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3.6: Escala y Medición Indirecta

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Objetivos de Aprendizaje

  • Usar escalas en un mapa.
  • Resolver problemas usando dibujos a escala.
  • Usar figuras similares para medir indirectamente.

Introducción

Nos enfrentamos ocasionalmente con el hecho de realizar medidas de objetos que serían difíciles de medir directamente: la atura de un árbol grande, el ancho de un amplio río, la altura de los cráteres de la luna, aún la distancia de dos ciudades separadas por terreno montañoso. En tales circunstancias, las medidas pueden ser hechas indirectamente, usando proporciones y triángulos semejantes. Estos métodos indirectos enlazan medición con geometría y números. En esta lección, examinaremos algunos de los métodos para hacer medidas indirectas.

Usar Escalas en un Mapa

Un mapa es una representación en dos dimensiones, geometricamente exacta de una sección de la superfice de la tierra. Los mapas son usados para mostrar, pictóricamente, como varias características geograficas están organizadas en un área particular. La escala del mapa describe la relación entre distancias en un mapa y las correspondientes distancias en la superficie de la tierra. Estas medidas son expresadas como una fracción o una relación.

Hasta ahora sólo hemos escrito relaciones como fracciones, pero fuera de los libros de matemáticas, las relaciones son a menudo escritas como dos números separados por dos puntos (:). A continuación observa una tabla que compara relaciones escritas en dos formas diferentes.

Relación Se lee como Equivalente a
1:20 uno a veinte  \left (\frac{1} {20}\right )
2:3 dos a tres  \left (\frac{2} {3}\right )
1:1000 uno a mil  \left (\frac{1} {1000}\right )

Observa la última fila. En un mapa con una escala de 1:1000 (“uno en mil”) una unidad de medida en el mapa (1 pulgada o 1 centímetro por ejemplo) representaría 1000 de las mismas unidades sobre el terreno. Un mapa 1:1 (uno a uno) sería un mapa tan grande como el área que este muestra!

Ejemplo 1

Anne está visitando un amigo en Londres, y está usando el mapa que a continuación se muestra, para navegar de la calle Fleet a el camino Borough. Ella está usando un mapa a escala 1:100,000, donde 1 cm en el mapa representa 1 km en la vida real. Usando una regla, ella mide la distancia en el mapa como 8.8 cm. Qué tan lejos es la distancia real desde el comienzo de su viaje hasta el final?

La escala es la relación de distancia en el mapa a la correspondiente distancia en la vida real.

 \frac{\text{distancia en el mapa}} {\text{distancia real}.} = \frac{1} {100,000}

Podemos sustituir la información que tenemos para resolver la incógnita.

\frac{8.8\ cm} {\text{distancia real}. (x)} & = \frac{1} {100,000} & & \text{Multiplicaci\'{o}n cruzada}.\\880000 \ cm & = x 100 & &  cm = 1\ m.\\x & = 8800\ m & & 1000 \ m = 1\ km.

Solución

La distancia desde la calle Fleet al camino Borough Road es 8.8 km.

Podríamos, en este caso, usar nuestra intuición: 1 \ cm = 1 \ km, la escala indica que podríamos usar simplemente nuesta lectura en centímetros para que obtengamos una lectura en km. No todos los mapas tienen una escala tan simple como esta. En general, tendrás que hacer referencia a la escala del mapa para convertir entre las medidas del mapa y las distancias en la vida real!

Ejemplo 2

Antonio está dibujando un mapa de su escuela para un proyecto en matemáticas. El ha dibujado el siguiente mapa de los edificios de la escuela y el área alrededor.

El está tratando de determinar la escala de su figura. El conoce que la distancia desde el punto marcado A en el diamante de baseball al punto marcado B en la pista de atletismo es 183 metros. Usa las dimensiones marcadas en el dibujo para determinar la escala de su mapa.

Sabemos que la distancia en la vida real es 183 m. Para determinar la escala usamos la relación:

\text{Escala} = \frac{\text{distancia en el mapa}} {\text{distancia en la vida real}}

Para encontrar la distancia en el mapa, usaremos el Teorema de Pitágoras a^2+b^2=c^2.

