<meta http-equiv="refresh" content="1; url=/nojavascript/"> Desigualdades Compuestas | CK-12 Foundation
Dismiss
Skip Navigation

Objetivos de Aprendizaje

  • Escribir y graficar desigualdades compuestas en una recta numérica.
  • Resolver una desigualdad compuesta con “y”.
  • Resolver una desigualdad compuesta con “o”.
  • Resolver desigualdades compuestas usando una calculadora graficadora (Familia TI).
  • Resolver problemas del mundo real usando desigualdades compuestas

Introducción

En esta sección, resolveremos desigualdades compuestas. En secciones previas, obtuvimos soluciones que dieron la variable ya sea mayor que o menor que un número. En esta sección estamos buscando soluciones donde la variable puede estar en dos ó más intervalos en la recta numérica.

Existen dos tipos de desigualdades compuestas:

1. Desigualdades unidas por la palabra “y”.

La solución es un conjunto de valores mayores que un número y menores que otro número.

a<x<b

En este caso queremos valores de la variable para los cuales ambas desigualdades sean verdaderas.

2. Desigualdades unidas por la palabra “o”.

La solución es un conjunto de valores mayores que un número o menores que otro número.

x<a o x>b

En este caso, queremos valores para la variable en la cual al menos una de las desigualdades sea verdadera.

Escribir y graficar Desigualdades Compuestas en la Recta Numérica

Ejemplo 1

Escribir las desigualdades representadas por los siguientes gráficos de rectas numéricas.

a)

b)

c)

d)

Solución

a) El gráfico de solución muestra que la respuesta es todo valor entre -40 y 60, incluyendo -40 pero no 60. Cualquier valor en el conjunto solución satisface ambas desigualdades.

x \geq -40 y x<60

Esto usualmente se escribe como la siguiente desigualdad compuesta.

-40 \leq x <60

b) El gráfico de solución muestra que la respuesta es todo valor mayor que 1 (sin incluir 1) o cualquier valor menor que -2 (sin incluir -2). Puedes observar que no pueden haber valores que satisfacen ambas condiciones al mismo tiempo. Escribimos:

x >1 o x <-2

c) El gráfico de solución muestra que la respuesta es todo valor mayor que 4 incluyendo 4) o cualquier valor menor que -1 (incluyendo -1). Escribimos:

x \geq 4 o  x \leq -1

d) El gráfico de solución muestra que la respuesta es todo valor menor que 25 sin incluir 25) y cualquier valor mayor que -25 (sin incluir -25). Todo valor en el conjunto de solución satisface ambas condiciones.

x>-25 y x<25

Esto usualmente se escribe como -25<x<25.

Ejemplo 2

Graficar en la recta numérica las siguientes desigualdades compuestas.

a) -4 \leq x \leq 6

b) x <0 o  x>2

c) x \geq -8 o x \leq -20

d) -15 <x \leq 85

Solución

a) La respuesta son todos los números entre -4 y 6 incluyendo ambos -4 y 6.

b) La respuesta, ya sean los números menores que 0 o números mayores que 2 sin incluir 0 o 2.

c) La respuesta, ya sean los números mayores o iguales que -8 o menores o iguales que -20.

d) La respuesta son los números entre -15 y 85, sin incluir -15 pero incluyendo 85.

Resolver una desigualdad compuesta con “y”

Cuando resolvemos desigualdades compuestas, separamos las desigualdades y resolvemos cada una de ellas separadamente. Luego, al final combinamos las soluciones.

Ejemplo 3

Resolver las siguientes desigualdades compuestas y graficar el conjunto solución.

a) -2<4x-5\leq 11

b) 3x-5<x+9 \leq 5x+13

Solución

a) Primero, reescribimos la desigualdad compuesta como dos desigualdades separadas con y. Luego resolver cada desigualdad separadamente.

-2 & <4x-5 & & & & 4x-5 \leq 11\\3 & < 4x & & \text{y} & & \ \quad 4x \leq 16\\\frac{3}{4}& <x & & & & \qquad x \leq 4

Respuesta  \frac{3} {4}<x y  x\leq 4. Esto puede ser escrito como  \frac{3} {4}x\leq 4.

b) Reescribir la desigualdad compuesta como dos desigualdades separadas por el uso de y. Luego resolver cada desigualdad separadamente.

3x-5&<x+9 & & & & x+9 \leq 5x+13\\2x&<14 & & \text{y} & & \ -4 \leq 4x\\x&<7 & & & & \ -1 \leq x \ \text{o} \ x \geq -1

Respuesta  x<7> y  x\geq -1. Esto puede ser escrito como -1 \leq x <7.

Resolver una Desigualdad Compuesta con “o”

Considerar el siguiente ejemplo.

