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3.5: Relaciones y Proporciones

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Objetivos de Aprendizaje

  • Escribir e Interpretar una relación.
  • Escribir y resolver una proporción..
  • Resolver proporciones usando productos cruzados.

Introducción

Nadia está contando dinero con su pequeño hermano. Ella le da a su hermano todas las monedas de uno y cinco centavos. Guarda para ella misma las monedas de diez y veinticinco centavos. Nadia tiene cuatro monedas de veinticinco centavos (valen 25 centavos cada una) y seis monedas de diez centavos (valen 10 centavos cada una). Su hermano tiene quince monedas de cinco centavos (valen 5 centavos cada una) y cinco monedas de un centavo (valen un centavo cada una) y está feliz porque él tiene más monedas que su hermana. Cómo le explicarías a él que está haciendo un mal trato?

Escribir una relación

Una relación es una forma de comparar dos números, medidas o cantidades. Cuando escribimos una relación, dividimos un número por otro y expresamos la respuesta como fracción. Existen dos tipos diferentes de relaciones en el problema anterior. Por ejemplo, la relación del número de monedas de Nadia con su hermano es:

 \frac{4+6} {15+5} = \frac{10} {20}

Cuando escribimos una relación, la forma correcta es simplificar la fracción.

\frac{10}{20} = \frac{\cancel{2}.\cancel{5}}{2.\cancel{2}.\cancel{5}} = \frac{1}{2}

En otras palabras, Nadia tiene la mitad del número de monedas que su hermano.

Otra relación que podríamos observar en este problema es el valor de las monedas. El valor de las monedas de Nadia es (4 \times 25) + (6 \times 10) = 160 \ \text{centavos}. El valor de las monedas de su hermano es (15 \times 5) + (5 \times 1) = 80 \ \text{centavos}. La relación del valor de monedas de Nadia con las de su hermano es:

 \frac{160} {80} = \frac{2} {1}

Así que el valor del dinero de Nadia es el doble que el valor del dinero de su hermano.

Debes notar que aún cuando el denominador es uno, aún se escribe. Una relación con un denominador de uno es llamado unidad de proporción. En este caso, significa que Nadia está ganando dinero al doble que su hermano.

Ejemplo 1

El precio del libro de Harry Potter en Amazon es $10.00. el mismo libro también está disponible usado por un precio de $6.50. Encuentra dos formas de comparar estos precios.

Claramente, el precio de un libro nuevo es mayor que el de uno usado. Podemos comparar los dos número usando una ecuación diferente:

La diferencia en precio = 10.00 - \$6.50 = \$3.50

Podemos usar también una relación para comparar los precios:

\frac{precio\ del \ nuevo} {precio\ del \ usado} & = \frac{\$10.00} {\$6.50} & & \text{Podemos eliminar  de la  unidad } \$ \ \text{ya que son las mismas.}\\\frac{10} {6.50} & = \frac{1000} {650} = \frac{20} {13} & & \text{Removemos los decimales y simplificamos la fracci\'{o}n.}

Solución

El libro nuevo es $3.50 más caro que el libro usado.

El libro nuevo vale \frac{20}{13} veces el costo del libro usado.

Ejemplo 2

El Comedor del Estado en la Casa Blanca mide aproximadamente 48 pies de largo por 36 pies de ancho. Compara la longitud de la habitación con el ancho, y expresa tu respuesta como una relación.

Solución

 \frac{48\ pies} {36\ pies} = \frac{48} {36} = \frac{4} {3}

Ejemplo 3

El tamaño de una mesa de juego de cartas mide 30 pulgadas de ancho por 14 pies de largo. Compara la longitud de la mesa con su ancho y expresa la respuesta como una relación.

Podríamos escribir la relación inmediatamente como:

 \frac{14\ pies} {30\ pulgadas} Debes notar que no podemos eliminar las unidades.

Algunas veces está bien dejar las unidades, pero como estamos comparando dos longitudes, tiene sentido convertir todas las medidas a las mismas unidades.

Solución

 \frac{14\ pies} {30\ pulgadas}= \frac{14 \times 12\ pulgadas} {30\ pulgadas} = \frac{168} {30} = \frac{28} {5}

Ejemplo 4

Un automóvil familiar esta siendo probado para la eficiencia de combustible. Se conduce sin hacer paradas por 100 millas, y usa 3.2 galones de combustible. Escribe la relación de la distancia recorrida con el combustible empleado como una unidad de proporción.

 velocidad = \frac{100\ millas} {3.2\ galones}

Una unidad de proporción tiene un denominador de uno, así que necesitamos dividir tanto el numerador y el denominador por 3.2.