\text{(Distancia)}^2 & = 8^2+14^2\\ \text{(Distancia)}^2& = 64+196\\ \text{(Distancia)}^2& = 260\\\text{Distancia} &= \sqrt{260}=16.12 \ cm

\text{Escala} & =\frac{16.12\ cm}{\text{distancia real}.}\\\text{Escala} & = \frac{16.12\ cm} {183\ m} & & 1 \ m = 100 \ cm.\\\text{Escala} & = \frac{16.12\ cm} {18300\ cm} & & \text{Dividir arriba y abajo por} \ 16.12.\\\text{Escala} & \approx \frac{1} {1135.23}& & \text{Aproximar a dos cifras significativas}:

Solución

La escala del mapa de Antonio es aproximadamente 1:1100.

Resolver Problemas Usando Dibujos a Escala

Otro uso visual de la relación y proporción son los dibujos a escala. Los dibujos a escala son usados extensamente por arquitectos (llamados planos). Son utilizados para representar objetos reales y son dibujados con una específica proporción. Las ecuaciones que rigen la escala son las mismas que los mapas. Vamos a reformular las ecuaciones en formas donde podemos resolver para escala, distancia real, o distancia a escala.

\text{Escala} = \frac{\text{distancia en diagrama}} {\text{distancia en la vida real}}

Organizar nuevamente para encontrar la distancia en el diagrama y la distancia en la vida real.

(\text{distancia en el diagrama}) & = (\text{distancia en la vida real}) \times (\text{escala})\\(\text{Distancia en la vida real}) & = \frac{\text{distancia en el diagrama}} {\text{escala}} = (\text{distancia en diagrama}) \cdot \left (\frac{1} {\text{escala}}\right )

Ejemplo 3

Oscar está tratando de hacer un dibujo a escala del Titanic, del cual sabe que medía 883 pies de longitud. A él le gustaría que su dibujo fuera a escala 1:500. Qué tan largo, en pulgadas, debe ser el papel que debe usar?

Podemos razonar intuitivamente, ya que la escala es 1:500 que el papel debe ser \frac{883}{500}=1.766 \ pies de longitud.

Al convertir a pulgadas obtenemos la longitud en 12(1.766) \ pulgadas = 21.192 \ en.

Solución

El papel de Oscar debería ser por lo menos de 22 pulgadas de largo.

Ejemplo 4

El estadio Rose Bowl en Pasadena California mide 880 pies desde el norte al sur y 695 pies desde el este al oeste. Un diagrama a escala del estadio será hecho. Si 1 pulgada representa 100 pies, Cuáles serían las dimensiones del dibujo del estadio en una hoja de papel? Quedará en una hoja de papel estandar (U.S.) (8.5 \ \text{in} \times 11 \ \text{in})?

Usaremos la siguiente relación.

(\text{distancia en el diagrama}) & = (\text{distancia en la vida real}) \times (\text{escala}) \\\text{Escala} & = 1\ pulgadas \ \text{a}\ 100\ pies = \left (\frac{1\ pulgadas} {100\ pies}\right )\\\text{Ancho del papel} & = 880\ pies \times \left (\frac{1\ pulgadas} {100 \ pies}\right ) = 8.8\ pulgadas \\\text{Alturas del papel} & = 695\ pies \times \left (\frac{1\ pulgadas} {100\ pies}\right ) = 6.95\ pulgadas\\

Solución

Las dimensiones del diagrama a escala serían 8.8 \ pulgadas \times 6.95 \ pulgadas. Si, este quedará en una hoja de 8.5 \ pulgadas \times 11 \ pulgadas.

Ejemplo 5

La escala del dibujo a continuación es enviado a niños que asisten a un Campamento de Verano. Usa la escala para estimar lo siguiente:

a) La distancia desde el comedor a la piscina a través del establo.

b) La distancia desde el hospedaje a la piscina a través del corral de caballos.

c) La distancia directa desde el comedor hasta el hospedaje

Para proceder con este problema, necesitamos una regla. No importa si usamos una regla marcada en pulgadas o centímetros, pero una escala en centímetros es más fácil, pues está marcada en décimas. Para este ejemplo, la regla usada será una regla en centímetros.