Ejemplo 4

Resolver las siguientes desigualdades compuestas y graficar el conjunto solución.

a)  9-2x \leq 3 o 3x+10 \leq 6-x

b)  \frac{x-2} {6}\leq2x-4 o \frac{x-2} {6}>x+5

Solución

a) Resolver cada desigualdad separadamente.

9-2x & \leq 3 & & & & 3x+10 \leq 6-x\\-2x & \leq -6 & & \text{o} & & \ \qquad 4x \leq -4\\x & \geq 3 & & & & \qquad \quad x \leq -1

Respuesta  x \geq 3 o  x \leq -1

b) Resolver cada desigualdad separadamente.

\frac{x-2} {6} & \leq 2x-4 & & & & \frac{x-2} {6} > x+5\\x-2 & \leq 6(2x-4) & & & & x-2 > 6(x+5)\\x-2 & \leq 12x-24 & & \text{o} & &  x-2 > 6x+30\\22 & \leq 11x & & & & -32>5x\\2 & \leq x & & & & -6.4>x

Respuesta  x \geq 2 o  x <-64

Resolver Desigualdades Compuestas Usando una Calculadora Graficadora (familia TI-83/84)

Esta sección explica como resolver con una calculadora graficadora desigualdades simples y compuestas.

Ejemplo 5

Resolver las siguientes desigualdades usando la calculadora graficadora.

a) 5x + 2(x - 3) \geq 2

b) 7x-2<10x+1<9x+5

c) 3x + 2 \leq 10 o  3x+2 \geq 15

Solución

a) 5x + 2(x-3) \geq 2

Paso 1 Introducir la desigualdad.

Presionar la tecla [Y=].

Introducir la desigualdad en la primera línea de la pantalla.

 Y_1 = 5x+2(x-3) \geq 2

El símbolo  \geq se introduce presionando [TEST] [2nd] [MATH] y escogiendo la opción 4.

Paso 2 Leer la solución.

Presionar la tecla [GRAPH].

Debido a que la calculadora traduce un enunciado verdadero con el número 1 y un falso enunciado con el número 0, tú verás una función escalonada con el valor de y–saltando desde 0 a 1. El conjunto solución es aquel formado por los valores de x para los cuales el gráfico muestra y = 1.

Nota: Tú necesitas presionar la tecla [WINDOW] y la tecla [ZOOM] para ajustar la ventana y ver el gráfico completo.

La solución es x \geq \frac{8}{7}=1.42857 \ldots, por lo cual puedes ver el valor de y cambiando desde 0 a 1 en 1.14.

b) 7x-2 <10x+1<9x+5

Esta es una desigualdad compuesta 7x- 2 <10x + 1 y 10x + 1 < 9x + 5.

Para introducir una desigualdad compuesta:

Presionar la tecla [Y=].

Introducir la desigualdad como Y_1 = (7x-2<10x+1) \ AND \ (10x+1<9x+5)

Para introducir el símbolo [AND] presiona [TEST], escoge [LOGIC] en la fila de arriba y escoge la opción 1.

Arriba se observa el gráfico resultante.

La respuesta son los valores de x para los cuales y=1.

En este caso -1<x<4.

c) 3x+2 \leq 10 o 3x+2 \geq 15

Esta es una desigualdad compuesta 3x + 2 \leq 10 o 3x + 2 \geq 15

Presionar la tecla [Y=].

Introducir la desigualdad como  Y_1=(3x+2 \leq 10) \ OR \ (3x+2 \geq 15) Para introducir el símbolo [OR] presiona [TEST], escoge [LOGIC] en la fila de arriba y escoge la opción 2.

Arriba se observa el gráfico resultante. La respuesta son los valores x para los cuales y=1. en este caso, x \leq 2.7 o x \geq 4.3.

Resolver Problemas del Mundo Real Usando Desigualdades Compuestas

Muchos problemas de aplicación requieren el uso de desigualdades compuestas para encontrar la solución.

Ejemplo 6

La velocidad de una pelota de golf en el aire está dada por la fórmula v =-32t + 80, donde t es el tiempo desde que la pelota fue golpeada. Cuando está la pelota viajando entre 20 pie/seg y 30 pie/seg?

Solución

Paso 1

Queremos encontrar los tiempos en los que la pelota esta viajando entre 20 pie/seg y 30 pie/seg.

Paso 2

Establecer la desigualdad 20 \leq v \leq 30

Paso 3

Reemplazar la velocidad con la fórmula v=-32t+80.

20 \leq -32t +80 \leq 30

Separar la desigualdad compuesta y resolver cada desigualdad.

20 & \leq -32t+80 & & & & -32t+80 \leq 30\\32t & \leq 60 & & \text{y} & & \qquad \qquad 50 \leq 32t\\t & \leq 1.875 & & & & \qquad \quad 1.56 \leq t

Respuesta 1.56 \leq t \leq 1.875

Paso 4 Para revisar introduce el valor mínimo y el máximo de t en la fórmula para la velocidad.

