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4.7: Gráficas de Funciones Lineales

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Objetivos del Aprendizaje

En esta lección aprenderás a:

  • Reconocer y usar la notación de funciones.
  • Graficar una función lineal.
  • Cambiar pendientes e interceptos de las gráficas de funciones.
  • Analizar gráficas de funciones del mundo real.

Introducción– Funciones

Hasta el momento hemos utilizado el término función para describir muchas de las ecuaciones que hemos estado graficando. Sin embargo, el concepto de función es extremadamente importante en matemáticas. No todas las ecuaciones son funciones. Para que la relación entre dos variables, x and y, sea una función, cada valor de x debe corresponder exactamente a un valor de y.

Visualmente esto significa que la gráfica de y versus x debe pasar la prueba de la línea vertical. Dicha prueba consiste en que cualquier línea vertica trazada a través de la gráfica de la función nunca debe cortar más de un punto de dicha gráfica.

Uso de la notación de funciones

Cuando escribimos las expresiones de las funciones, a menudo utilizamos la notación ‘f(x)=’ en vez de ‘y=’. f(x)= se lee “f de x”.

Ejemplo 1

Escribe de nuevo las siguientes ecuaciones de manera que expresen que y es una función de x, escribiendo dicha variable como f(x).

a. y = 2x + 5

b. y = -0.2x + 7

c. x = 4y- 5

d. 9x + 3y = 6

Solución

a. Simplemente pon f(x) en lugar de y. f(x)=2x+5

b. f(x)=-0.2x+7

c. Reorganiza para aislar y.

 x & = 4y - 5 && \text{Sumar}\ 5\ \text{en ambos miembros}. \\x + 5 & = 4y && \text{Dividir entre}\ 4. \\\frac{x + 5} {4} & = y \\f(x) & = \frac{x + 5} {4}

d. Reorganiza para aislar y.

 9x + 3y & = 6 && \text{Sustraer}\ 9x\ \text{de ambos miembros}.\\3y & = 6 - 9x && \text{Dividir entre}\ 3.\\y & = \frac{6 -x} {3} = 2 - 3x \\f(x) & = 2 - 3x

Es útil imaginar que una función es una máquina que realiza un número de procesos distintos. Por ejemplo, puedes dividir la función 3x + 2 en las siguientes instrucciones.

  • Tomar un número
  • Multiplícarlo por 3
  • Al resultado obtenido en la instrucción anterior, sumarle 2

Podemos visualizar estos procesos como se muestra en la figura siguiente:

En este caso, el número que seleccionamos fue 2. Luego de multiplicarlo por 3 se convirtió en 6. Finalmente, cuando sumamos 2 a este último resultado, nuestra salida resulta ser igual a 8.

Intentémoslo de nuevo. Esta vez hagamos pasar -3 a través de nuestra máquina para conseguir 7 como salida.

En la parte inferior de este diagrama de proceso, puedes ver lo que ocurre cuando hacemos pasar la letra n (la variable utilizada pra representar cualquier número) a través de la función. Podemos escribir los resultados de estos procesos.

  • f(2) = 8
  • f(-3) = -7
  • f(n) = 3n + 2

Ejemplo 2

Una función está definida como f(x)=6x-36. Evalúala para los siguientes casos:

a. f(2)

b. f(0)

c. f(36)

d. f(z)

e. f(p)

Solución

a. Se evalúa la función f(x) en x= 2, es decir, f(2) = 6\cdot 2 - 36 = 12 - 36 = - 24

b. Se evalúa la función f(x) en x= 0, es decir, f(0) = 6\cdot 0 - 36 = 0 - 36 = - 36

c. Se evalúa la función f(x) en x= 36, es decir, f(36) = 6\cdot 36 - 36 = 216 - 36 = 180

d. Se evalúa la función f(x) en x= z, es decir, f(z) = 6z + 36

e. Se evalúa la función f(x) en x= p, es decir, f(p) = 6p + 36

Graficar una Función Lineal

Puedes observar que la notación ‘f(x)=’ y ‘y=’ son intercambiables. Esto significa ue podemos utilizar todos los conceptos que hemos apriendido hasta el momento para graficar funciones.

Ejemplo 3

Graficar la función  f(x) = \frac{3x + 5} {4}

Solución

Podemos escribir esta función en la forma pendiente-intercepto (es decir, en la forma y=mx+b).

 f(x) = \frac{3} {4} x + \frac{5} {4} = 0.75x + 1.25

Así, nuestra gráfica tendrá un intercepto en y dado por (0, 1.25) y una pendiente igual a 0.75.

