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5.7: Estrategias de Resolución de Problemas: Usar un Modelo Lineal

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Objetivos de Aprendizaje

  • Leer y comprender las situaciones de los problemas dados.
  • Desarrollar y aplicar la estrategia: usar un modelo lineal.
  • Planear y comparar acercamientos alternativos para la resolución de problemas.
  • Resolver problemas del mundo real usando estrategias seleccionadas como parte de un plan.

Introducción

En este capítulo, hemos estado estimando valores usando líneas rectas. Cuando usamos interpolación lineal, extrapolación lineal o se predicen resultados usando una línea de mejor ajuste, este proceso es llamado modelo lineal. En esta sección, observaremos unos cuantos ejemplos donde los grupos de que ocurren en problemas del mundo real pueden ser modelados usando relaciones lineales. De secciones anteriores recuerda nuestro plan para resolver problemas:.

Paso 1

Comprender el problema

Leer el problema cuidadosamente. Una vez que el problema se ha leído, hacer una lista de todos los componentes y datos que están involucrados. En este paso es donde tú asignarás tus variables.

Paso 2

Idear un plan – Interpretar

Surge una forma para resolver el problema. Establecer una ecuación, dibujar un diagrama, elaborar un cuadro o construir una tabla como inicio para la resolución de tiempo.

Paso 3

Llevar a cabo el plan – Resolver

Aquí es donde tú resuelves la ecuación que surgió en el paso 2.

Paso 4

Observa – Revisa e Interpreta

Revisa para ver si usaste toda tu información y que la respuesta tiene sentido.

Ejemplo 1

Dana escuchó algo muy interesante en la escuela. Su profesor le dijo que si tú divides la circunferencia de un círculo por su diámetro tú siempre obtienes el mismo número. Ella probó este enunciado midiendo la circunferencia y el diámetro de varios objetos circulares. La siguiente tabla muestra sus resultados.

De estos datos, estimar la circunferencia de un círculo cuyo diámetro es 12 pulgadas. Y que hay sobre 25 pulgadas? 60 pulgadas?

Diámetro y Circunferencia de Varios Objetos
Objeto Diámetro (pulgadas) Circunferencia (pulgadas)
Tabla 53 170
Lata de soda 2.25 7.1
Lata de Cocoa 4.2 12.6
Plato 8 25.5
Pajilla .25 1.2
Tanque de Propano 13.3 39.6
Hula Hoop 34.25 115

Solución

Vamos a usar el plan para resolución de problemas.

Paso 1

Definimos nuestras variables.

x = diámetro del círculo en pulgadas

y = circunferencia del círculo en pulgadas

Queremos saber la circunferencia cuando el diámetro es 12, 25 o 60 pulgadas.

Paso 2 Podemos encontrar las respuestas ya sea usando la línea de mejor ajuste o usando la interpolación o extrapolación lineal. Comenzamos por dibujar el diagrama de dispersión de los datos.

Paso 3 Linea de mejor ajuste

Estimar una línea de mejor ajuste en el gráfico de dispersión.

Encontrar la ecuación usando los puntos (.25, 1.2) y (8, 25.5).

\text{Pendiente} && m & = \frac{25.5 - 1.2} {8 - .25} = \frac{24.3} {7.75} = 3.14\\&& y & = 3.14x + b\\&& 1.2 & = 3.14 (.25) + b \Rightarrow b = 0.42\\\text{Ecuaci\'{o}n} && y & = 3.14x + 0.42

\text{Di\'{a}metro} = 12 \ pulgadas & \Rightarrow y = 3.14 (12) + 0.42 = \underline{38.1\ pulgadas}\\ \text{Di\'{a}metro} = 25 \ pulgadas & \Rightarrow y = 3.14 (25) + 0.42 = \underline{78.92\ pulgadas}\\\text{Di\'{a}metro} = 60 \ pulgadas & \Rightarrow y = 3.14 (60) + 0.42 = \underline{188.82\ pulgadas}

En este problema la pendiente es = 3.14. Este número debería ser familiar para ti – es el número aproximado al lugar de los centésimos. Teóricamente, la circunferencia de un círculo dividido por su diámetro es siempre el mismo e igual a 3.14 o \pi.

Tú estás probablemente más familiarizado con la fórmula C = \pi \cdot d.

Nota: La calculadora da la línea de mejor ajuste como y = 3.25x- 0.57, entonces podemos concluir que afortunadamente tomamos dos valores que dieron como resultado la pendiente correcta 3.14. Nuestra línea de mejor ajuste muestra que habían más errores de medición en otros puntos.