Primero necesitamos convertir la escala en el diagrama en algo que podamos usar. Con frecuencia, la escala será escrita en el diagrama pero siempre es mejor comprobar, ya que el diagrama pudo haber sido aumentado o reducido desde su tamaño original. Aquí vemos que e 500 pies en el diagrama es equivalente a 3.0 cm en la regla. La escala que usaremos es de cualquier forma 3 cm = 500 pies. Podemos escribir esto como una relación.

\text{Escala} = \left (\frac{3\ cm} {500 \ pies}\right )& & \text{No te preocupes de eliminar unidades en este momento}!

a) Estamos ahora listos para movernos al siguiente paso. Medición de distancias en el diagrama. Primero, necesitamos conocer la distancia desde el comedor a la piscina. Medimos la distancia con nuestra regla. Encontramos que la distancia es 5.6 cm. Dividimos esto por la escala para encontrar la distancia real.

 \frac{\text{distancia en el diagrama}} {\text{escala}} = \frac{5.6\ cm} {\left (\frac{3\ cm} {500 \ pies}\right )} = 5.6\ cm \cdot \left ( \frac{500\ pies} {3\ cm} \right )

Multiplicar esto. Nota que las unidades en centímetros se eliminarán dejando la respuesta en pies.

Solución

La distancia desde el comedor a la piscina es aproximadamente 930 pies (aproximado al más cercano 10 pies).

b) Para encontrar la distancia desde el hospedaje a la piscina, tenemos que medir dos rutas. La primera es la distancia desde el hospedaje al corral de caballos. Encontramos que esta es 3.4 cm.

La distancia desde el corral a la piscina es 5.5 cm.

La distancia total en el diagrama es (3.4 + 5.5) = 8.9 \ cm.

 \text{Distancia en la vida real} = \frac{\text{distancia en el diagrama}} {\text{escala}} \approx 8.9\ cm \left (\frac{500\ pies} {3\ cm}\right )

Solución

La distancia desde el hospedaje hasta la piscina es aproximadamente 1480 pies.

c) para encontrar la distancia directa desde el hospedaje al comedor, simplemente usamos una regla para medir la distancia desde un punto a otro. No tenemos que dar vuelta a las rutas en este caso.

\text{Distancia en el diagrama} & = 6.2 \ cm\\\text{Distancia en la vida real} & = \frac{\text{distancia en diagrama}} {\text{escala}} \approx 6.2 \ cm \cdot \left (\frac{500 \ pies} {3 \ cm} \right )

Solución

La distancia desde el hospedaje al comedor es aproximadamente 1030 pies.

Usar Figuras Semejantes Para Medir Indirectamente

Figuras Semejantes son usadas con frecuencia para hacer medidas indirectas. Se dice que dos formas son similares si tienen la misma forma pero una es la versión más grande (o reducida) que la otra. Triángulos semejantes tienen los mismos ángulos, y se dice que son “proporcionales.” La relación de cada distancia que puede ser medida en una figura a la correspondiente longitud en la otra es la misma. Triángulos Semejantes surgen a menudo en medidas indirectas.

Ejemplo 6

Anatole esta visitando Paris, y desea conocer la altura de la torre Eiffel. Sin poder hablar Francés, ha decidido hacer la medición en tres formas.

  1. El mide un punto 500 metros desde la base de la torre, y coloca un pequeño espejo en forma horizontal en el terreno.
  2. El se pone de pie detrás del espejo, de tal forma que en posición vertical observa la punta de la torre reflejada en el espejo.
  3. El mide tanto la distancia desde el punto donde está parado hasta el espejo (2.75 metros) y la altura que hay de sus ojos a partir del terreno (1.8 metros).

Explica como va a determinar la altura de la Torre Eiffel a partir de estos números y determina cuál es la altura.

Primero, dibujaremos y pondremos etiquetas a un diagrama a escala de la situación.

Un hecho sobre el reflejo es que el ángulo que la luz refleja a partir del espejo es el mismo que el ángulo que golpea el espejo.