  • Recuerda que esta pendiente implica que la gráfica se eleva 3 unidades por cada 4 unidades que nos movemos hacia la derecha.

Ejemplo 4

Graficar la función f(x) = \frac{7(5 - x)} {5}

Solución

Esta vez encontraremos los interceptos en x y en y.

Para encontrar el intercepo en y, hacemos que x = 0.

 f(0) = \frac{7(5 - 0)} {5} = \frac{35} {5} = 7

Para encontrar el intercepto en x hacemos que f(x) = 0.

 0 & = \frac{7(5 - x)} {5} && \text{Multiplicar por}\ 5\ \text{y distribuir}\ 7.\\5.0 & = 35 -7x && \text{Sumar}\ 7x\ \text{en ambos miembros:}\\7x & = 35 \\x & = 5

Nuestra gráfica tiene interceptos dados por (0, 7) y (5, 0).

Progresiones Aritméticas

Probablemente has notado que para el caso de las funcione lineales, cuando incrementas el valor de x en una unidad, entonces el valor de y se incrmenta en una cantidad fija o constante. Esta cantidad es igual a la pendiente. Por ejemplo, si tuviéramos que hacer una tabla de valores para la función f(x) = 2x + 3, podemos empezar con x =0 y luego sumar 1 a la x correspondiente a cada fila.

x f(x)
0 3
1 5
2 7
3 9
4 11

Observa los valore que toma f(x). Ellos se incrementan en 2 (el valor de la pendiente) para cada valor sucesivo de x. Cuando se da el caso de sumar continuamene un valor fijo a números sucesivos, obtenemos secuencias tales como 3, 5, 7, 9, 11.... Dichas secuencias reciben el nombre de progresiones aritméticas. Ellas se caracterizan por el hecho de que cada número que las constituye es mayor que (o menor que) el número precedente en una cantidad fija o constante. Esta cantidad es llamada la diferencia común. La diferencia común puede calcularse tomando dos términos consecutivos de una progresión dada y, luego, restando el primero del segundo.

Ejemplo 5

Encuentra la diferencia común para las siguientes progresiones aritméticas:

a. {7, 11, 15, 19 \ldots}

b. {12, 1, -10, -21 \ldots}

c. {7, \ , 12, \ , 17 \ldots}

Solución

a.

11 - 7 = 4\! \\15 - 11 = 4\! \\19 - 15 = 4.

La diferencia común es 4.

b. 1- 12 = -11. La diferencia común es -11.

c. No se proporcionan términos consecutivos en este caso. Sin embargo, usando nuestro sentido común, sabemos que para encontrar el término (desconocido, por cierto) que va después de 7, debemos sumar la diferencia común. A continuación, para obtener 12, debemos sumar la diferencia común nuevamente. Así, podemos concluir que el doble de la diferencia común puede calcularse como 12 - 7 = 5. Por lo tanto, la diferencia común es 2.5.

Las secuencias aritméticas y las funciones lineales están cercanamente relacionadas. Recién hemos aprendido que para obtener el término siguiente en una secuencia aritmética, se debe añadir la diferencia común al último término obtenido. De manera similar, hemos visto que para el caso de las funciones lineales, cada vez que el valor de x se incrmenta en uno, la función se incrementa en un valor igual a la pendiente. Por lo tanto, resulta que las secuencias aritméticas y las funciones lineales lucen muy similares.

La gráfica de arriba muestra tanto la progresión aritmética {-2, 0, 2, 4, 6\ldots} como la función y = 2x - 4. La diferencia fundamental entre ambas gráficas es que una secuencia aritmética es discreta, mientras que una función lineal es continua.

  • Discreta significa que la secuencia tiene valores en x que ocurren en puntos distintos específicos (el 1^{st} término, 2^{nd} término, etc). El dominio no es el conjunto de los números reales (a menudo es el conjunto de los números enteros).
  • Continua significa que la función existe para todos los valores posibles de x, tanto los enteros como todos los números que se ubican entre ellos. Por tanto, el dominio está constituido por el conjunto de todos los números reales.

Podemos escribir una fórmula para una progresión aritmética. Definiremos el primer término como a_1, mientras que la diferencia común será definida como d. La secuencia, entonces puede escribirse como.

a_1, a_1 +d, a_1 +2d, a_1 +3d, \ldots, a_1 + (n-1)\cdot d

  • Para encontrar el segundo término, (a_2), al primer término (a_1) le sumamos d.
  • Para encontrar el tercer térmno, (a_3), al primer término, (a_1) le sumamos 2d.
  • Para encontrar el término n-ésimo, (a_n), tomamos el primer término, (a_1) y le sumamos (n-1)d.