Paso 4 Revisar e Interpretar

La circunferencia de un círculo es \pi d y el diámetro es simplemente d. Si dividimos la circunferencia por el diámetro obtendremos \pi. La pendiente de la línea es 3.14, la cual es bastante cercana al valor exacto de \pi. Hay algún error en la estimación porque esperábamos que el intercepto y tuviera un valor de cero y no fue así.

La razón por la que el método de la línea de mejor ajuste funciona mejor es que los datos son lineales. Todos los puntos están cercanos a la línea recta pero hay un pequeño error de medida. La línea de mejor ajuste promedia el error y proporciona un buen estimado de la tendencia general.

Nota: El método de la interpolación y extrapolación lineal proporcionan estimados que no son tan exactos porque sólo usan dos puntos en el grupo de datos. Si hay errores de medición en los puntos que están siendo usados, entonces las estimaciones perderán exactitud. Normalmente, es mejor calcular la línea de mejor ajuste con una calculadora o computadora.

Ejemplo 2

Un cilindro está lleno con agua hasta una altura de 73 centimetros. El agua es drenada a través de un agujero en el fondo del cilíndro y son tomadas mediciones con un intervalo de dos segundos. La tabla a continuación muestra la altura del nivel del agua en el cilindro en diferentes momentos.

a) Encontrar el nivel del agua a 15 segundos.

b) Encontrar el nivel de agua a 27 segundos.

El nivel de agua en el cilíndro en diferentes momentos.

Nivel de Agua en el cilindro en diferentes momentos
Tiempo (segundos) El nivel de agua (cm)
0.0 73
2.0 63.9
4.0 55.5
6.0 47.2
8.0 40.0
10.0 33.4
12.0 27.4
14.0 21.9
16.0 17.1
18.0 12.9
20.0 9.4
22.0 6.3
24.0 3.9
26.0 2.0
28.0 0.7
30.0 0.1

Solución

Vamos a usar el plan para resolver el problema.

Paso 1

Definir nuestras variables

x= tiempo en segundos

y = nivel de agua en centímetros

Queremos conocer el nivel de agua a los 15, 27 y -5 segundos.

Paso 2 Podemos encontrar la respuesta ya sea usando la línea de mejor ajuste o usando la interpolación lineal o extrapolación. Comenzamos por dibujar el gráfico de dispersión de los datos.

Paso 3 Método 1 Línea de mejor ajuste

Dibujar un estimado de la línea de mejor ajuste en el gráfico de dispersión. Encontrar la ecuación usando los puntos (6, 47.2) y (24, 3.9).

\text{Pendiente} && m & = \frac{3.9 - 47.2} {24 - 6} = \frac{-43.3} {18} = - 2.4\\&& y & = -2.4x + b\\&& 47.2 & = -2.4(6) + b \Rightarrow b = 61.6\\\text{Ecuaci\'{o}n} && y & = -2.4 x + 61.6

\text{Tiempo} &= 15 \ segundos \Rightarrow y = -2.4 (15) + 61.6 = \underline{25.6 \ cm}\\\text{Tiempo} &= 27 \ segundos \Rightarrow y = -2.4 (27) + 61.6 = \underline{-3.2 \ cm}

La línea de mejor ajuste no muestra estimaciones exactas para la altura. Los puntos de datos no parecen ajustarse a la tendencia de la línea entonces la línea de mejor ajuste está cerca de muy pocos puntos.

Método 2: Interpolación lineal o extrapolación lineal.

Usamos interpolación lineal para encontrar el nivel de agua a los 15 y 27 segundos, porque estos puntos están entre dos puntos que conocemos.

Tiempo = 15 segundos

Conectar los puntos (14, 21.9) y (16, 17.1) encontrar la ecuación de la línea recta.

 m = \frac{17.1 - 21.9} {16 - 14} = \frac{-4.8} {2} = -2.4 y = -2.4x + b \Rightarrow 21.9 = -2.4 (14) + b \Rightarrow b = 55.5

Ecuación y = -2.4x + 55.5

Introducir x=15 y obtener y = -2.4(15) + 55.5 = 19.5\ cm

Tiempo = 27 segundos

Conectar los puntos (26, 2) y (28, 0.7) y encontrar la ecuación de la línea recta.

 m & = \frac{0.7 - 2} {28 - 26} = \frac{-1.3} {2} = -.65\\y & = -.65x + b \Rightarrow 2 = - .65 (26) + b \Rightarrow b = 18.9

Ecuación y= -.65x = 18.9

Introducir x = 27 y obtener  y = -.65 (27) + 18.9 =1.35 \ cm

Usamos la extrapolación lineal para encontrar el nivel de agua a los -5 segundos porque este punto es más pequeño que los puntos en nuestro grupo de datos.