 Unidad\ de \ Proporcion \ \frac{\left (\frac{100} {3.2}\right )\ millas} {\left (\frac{3.2} {3.2}\right )\ galones} = \frac{31.25\ millas} {1\ galon}

Solución

La relación de la distancia con el combustible empleado es \frac{31.25 \ millas}{1 \ galón} o 31.25 millas por galones.

Escribir y Resolver una Proporción

Cuando dos relaciones son iguales entre si, las llamamos proporcionales.

 \frac{10} {15} = \frac{6} {9}

Este enunciado es una proporción. Sabemos que el enunciado es verdadero porque podemos reducir ambas fracciones a \frac{2}{3}.

Compruébalo para estar seguro!

Frecuentemente usamos proporciones en la ciencia y los negocios. Por ejemplo, cuando aumentamos la escala de algo. Las usamos para resolver una incógnita, así que usaremos algebra para nombrar nuestra variable desconocida x. Asumimos que una cierta proporción es verdadera sin importar el tamaño del objeto que estamos ampliando (o reduciendo). Los siguientes ejemplos demuestran esto.

Ejemplo 5

Una pequeña cadena de comida maneja 60 tiendas y tiene $1.2 millones de beneficio cada año. Qué tantos beneficios tendría la cadena si manejara 20 tiendas?

Primero, necesitamos escribir una relación. Esta será nuestra relación entre beneficios con el número de tiendas.

 \text{Relaci\'{o}n} = \frac{\$1,200,000} {60\ \text{tiendas}}

Ahora necesitamos determinar nuestra incógnita, x la cual estará en dólares. Es el benefico de 250 tiendas. Aquí está la relación que compara la incógnita en dólares con 250 tiendas.

 \text{Relaci\'{o}n} = \frac{\$x} {250\ \text{tiendas}}

Ahora escribimos las relaciones de igualdad y resolvemos la proporción resultante.

 \frac{\$1,200,000} {60 \ \text{tiendas}} = \frac{\$x} {250\ \text{tiendas}} \ \ \text{o} \ \ \frac{1,200,000} {60} = \frac{x} {250}

Debes notar que podemos eliminar las unidades – no porque sean las mismas en el numerador y denominador, sino porque son las mismas en ambos lados de la ecuación.

\frac{1,200,000} {60} & = \frac{x} {250} & & \text{Simplificar las fracciones}.\\20, 000 & = \frac{x} {250} & & \text{Multiplicar ambos lados por} \ 250.\\5,000,000 & = x

Solución

Si la cadena manejara 250 tiendas el benficio anual sería 5 millones de dólares.

Ejemplo 6

Una compañía de químicos prepara lotes de una solución de sulfato de cobre agregando 250 kg de polvo de sulfato de cobre a 1000 litros de agua. Un Ingeniero químico en un laboratorio desea preparar una solución de concentración idéntica, pero solamente necesita 350 ml (0.35 litros) de solución. Cuánto polvo de sulfato de cobre debería agregar el Ingeniero químico al agua?

Primero escribimos nuestra relación. La masa de polvo dividida por el volúmen de agua empleada por la compañía química.

 \text{Relaci\'{o}n} & = \frac{250\ kg} {1000\ litros} & & \text{Podemos reducir esto a}: \frac{1 \ kg} {4\ litros}

Nuestra incógnita es la masa de polvo en kilogramos que será agregada. Esta será x. El volúmen de agua será 0.35 litros.

 \text{Relaci\'{o}n} = \frac{x\ kg} {0.35\ litros}

Nuestra proporción surge cuando se establecen las dos relaciones de igualdad:

 \frac{1\ kg} {4\ litros} = \frac{x\ kg} {0.35\ litros} las cuales llegan a ser  \frac{1} {4} = \frac{x} {0.35}

Ahora resolvemos para x.

\frac{1} {4} & = \frac{x} {0.35} & & \text{Multiplicar ambos lados por} \ 0.35.\\0.35  \cdot\frac{1} {4} & = \frac{x}{0.35}\cdot 0.35 \\x & = 0.0875

Solución

La masa de sulfato de cobre que el Ingeniero químico debería agregar es 0.0875 kg o 87.5 gramos.

Resolver Proporciones Usando Productos Cruzados o Multiplicación en Cruz

Una buena forma de simplificar proporciones es la multiplicación en cruz. Considera la siguiente proporción.