Análisis de Gráficas de Funciones del Mundo Real

Ejemplo 6

Usa el diagrama de abajo para determinar las tres décadas, a partir de 1940, en las cuales la tasa de mortalidad infantil decreció más que en otras.

Hagamos una tabla para la tasa de mortalidad infantil en los años 1940, 1950, 1960, 1970, 1980, 1990, 2000.

Tasas de Mortalidad Infantil: Estados Unidos, 1940-2004
Año Tasa de Mortalidad (por 100,000) cambio por década
1940 47 N/A
1950 30 -17
1960 26 -4
1970 20 -6
1980 13 -7
1990 9 -4
2000 7 -2

Solución

Las décadas con el mejor comportamiento fueron: la de los años 40 (1940-1950) con una disminución de 17 muertes por 100000; luego la de los años 70 (1970-1980), con una disminución de 7 muertes por 100000; finalmente, la de los años 60 (1960-1970), con una disminución de 6 muertes por 100000.

Resumen de la Lección

  • Para que una ecuación sea una función, la relación entre las dos variables, x and y, debe ser tal que a cada valor de x le corresponda exactamente un valor de y-, es decir que y=f(x).
  • El gráfico de una función de y versus x debe pasar (aprobar) la prueba de la línea vertical. Es decir, que cualquier línea vertical cortará la gráfica de la función en solamente un punto.
  • La secuencia de valores de f(x), donde f(x) es una función lineal, forman una progresión aritmética. Cada número es mayor que (o menor que) el número precedente en una cantidad fija (constante), conocida como diferencia común

Ejercicios de repaso

  1. Cuando un objeto cae por efecto de la gravedad, gana velocidad a una razón de cambio constante de 9.8 m/s, cada segundo. A un objeto que se deja caer desde la Torre Eiffel, la cual tiene una altura de 300 metros, le toma 7.8 segundos en impactar al suelo. ¿Cuán rápido se está moviendo dicho objeto (es decir, cuál es el valor de la velocidad que tiene) en el instante de impacto?
  2. Una tarjeta prepagada para hacer llamadas telefónicas vale por $20 de llamadas. Las llamadas se cobran a una tarifa fija de $0.16 por minuto. Escribe el valor de la tarjeta como función de los minutos que dura una llamada. Utiliza una función para determinar el número total (máximo) de minutos que puedes usar dicha tarjeta.
  3. A cada una de las siguientes funciones,
    1. f(x) = -2x + 3
    2. f(x) = 0.7x + 3.2
    3. f(x) = \frac{5 (2 - x)} {11}

    Evalúala como se indica: (i) f(-3) (ii) f(7) (iii) f(0) (iv) f(z)

  4. Determina si las siguientes son, o no, gráficas de funciones.
  5. Una guía para asar pavos sugiere cocinarlos durante 100 minutos más 8 minutos adicionales por libra.
    1. Escribe una función para el tiempo de asado, si el peso del pavo, (x), se expresa en libras.
    2. Determina el tiempo necesario para asar un pavo de 10 lb.
    3. Determina el tiempo necesario para asar un pavo de 27 lb.
    4. Determina el peso máximo que debe tener un pavo para que pueda asarse en 4\frac{1}{2} \ horas.
  6. Determina los términos que faltan en las siguientes progresiones aritméticas.
    1. \left \{-11, 17, \ , 73 \right \}
    2. \left \{2, \ , -4\right \}
    3. \left \{13, \ ,\ ,\ , 0 \right \}

Respuestas a los ejercicios de repaso

  1. 76.44 m/s
  2. f(x) = 2000 - 16x; 125 \ minutos
    1. 9
    2. -11
    3. 3
    4.  f(z) = -2z + 3
    1. 1.1
    2. 8.1
    3. 3.2
    4. f(z) = 0.7z + 3.2
    1. 2.27
    2. -2.27
    3. 0.909
    4.  f(z) = \frac{10} {11} - \frac{5} {11}z
    1. no
    2. no
    1. f(x) = 8x + 100
    2. 180 \ min = 3 \ horas
    3. 316 \ min = 5 \ horas \ 16 \ minutos
    4. 21.25 libras
    1. 45
    2. -1
    3. 9.75, 6.5, 3.25

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