Paso 4 Revisar e Interpretar

En este ejemplo, el método de la interpolación y extrapolación, proporciona mejores estimaciones de los valores que necesitamos para resolver el problema. Ya que los datos no son lineales, la línea de mejor ajuste no esta cerca de muchos puntos en nuestro grupo de datos. los métodos de interpolación y extrapolación nos dan mejores estimaciones de valores que necesitamos para resolver el problema. Ya que los datos no son lineales, la línea de mejor ajuste no está cerca a mucho de los puntos en nuestro grupo de datos. El método de la interpolación lineal y la extrapolación proporcionan mejores estimaciones porque no esperamos que los datos cambien extremadamente entre los puntos que son conocidos.

Resumen de la Lección

  • Cuando se usa la interpolación lineal, la extrapolación lineal o la predicción usando una línea de mejor ajuste, este proceso es el de modelado lineal.
  • Los cuatro pasos del plan para resolver problemas son:
  1. Comprender el problema
  2. Idear un plan – Interpretar
  3. Llevar a cabo el plan – Resolver
  4. Observa – Revisa e Interpreta

Ejercicios de Repaso

La tabla de abajo contiene una lista con la expectativa de vida basada en el año de nacimiento (US Census Bureau).

Usar esta tabla para responder las siguientes preguntas.

  1. Elaborar un gráfico de dispersión de datos
  2. Usar una línea de mejor ajuste para estimar la expectativa de vida de una persona nacida en 1955.
  3. Usar la interpolación lineal para estimar la expectativa de vida de una persona nacida en 1955.
  4. Usar una línea de mejor ajuste para estimar la expectativa de vida de una persona nacida en 1976.
  5. Usar una interpolación lineal para estimar la expectativa de vida de una persona nacida en 1976.
  6. Usar una línea de mejor ajuste para estimar la expectativa de vida de una persona nacida en 2012.
  7. Usar una extrapolación lineal para estimar la expectativa de vida de una persona nacida en 2012.
  8. Cual método proporciona mejores estimaciones para este grupo de datos? Por qué?
Año de Nacimiento Expectativa de vida en años
1930 59.7
1940 62.9
1950 68.2
1960 69.7
1970 70.8
1980 73.7
1990 75.4
2000 77

La tabla de abajo lista las temperaturas altas para el primer día del mes para el año 2006 en San Diego, California (Weather Underground).

Usar esta tabla para responder las siguientes preguntas.

  1. Dibujar un gráfico de dispersión de los datos
  2. Usar una línea de mejor ajuste para estimar la temperatura a mediados del 4^{th} mes (mes 4.5).
  3. Usar la interpolación para estimar la temperatura a mediados del 4^{th} mes (mes 4.5).
  4. Usar una línea de mejor ajuste para estimar la temperatura para el mes 13 (Enero 2007).
  5. Usar la extrapolación lineal para estimar la temperatura para el mes 13 (Enero 2007).
  6. Qué método proporciona mejores estimaciones para este grupo de datos? Porque?
Número de Mes Temperatura (F)
1 63
2 66
3 61
4 64
5 71
6 78
7 88
8 78
9 81
10 75
11 68
12 69

Respuestas

  1. Ecuación de la línea de mejor ajuste usando los puntos (1940, 62.9) y (1990, 75.4) y =.25x- 422.1.
  2. 66.7 años
  3. y =.15x- 224.3, 69.0 años
  4. 71.9 años
  5. y =.29x- 500.5, 72.5 años
  6. 80.9 años
  7. y=.16x- 243, 78.9 años
  8. Una línea de mejor ajuste proporciona mejores estimaciones porque los datos son lineales.
  9. Ecuación de la línea de mejor ajuste usando los puntos (2, 66) y (10, 75) y = 1.125x + 63.75
  10. 68.8 F
  11. y = 7x + 36, 67.5 F
  12. 78.4 F
  13. y = x + 57, 70 F
  14. La interpolación lineal y la extrapolación lineal proporcionan mejores estimaciones porque los datos no son lineales.

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