 \frac{16} {4} = \frac{20} {5}

Si deseamos eliminar las fracciones, podríamos multiplicar ambos lados por 4 y luego multiplicar ambos lados por 5. De hecho nosotros podríamos hacer ambas cosas a la vez:

4 \cdot 5 \cdot \frac{16}{4}& =4\cdot 5 \cdot \frac{20}{5}\\5 \cdot 16 & = 4 \cdot 20

Ahora comparando esto a la proporción con la que iniciamos, observamos que el denominador de el lado izquierdo de la igualdad, termina multiplicando con el numerador en el lado derecho de la igualdad.

También puedes observar que el denominador del lado derecho de la igualdad termina multiplicando el numerador del lado izquierdo en la de la igualdad.

en efecto, los dos denominadores han sido multiplicados en cruz a cada extremo del signo igual:

\Rightarrow 5\cdot 16 = 4\cdot 20

Este movimiento de los denominadores es conocido como multiplicación en cruz. Es extremadamente útil en la resolución de proporciones, especialmente cuando la variable desconocida esta en el denominador.

Ejemplo 7

Resolver la proporción para x.

 \frac{4} {3} = \frac{9} {x}

Multiplicación en cruz:

x \cdot 4 & = 9\cdot 3\\\frac{4x}{4} & = \frac{27}{4} & & \text{Dividir ambos lados por} \ 4.

Solución

x=6.75

Ejemplo 8

Resolver la siguiente proporción para x.

 \frac{0.5} {3} = \frac{56} {x}

Multiplicación en cruz:

x \cdot 0.5 & = 56 \cdot 3\\\frac{0.5 x}{0.5} & = \frac{168}{0.5} & & \text{Dividir ambos lados por} \ 0.5.

Solución:

x = 336

Resolver Problemas del Mundo Real Usando Proporciones

Cuando nos enfrentamos con problemas en los cuales se nos pide escribir una proporción, necesitamos identificar tanto la incógnita (la cual será la cantidad que representaremos como x) y la relación que se mantendrá fija.

Ejemplo 9

Un tren a campo traviesa viaja a una velocidad constante. Recorre 15 millas en 20 minutos. Qué tan lejos viajará en 7 horas asumiendo que continúa a la misma velocidad?

Este ejemplo es un ejemplo de \text{Distancia} = \text{velocidad} \times \text{tiempo} problema. Resolvimos un problema similar en la lección 3.3. Recuerda que la velocidad de un cuerpo es la cantidad distancia/tiempo. Esta será nuestra relación. Simplemente conectamos las cantidades conocidas. De cualquier manera, transformaremos las horas a minutos.

 \text{Relaci\'{o}n} = \frac{15 \ millas} {20\ minutos} = \frac{15\ millas} {\frac{1} {3}\  hora}

Esta es una relación poco manejable, pero ya que estaremos usando la multiplicación en cruz lo dejaremos como esta. Luego estableceremos nuestra proporción.

 \frac{15 \ millas} {\frac{1} {3} \ hora} = \frac{x\ millas} {7\ horas}

Debes eliminar las unidades y multiplicar en cruz.

7 \cdot 15 & = \frac{1} {3} \cdot x & & \text{Multiplicar ambos lados por} \ 3.\\3 \cdot 7 \cdot 15 & = 3 \cdot \frac{1}{3} \cdot x\\315 & = x

Solución

El tren viajará 315 millas en 7 horas.

Ejemplo 10

La lluvia está callendo 1 pulgada cada 1.5 horas. Qué tan alto estará el nivel de agua si llueve a la misma velocidad por 3 horas?

Aunque no lo parezca, este problema usa de nuevo la relación \text{Distancia} =\text{velocidad} \times \text{tiempo}. La distancia en pulgadas con la que el agua se eleva será nuestra x. La relación será otra vez \frac{distancia}{tiempo}.

\frac{1\ pulgada} {1.5\ horas} & = \frac{x\ pulgada} {3\ horas} & & \text{Eliminar unidades y multiplicar en cruz}.\\\frac{3(1)}{1.5} & = \frac{1.5x}{1.5} & & \text{Dividir por} \ 1.5\\2 & = x

Solución

El nivel de agua estará 2 pulgadas arriba si llueve por 3 horas.

Ejemplo 11

En el Reino Unido, se dice que la enfermedad de Alzheimer afecta a una de cada cincuenta personas que sobrepasan los 65 años de edad. Si aproximadamente 250000 personas sobre 65 años son afectadas en el Reino Unido, ¿Cuántas personas sobre 65 hay ahí en total?

