{align*}10 \Omega\end{align*}.

Resumen de la Lección

  • Si una variable desconocida aparece en ambos lados, distribuir como sea necesario. Luego sustraer (o sumar) un término en ambos lados para simplificar la ecuación y tener la incógnita en un lado solamente.

Preguntas

  1. Resuelve las siguientes ecuaciones para la variable desconocida.
    1. \begin{align*} 3(x - 1) = 2(x + 3)\end{align*}
    2. \begin{align*} 7(x + 20) = x + 5\end{align*}
    3. \begin{align*} 9(x - 2) = 3x + 3\end{align*}
    4. \begin{align*} 2 \left (a - \frac{1} {3}\right ) = \frac{2} {5} \left (a + \frac{2} {3}\right )\end{align*}
    5. \begin{align*} \frac{2} {7} \left (t + \frac{2} {3}\right ) = \frac{1} {5} \left (t - \frac{2} {3}\right )\end{align*}
    6. \begin{align*} \frac{1} {7} \left (v + \frac{1} {4}\right ) = 2 \left ( \frac{3v} {2}- \frac{5} {2}\right )\end{align*}
    7. \begin{align*} \frac{y-4} {11} = \frac{2}{5} \cdot \frac{2y + 1} {3}\end{align*}
    8. \begin{align*} \frac{z} {16} = \frac{2(3z + 1)} {9}\end{align*}
    9. \begin{align*} \frac{q} {16} + \frac {q} {6} = \frac{(3q + 1)} {9} + \frac{3} {2}\end{align*}
  2. Manoj y Tamar están discutiendo sobre un truco de números que escucharon. Tamar le dice a Andrew que piense en un número, multiplicarlo por cinco y sustraer tres del resultado. Entonces Manoj le dice a Andrew que piense en un número le sume cinco y multiplique el resultado por tres. Andrew dice que cualquiera que sea la forma en que haga el truco obtiene el mismo resultado. Cuál fue el número de Andrew?
  3. Tengo suficiente dinero para comprar cinco CDs a precio regular y tengo $6 que me sobran. De cualquier forma todos los CDs están en venta hoy por $4 menos que lo normal. Si presto $2, puedo conseguir nueve de ellos. Cuantos CDs hay en venta hoy?
  4. Cinco componentes electrónicos idénticos estaban conectados en series. Un voltaje arreglado pero desconocido colocado a través de ellos causa una corriente fluida de 2.3 amperios. Cuando dos de los componentes son reemplazados con resistencias estándard \begin{align*}10\Omega\end{align*}, la corriente baja a 1.9 amperios. Cual es la resistencia de cada componente?
  5. Resolver los siguientes problemas de resistencia. Debes asumir que el mismo voltaje es aplicado a todos los circuitos.
    1. Tres resistencias desconocidas más \begin{align*}20\Omega\end{align*} dan la misma corriente que una resistencia desconocida más \begin{align*}70\Omega\end{align*}.
    2. Una resistencia desconocida da una corriente de 1.5 amperios y una resistencia de \begin{align*}15\Omega\end{align*} da una corriente de 3.0 amperios.
    3. Siete resistencias desconocidas más \begin{align*}18\Omega\end{align*} da el doble de corriente que dos resistencias desconocidas más \begin{align*}150\Omega\end{align*}.
    4. Tres resistencias desconocidas más \begin{align*}1.5\Omega\end{align*} da una corriente de 3.6 amperios y siete resistencias desconocidas más 7 \begin{align*}12\Omega\end{align*} dan una corriente de 0.2 amperios.

Ejercicios de Repaso

    1. \begin{align*}x = 9 \end{align*}
    2. \begin{align*}x = -22.5\end{align*}
    3. \begin{align*}x = 3.5 \end{align*}
    4. \begin{align*}a = \frac{7}{12} \end{align*}
    5. \begin{align*}t = -\frac{34}{9}\end{align*}
    6. \begin{align*}v = \frac{141}{80} \end{align*}
    7. \begin{align*}y = - \frac{82}{29}\end{align*}
    8. \begin{align*}z = -\frac{32}{87}\end{align*}
    9. \begin{align*}q = -\frac{232}{15} \end{align*}
  1. 9
  2. $7
  3. \begin{align*} 6.55\Omega\end{align*}
    1. unknown \begin{align*} = 25 \Omega\end{align*}
    2. unknown \begin{align*} = 30 \Omega\end{align*}
    3. unknown \begin{align*} = 94 \Omega\end{align*}
    4. unknown \begin{align*} = 1.213 \Omega\end{align*}

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CK.MAT.SPA.SE.1.Algebra-I.3.4
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