Ambos triángulos son rectos, y ambos tienen un ángulo en común. Eso significa que los tres ángulos en el triángulo más grande coinciden con los ángulos en el triángulo más pequeño. Podemos decir que los triángulos son semejantes: exactamente la misma forma, pero más grandes o reducidos.

  • Esto significa que la relación del lado más largo en el triángulo más grande con el lado más largo en el triángulo más pequeño es la misma relación que la longitud del lado más corto en el triángulo más grande y la del lado más corto que la del triángulo más pequeño.

\frac{500 m}{2.75 m} & = \frac{x}{1.8 m}\\ 1.8 \cdot \frac{500}{2.75}& = \frac{x}{1.8}\cdot 1.8\\ 327.3& = x

Solución

La torre Eiffel, de acuerdo a este cálculo, tiene aproximadamente 327.3 metros de alto.

Ejemplo 7

Bernard esta observando el faro y preguntándose qué tan alto es. El se da cuenta que proyecta una sombra muy grande, la cual tiene 200 metros de longitud. Al mismo tiempo él mide su propia sombra de 3.1 metros de largo. Bernard mide 1.9 metros de altura. Qué tan alto es el faro?

Dibujaremos de nuevo un diagrama a escala:

Otra vez, observamos que tenemos dos triángulos rectos. El ángulo de la sombra del faro proyectada a causa el sol es el mismo ángulo que la sombra de Bernard. Tenemos dos triángulos semejantes, así que podemos decir nuevamente que la relación de los lados correspondientes es la misma.

\frac{200 m}{3.1m} & = \frac{x}{1.9m}\\ 1.9 \cdot \frac{200}{3.1}& = \frac{x}{1.9}\cdot 1.9\\ 122.6& = x

Solución

El faro tiene 122.6 metros de altura.

Resumen de la Lección

  • Escala es una proporción que relaciona distancias de un mapa con distancias de la vida real. \text{escala} = \frac{\text{distancia en el mapa}}{\text{distancia en la vida real}}
  • Dos formas, como los triángulos, se dice que son semejantes si tienen los mismos ángulos. Los lados de triángulos semejantes están en proporción. La relación de cada distancia que puede ser medida en un triángulo con respecto a la longitud correspondiente en el otro es la misma.

Ejercicios de Repaso

  1. Usa el mapa del ejemplo uno. Usando el escala impresa en el mapa, determinar las distancias (aproximada a la mitad del km más cercano) entre:
    1. Puntos 1 y 4
    2. Puntos 22 y 25
    3. Puntos 18 y 13
    4. Torre Bridge y el Puente de Londres
  2. El diagrama a escala en el ejemplo cinco no muestra los edificios en una proporción correcta. Usar la escala para estimar:
    1. La longitud real que la piscina indicada tendría si fuera dibujada en proporción.
    2. La altura real que tendría el hospedaje si fuera dibujado en proporción.
    3. La longitud que la piscina de 50 pies tendría en el diagrama.
    4. La altura que un árbol de 20 pies tendría en el diagrama.

  3. Usar el diagrama a escala del helicóptero para determinar:
    1. La longitud del helicóptero (de cabina a la cola)
    2. La altura del helicóptero (del piso a las hélices)
    3. La longitud de una hélice principal
    4. El ancho de la cabina
    5. El diámetro del sistema de rotación trasero
  4. En una mañana soleada, la sombra del Edificio Empire State tiene 600 pies de largo. Al mismo tiempo, la sombra de una mira de (3 pies de longitud) tiene 1 pie, 5 \frac{1}{4} \ pulgadas. Qué tan alto es el edificio Empire State?

Respuestas

    1. 3 km
    2. 7 km
    3. 12 \frac{1}{2} \ km
    4. 4 \frac{1}{2} \ km
    1. \text{Piscina} = 600 \ pies de largo
    2. \text{hospedaje} = 250 \ pies de altura
    3. La piscina debería tener 0.3 cm
    4. El árbol debería tener 0.12 cm
    1. \text{longitud} = 21 \ pies
    2. \text{altura} = 10 \ pies
    3. Hélice principal = 12 \ pies
    4. ancho de cabina = 5 \frac{1}{2} \ pies
    5. diámetro de hélices traseras = 4 \ pies
  1. 1250 ft

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