Para t =1.56, v=-32t+80=-32(1.56)+80=30 \ pie/seg

Para t=1.875, v=-32t+80= -32(1.875)+ 80 = 20 \ pie/seg

Entonces la velocidad está entre 20 y 30 pie/seg. La respuesta es correcta.

Ejemplo 7

La camioneta pick-up de William recorre entre 18 a 22 millas por galón de gasolina. su tanque de gasolina puede almacenar 15 galones de gasolina. Si él maneja a una velocidad promedio de 40 millas por hora, cuánto tiempo de conducción obtiene con un tanque lleno de combustible?

Solución

Paso 1 Conocemos

La camioneta recorre entre 18 y 22 millas/gal

Hay 15 galones en el tanque de combustible de la camioneta.

William conduce a un promedio de 40 millas/hora

Dejar t = como el tiempo de conducción

Paso 2 Usamos el análisis dimensional para obtener desde tiempo por tanque a millas por galón.

\frac{t \ \bcancel{hours}}{1 \ \bcancel{tank}} \times \frac{1 \ \bcancel{tanque}}{15 \ galones} \times \frac{40 \ millas}{1 \ horas} = \frac{40t}{45} \ \frac{millas}{gallon}

Paso 3 Ya que la camioneta recorre entre 18 y 22 millas/gal, establecemos la desigualdad compuesta.

 18 \leq \frac{40t} {15} \leq 22

Separar la desigualdad compuesta y resolver cada desigualdad.

18 & \leq \frac{40t} {15} & & & & \frac{40t} {15}\leq 22\\270 & \leq 40t & & \text{y} & & 40t \leq 330\\6.75 & \leq t & & & & \quad t \leq 8.25

Respuesta 6.75 \leq t \leq 8.25. Andrew puede conducir entre 6.75 y 8.25 horas en un tanque lleno de gasolina.

Paso 4

Para t = 6.75, obtenemos  \frac{40t} {15} \frac{40(6.75)} {15}=18 \ millas por galón.

Para t = 8.25, obtenemos  \frac{40t} {15} \frac{40(8.25)} {15}=18 \ millas por galón.

Resumen de la Lección

  • Las desigualdades Compuestas combinar dos o más desigualdades con “y” e “o”.
  • Las combinaciones con “Y” implican que las únicas soluciones para ambas desigualdades serán soluciones a la desigualdad compuesta.
  • Las combinaciones “O” implican que las soluciones a cualquier desigualdad serán soluciones la desigualdad compuesta.

Ejercicios de Repaso

Escribir las desigualdades compuestas representadas por los siguientes gráficos.

Resolver las siguientes desigualdades compuestas y graficar la solución en una recta numérica.

  1.  -5 \leq x-4 \leq 13
  2.  1 \leq 3x+4 \leq 4
  3.  -12 \leq 2-5x \leq 7
  4.  \frac{3} {4} \leq 2x+9 \leq \frac{3} {2}
  5.  -2\frac{2x-1} {3}<-1
  6.  4x-1 \geq 7 o \frac{9x} {2}<3
  7.  3-x<-4 o 3-x>10
  8.  \frac{2x+3} {4}<2 o -\frac{x} {5}+3\frac{2} {5}
  9.  2x-7 \leq -3 o 2x-3>11
  10.  4x+3 \leq 9 o -5x+4 \leq -12
  11. Para obtener una calificación de B en su clase de Algebra, Stacey debe tener una calificación promedio mayor o igual que 80 y menor que 90. Ella recibió las calificaciones de 92, 78, 85 en sus primeras 3 pruebas. Entre que puntuaciones deben estar sus calificaciones si ella va a recibir una calificación de B para la clase?

Respuesta

  1. -40 \leq x \leq 70
  2. x <-2 o x \geq 5
  3.  -8< x < 0
  4. x \leq -2 o x> 1.5
  5. -1 \leq x \leq 17
  6. -\frac{4}{3} \leq x \leq -\frac{1}{3}
  7. -1 \leq x \leq \frac{14}{5}
  8. -\frac{33}{8} \leq x \leq -\frac{15}{4}
  9. -\frac{5}{2} \leq x <-1
  10. x \geq 2 o x < \frac{2}{3}
  11. x>7 o  x<-7
  12. x< \frac{5}{2} o x > 13
  13. x \leq 2 o x> 7
  14. x < \frac{3}{2} o x \geq \frac{16}{5}
  15. 65 \leq x < 105

Image Attributions

You can only attach files to None which belong to you
If you would like to associate files with this None, please make a copy first.

Reviews

Please wait...
Please wait...
Image Detail
Sizes: Medium | Original
 
CK.MAT.SPA.SE.1.Algebra-I.6.4
ShareThis Copy and Paste

Original text