La relación en este caso será 1 persona en 50. La incógnita (x) es el número de personas sobre 65 años. Debes notar que en este caso, la relación no tiene unidades, ya que se eliminarán entre el numerador y el denominador.

Podemos ir directamene a la proporción.

\frac{1} {50} & = \frac{250000} {x} & & \text{Multiplicar en cruz}:\\1 \cdot x & = 250000 \cdot 50\\x & = 12,500,000

Solución

Hay aproximadamente 12.5 millones de personas que superan los 65 años de edad.

Multimedia Link Para estudiar problemas más avanzados que involucren relaciones y aplicaciones puedes ver en internet el siguiente enlace Khan Academy Advanced Ratio Problems (9:57). Puedes pensar en una manera más fácil de establecer y resolver estos problemas?

Resumen de la Lección

  • Una relación es una forma de comparar dos números, medidas o cantidades, dividiendo un número por otro y expresando la respuesta como una fracción. \frac{2}{3}, \frac{32 \text{ millas}}{1.4\text{ galones}}, y \frac{x}{13} todos son relaciones.
  • Una proporción se forma cuando dos relaciones son establecidas en una igualdad.
  • Multiplicación en Cruz es útil para resolver ecuaciones en la forma de proporciones. Para multiplicar en cruz, multiplicar el denominador de cada relación con el numerador de la relación que está al otro extremo del signo igual. Por ejemplo, multiplicando en cruz resulta 11\cdot 3=5 \cdot x.

Ejercicios de Repaso

  1. Escribir las siguientes comparaciones como relaciones. Simplificar fracciones donde sea posible.
    1. $150 a $3
    2. 150 chicos a 175 chicas
    3. 200 minutos a 1 horas
    4. 10 dias a 2 semanas
  2. Escribir las siguientes relaciones como una unidad de proporción.
    1. 54 hotdogs a 12 minutos
    2. 5000 lbs a 250 \ pulg^2
    3. 20 computadoras a 80 estudiantes
    4. 180 estudiantes a 6 profesores
    5. 12 metros a 4 pisos
    6. 18 minutos a 15 citas
  3. Resolver las siguientes proporciones.
    1.  \frac{13} {6} = \frac{5} {x}
    2.  \frac{1.25} {7} = \frac{3.6} {x}
    3.  \frac{6} {19} = \frac{x} {11}
    4.  \frac{1} {x} = \frac{0.01} {5}
    5.  \frac{300} {4} = \frac{x} {99}
    6.  \frac{2.75} {9} = \frac{x} {\left (\frac{2} {9}\right )}
    7.  \frac{1.3} {4} = \frac{x} {1.3}
    8.  \frac{0.1} {1.01} = \frac{1.9} {x}
  4. Un restaurante sirve a 100 personas por día y ganara $908. Si el restaurante pudiera servir 250 personas por día, cuanto estaría ganando?
  5. La montaña más alta en Canadá es el Monte Yukon. Tiene \frac{298}{67} el tamaño de Ben Nevis, el pico más alto en Escocia. El Monte Elbert en Colorado es el pico más alto en la Montañas Rocosas. El Monte Elbert tiene \frac{220}{67} la altura de Ben Nevis y \frac{44}{48} el tamaño del Monte Blanc en Francia. El Monte Blanc tiene 4800 metros de altura. Qué tan alto es el Monte Yukon?
  6. En una Escuela Media se estima que dos de cada tres estudiantes tienen un teléfono celular o móvil, y uno de cinco de todos los estudiantes tiene un teléfono celular de un año o menos. Fuera de todos los estudiantes que poseen un teléfono móvil, qué proporción posee un teléfono que tenga más de un año?

Respuestas

    1.  \frac{50} {1}
    2.  \frac{6} {7}
    3.  \frac{10} {3}
    4.  \frac{5} {7}
    1. 4.5 hot-dogs por minuto
    2. 20 lbs por pulg^2
    3. 0.25 computadoras por estudiante
    4. 30 estudiantes por profesor
    5. 3 metros por piso
    6. 1.2 minutos por cita
    1. x= \frac{30}{13}
    2. x = 20.16
    3. x= \frac{66}{19}
    4. x = 500
    5. x= 7425
    6. x = \frac{11}{162}
    7. x = 0.4225
    8. x = \frac{100}{1919}
  1. $2270
  2. 5960 metros.
  3. \frac{3}{10} o 30%

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